Функция характеристическая Якоби

Из формулы (13.86) следует, что разложению подлежит только вторая часть характеристической функции, а именно функция и, которая и является, собственно говоря, возмущающей функцией нашей задачи. Эта функция 11, определяемая формулой (13.76), зависит только от взаимных расстояний между движущимися точками, которые в свою очередь являются функциями координат Якоби и вычисляются по [c.711]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Характеристическая функция Якоби [c.372]

Вместо главной функции Гамильтона введем характеристическую функцию Якоби. Характеристическая функция связана с главной функцией некоторым соотношением. Это соотношение совпадает с соотношением между механическим действием согласно Гамильтону и Остроградскому и механическим действием согласно Эйлеру и Лагранжу. Рассмотрим снова функцию [c.372]

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЯКОБИ [c.373]

Функция 3 после исключения из нее на основании интеграла анергии разности I — /о называется характеристической функцией Якоби. [c.374]

Характеристическая функция Гамильтона. В случае простого гармонического колебания мы смогли найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. В основном это удалось сделать потому, что S можно было разбить на две части, одна из которых содержала только q, а другая — только /. Мы сейчас увидим, что если старый гамильтониан не содержит явно t, то такое разделение всегда возможно. [c.308]

Эти уравнения можно рассматривать как полное решение поставленной задачи, которая, следовательно, будет разрешена, если достичь определения характеристической функции V V, как и S, удовлетворяет частному дифференциальному уравнению, единственного полного интеграла которого достаточно для решения задачи. Но для исследования этого уравнения мы отошлем читателя к мемуару Якоби, который подробно проанализировал случай свободной системы что касается случая системы с любыми связями, то он не представит никаких затруднений для лиц, которые усвоили аналогичные предложения, изложенные выше применительно к функции S., [c.566]

СлучАй характеристической функции, не зависящей от времени. При этом предположении для уравнения Гамильтона—Якоби можно искать полный интеграл в виде [c.302]

Наиболее замечательными случаями, в которых действительно удается указать такой полный интеграл, являются те, к которым приложим метод разделения переменных. Этим мы хотим сказать, что при характеристической функции, не зависящей от t, уравнению Гамильтона — Якоби (п. 38) [c.339]

Замечание 3. Выбор величин входящих в характеристическую функцию Гамильтона, в качестве новых импульсов является в некоторой степени произвольным. Постоянные o i, 2,..., Oin-i имеют, вообще говоря, определенного физического смысла, а просто представляют собой набор постоянных, появляющихся в процессе нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. [c.362]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

Якоби указывает, что случай, когда одновременно имеют место закон живых сил и принцип наименьшего действия, очень важен <(Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаются все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением, Гамильтон называет характеристической. [c.826]

Гамильтонова двухточечная характеристическая НЛП главная функция ). Уравнение Гамильтона — Якоби. [c.235]

В связи с двухточечной характеристической функцией S x, х) имела место некоторая путаница. Якоби казалось, что в уравнениях (72.7) требуется слишком много, именно, чтобы одна функция удовлетворяла двум дифференциальным уравнениям в частных производных. Для того чтобы выяснить этот вопрос, рассмотрим рассуждения, которые определяют функцию S x, х). [c.239]

Если дан полный интеграл уравнений Гамильтона — Якоби вида (77.4), то двухточечная характеристическая функция [c.253]

Действие Мопертюи. Двухточечная характеристическая функция для изоэнергетической системы. Однородный лагранжиан. Принцип наименьшего действия Якоби. Определим действие Мопертюи ) в изоэнергетической динамике в пространстве Q следующим [c.275]

Двухточечная характеристическая функция в пространстве событий и уравнение Гамильтона —Якоби. [c.410]

Подробное изложение принципа Даламбера, уравнений Лагранжа, вариационных принципов, вариации произвольных постоянных, оптики Гамильтона, характеристической функции, уравнений Гамильтона — Якоби, разделения переменных, интегральных инвариантов, систематическое интегрирование систем канонических уравнений, канонические преобразования, подстановки или производящие функции, эквивалентные системы. [c.442]

Далее следует интегрирование уравнений динамики, где кроме подробного и оригинального изложения теории последнего множителя Якоби, даются некоторые интересные интерпретации главной и характеристической функций. [c.658]

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М. В. Остроградский. В исследованиях по уравнениям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от времени. В работах этого цикла, независимо от Гамильтона и Якоби, он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахождению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегралы канонических уравнений можно найти дифференцированием полного интеграла уравнения в частных производных. [c.217]

При решении задачи методом Остроградского — Якоби отсюда приходим к следующему уравнению в частных производных, определяющему характеристическую функцию W [c.209]

Если характеристическая функция Н не содержит явно времени, то уравнение Гамильтона — Якоби можно несколько упростить. Действительно, сделаем в уравнении [c.312]

Поэтому на основании теоремы Якоби новые переменные а и р определятся канонической системой с характеристической функцией [c.318]

Для интегрирования системы (13.80) применим метод Якоби изменения произвольных постоянных в канонических переменных. Для этого представим характеристическую функцию Н в виде суммы двух частей, полагая [c.708]

После работы Штеккеля осталось найти случаи интегрируемости уравнения Гамильтона — Якоби, содержащего, помимо квадратов импульсов, также произведения импульсов с различными индексами, импульсами в первой степени и явно время в характеристической функции, т. е. представляло интерес уравнение Гамильтона— Якоби вида [c.816]

Присоединение временной координаты x к обобщенным координатам X ( =1, 2, 3), частицы существенно изменяет смысл вариационного принципа, из которого вытекают уравнения (2.133), так как теперь время, как и позиционные координаты, варьируется. Иначе говоря, вместо принципа Гамильтона — Остроградского применяется принцип Эйлера — Лагранжа [40]. Все координаты Ц=Ь 2, 3, 4) следует рассматривать как функции параметра 5, который не варьируется. Соответственно этому функция W вытекает из механического действия в форме Эйлера или Якоби и ее нельзя назвать главной функцией Гамильтона. Эта функция зависит от х и поэтому не является характеристической функцией Якоби [40]. Уравнение (2.134) аналогично уравнению Якоби, хотя содержит время как параметр. Чтобы в этом убедиться, заметим, что частные производ- [c.62]

Соответственно уравнение Гамильтона —Якоби для характеристической функции Гамильтона принимает вид [c.125]

Скобки Якоби. Вернемся к случаю, когда характеристическая функция Р не зависит явно от времени I. Пусть и / 2 — некоторые функции переменных и У1. [c.24]

Если предположить, например, что уравнения движения (4) для так называемой промежуточной орбиты с характеристической функцией Ну могут быть проинтегрированы, то согласно методу Гамильтона —Якоби сначала необходимо рассмотреть дифференциальное уравнение в частных производных [c.521]

Итак, согласно теореме о преобразованиях Якоби Ог, т) , т) также образуют каноническую систему с той же самой характеристической функцией Р, Наконец, линейная подстановка (9) и (9 ) очевидно оставляет неизменной каноническую форму. [c.598]

Само по себе это пе значит, что характеристический коэффициент действительно не обращается в нуль нри некотором а 6 с, но теперь 1 этот результат следует из полученного ранее заключения па стр. 167. Там было показано, что имеется только одна функция Li (всего их 2п + 1), для которой удовлетворяется j2 = f , т.е. для пеё соответствующий коэффициент устойчивости обращается в нуль. Это, вместе с результатом данного раздела, окончательно доказывает, что для любого данного порядка лишь характеристический коэффициент устойчивости может обратиться в пуль, и это происходит для некоторой конечной фигуры Якоби. [c.171]

Для опредслер ия характеристической функции W заменим в этом выражении обобщенные импульсы частными производными от характеристической функции но соответствующим координатам и получим следующее уравнение Остроград-ского — Якоби [c.388]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Эта характеристическая функция не зависит от а поэтому уравнение Гамильтона — Якоби напишется в виде [c.314]

Предиоложим, что характеристическая функция Ну для промежуточной орбиты не содержит время t явно. Тогда дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона —Якоби [c.522]