Лагранжа канонические

Этот пример показывает, что ничего нового по сравнению с уравнениями Лагранжа канонические уравнения движения не представляют. Действительно, и уравнения (33.11), и уравнения (33.14) совпадают с соответствующими уравнениями движения Лагранжа и Ньютона, а остальные уравнения (т. е. уравнения (33.12), (33 15)) являются следствиями определения обобщенных импульсов. И вообще, трудно указать такую динамическую задачу, которую нельзя было бы решить, пользуясь уравнениями Лагранжа, и для решения которой следовало бы обратиться к каноническим уравнениям движения (33.4). Действительное преимущество метода Гамильтона, если говорить о самой классической механике, состоит в том, что он позволяет существенно упростить рассмотрение некоторых общих проблем механики (например, проблемы отыскания интегралов движения). Но главное преимущество метода Гамильтона состоит все-таки в том, что он дает необходимую математическую основу для построения квантовой механики и статистической физики. [c.191]

Уравнения Лагранжа (41) представляют собой п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для обобщенных координат q . Эти уравнения многими способами можно свести к системе 2п уравнений первого порядка путем введения новых переменных. Канонические уравнения или уравнения Гамильтона дают такую систему дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа, в наиболее удобной симметричной форме. [c.416]

Рассмотрим метод, предложенный Гамильтоном , позволяющий S уравнений Лагранжа вида (126.3) преобразовать в систему 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, называемых каноническими уравнениями Гамильтона. [c.366]

Уравнения (134.5) представляют собой канонические уравнения механики для неконсервативной системы. Очевидно, что канонические уравнения механики, полученные из уравнений Лагранжа второго рода, применимы только к голономным системам. [c.372]

Таким образом, поставленная задача полностью решена —при исследовании консервативных и обобщенно консервативных систем выписаны уравнения типа канонических уравнений Гамильтона (или типа Лагранжа), но порядок систем этих уравнений уменьшен на два за счет использования интеграла энергии и введения независимой квадратуры (147). [c.330]

Составить уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения движения сферического маятника массы т. [c.324]

Для приведения уравнения Лагранжа второго рода к каноническому виду необходимо вместо обобщённых координат и обобщённых скоростей ввести канонические переменные. [c.27]

Исключим обобщенные скорости из основных величин, входящих в дифференциальные уравнения движения, и введем в них обобщенные импульсы. Конечно, при этом изменится вид соответствующей функции. Поэтому функции канонических переменных обозначаются ниже дужкой над буквой, обозначающей функцию. Например, функция Лагранжа в канонических переменных обозначается А, обобщенные силы в канонических переменных обозначаются Qj и т. д. Но функция Гамильтона Н в канонических переменных обозначается Н. [c.145]

Чтобы составить дифференциальные уравнения движения в канонических переменных, следует принять во внимание уравнения Лагранжа второго рода. На основании уравнений (И. 32) и формулы (11.39) найдем [c.146]

Следовательно, общее решение канонической системы уравнений и системы уравнений Лагранжа второго рода содержат одинаковое количество (2М) постоянных интегрирования. [c.147]

Канонические уравнения применяются, главным образом, при исследовании теоретических проблем аналитической механики,в особенности при изучении общих методов интегрирования уравнений динамики. Широко применяются канонические уравнения и в небесной механике. С другой стороны, их применение к простейшим конкретным задачам не приводит к большей эффективности по сравнению с решением, основанным на уравнениях Лагранжа второго рода. [c.149]

Получение дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода из принципа М. В. Остроградского и канонических уравнений из принципа Гамильтона — Остроградского [c.198]

При доказательствах интегральных принципов вводятся частные предположения о свойствах сил, действующих на точки системы, и свойствах связей. Но и здесь были получены из принципов М. В. Остроградского уравнения движения систем с голо-номными связями в форме уравнений Лагранжа второго рода, а из принципа Гамильтона — Остроградского — система канонических уравнений движения. [c.210]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Здесь Я и L — функции Гамильтона и Лагранжа в переменных Лагранжа. Соотношения (I) —уравнения Лагранжа второго рода. Переходя к каноническим переменным и пользуясь соотношениями (И. 43а)—(II. 43с) между функциями Лагранжа и Гамильтона, найдем [c.358]

Для интересующего нас случая полными уравнениями возмущенных движений будут канонические уравнения движения с функцией Гамильтона Н = Т — U. Если в положении равновесия и = О, то Н, очевидно, представляет собой определенно положительную функцию 9s, Рв- Но при этом dH/dt = 0 следовательно, на основании теоремы Ляпунова положение равновесия, где U имеет изолированный максимум, будет устойчиво. Вопрос об обращении теоремы Лагранжа представляет собой важную и трудную зада гу. [c.237]

Преобразование Пуассона и Гамильтона. В конце первого тома, в п. 291 и в следующих, мы видели, как можно преобразовать уравнения движения точки, взятые в форме Лагранжа, к форме, названной канонической. [c.364]

Повторяя вычисления, при помощи которых- мы привели уравнения Лагранжа к канонической форме, мы увидим, что эти формулы влекут за собой следующие [c.377]

Принцип Якоби показывает, что если связи и силовая функция не зависят от времени, то и определение траектории выполняется независимо от времени. Это свойство, не представляющееся очевидным в уравнениях Лагранжа, обнаруживается при первом взгляде, когда уравнения написаны в канонической форме. Из канонических уравнений видно также, что если траектория известна, то t определяется квадратурой (п° 450), [c.324]

Книга представляет собой углубленный курс классической механики, написанный на современном уровне. Помимо краткого обзора элементарных принципов, в ней изложены вариационные принципы механики, задача двух тел, движение твердого тела, специальная теория относительности, уравнения Гамильтона, канонические преобразования, метод Гамильтона — Якоби, малые колебания и методы Лагранжа и Гамильтона для непрерывных систем и полей. Показывается связь между классическим развитием механики и его квантовым продолжением. Книга содержит большое число тщательно подобранных примеров и задач. [c.2]

Скобки Лагранжа и скобки Пуассона как канонические инварианты. Условие инвариантности суммы якобианов (8.34) может быть записано в виде [c.277]

Равенство (8.38) показывает, что скобки Лагранжа представляют собой инвариант канонических преобразований. Поэтому не существенно, какая именно система канонических переменных применяется при вычислении этих скобок. Это дает нам право опускать индексы q, р, и поэтому в дальнейшем мы будем писать скобки Лагранжа в виде [и, у . Заметим попутно, что [c.277]

Равенства (8.41), очевидно, справедливы для любой системы канонических переменных. Фигурирующие в них скобки часто называют фундаментальными скобками Лагранжа. [c.278]

Равенства (8.47) дают нам значения фундаментальных скобок Пуассона [аналогично равенствам (8.41) для скобок Лагранжа]. Эти равенства было бы проще доказывать с помощью непосредственного вычисления, подобно тому как это делалось для скобок Лагранжа. Но весь смысл приведенного доказательства состоит в том, что вычисление фундаментальных скобок Пуассона получается здесь без ссылок на какую-либо частную систему канонических переменных. В этом состоит преимущество рассмотренного доказательства, из которого следует, что скобки (8.47) являются каноническими инвариантами. [c.280]

Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей. Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сущности, мы только тогда умеем квантовать систему, когда можем говорить о ней на языке механики. Поэтому, если мы хотим построить квантовую теорию электромагнитного или какого-либо другого поля, то сначала нужно получить его описание на языке механики. Основу для такого описания дают методы Лагранжа и Гамильтона, изложенные в этой главе, [c.399]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Теперь, наконец, уравнения движения Лагранжа полностью заменены новой системой дифференциальных уравнений, которые называются каноническими уравнениями Гамильтона , [c.196]

Эта замечательная система уравнении впервые появилась в одной из статей Лагранжа (1809), в которой шла речь о теории возмущений для механических систем. Лагранж не заметил глубокой связи между этими уравнениями и уравнениями движения. Первый указал на истинное значение этих уравнений 1<оши(в неопубликованном мемуаре в 1831 г.). Гамильтон положил эти уравнения в основу своих выдающихся исследований а области механики. Поэтому название канонические уравнения Гамильтона вполне оправдано, хотя работа Гамильтона появилась лишь в 1835 г. [c.196]

Резюме. Уравнения движения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Применение преобразования Лежандра замечательным образом отделяет дифференцирование по времени от аналитических операций над переменными. Новые уравнения образуют систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка. Они называются каноническими уравнениями . [c.197]

Обычные задачи механики приводят к функциям Лагранжа, не содержащим производных выше первого порядка. В общем же случае в вариационных задачах могут встретиться в подинтегральном выражении производные вплоть до т-го порядка. Эти задачи также могут быть преобразованы к нормальному виду при помощи канонического интеграла. Поэтому канонические уравнения Гамильтона могут считаться нормальным видом, к которому приводится любая [c.199]

Исключение циклических переменных. Хотя канонические уравнения имеют гораздо более простую структуру, чем исходные уравнения Лагранжа, у нас нет общего метода интегрирования этих уравнений. Поэтому при интегрировании уравнений движения по-прежнему необычайно важную роль играют циклические переменные. Как только появляются циклические переменные, становится возможным частичное интегрирование данной механической задачи и сведение ее к более простой. Сам процесс сведения, однако, в гамильтоновой форме механики выглядит гораздо проще, чем в лагранжевой форме. [c.214]

Если функция Лагранжа L не содержит какой-либо определенной координаты Qi, скажем qn, то и функция Гамильтона Н тоже ее не содержит. Последнее из канонических уравнений тогда имеет вид [c.214]

Теперь встает вопрос о том, как в этом случае сформулировать канонические уравнения движения Гамильтона. Первоначальная задача Лагранжа превращается в задачу [c.216]

В этой главе прежде исего будет рассказано о том, как можно описать движение механической систел1ы с 5 стеиенями свободы в 25-мерном фазовом пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа, Канонические преобразования обсуждаются весь 1а кратко, более подробно рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло рассмотрен случай движения заряженной частицы Б электромагнитном поле. В последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как молено рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами q . [c.123]

В этом смысле уравнения (20) представляют собой эквивалент уравнений Лагранжа (4). Уравнения (20) разрешены относительно старших производных и представлены в симметричной и удобной форме. Их называют каноническими уравнениями или уравнениями Гамилыпона для движения в потенциальных полях. [c.263]

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был ироизволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые s независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Формальный вид этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат Q, Q2,. ... Qs перейти к новым обобщенным координатам q, q i,. . по формулам [c.137]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Из уравнений (64.21) и (64.22 ) видно, что для групиы канонических переменных функция Раусса удовлетворяет уравнениям Гамильтона, а для группы лагранжевых переменных — уравнениям Лагранжа второго рода. Соотношения (64.21) и (64.22 ) называют уравнениями Раусса. [c.96]

Гамильтон нредло5кил записывать уравнения движения в переменных qi. Pi, 1. И этих переменных уравнения Лагранжа (1) переходят в ра.зрешенную относительно производных систему 2п уран-нений первого норядка, имеющую замечательно симметричную с орму записи. Эти уравнения называют уравнениями Гамильтона Дилн каноническими уравнениями). Переменные qt и pi (i=l,2,...., п) называются канонически сопряженными. [c.241]

Уравнения (7.12) называются каноническими уравнениями Гамильтона-, они представляют систему 2п уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа. Для того чтобы составить эти уравнения для заданной м х цнческой системы, [c.242]

Параметры ы и и являются координатами точек некоторого двумерного многообразия в фазовом пространстве. Возьмем в качестве такого многообразия плоскость qiqj и вычислим скобку Лагранжа qu q . При этом можно, конечно, пользоваться любой системой канонических переменных, например переменными q, р, которые, очевидно, наиболее удобны. Тогда скобка qu q ] примет вид [c.277]

Это не что иное, как канонические уравнения (6.3.5), пред-ставляюш,ие собой единую систему из 2п дифференциальных уравнений, полученных из интеграла действия (6.4.3). Мы больше не нуждаемся ни в первоначальной функции Лагранжа, ни в преобразовании Лежандра, при помощи которого была получена функция Н. У нас есть теперь новый вариационный принцип, эквивалентный первоначальному, но имеющий перед ним некоторое преимущество вследствие более простой структуры получающихся дифференциальных уравнений — они уже не второго, а первого порядка. В уравнениях все производные выделены, а не скрыты какими-либо алгебраическими операциями. [c.198]

Резюме. Канонические уравнения Гамильтона могут рассматриваться как решение задачи Лагранжа с подинтегральным выражением особо простой структуры. Переменными в этой вариацион юй задаче являются варьируемые независимо друг от друга qt и р,-. Подинтегральное выражение вариационной задачи приводится к нормальной форме [c.201]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...