Решетки Бравэ

Рис. 1.П. Ячейка Вигнера—Зейтца для объемно-центрированной кубической решетки Бравэ. Усеченный октаэдр

В начале гл. 1 было показано, что свойство примитивности (наличие одного узла на объем элементарной ячейки) основная элементарная ячейка разделяет с бесчисленным множеством других. Поэтому всегда можно выбрать такую примитивную ячейку, кото- рая обладала бы полной симметрией решетки Бравэ. Ю. Вигнером и Ф. Зейтцем был предложен один из приемов построения таких ячеек. При построении ячейки Вигнера — Зейтца произвольно выбранный узел решетки Бравэ (рис. 1.10—1.12) соединяют прямыми линиями с ближайшими эквивалентными узлами затем проводят плоскости, перпендикулярные этим прямым и проходящие через их середину. В результате получают замкнутую область пространства с центром в выбранном узле, все точки которой лежат ближе к не-2 19 [c.19]

Рекомбинация носителей 242 Решетки Бравэ 18 [c.383]

Кристаллическая решетка зоны Бриллюэна. В основе представления о кристаллической решетке лежит понятие решетки Бравэ, образуемой пересечением трех семейств параллельных и равноотстоящих плоскостей. Точки пересечения называют узлами решетки они определяются векторами [c.129]

Решетка Бравэ воспроизводится последовательными трансляциями узла вдоль векторов й,-. Заметим, что на практике элементарную ячейку обычно выбирают таким образом, чтобы она отражала симметрию, которой обладает данная решетка. Такая ячейка может иметь более одного узла. [c.130]

Решетка обш,его типа может быть представлена в виде двух (или более) одинаковых решеток Бравэ, которые вставлены друг в друга и подобно ориентированы. На рис. 6.1 показана двумерная решетка, образованная двумя квадратными решетками Бравэ, взаимное расположение которых [c.130]

Акустические и оптические нормальные колебания. Перейдем от решетки Бравэ к решетке с ц базисным, векторами (элементарная ячейка решетки содержит ц узлов). Полное число атомов N, число ячеек N -, Ni=N/[i. Рассматриваемая решетка состоит из вложенных друг в друга геометрически одинаковых решеток Бравэ. [c.133]

При расчете методом Эвальда предполагается, что в узлах решетки Бравэ расположены точечные положительные заряды, а отрицательный заряд распределен равномерно по всему кристаллу, так что система зарядов в целом электронейтральна. Для вычисления электростатической энергии ионных кристаллов (например, типа Na ) находится суперпозиция двух решений, одно из которых соответствует точечным положительным, а второе — точечным отрицательным зарядам, смещенным относительно положительных на расстояние а/2. [c.30]

Как было видно в гл. 1, кристаллическая решетка помимо точечной симметрии обладает и трансляционной симметрией. Это означает, что решетка преобразуется в себя и с помощью преобразований, отвечающих точечной группе симметрии, и с помощью трансляционного переноса. Полная группа движений, совмещающих решетку с собой, содержащая и операции точечной симметрии и переносы, называется группой Бравэ, бесконечная решетка, выводимая из одной точки группой Бравэ — решеткой Бравэ [1. 24]. [c.147]

Рис. 6.6. Двумерные решетки Бравэ (помимо косоугольной с углом ф 60° и ф= =90°), а — квадратная, б — гексагональная, в — прямоугольная, г — центрированная прямоугольная

Из ковалентных (и близких к ним) кристаллов упомянем только структуру алмаза и сфалерита. Первую из них можно рассматривать как ГЦК решетку Бравэ с базисом из двух атомов С, расположенных в точках с координатами [[ООО]], [[1/4, 1/4, 1/4]], а вторую —как ГЦК решетку Бравэ с базисом, состоящим из атома (для соединения ZnS) Zn, расположенного в точке с координатами [[ООО]], и S в [[1/4, 1/4, 1/4]]. В обоих случаях в элементарной ячейке по 8 атомов. В структуре типа алмаза их координаты [[ООО]], [[1/2, 1/2, 0]], [[1/2, О, 1/2]], [[О, 1/2, 1/2]], П1/4, 1/4, 1/4]], [[3/4, 3/4, 1/4]], [[3/4, 1/4, 3/4]], [[1/4, 3/4, 3/4]]. В структуре сфалерита координаты атомов Zn суть [[ООО]], [[1/2, [c.175]

Определив из эксперимента спектр значений di и подобрав совокупность Ни, Нц, Hsi), отвечающую найденному спектру d можно найти параметр элементарной ячейки а и тип решетки Бравэ. Это означает, что определенная информация о структуре кристалла может быть получена даже без измерений интенсивности рассеяния, а по одним лишь положениям дифракционных максимумов. [c.186]

Рассмотрим более подробно внутреннюю структуру кристаллов. Для ее описания удобно воспользоваться понятием кристаллической решетки. Различают простые решетки (решетки Бравэ) и решетки с базисом. [c.12]

Результаты, полученные для одномерной цепочки, могут быть обобщены для трехмерного кристалла. Для кристаллов с решеткой Бравэ, имеющих в элементарной ячейке один атом, как и для простых цепочек, существуют только акустические колебания. При этом каждому волновому вектору q соответствуют три колебания одно продольное с частотой и два поперечных с частотами сог и s Дисперсионные кривые для этих колебаний показаны на рис. 4.2, ё. [c.128]

Пространственные решетки (ПР), или решетки Брава, — наиболее общий (абстрактный) образ внутреннего строения кристалла (рис. 5. I). ПР получаем, если исключим все особенности химической природы составляющих его частиц — форму, размер и состав молекул,, атомов или ионов и вместо частиц будем рассматривать точки (узлы решет и) — центры тяжести частиц. По взаимному расположению узлов ПР все многообразие кристаллов сводится к 14 типам. ПР, или решетка Бравэ, характеризуется прежде всего группой трансляций (три) или параллелепипедом повторяемости — элементарной ячейкой (ЭЯ) (см. рис. 5.1). Параллельным переносом (трансляцией) элементарной ячейки в трехмерном пространстве и строят ПР. Трансляция — одна из операций симметрии, поэтому решетки Бравэ можно называть также трансляционными группами . Симметрия относительного располо- [c.95]

По форме ЭЯ и соответственно по совокупности элементов симметрии ПР делятся на семь сингоний, или систем (рис. 5.2, табл. 5.1 и 5.2). Эти сингонии в свою очередь подразделяются на три категории, различающиеся но числу единичных направлений высшая (кубическая), средняя (гексагональная, тетрагональная, ромбоэдрическая), низшая (ромбическая, моноклинная, триклинная) сингонии. Из 14 решеток Бравэ семь простых (или примитивных), т. е. таких, которые строятся осе-выми трансляциями к узлам в вершинах параллелепипедов повторяемости, а семь сложных, т. е. таких, которые строятся трансляциями к точкам, находящимся либо в центрах граней ЭЯ (базо- и гранецентрированные ячейки), либо в центре объема ЭЯ (объемноцентрированные ячейки, см. рис. 5.2). Сложные ячейки характеризуются так называемым базисом. Базис представляет координаты минимального числа узлов, трансляцией которых строится пространственная решетка (табл. 5.3). В применении к кристаллическим структурам сложных веществ определение базиса включает координаты частиц с указанием их химической природы. Целесообразно оставить понятия пространственная решетка или кристаллическая решетка за решетками Бравэ (абстрактный, математический образ кристалла), а для действительных струк- [c.96]

Кристаллические структуры чистых металлов (а также многих металлических сплавов— твердых растворов) имеют атомный характер и узлы решетки Бравэ представляют центры атомов (точнее, положительных ионов) — частиц, имеющих сферическую симметрию. Исходя из принципа плотной шаровой упаковки, действующего в случае ионной и металлической химической связи, определяется атомный (металлический) радиус как половина расстояния между центрами соприкасающихся атомов (ионов) (табл. 5.4). Простой расчет позволяет оценить коэффициент заполнения, т. е. долю (в процентах) объема решетки кристалла, занятого атомами или ионами (см. табл. 5.3). [c.98]

У металлов наиболее распространены решетки, отличающиеся высокой компактностью I- и Г-решетки кубической сингонии (о. ц. к. и г. ц. к.), а также гексагональная компактная решетки (гекс. к) — рис. 5.3. В табл. 5.3 наряду с кристаллическими структурами атомного характера, в которых каждому узлу решетки Бравэ соответствует один атом (ион), включены две кристаллические структуры — кубическая типа алмаза и гексагональная компактная, которые приводятся к решеткам Бравэ, если узлы взять в центрах тяжести пары соседних атомов. [c.98]

ЧИСЛО основных периодов кристаллической решетки, называют решеткой Бравэ кристалла. Таким образом, каждый атом базиса определяет свою решетку Бравэ, а вся сложная кристаллическая решетка как бы состоит из вдвинутых друг в друга ji простых решеток Бравэ. [c.23]

Для триклинной сингонии (Г(г) узлы решетки Бравэ располагаются в вершинах параллелепипеда с произвольными сторонами и углами. [c.24]

ТРАНСЛЯЦИОННЫЕ ГРУППЫ — РЕШЕТКИ БРАВЭ (СМ. РАЗДЕЛ б СПРАВОЧНИКА) [c.20]

Суш,ествуют решетки обш,его типа с базисом. В качестве примера на рис. 1.6 рассмотрена двухмерная решетка с базисом обш,его типа. Такие решетки можно представить в виде двух вставленных одна в другую решеток Бравэ 1, 2, каждая из которых определяется трансляционными векторами а и Ь. Смеш,е-пие решеток друг относительно друга описывается дополнительным вектором А, называемым базисным. Решетку с базисом можно построить с помош,ью трансляций аналогично решеткам Бравэ, только при этом надо транслировать не один узел, а несколько узлов, т. е. базис, задаваемый совокупностью базисных векторов. [c.25]

Рис. 1.12. Ячейка Вигнера—Зейтца для гракецентрирован-ной кубическо " решетки Бравэ. Ромбический додекаэдр. При построении в качестве исходного выбран узел в центре грани

Из полученных результатов следует, что прямая и обратная решетки взаимно сопряжены. Решетка, обратная обратной, есть просто исходная прямая решетка. Каждый узел [ [hkl] ] обратной решетки соответствует семейству параллельных плоскостей (hkl) прямой решетки. Необходимо иметь в виду, что обратная решетка в кристаллографии строится по отношению к конкретной решетке Бравэ и сама является решеткой Бравэ. Так, для простой кубической ячейки Бравэ обратной решеткой является решетка, описываемая простой кубической элементарной ячейкой со стороной 1/а, где а — параметр прямой ячейки. Обратная к гра-нецентрированноп есть объемно-центрированная решетка, а прямой объемно-центрированной решетке соответствует обратная гра-нецентрированная. Вектор обратной решетки = [c.26]

В предыдущем разделе были определены моды нормальных колебаний одномерной моноатомной решетки Бравэ. Рассмотрим теперь продольные колебания атомов одномерной решетки с базисом, когда на линейную элементарную ячейку Бравэ с параметром 2а приходится два атома. Предположим, что вдоль пря-Moi i линии располагается /V ячеек. Такая система обладает 2.V степенями свободы. При решении задачи о колебаниях атомов В такой системе возможны две модели цепочки, использование каждой из которых, в конечном итоге, приводит к с)дним и тем же результатам. Первая модель — двухатомная линейная цепочка [c.151]

Возникающий с учетом всех возможных трансляционных переносов простэанственный каркас называют решеткой Бравэ. Можно [c.11]

Таким образом, общее число решеток Бравэ 14, в табл. 6.7 приведены все решетки Бравэ, их распределение по кристаллическим системам, обозначения (международные и по Шенфлису), [c.148]

Совокупность всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры называется пространственной, или федоровской, группой симметрии. Эти группы симметрии были выведены Е. С. Федоровым в 1890 г. и независимо чуть позже А. Шен-флисом за двадцать лет до экспериментального доказательства существования пространственной решетки кристалла. Различают два типа пространственных групп симметрии симморфные и не-симморфные. Симморфные группы возникают при размещении элементов симметрии точечных групп в узлах решетки Бравэ. Если обозначить федоровскую симморфную группу символом Фс, трансляционную — 7, точечную —/С, то между ними существуют следующие соотношения [c.151]

Сочетание точечных и трансляционных групп симметрии с преобразованиями симметрии типа плоскости скользящего отражения и винтовой оси приводит к появлению пространственных не-симморфных групп симметрии. Их число 157, и потому общее число федоровских пространственных групп 230. В международных обозначениях этих групп сначала указывается символ решетки Бравэ, затем порождающие элементы симметрии в трехпозиционном порядке, причем в необходимых случаях символы плоскостей и осей симметрии заменяются символами плоскостей скользящего отражения и винтовых осей, например PAijm m, 14], P3j21 и т. д. Последовательность указания позиций зависит от системы кристалла [24]. [c.152]

Структурная амплитуда определяется распределением электронов в элементарной ячейке и поэтому содержит информацию о пространственной группе кристалла. Проиллюстрируем это положение, рассмотрев влияние на структурную амплитуду центрированности граней или объема ячейки, т. е. влияние типа решетки Бравэ. Будем для простоты считать, что элементарная ячейка состоит из одинаковых атомов, центры которых расположены в узлах кристаллической решетки — точках с координатами г . Тогда из координат г i-ro электрона следует выделить г [c.184]

Ограничимся случаем, когда положения образуют решетку Бравэ (теория обобщается па случай и более сложных решеток). Величины сд и Св связаны очевидным со-отпошепием [c.177]

Решетка Бравэ полностью определяется заданием триэдра основных периодов (векторов) ai, Лг, аз. С последними связана так называемая кристаллическая система координат (рис. 1.4.3), оси которой направлены вдоль основных векторов а,, аг, аз. При этом в качестве масштабных (осевых) единиц принимают величины a=lail. [c.23]

Наличие периодической решетки у кристаллов су-ш ественно сужает множество допустимых точечных групп симметрип. Покажем, например, что не каждая ось симметрии допустима. Пусть через узел А (рис. 1.4.5) проходит перпендикулярно плоскости рисунка ось симметрии п-то порядка. Через каждый узел решетки Бравэ и, в частности, через В проходит ось того же порядка. Совершая поворот вокруг узла А на угол ф = 2л/м, мы должны совместить решетку саму с собой. При этом узел В переходит в некоторый узел В. Аналогично, при повороте на тот же угол, но в противоположном направлении, вокруг S, узел А переходит в узел А. Отсюда следует, что отрезок В А кратен периоду решетки а, т. е. [c.26]

В структуре s I величина D = a . В координатной системе, оси которой совпадают с осями куба, базисные векторы прямой решетки Бравэ л,- и обратной решетки равны [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...