Уравнения Абеля-Якоби

Замечание. Уравнения Абеля-Якоби (7.10) также записывают в несколько иной форме [c.80]

Разделяя переменные, получаем уравнения Абеля-Якоби, определяющие эволюцию А1, А2 [c.81]

Переменные типа Ковалевской, приводящие систему к уравнениям Абеля-Якоби были указаны С.А.Чаплыгиным [174]. Они определяются формулами [c.133]

Случай Ковалевской является исторически первым случаем, в котором разделение переменных не может быть получено методом Гамильтона-Якоби, т.е. разделяющие переменные не находятся на конфигурационном пространстве. В этом случае, однако, имеется нетривиальное преобразование фазовых переменных, включающее как обобщенные координаты, так и импульсы, приводящие к уравнениям Абеля-Якоби и к разделяющимся переменным на плоскости. Возникающая при этом интегрируемая система. [c.307]

Его явное интегрирование было рассмотрено нами в [34, 197]. Сведение к уравнениям Абеля-Якоби при х ф О использует рассуждения Г. К. Суслова, предложившего свой метод интегрирования случая Ковалевской [163]. [c.308]

Описанная в этом параграфе технология введения канонических переменных типа действие-угол, использующая уравнения Абеля-Якоби, по существу развивает наблюдения Колосова, пытавшегося придать нетривиальным алгебраическим преобразованиям, предложенных Ковалевской и Чаплыгиным, разумный геометрический смысл с точки зрения канонических преобразований фазового пространства. [c.315]

Ландау-Лифшица 291 Уравнения Абеля-Якоби 80, 112 [c.377]

Комментарии. 1. Как правило, но отнюдь не всегда, для разделяющих переменных уравнения движения могут быть представлены в форме Абеля -Якоби (7.11). Известно, что любое решение для таких уравнений может быть представлено в тэта-функциях (более формально — линеаризировано при помощи преобразования Абеля на якобиане гиперэллиптической кривой). Со всеми подробностями такую линеаризацию впервые выполнила С. В. Ковалевская для открытого ею случая. Она воспользовалась при этом только что разработанной [c.81]

Задача о вдавливании кругового штампа и эквивалентная ему осесимметричная задача Герца решена в работе Г. Я. Попова [67 ] путем сведения заменой г=е , р = е" интегрального уравнения (2.24) к уравнению типа Винера — Хопфа, разрешимого методом факторизации (1, 3). Н. А. Ростовцев [89] получил точное решение задачи о вдавливании кругового штампа путем решения того же уравнения методом сведения к двум повторным уравнениям Абеля (1, 4, 2°). В работе Г. Я- Попова [72] для той же задачи указано точное решение еще и в виде ряда по многочленам Якоби. [c.298]

Действительно, как для известных проинтегрированных задач критические уровни набора интегралов могут быть определены из условия кратности корней в характеристическом полиноме уравнений Абеля-Якоби, так и непосредственно из условия падения ранга интегрального многообразия, что позволяет, видимо, с некоторым произволом восстановить разделяющее преобразование. Комплексные методы, основанные на изучении полнопараметрических лора-новских разложений, видимо, также эффективны [243]. Они, как и спектральные представления Лакса способны дать представление о спектральной кривой в гиперэллиптическом случае, на этом пути можно однозначно восстановить разделяющие преобразования и получить уравнения Абеля-Якоби (М. Адлер, П. ван Мёрбеке [186, 188], П. Ванек [279]). Однако с помощью такого подхода пока также не удалось проинтегрировать ни одной новой системы. [c.84]

B. А. Стеклов, М. А. Тихомандрицкий) вследствие своей сложности и невозможности верификации результатов. Работа [234], опубликованная в докладах Прусской Королевской Академии наук, кроме того, слишком кратка и также недоступна явной проверке, даже с использованием современных систем аналитических вычислений. В книге [209] приведены некоторые геометрические доводы, предположительно объясняющие идею замен Кёттера. Однако они не являются достаточными. Кроме того, вне зависимости от правильности работ [234, 236] отметим, что в них не содержится явного выражения для характеристических полиномов в уравнениях Абеля-Якоби через константы интегралов. Такое неявное решение практически делает его бесполезным, т. к. не позволяет построить бифуркационные диаграммы, выделить особозамечательные решения (см. гл. 2) и пр. [c.175]

Кроме дополнительного интеграла С. В. Ковалевская нашла замечательные переменные, преобразующие уравнения движения (1.1) к форме Абеля -Якоби (см. 7, гл. 1). При наличие такой формы дальнейшее интегрирование в тэта-функциях (двух переменных) может быть выполнено по некоторой общей схеме (см. [86]). Здесь мы приведем только соответствующую замену. Переменные Ковалевской в1, в2 определяются по формулам [c.112]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...