Условия граничные естественные

Условия граничные естественные 93 [c.404]

В общем случае моментные уравнения могут не иметь решения при таких граничных условиях. Возникает естественный вопрос, при какой приспособленной аппроксимирующей функции граничная задача оказывается корректной для дифференциальных моментных уравнений, соответствующих этой функции ). [c.125]

Для доказательства основного равенства (14.7) надо было использовать только (14.1). Граничное условие (14.16) обладает тем свойством, что если uq удовлетворяет ему, то для выполнения (14.7) не надо накладывать никаких условий на функции сравнения. Такое граничное условие называется естественным для данного функционала. Условие (14.16) естественное для [c.140]

Стационарные функционалы релеевского типа для собственных частот в задачах о замкнутой области подробно рассмотрены, например, в [7], там приведено также несколько примеров того, как сделать какие-либо граничные условия естественными. Общий метод неопределенных коэффициентов для построения функционалов, для которых заданные граничные условия являются естественными ( 16), ранее не применялся. Вариационный аппарат не применялся, по-видимому, для вычисления других собственных значений электродинамических задач. При построении стационарных функционалов в бесконечной области существенным является вещественность к. [c.282]

Применение численного метода к расчету приливов приводит к решению краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка. Если объектом исследования является окраинное море, то часть его границы жидкая и, как правило, данных наблюдений в точках этой части границы или нет вовсе, или их недостаточно. Поэтому в этих случаях обычно прибегают к интерполяции или к другим недостаточно надежным способам задания граничных условий, что естественно сказывается на достоверности результатов всего расчета. [c.83]

Подобное название можно обосновать тем, что для расчета конструкции большой длины при нагрузках, приложенных в начальном сечении, можно использовать только убывающие однородные решения и, чтобы решение было определенным и однозначным, число граничных условий в начальном сечении должно быть равно п. Как правило, во всех инженерных задачах граничные условия являются естественными. [c.62]

При нагружении трением в эксплуатации тонкие слои рабочих поверхностей находятся под многократным воздействием нормальных и тангенциальных напряжений и нагреваются до значительных температур. Особое значение в этих условиях имеют рабочие среды в зоне контакта. Естественно, что механические и физико-химические свойства тонких поверхностных слоев и основного металла резко отличаются. В качестве примера показан график изменения твердости по глубине для сечения вала двигателя, работающего при нормальных условиях граничного трения (рис. 5, а), и изменение твердости в сечении поверхностного слоя подшипника скольжения при развитии схватывания I рода (рис. 5, б). Отличия весьма [c.30]

Наряду с уравнениями Остроградского — Эйлера рассмотрим естественные граничные условия. Анализ естественных граничных условий (т. е. условий на свободном контуре) позволит решить вопрос о выборе системы внутренних усилий, не противоречащих принятой системе гипотез. [c.43]

В качестве граничных условий принимаются естественные положения об убывании концентрации на бесконечном расстоянии от источника [c.333]

С точки зрения формального механического подхода варианты а, р, V и б соответствуют выбору разных граничных условий, и естественно было ожидать, что одна и та же система, помещаемая в сосуды с различными условиями на границах, должна проявить себя по-разному. Однако специфика термодинамического подхода к исследованию системы N тел состоит в том. [c.37]

Отметим, что естественной переменной для дальней области является не сама радиальная координата г, а произведение р = rR. При введении этой переменной из уравнения (20,20) выпадает число R — в соответствии с тем, что при 1/R вязкие и инерционные члены в уравнении сравниваются по порядку величины. Число R входит при этом в решение только через граничное условие сшивки с решением в ближней области. Поэтому разложение функции v(r) в дальней области является разложением по степеням R при заданных значениях произведения р = rR действительно, вторые члены в (20,24), будучи выражены через р, содержат множитель R. [c.97]

При получении приближенного решения использовалось выражение (4.183) с известными функциями Vi(s). Естественно возникает вопрос, как эти функции получить. Очень эффективными для получения приближенных решений являются степенные функции, удовлетворяющие краевым условиям и условиям ортогональности. Изложим метод получения таких функций на примере стержня, показанного на рис. 4.11,а. Чтобы получить отличное от нуля выражение для безразмерного прогиба v, надо взять число слагаемых степенного ряда на единицу больше числа граничных условий [c.171]

Физические соображения, приводящие к условию А = 0 вне поверхности при диффузном рассеянии, аналогичны тем, которые упоминались в п. 17 в связи с аномальным скин-эффектом. Электроны в этом случае покидают поверхность совершенно беспорядочно, как если бы они приходили из пространства, в котором отсутствует поле. Вывод, основанный на теории возмущений, приводит к тому же результату (см. п. 22). Если происходит диффузное рассеяние, то матрица плотности для двух точек внутри тела будет та же, что и для бесконечной среды, но она, разумеется, обращается в нуль, если одна точка лежит внутри тела, а другая—снаружи. Таким образом, интегрирование нужно проводить по физическому объему. Так как в теорию входят производные от матрицы плотности, а матрица плотности терпит разрыв на поверхности, возможно, что нужно добавить некоторый поверхностный интеграл. Во всяком случае, такой интеграл необходим для удовлетворения граничных условий, если на поверхности задано Если же интеграл по объему удовлетворяет естественному граничному условию (/j = 0 на поверхности), то никакого поверхностного интеграла добавлять не требуется. Если объемный интеграл и приводит к отличному от нуля току, текущему к поверхности, то поток от поверхности не может быть полностью беспорядочным и нельзя удовлетворить всем условиям, положив А = 0 вне поверхности, В этом случае необходимо прибавить поверхностный интеграл. [c.723]

Естественно, что, решая на каждом этапе плоскую задачу для неоднородной упругой пластины, необходимо добиваться удовлетворения граничных условий на кромках пластины. [c.331]

Сформулированную краевую задачу заменим суммой двух задач (рис. 12.2,а,б). На рис. 12.2, а показана пластина без разреза, во всех точках которой, в том числе и на берегах воображаемого разреза 21, возникают растягивающие напряжения Оу — о. На рис. 12.2, б показано действие расклинивающих напряжений р (х) = — а, приложенных к берегам трещины. В сумме эти два состояния дают граничные условия (12.3). Естественно, что нас интересует второе состояние (рис. 12.2, б), поскольку именно оно дает возмущение в распределении напряжений у трещины. [c.371]

В дальнейшем из всей совокупности узлов требуется выделить узлы внутренние и граничные. В общем случае узлы сетки могут не попадать на границу области Г (рис. 3.6), поэтому в качестве граничных узлов используют либо дополнительные узлы, образующиеся при пересечении линий сетки с границей области, либо границу Г приближенно заменяют другой границей Г, проходящей через ближайшие к границе Г естественные узлы сетки (см. рис. 3.6), которые и принимают за граничные. Значения искомой функции во внутренних узлах находят в результате решения системы разностных уравнений, аппроксимирующих исходные дифференциальные уравнения, а в граничных узлах определяют из граничных условий. При решении нестационарных задач значение функции во всех узлах в начальный момент времени находят из начальных условий. [c.61]

Таким образом, для вариационного уравнения бУ = О уравнениями Эйлера—Остроградского являются дифференциальные зависимости Коши (5.76) и дифференциальные уравнения равновесия (5//7), а естественными граничными условиями — условия (5.78) и (5.79). [c.106]

При решении плоской задачи для прямоугольных пластин и длинных прямоугольных полос естественно использовать прямоугольные координатные оси, направленные параллельно сторонам пластины (рис. 9.5). В этом случае граничные условия (9.9) на прямоугольном контуре существенно упрощаются. Действительно, на вертикальных [c.240]

Суммируя изложенное, можно констатировать, что одинаковые безразмерные дифференциальные уравнения, описывающие группу гидродинамических процессов, вместе с безразмерными условиями однозначности (начальными и граничными условиями), а также одинаковые значения критериев подобия, являются необходимыми условиями механического подобия. Естественно, возникает вопрос о достаточности этих условий. В полном и общем решении этого вопроса имеются значительные трудности, поскольку это решение связано с вопросом о существовании и единственности решений общих уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. [c.132]

Из теории эллиптических уравнений (а к таковым принадлежат уравнения Ламе) известно, что решение является бесконечно дифференцируемой функцией во всех внутренних точках, если этим свойством обладает и правая часть. Более того, если потребовать, чтобы сама граничная поверхность была бесконечно дифференцируемой, краевые условия обладали достаточной гладкостью и, что очень важно, их характер не был различным на разных участках поверхности, то решение будет бесконечно дифференцируемым вплоть до граничной поверхности. Естественно, что при нарушении этих условий есть основания полагать, что решение в граничных точках будет обладать особенностью (например, его производная может оказаться неограниченной и т. д.). [c.305]

Наиболее просто решается вопрос в том случае, когда особенность решения обусловлена структурой краевых условий (например, когда какая-либо линия является линией разрыва краевых условий в напряжениях или когда приложена сосредоточенная сила или сосредоточенный момент). В этом случае особенность в решении возникает, даже если само уравнение граничной поверхности будет бесконечно дифференцируемой функцией. Приведем менее тривиальный пример. Допустим, что в плоском случае в окрестности неко орой точки граничный контур представим в виде двух дуг, пересекающихся под прямым углом. На одной стороне задано постоянное касательное напряжение, на другой оно тождественно равно нулю. Краевые условия здесь подобраны так, чтобы в угловой точке нарушался закон парности касательных напряжений. Естественно, что предположения, при которых закон парности выводился (имеется в виду дифференцируемость напряжений, о чем см. 1 гл. II), здесь не выполняются, что и приводит к неограниченности производных от смещений. [c.305]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Уравнения (XV. 109) и (XV. 110) отличаются только знаком при числе На. Тогда естественно предположить, что функция w удовлетворяет тому же уравнению и тем же граничным условиям, что и функция V, т. е. достаточно найти решение только для v. [c.429]

Система уравнений теории упругости и граничные условия представляют собою уравнения Эйлера и естественные граничные условия некоторой вариационной задачи. Построим следующий функционал [c.253]

Приравнивая нулю вариацию этого функционала и преобразовывая результат интегрирования по частям, мы получим естественные граничные условия, которые здесь не выписываются, и дифференциальное уравнение [c.527]

Другая вариационная постановка задачи кручения бруса базируется на принципе минимума потенциальной энергия системы (см. гл. V, 5). В этом случае приходим к функционалу /7, уравнением Эйлера—Остроградского которого является уравнение Лапласа (7.54) для функции кручения ф (оно получено из уравнений равновесия Ламе), естественными граничными условиями — граничные условия (7.55) для функции ф. Читателю, желаю1Цему ознакомиться с такой постановкой вариационной задачи кручения, можно рекомендовать книгу [35]. [c.179]

Отметим, что вариационный метод позволяет получать не только дифференциальные уравнения проблемы, но одновременно и недостающие 1) граничные условия. Эти граничние условия, называемые естественными, не обуславливаются внешними обстоятельствами и вытекают из сути самой вариационной задачи. Удовлетворение естественным граничным условиям необходимо для соблюдения экстремума функционала в той же мере, что и удовлетворение дифференциальному уравнению Эйлера. Совокупность наложенных извне и естественных граничных условий обеспечивает единственность решения вариационной проблемы —из поля экстремалей выделяется одна. [c.445]

Этот вопрос, по существу, нами уже обсужден в предыдущем параграфе (см. п. 3), где мы установили принцип термодинамической аддитивности и сформулировали процедуру статистического предельного перехода расхождение в результатах, обусловленное различным устройством границ системы, оказывается в относительном выражении порядка по сравнению с единицей, предельная статистическая процедура же вообще делает их неразличимыми. И это верно не только для стенок предложенных нами условных моделей, но и любых других, включая вполне физические (рис. 12), важно только то, что они выделяют равновесную термодинамичес- v кую систему (для неравновесных систем, в которых существуют подпитываемые через стенки внешними источниками энергетические и иные потоки и т.д., такого полного безразличия по отношению к граничным условиям уже, естественно, не возникает). [c.30]

Мы показали, как методом конечных элементов могут быть решены задачи двух различных типов. Вначале мы рассмотрели однородные граничные условия Дирихле и = 0. В этом случае все допустимые функции должны удовлетворять этим условиям. Затем мы рассмотрели однородные граничные условия Неймана ди/дп = 0. Здесь на допустимые функции никаких ограничений не накладывается, поскольку граничные условия являются естественными для функционала [c.54]

Кратко рассмотрим попытки аналитического решения задачи. Они основаны на использовании ряда упрощений реального процесса. Поэтому естественно, что получаемые результаты в основном носят качественный и частный характер. Так, Тиен [Л. 282] для взвесей с концентрацией, не превышающей единицу, при Re>10, Bi< l, для движения в круглой трубе при граничном условии < ст = onst и при отсутствии лучистого теплопереноса использует уравнение теплового баланса для частиц -и упрощенное уравнение энергии несущей среды [c.198]

Выбирая функцию, мы, естественно, должны следить за тем, чтобы она у,цовлетворяла 1 раничным условиям. В данном случае при 2 = 0 и z = l перемещение у обращается в нуль, и граничные условия, соблюдаются. Вместе с тем можно сказать, что выбранная функция не очень удачна, поскольку у" = onst. Это означает, что кривизна стержня при потере устойчивости постоянна, в то время как на самом деле она будет наибольшая посередине и равная нулю по концам стержня. [c.443]

Для расчета второй части ошибки, как правило, требуется проведение дополнительных исследований с целью определения оптимальных условий проведения эксперимента. Так, подавляющее большинство методов основано на решении одномерной задачи, в то время как на практике, естественно, используются образцы конечных размеров. В этом случае необходим ппедварительный анализ соответствующих двумерных задач, в результате которого можно найти такие соотношения между линейными размерами образца, при которых условия одномерности теплового потока удовлетворялись бы с требуемой точностью. Необходимо принять и ряд других мер для получения достоверных данных. В частности, при подготовке образцов для теплофизического эксперимента необходима тщательная обработка поверхностей для соблюдения граничных условий четвертого рода, так как термические сопротивления являются серьезным источником погрешности. К сожалению, не существует каких-либо общих критериев, позволяющих определить [c.128]

Возможность возникновения дисклинаций можно проиллюстрировать простыми примерами. Рассмотрим нематик в длинном цилиндрическом сосуде, причем граничные условия требуют перпендикулярности п поверхности сосуда. Естественно ожидать, что в равновесии вектор п в каждой точке будет лежать в плоскости поперечного сечения цилиндра и направлен по радиусу в этом сечении (как это изображено на рис. 27, а) очевидно, что на оси цилиндра направление п будет при этом неопределенным, так что эта ось будет дисклинацией. Если же граничные условия требуют параллельности направления п стенке сосуда в плоскостях его поперечного сечения, то установится распределение с векторами п, лежащими везде вдоль концентрических окружностей в этих плоскостях с центрами на оси цилиндра (рис. 27, б) и в этом случае направление п на оси будет неопределенным. [c.195]

Однако не очевидно, что если произвести интегрирование, то окажется равным нулю для тела произвольной формы. Когда делалось предположение о том, что границу можно ввести, положив Е = 0 всюду за границей, то считалось естественныл(, что / l = 0, однако. это может быть и не так. Если ]j Ф О, то к плотности тока па поверхности следует добавить ехце поправочный член. Это не представляет затруднений в случае плоской границы, для которого, кстати, только и удалось получить решения в явном виде. Мы убедимся в том, что аналогичные задачи возникают при выборе граничных условий для выражения Пиппарда для диамагнитного тока в сверхпроводнике. [c.707]

Теперь покажем, что уравнениями Эйлера—Остроградекого и естественными граничными условиями для функций щ, реализующих минимум функционала П, являются уравнения равновесия (4.12) и граничные условия (4.21). [c.100]

После выбора сетки дифференциальное уравнение (7.33) и граничное условие (7.13) тем или иным способом приближают алгебраическими соотношенвями в расчетных точках. При этом, естественно, можно получить только приближенные значения Ф -т- которые будем обозначать Функцию, определенную в узлах сетки и принимающую значения Ф . в точке называют сеточной функцией обозначим ее Ф. [c.184]

Если предположить, что параметр р = onst, то уравнение движения допускает решение, зависящее только от переменной ti (естественно, если от I не зависят граничные условия). Случаю Р = onst соответствует степенное изменение скорости на внешней стороне пограничного слоя [c.303]

Часто применяемые на практике балки таврового, двутаврового, зетового, коробчатого и других тонкостенных сечений могут рассматриваться как состоящие из длинных прямоугольных полос, соединенных между собой вдоль краев. Элементарная теория изгиба применительно к таким профилям может быть неточной более правильные расчеты получаются, если строить для каждой из полос решение плоской задачи теории упругости и эти решения сопрягать между собою. Таким образом, возникает естественная необходимость построения решения плоской задачи для длинного, вытянутого прямоугольника. Оговорка о том, что прямоугольник должен быть вытянут, существенна. Дело в том, что метод разделения переменных, который будет применен в этой задаче, не позволяет удовлетворить двум граничным условиям на каждой стороне. Поэтому при решении добиваются точного удовлетворения граничных условий на длинных сторонах, тогда как на коротких сторонах граничные условия выполняются лишь интегрально. Вспомним, что такая же ситуация встречается в теории кручения и изгиба. Пусть ширина балки есть 2Ь, длина I, оси координат выбраны так, что границами слун ат линии х, = 0, х, = I, Х2 = Ь. [c.355]

Этот функционал совершенно аналогичен известному функционалу Хеллингера — Вашизу варьируя напряжения, перемещения и мгновенные значения деформаций, мы получим уравнения наследственной теории упругости и граничные условия как уравнения Эйлера и естественные граничные условия для функционала (17.11.4). [c.604]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...