Дисперсионные кривые в кристалле

Дисперсионные кривые в кристалле. [c.252]

Дисперсионные кривые в кристалле 252 Дисперсия 111 Дифракция нейтронов 131 [c.402]

Мы здесь не будем входить во все уточнения, которые еще возможны при расчете дисперсионных кривых. В частности, для ковалентных кристаллов возможно в определенных границах учитывать силы, зависящие от углов. [c.149]

Еще более сложными оказываются дисперсионные кривые и спектр колебаний атомов трехмерного кристалла. Если число атомов базиса равно х, то общее число ветвей колебаний со (к) будет равно 3(х. Из них для трех ветвей частоты со (к) при к- -0 обращаются в О, а для остальных Зр, — 3 ветвей частоты со (к) при к- -0 в нуль не обращаются. Соответственно первые три ветви называются акустическими, остальные—оптическими. Общий вид кривых дисперсий для акустических и оптических ветвей часто бывает схож с видом ш( ) для одномерного случая, хотя количество ветвей для трехмерного случая больше. Однако аналогия наблюдается не всегда для сложных решеток и дальнодействующих межатомных взаимодействий экстремумы (к) могут наблюдаться и при значениях к, не совпадающих с центром или границами зоны Бриллюэна [45]. [c.217]

На рис. 10.14 приведена найденная таким способом зависимость со q) для кристалла алюминия, а на рис. 10.15 — для жидкого гелия. Отметим, что вид дисперсионной кривой на рис. 10.15 был предсказан Л. Д. Ландау в 1947 г. на основе анализа термодинамических свойств жидкого гелия. [c.560]

Результаты, полученные для одномерной цепочки, могут быть обобщены для трехмерного кристалла. Для кристаллов с решеткой Бравэ, имеющих в элементарной ячейке один атом, как и для простых цепочек, существуют только акустические колебания. При этом каждому волновому вектору q соответствуют три колебания одно продольное с частотой и два поперечных с частотами сог и s Дисперсионные кривые для этих колебаний показаны на рис. 4.2, ё. [c.128]

Рис. 5.2. Расщепление энергетических уровней и образование энергетических зон в кристалле (а) характер дисперсионных кривых для электронов в кристалле (б)

Из рассмотренных примеров становится ясно, что эффективная масса электрона не является массой в обычном смысле слова. Введение ее оправдывается удобством описания поведения электронов в периодическом поле кристалла на тех участках дисперсионной кривой Е (k), на которых т — величина постоянная. Такими участками являются, как мы видели, дно и потолок энергетической зоны. К счастью, в подавляющем большинстве случаев приходится иметь дело именно с электронами, располагающимися у дна и потолка зоны. Это и определило широкое использование понятия эффективной массы в теории твердого тела. [c.152]

Рис. 1. Вверху дисперсионные кривые показателя преломления воздуха, алмаза и среды пз в окрестности полосы поглощения Хз, Внизу спектры отражения границы сред П1 и Из А — алмаз — ионный кристалл, ф > 60 в — воздух — ионный кристалл, ф = 0°.

В действительности определение теплопроводности в реальных случаях, как станет ясно из дальнейшего, связано со многими другими сложностями, поэтому бессмысленно пытаться вычислять х по формуле (4.8) с точным спектром и кривой дисперсии кристалла. Мы потеряем немного, если на этом этапе воспользуемся представлениями теории Дебая, которые помогут нам существенно упростить формулу (4.8). В модели Дебая для каждой ветви фононного спектра предполагается простое линейное дисперсионное соотношение в форме (для реального кристалла это — [c.40]

Если можно определить распределение интенсивности как функцию периода обратной решетки и (или изменения импульса) и изменения частоты V (или энергии падающего излучения), то можно вычислить форму дисперсионной кривой. Это можно выполнить в случае дифракции нейтронов, поскольку энергия падающих тепловых нейтронов порядка 0,02 эВ, а волны тепловых колебаний в решетке имеют энергии такого же порядка. Изменение энергии падающих нейтронов достаточно велико и может быть определено с помощью рассеивающего кристалла при анализе распределения энергии (или волнового спектра) рассеянных нейтронов. Для [c.260]

Были проведены тщательные эксперименты по определению коэффициента поглощения для чистых кристаллов германия и кремния вблизи края собственной полосы поглощения [100]. Эти эксперименты показали хорошее совпадение с теоретическими зависимостями (4.104—4.108). При этом для германия основной вклад в поглощение вносят фононы акустической ветви (см. часть 1, 4.2), а для кремния как акустической, так и оптической ветвей дисперсионной кривой. [c.216]

В заключение напомним, что наще рассмотрение позволяет установить только критические точки, обусловленные симметрией. Остальные, случайные, критические точки возникают из конкретного хода фононных дисперсионных кривых, обусловленного видом силовых постоянных для данного кристалла. Такие динамические критические точки из соображений симметрии найти нельзя. Однако одновременно с критическими точками, обусловленными симметрией, они тоже должны удовлетворять всем соотношениям Морса. [c.321]

Здесь мы рассмотрим применение изложенной в т. 1, 107, теории критических точек в колебательных спектрах к кристаллам с пространственной группой алмаза. Систематически исследуя этот вопрос, мы прежде всего установим и классифицируем симметрический набор критических точек, определяемых только из свойств симметрии. После этого можно использовать несколько подходов. Если имеются точные данные по неупругому рассеянию нейтронов, то из них можно определить дополнительные критические точки. Эти динамические критические точки необходимо классифицировать в соответствии с общей теорией. Если экспериментальные данные по неупругому рассеянию нейтронов отсутствуют, но имеются рассчитанные дисперсионные кривые, то дополнительные критические точки можно установить на основании этих расчетов. Наконец, можно использовать теорию Морзе, чтобы определить, выполнены ли топологические условия, связывающие число и тип критических точек на каждой ветви. Если условия Морзе не выполнены, то данная ветвь должна содержать дополнительные критические точки. Однако их положение остается при этом неопределенным. Теорию Морзе молено использовать скорее как ориентир для поиска таких точек, чем для установления их точного положения, которое следует искать путем интерполяции или экстраполяции имеющихся результатов. Насколько известно автору, за исключением нескольких модельных расчетов с произвольными силовыми постоянными [89—90], теория Морзе до сих пор не нашла [c.159]

На фиг. 5—8 приведены последние данные по дисперсии фононов в кристаллах со структурой алмаза германии (фиг. 5 [11] и фиг. 8 [91]), кремнии (фиг. 6 [11]) и алмазе (фиг. 7,а и 7,6 [87, 93]). На всех фигурах сплошными кривыми показаны результаты расчетов, выполненных в оболочечной модели, а точками — результаты экспериментов. Анализируя эти данные, мы замечаем прежде всего, что для алмаза дисперсионные кривые на фиг. 7, а и 7,6 существенно отличаются от кривых для других кристаллов, в частности порядком состояний в точке для Ое и 51 (фиг. 5, б, 8) дисперсионные кривые подобны друг другу. [c.164]

Алмаз. Дисперсия фононов в алмазе недавно была измерена методом неупругого рассеяния нейтронов [87] результаты приведены на фиг. 7,6. До сих пор эти результаты не были использованы для детального анализа критических точек в двухфононных спектрах. Выше мы видели, что фононные дисперсионные кривые расположены в алмазе в существенно ином порядке, чем в двух других рассматриваемых кристаллах той [c.179]

Дисперсионные кривые поперечных нормальных волн, включая области ш Шкр, а также другие характеристики этих волн в изотропных пластинах в настоящее время хорошо изучены [45]. Для создания дисперсионных линий задержки, фильтров и других приборов акусто-электроники поперечные поверхностные волны на частотах 10 —10 Гц сейчас исследуются и в пластинках из кристаллов [46, 47]. [c.41]

Перестройка дисперсионных кривых при переходе через критическую температуру. В предыдущих разделах этого параграфа исследовалось прохождение света фиксированной частоты через кристалл при определенной температуре. Было показано, что в области резонанса при очень низкой температуре интенсивность поглощения света в кристаллах с широкими экситонными зонами зависит от толщины кристалла не по экспоненциальному закону. При повышении температуры или при удалении от резонанса изменение интенсивности определяется экспоненциальной функцией. Теперь мы исследуем более детально условия перехода от одного закона к другому при изменении частоты падающего света и температуры. При изложении мы будем следовать работе Мясникова и автора [373]. [c.472]

Рис. 5.176. Экспериментальные дисперсионные кривые зависимости V от Я" для алмаза в направлениях [100] и [1И], где /С — приведенный волновой вектор в единицах я/а. Обращает на себя внимание существование оптической и акустической ветвей, характерное для кристалла с двумя атомами (даже одинаковыми) на примитивную ячейку. Правая половина рисунка относится к фононам, распространяющимся в направлении [100], левая — к распространяющимся в направлении [111]. В указанных направлениях распространения поперечные моды являются дважды вырожденными имеются два независимых направления поляризации для каждой точки кривых ТА я ТО [24].

До сих пор, рассматривая распространение волн в кристаллах, мы не принимали во внимание дискретную структуру кристаллической решетки. Так можно поступать до тех пор, пока длина акустической волны X остается много большей, чем постоянная решетки а, или до частот 100 ГГц. Выше этого предела дисперсионные кривые, получаемые из уравнений классической теории упругости, уже плохо согласуются с микроскопическими расчетами, базирующимися на уравнениях динамики решетки. Поэтому, если оставаться в рамках феноменологических моделей механики сплошных сред, то уравнения состояния кристалла необходимо модернизировать для учета дискретности среды, макроскопически проявляющейся в нелокальности ее реакции на приложение переменного в пространстве внешнего воздействия. Это можно сделать с помощью так называемой нелокальной теории упругости [19], представляющей собой феноменологическое обобщение классической механики сплошной среды. Одно уравнение состояния элемента сплошной среды, описывающее как пространственную, так и временную нелокальность, уже приводилось нами при рассмотрении релаксационных процессов. Если не учитывать временную нелокальность (которая, в частности, ответственна за диссипацию энергии в среде), то для твердого тела нетрудно получить следующее уравнение состояния (нелокальный закон Гука) [c.231]

Итак, вблизи дипольных линий в кубических кристаллах учет пространственной дисперсии, подобно тому как это имеет место в изотропной среде (см. п. 7.2), в ряде случаев может привести к заметному изменению хода дисперсионных кривых (что связано с появлением новой волны), а также к резкой анизотропии оптических свойств следовательно, эти эффекты пространственной дисперсии отнюдь не малы. [c.199]

До настоящего времени отсутствуют экспериментальные исследования эффектов, связанных с новыми волнами в гиротропных кристаллах (см. о них 10). В этой связи следует отметить, что такие исследования при низких температурах представляли бы большой интерес, поскольку наличие в кристалле трех волн, имеющих одну частоту и различные показатели преломления, коэффициенты поглощения и поляризацию, при благоприятных условиях, как это показано в п. 10.5 и п. 10.8, должно приводить к целому ряду эффектов. В частности, в п. 10.5 указывалось, что правее точки поворота ) (см. рис. 3) для левых волн, если пренебречь поглощением, начинается область полного отражения (/ = 1). Если пространственная дисперсия не учитывается, область сильного отражения в диэлектриках располагается правее (в шкале частот) резонанса. Поэтому обнаружение сильного отражения левее резонанса и вне линии поглощения являлось бы подтверждением указанного на рис. 3 хода дисперсионных кривых для гиротропного кристалла в окрестности [c.286]

Три из Зр ветвей — акустические они описывают колебания, частоты которых линейно стремятся к нулю с уменьшением к в пределе больших длин волн. Остальные 3 (р — 1) ветвей — оптические их частоты не обращаются в нуль в длинноволновом пределе. Эти моды можно рассматривать как обобщение на случай кристалла трех трансляционных и 3 (р — ) колебательных степеней свободы р-атомной молекулы. Типичные дисперсионные кривые для р = 2 показаны на фиг. 22.14. [c.70]

См. также Дефекты в кристаллах. Дисперсионная кривая II 61 [c.395]

Напомним, что дисперсионные кривые для частот колебаний в кристалле имеют вид, показанный на фиг. 8.1. [c.252]

Качественное подтверждение этой теории было получено в работе Бродина, Давыдовой и Страшниковой [374], в которой исследовалось двупреломление в кристаллах dS в области экситонной полосы Ап-1 в температурном интервале 4 —80°К. Было обнаружено, что в лепестковых монокристаллах толщиной 0,18 и 0,33 мкм, закрепленных бесконтактным способом, в двупрелом-лении в области температур 4,2—15°К проявляются обе нормальные водны. Показатель, преломления одной из- них при приближении слева к резонансной частоте достигает очень большого значения ( 11). Справа от резонансной частоты проявляется вторая волна со своим значительно меньшим показателем преломления. При температуре, превышающей 50°К, проявляется только одна волна и кривая дисперсии имеет такой же вид, как и при отсутствии дисперсии. Таким образом, было установлено, что критическая температура преобразования. дисперсионных кривых в очень чистых кристаллах сернистого кадмия лежит в области 25 —50°К. [c.478]

Дисперсионные кривые. Электроны, перемещающиеся по кристаллу, должны иметь волновую функцию, во многом похожую на голновую функцию свободной микрочастицы (3.46), представляющую собой бегущую волну с постоянной амплитудой. Такая микрочастица с равной вероятностью может быть обнаружена в любой точке просараиства, что является, по сути дела, следствием однородности этого пространства, эквивалентности всех его точек. [c.146]

Н. р. н. в кристаллах. Наиб, успешно метод Н. р. н. используется при исследовании колебаний кристаллической решётки. Он позволяет определить фононные дисперсионные кривые и плотность фононных состояний. Кристаллы обладают трансляц. симметрией, и поэтому малые колебания атомов в них характеризуются определёнными значениями волнового вектора д, характеризующего пространств, когерентность смещений атомов решётки. В результате этого зависимость сечения когерентного (однофононного) рассеяния нейтронов от их энергии содержит резко выраженные пики, положение к-рых определяется законами сохранения энергии /гео = в импульса йО Н(д Н), где (Од,(д) — [c.343]

В далёких УФ- и ИК-областях, в к-рых диэлектрики характеризуются сильным поглощением (х > 1), козф. О. с. достигает значений Л > 0,9. В этих спектральных областях происходит резкое изменение дисперсии показателя преломления напр., для ионных кристаллов значения п изменяются от 0,1 до 10. Вследствие аномальной дисперсии (к-рая всегда есть в области сильного изменения х) появляются две характерные точки пересечения кривых дисперсий граничащих сред, для к-рых ЯJ — я,, а показатель поглощения для одной из этих точек X < 0,1, а для другой х > 1. В результате и в спектре отражения наблюдается минимум в области малого поглощения (х < 0,1) напр., для кварцевого стекла вблизи оси. полосы поглощения А, = 9 мкм величина Д — 0,00006 для х > 1 Л — 0,75. На рис. 1 (вверху) изображены дисперсионные кривые я(Х) для двух первых оптически прозрачных сред — воздуха ( (В = 1) и алмаза (nJg ) и для второй среды в окрестности её полосы поглощения к). Для воздуха и второй среды при равенстве Ящ— г (точки 1 в. 2) наблюдается минимум в спектре отражения (рис. 1, внизу), когда Хг < 0,1 на длине волны 1. Для алмаза и второй среды при равенстве Пу, (точки 3 в 4) минимум в [c.510]

Измерение диффуто о рассеяния рентгеновских лучей позволяет изучать тепловые колебания в кристаллах. Дисперсионные кривые, построенные по рентг. данным, дают возможность определить упругие константы кристалла, вычислить константы межатомного взаимодействия, рассчитать фононный спектр кристалла. [c.378]

Аналогичные расширение и смещение линии рамановского рассеяния света наблюдались при уменьшении размера микрокристалликов BN [1002]. Однако авторы подчеркивают, что изменение размера кристалла оказывает только косвенное влияние на рамановские частоты через дисперсионные кривые фононов. Действительно, рассеяние света связано с возбуждением тех фононов, волновые числа Qi которых лежат в области = 2n/L i = x, у, z), где — волновое число падающего излучения, L — размер кристалла. Это значит, что с уменьшением Li в процесс рассеяния света вовлекается все более широкая область зоны Бриллюэна. Следовательно, если дисперсионные кривые фононов значительно изменяются вблизи О, то можно ожидать размерную зависимость рамановского рассеяния. Если же дисперсионные кривые фононов являются плоскими, то размерные эффекты не будут замечены. Авторы работы [1002] приводят пример смещения сильной рамановской линии к низким частотам при уменьшении размера частиц Si в согласии с ходом дисперсионных кривых фононов. [c.311]

Кроме того, поглощение так воздействует на кривую отражений для кристалла в прошедшем пучке (т. е. на экстинкционный контур для светлопольного изображения изогнутого кристалла), что ее симметрия пропадает. Это видно уже из присутствия асимметричного синусного члена в уравнении (8.30) и следует также из вида дисперсионной кривой на фиг. 8.3. Мы установили здесь, что при угле Брэгга одинаково возбуждены обе ветви дисперсионной поверхности, но при таком падении пучка, когда L находится слева от Lq, преобладает ветвь 1, а когда L находится справа от Lq, преобладает ветвь 2. Таким образом, поглощение делает две ветви неэквивалентными, и интенсивности по обе стороны угла Брэгга будут отличаться. [c.205]

Прежде чем рассмотреть металлическую модель в приложении к полупроводниковым жидкостям, полезно сделать обзор ее применений к описанию кристаллических металлов. В отсутствие взаимодействия с кристаллическим полем невозмущенная энергия Эффекты дальнего порядка в кристалле приводят к обращению в нуль всех фурье-компонент У (к) потенциала взаимодействия, кроме компонент при волновых векторах С, соответствующих брэгговским отражениям >. Такое взаимодействие приводит к разрывам дисперсионной кривой (к) на брэгговских плоскостях, как это показано на рис. 5.2, а. Вследствие этого плотность состояний М(Е) испытывает относительно малые возмущения по отношению к параболической форме (соответствующей свободным электронам), которые несколько сдвигают состояния вблизи брэгговских плоскостей в сторону больших или меньших энергий, как показано на рис. 5.2, б. Если энергия Ферми Ef лежит в этой области, т. е. вблизи Ео(С12) =кЩЩт, то мы имеем некоторое понижение энергии У(С) , соответствующее изменению полной площади под кривой М Е) ниже /. Величина А является структурно-чувствительной, а именно при постоянном давлении искажение кристалла является предпочтительным, если при этом АН увеличивается. Этот механизм объясняет отклонение от идеального отношения с/а в гексагональных плотноупакованных металлах, а также искажение простой кубической симметрии в других простых металлах [127]. [c.84]

Сингулярные критические точки были идентифицированы как в измеренных, так и в рассчитанных дисперсионных кривых для различных кристаллов со структурой алмаза. Ранее мы видели, что сингулярные критические точки, характеризуемые разрывной первой производной только в одном направлении, вносят разрыв в первую производную функции распределения частот dg ( i)jd(u, если критическая точка является максимуигом или минимумом (см. [91, в частности фиг. 2] и [92, табл. VI]). Другие сингулярные случаи, например разрывы в более чем одной первой производной для максимума Рз или минимума Ро или случаи седловых точек Рь Рг или F, F2 с одной или более разрывными производными, вносят разрывы в производные более высокого порядка функции ( ). Более детально обозначения поясняются ниже. [c.160]

Двухфононные дисперсионные кривые для нескольких щелочногалоидных кристаллов вычислены в работе [85] с использованием тех же моделей, что и для однофононной дисперсии. Они приведены для КаС1 на фиг. 19 соответствующая двухфононная функция распределения частот показана на фиг. 20. Отметим снова соответствие в обозначениях критических точек на этих двух фигурах. [c.203]

Зависимость коэффициента усиления и фазовой скорости рэлеевской волны от дрейфового поля и параметров кристалла (кривые усиления). На рис. 3.15, а, б изображены кривые усиления рэлеевской волны в кристалле GaAs, рассчитанные на основе дисперсионного уравнения (3.114). Подвижность электронов [х считалась равной 4000 В 1-см -с Т = 300 К, фактор ловушек / был принят равным единице. При этом связь и о (в кВ) давалась следующим простым соотношением = 1—14 Е -Кривые рассчитаны для двух случаев сод = оо (рис.3.15, а) и сод = со (рис. 3.15, б). В каждом из случаев рассчитан ряд кривых, соответствующих разным значениям отношения сос/о) электропроводности кристалла к частоте. Для сравнения на рис. 3.16, а, б приведены кри- [c.229]

Другие виды рассеяния. Впервые рассеяние на поляритонах (РП) наблюдалось в кристалле фосфида галлия Генри и Хопфил-дом в 1965 г. [102], на два года раньше ПР. Заметим, что в 1966 г. при исследовании РП в окиси цинка [103] была сделана неудачная попытка обнаружить рассеяние на поляритонах верхней ветви дисперсионной кривой (т. е. по нашей терминологии ПР, которое в этом кристалле удалось обнаружить лишь в 1975 г. [79]). Обзор обширной литературы по РП можно найти в [104, 105]. [c.41]

При больших значениях волнового числа дисперсионная кривая приближается к границе зоны Бриллюэна по горизонтали точно так же, как это обычно имеет место для энергетических зон электронов. Можно еше отметить, что волновое число, лежашее вне зоны Бриллюэна, определяет, согласно (4.1), такие же смешения, как и приведенное волновое число, лежащее в зоне Бриллюэна. Полученные дисперсионные кривые определяют полную систему колебаний, распространяющихся в направлении [1001 рассматриваемого кубического кристалла. [c.416]

Роль пространственной дисперсии в благоприятных слу-Ч31Х возрастает вблизи линий поглощения (резонансов), так К.1К при этом возрастает показатель преломления ге, а значит и параметр a k—anl. Именно такой случай хорошо известен для магнитоактивной плазмы (см. [6], 12). При этом возникают не только количественные изменения дисперсионных кривых, но и появляются гговые нормальные волны (при отсутствии пространственной дисперсии в анизотропной среде в данном направлении распространяются лишь две нормальные волны с данной частотой кроме того, в отдельных случаях может появляться продольная волна с определенной частотой и с равной нулю групповой скоростью). Появление новых волн возможно и в конденсированной среде. К их числу относятся уже упоминавшиеся продольные волны (для частот, на которых они отсутствуют, при пренебрежении пространственной дисперсией) и третья волна в гиротропной среде [5]. В негиротропной среде в принципе также могут появиться новые волны (помимо продольной), как это, по сути дела, следовало еще из теории нормальных электромагнитных волн в кристаллах, развитой Борном в 1915 г. (см. [14], стр. 108—122). В конкретной форме это заключение было сделано в работе [15] в применении к области экситонных линий. Однако в этой работе не учитывалось поглощение. Между тем вблизи дипольных линий, о которых только и шла речь в [15], поглощение в известных случаях столь сильно, что практически смазывает влияние пространственной дисперсии [5, 16, 17]. В этой связи попытки объяснить опыты с тонкими пленками антрацена [18, 19] влиянием новой волны, по всей вероятности, ошибочны [16, 17, 20]. Возможно, что наблюдавшиеся осцилляции интенсивности света, прошедшего через пленку, с изменением ее толщины объясняются зависимостью показателя [c.18]

Реальный кристалл представляет собо11 трёхмерную периодич. решётку, в к-рой по каждому направлению может распространяться одна продольная Ь и две поперечные 6 и 8 волны и соответственно имеются три дисперсионные кривые (рис. 3). В реальных [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...