Критические сингулярности

Критические сингулярности при / = 1 возникают не из интеграла в [c.301]

Отсюда ясно, что свободные энергии моделей Изинга на квадратной, треугольной и шестиугольной решетках имеют одинаковые критические сингулярности, а именно те, которыми обладает .(/). Симметричная логарифмическая расходимость удельной теплоемкости получается сразу, поэтому, как в (7.12.12), показатели а, а равны нулю [c.301]

Как уже отмечалось, при приближении к критическому состоянию детерминант устойчивости Dy и коэффициенты устойчивости (dXi/dxi)x. стремятся к нулю, а теплоемкость, сжимаемость, восприимчивость (вторые производные термодинамического потенциала) возрастают до бесконечности, что является макроскопическим проявлением большого развития флуктуаций. Эта математическая особенность вторых производных термодинамического потенциала и связанные с ней большие флуктуации в критической точке затрудняют теоретическое и экспериментальное изучение критических явлений. Однако результаты интенсивно проводимых исследований этих явлений позволяют принять, что сингулярность основных термодинамических функций вблизи критической точки имеет простой степенной вид [c.249]

Однако в непосредственной близости от критической точки (т. е. при температурах, отличающихся от критической температуры для большинства веществ на доли градуса, а для некоторых веществ — на несколько градусов или даже более десятка градусов) эти зависимости несколько изменяются характерно, что в математическом отношении наблюдающиеся сингулярности (стремление некоторых производных термодинамических величин к бесконечности) становятся более слабыми по сравнению с тем, что имеет место на несколько большем удалении от критической точки. [c.259]

По-видимому, близость границ областей существования указанных (и ряда других) фаз к критическим значениям 2 связана с сингулярностями функции экранирования (< ) в окрестности 2йр. Однако исчерпывающий анализ энергетики фаз Юм—Розе- [c.174]

Здесь напряжение (1 в критерии разрушения интерпретируется как внешняя сила, действующая на характерный объем Гс, малый, но конечный. В предельном случае, когда микроскопическая трещина С бесконечно мала, г<. стремится к нулю и значение соответствует классическому определению напряжения в точке. Критический объем, по-видимому, является не более как эмпирической константой, которая введена для освобождения от сингулярности и сохранения связи между напряжением и прочностью. Однако при обсуждении разрушения при наличии макроскопических трещин мы покажем, что этот критический объем действительно существует и определяется из независимых экспериментов. Отметим только, что даже для простых случаев при однородном напряженном состоянии композиционных материалов, т. е. при растяжении, статистическая вариация прочности может быть отнесена за счет статистической вариации размеров микротрещин и, следовательно, за счет статистической вариации характерного объема Гс. [c.211]

При грубой идеализации композита как однородного и свободного от макроскопических трещин материала необходимое и достаточное условие разрушения можно получить при помощи критерия разрушения, представленного полиномом тензора напряжений (или деформаций). Логическое обоснование возможности применения критерия разрушения при наличии микроскопических трещин (т. е. при наличии областей сингулярности напряжения — деформации) получено путем введения характерного объема г , который охватывает микроскопическую трещину и, следовательно, область сингулярности напряжения. Отсюда следует, что феноменологический критерий разрушения можно использовать для оценки конечного критического напряжения, которое вызывает разрушение внутри характерного объема. Было показано, что критический объем — не просто произвольная эмпирическая константа, но интегральная характеристика разрушения, входящая в критерий разрушения. [c.261]

Установлено, что величина Kq изменяется вместе с длиной трещины в слоистых композитах вплоть до некоторого критического значения, после чего остается постоянной. Чтобы разобраться в этих изменениях, необходимо вместо упрощенной сингулярной формы использовать точное решение для напряжения перед трещиной, хотя оба эти решения и сходятся на достаточно большом расстоянии от трещины. Этот вывод сделан на основе изотропного решения. [c.240]

До сих пор речь шла об аналитических уравнениях состояния, которые, как известно, применимы только в регулярной области термодинамических состояний. В окрестности критической точки необходимо применять уравнения неаналитического типа, которые учитывают сингулярность термодинамических функций и кинетических коэффициентов. Расчетные соотношения используемой для описания критических аномалий масштабной теории (равновесной и динамической) приведены и подробно обсуждаются в [0.4]. [c.15]

Условие, при котором сингулярный член в соотношении (165) равен нулю, отвечает автомодельности зоны предразрушения. С позиции неравновесной динамики это условие характеризует достижение критической точки, параметры которой характеризуют бифуркационную неустойчивость треп ины при ее росте в условиях плоской деформации. Ранее было установлено, что критические параметры в этой точке связаны между собой соотношением [255] [c.142]

Универсальность связи между критической точкой и физическими свойствами кристаллов обусловлена возникновением сингулярности в свободной энергии, сопровождающейся скачкообразным изменением параметра порядка. В случае стеклования параметром порядка является вязкость жидкости Г]. Изменение параметра порядка при переходе через [c.290]

Найти параметры этой зависимости и определить значение любой термодинамической функции и ее производной с помощью обычного математического аппарата дифференциальных уравнений термодинамики без дополнительных предположений не представляется возможным из-за сингулярного характера критической точки. Для выяснения природы термодинамической сингулярности в критической точке индивидуальных ве- ществ необходимы надежные экспериментальные данные с высоким разрешением и как можно ближе расположенные к этой точке. Однако при получении таких данных возникают специфические трудности. [c.7]

Следует подчеркнуть, что сам по себе мощный аппарат дифференциальных уравнений термодинамики без привлечения предположений, основанных на анализе экспериментальных данных, не может дать ответ на многие вопросы, касающиеся поведения тех или иных термодинамических свойств в критической точке. Эта особенность определяется сингулярным характером критической точки на термодинамической поверхности состояния вещества. Во многих дифференциальных соотношениях появляются неопределенности, которые можно раскрыть лишь с помощью дополнительных предположений. Ряд примеров бес- [c.15]

При стремлении к критической точке <(я—п у- оо. Вообще вблизи фазовых переходов второго рода аномальный рост флуктуаций параметра порядка связан с сингулярностью соответствующей восприимчивости [c.33]

Можно считать, что эти два уравнения определяют группу масштабных преобразований (аналогичных группе трансляций или группе движений в классической механике). Они получили название уравнений ренормализационной группы (или кратко РГ-урав-нений) ). Эти уравнения совместно с (10.6.2) и (10.6.3) играют ключевую роль в теории Вильсона. Чтобы теорию можно было использовать, допустим, что uni являются аналитическими функ-циями К1,, даже в критической точке. Одно из прекрасных качеств теории заключается в том, что она позволяет показать, каким образом система дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами может совершенно естественно приводить к критическим сингулярностям. [c.380]

Известно больщое количество работ, посвященных установлению взаимосвязи локальных критериев разрушения с треЩ И-ностойкостью материала Ki - Прежде чем перейти к анализу некоторых предложенных моделей прогнозирования трещино-стойкости, остановимся на некоторых общих положениях, используемых практически во всех моделях, связывающих Ki с локальными критериями. Известно, что характер распределения напряжений и деформаций у вершины трещины как при анализе НДС в упругой, так и в упругопластической постановке является сингулярным [16, 200]. Поэтому при использовании локальных критериев, отнесенных к материальной точке деформируемой среды, разрушение должно начинаться при сколько угодно малой приложенной нагрузке. Чтобы избежать этого и получить ненулевые критические значения внешних параметров, необходимо принять некоторое дополнительное требование, в качестве которого вводится следующее условие напряжение или деформация должны достичь критических значений в некоторой области перед вершиной трещины размером Гс [170, 222]. Эту [c.226]

Таким образом, в рамках подходов линейной механики разрушения локальные свойства торможения 1рещины (трещиностойкость) при отрыве определяются только критическим значением коэффициента интенсивности напряжений, т.е. значением коэффициента К. при сингулярной части компонентов К [c.294]

Учитывая, что изменение мерности происходит при непосредственном участии времени, становится понятна "мгновенность" протекания большинства критических явлений и фа зоьых переходои. Именно по причине превра-. щения времени в энергию при скачкообраз(юм изменении мерности возникают неаналитические (сингулярные) скачки на графиках зависимости различных физико-химических величин в окрестности критической точки. [c.44]

Соотношение Рашбрука связывает критические показатели основных термодинамических величин в докритической области. Метод термодинамической устойчивости позволяет найти соотношение для критических показателей и в закритической области. С этой целью, учитывая, что линия равновесия фаз (бинодаль) кончается в критической точке, введем показатель ц (вместо р), определяющий сингулярность термического расширения (дУ/дТ)р х (для системы жидкость — пар) или магнитокалорического эффекта (5У/ЗГ)д т (для магнетика). Тогда для закритической области получаем соотношение [c.252]

В рамках термодинамики невозможно определить поведение Су в критической точке. Ее законам не противоречит ни t-= onst, ни С -->оо. Так, газ Ван-дер-Ваальса имеет конечные значения теплоемкости Су при подходе к критической точке с обеих сторон (Т<Тк и 7 >7 f ), испытывая в этой точке конечный скачок. Однако это не противоречит термодинамике, хотя в настоящее время известно, что теория газа Ван-дер-Ваальса неправильно описывает характер сингулярности в критической точке. [c.349]

Либацкий Л. Л. Применение сингулярных интегральных уравнений для определения критических усилий в пластинах с трещинами. — Физ.-хим. механика материалов, 1965, т. 1, № 4. [c.680]

Так называемая линейная механика разрушения приписывает физически невозможной сингулярности реальный смысл. Подобная ситуация для механики сплошной среды не столь уж необычна, достаточно вспомнить, например, вихревые нити с нулевым поперечным сечением п конечной циркуляцией. Как оказывается, работа продвижения трещины, которая совершается либо в результате увеличения внешних сил, либо за счет уменьшения упругой энергип тела при увеличении размера трещины, непосредственно выражается через коэффициент при сингулярном члене в формуле для напряжений. Этот коэффициент называется коэффициентом интенсивности и играет для всей теории фундаментальную роль. Работа продвижения трещины может быть связана с преодолением сил поверхностного натяжения (концепция Гриффитса), с работой пластической деформации в малой области, примыкающей к концу трещины, либо с чем-нибудь еще. Важно при этом одно размеры той области, где соотношения линейной теории упругости так или иначе нарушаются, должна быть весьма малой. Тогда способность трещины к дальнейшему продвижению определяется единственной характеристикой — ра-бс.той на единицу длины пути, илп критическим коэффициентом интенсивности. [c.9]

By предполагает, что в условиях простого напряженного состояния (например, растяжения) статистический разброс прочности материала можно отнести за счет изменения размеров микродефектов и, следовательно, изменений критического объема, характеризуемого расстоянием Гс. При таком подходе напряженное состояние на поверхности объема гс) выражается при помощи сингулярных форм а,/ (см., например, (6.18)) при г = Гс- Это означает, что Гс всегда лежит в зоне преобладающего влияния упругой особенности типа квадратного корня от г в знаменателе. Отличное экспериментальное подтверждение подхода By было получено на одно-наиравлениом стеклопластике (S ot hply 1002) для смешанного вида нагружения при наличии трещин, параллельных волокнам. Более того, оказалось, что Ki и Кпс и величина критического объема для различных ориентаций трещины относительно приложенных нагрузок постоянны. Величина Гс оказалась приблизительно равной 1,95 мм. [c.237]

На всех кривых обнаруживается наличие сингулярной точки, фиксиру-юш,ей минимальные значения сопротивления R для каждой системы. Для прослоек с медным порошком сингулярная точка лежит в области напряженности поля 500—700 В/см, для прослоек с алюминиевым порошком в области 1100—1200 В/см. Наличие сингулярных точек на кривых R=f E) объясняется наступлением пробоя клеевой прослойки. Критические значения напряженности кр, при которых происходит пробой систем, соответствуют данным исследований электропроводности обработанных в постоянном электрическом поле полимерных пленок [Л. 132]. Это свидетельствует о единой природе рассматриваемых процессов. Из данных опытов следует, что обработка клеевых соединений в постоянном электрическом поле менее эффективна, чем обработка в магнитном поле, и это несмотря на то, что в первом случае используются более высокотеплопроводные наполнители. Очевидно, снижение термического сопротивления клеевых систем затормажива- [c.230]

В 1978 г. Каннинен [3] провел критическую оценку численных методов, используемых в динамике разрушения. При сравнении методов конечных разностей и конечных элементов Каннинен пришел к выводу, что метод конечных элементов в силу той простоты, с которой моделируются необходимые сингулярности, оказывается более пригодным для исследования стационарных трещин в условиях динамического нагружения, в то время как метод конечных разностей оказывается более удобным, чем метод конечных элементов при исследовании развивающихся трещин. В последующие годы были достигнуты колоссальные успехи в конечно-элементном моделировании динамического развития трещин. В этой главе приведено краткое изложение этих достижений. [c.268]

ОСНОВНЫХ уравнений и граничных условий) для решения задач динамического развития трещин в линейных, а также нелинейных телах. Подробности численного моделирования динамически развивающейся трещины с использованием стационарной, а также подвижной сеток рассмотрены в 4. Здесь же приведены детали конечно-элементной методики на основе подвижной сетки, в которой применяется сингулярный конечный элемент с заложенными в него собственными функциями, связанными с развивающейся трещиной. В 5 подвергнута критическому исследованию практика применения при численном исследовании динамики разрушения интегралов, не зависящих от пути интегрирования. Показано, что применение подобных интегралов в совокупности с обычными (несингулярными) изопараметриче-скими элементами, расположенными вблизи движущейся вершины трещины, приводит к результатам приемлемой точности. В том же 5 проведена оценка приемов, позволяющих разделить различные типы раскрытия трещины (типы I, И и III) в процессе динамического роста. Подробности численного моделирования динамического разрушения лабораторных образцов приведена в 6. [c.269]

Еще одну попытку использования собственных функций Уилльямса сделали Паттерсон и Олдейл [29, 30]. Сингулярный элемент с 13 узлами (см. рис. 3( )) топологически эквивалентен сборке из двух восьмиузловых изопараметрических элементов. Когда вершина трещины внутри сингулярного элемента перемещается на критическое расстояние, положение этого элемента резко меняется и он сдвигается на расстояние, равное размеру обычного элемента, расположенного перед вершиной трещины. Перемещения сингулярного элемента соответствуют перемещениям окружающего тела только в узлах, связанных с обычными элементами. В результате эта модель нарушает условия совместимости по перемещениям на границах между сингулярным элементом и обычными элементами. [c.284]

Условие совместной работы упругого континуума и сингулярного армирующего элемента в критическом состоянии записывается при помощи инвариантных Г-интегралов вдоль замкнутой поверхности, охватьшающей сингулярность поля. Величину такого Г-интеграла будем назьшать Г-выче-том поля в соответствующей сингулярности. Как известно [1], Г-вычет не зависит от формы и размеров замкнутой поверхности, охватьшающей рассматриваемую сингулярность поля. [c.135]

Это уравнение аналогично соотношению (3.13). Замечательно, что оно является некоторым конечным интегралом решения (весьма сложной) внутренней задачи и строго справедливо для произвольного контура L и любого нелинейно-упругого вблизи контактной площадки материала. Теория Г-вычетов позволяет аналогично ш>1водить подобные соотношения для любых сингулярньхх задач указанного типа. Эти соотношения дают возможность получать простые оценки работоспособности сингулярных связей в критическом и докритическом состоянии. [c.160]

Перейдем к рассмотрению перестраивающихся схем конечных элементов, которые характерны При использовании сингулярных конечных элементов (с аппроксимацией полей перемещений исходя из общих представлений полей в вершине трещины). Так, в работе [47] в качестве базисных ф)Шкций элемента были выбраны собственные функции (1.23) для стационарной трещины. Вершина трещины перемещалась в пределах сингулярного элемента между узлами Л и В, как показано на рис. 3.14, а. Когда вершина достигает узла В, то сетка элементов мгновенно перестраивается А, В — новые положения узлов А к В). Аналогичный подход применен в работе [ 89 ]. Сингулярный элемент имеет 13 узлов (рис. 3.14, в) и топологически эквивалентен двум совмещенным восьмиузловым изопараметрическим элементам. Местонахождение сингулярного элемента внезапно изменяется на расстояние, равное размеру регулярных элементов впереди вершины, когда вершина трещины распространяется на критическое расстояние внутри сингулярного элемента (приблизительно 80% его длины). [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...