Функция распределения частот

Теорию колебаний одномерной цепочки можно обобщить на трехмерный случай, что позволяет определить функцию распределения частот спектра колебаний атомной решетки. [c.200]

Нахождение функций распределения частот g v) для кристалла представляет собой весьма сложную задачу. [c.258]

Таким образом, функция распределения частот g ) в теории Дебая имеет вид [c.259]

Распределение собственных колебаний при наличии ограничений со стороны низких частот обсуждали авторы [276, 277]. Они предложили сходные выражения, описываюш ие число собственных колебаний л(со) прямоугольной частицы с учетом ее геометрических характеристик. Полученное в [277] выражение для п (й) в несколько модифицированном виде применено в [278] для описания размерного эффекта на низкотемпературной теплоемкости. Согласно [276], функция распределения частот (со) фононного спектра малой частицы прямоугольной формы с ребрами Lj, L , имеет вид [c.79]

Выполненный в [278, 283] анализ размерных эффектов фо-нонного спектра основан на континуальном приближении. Квантовый подход [284—286] к вычислению функции распределения частот ((о) малой частицы радиусом г, содержащей N атомов, базируется на выражении [c.81]

Более совершенная формула для вычисления теплоемкостей твердых веществ, учитывающая спектр частот, была предложена Дебаем (1912 г.). Для того чтобы определить функцию распределения частот, Дебай ввел предположение, что твердое тело можно рассматривать как непрерывную упругую среду (континуум). Это позволило ему применить к твердому телу методы теории упругости и найти функцию распределения частот, изучая проблему свободных колебаний ограниченного твердого тела в условиях термодинамического равновесия. Решив эту задачу для случая, когда все атомы в твердом теле связаны одинаково (простые изотропные твердые вещества), Дебай получил следующую формулу для теплоемкости Сг одного грамм-атома твердого тела [c.266]

Более строгий подход к вычислению функции распределения частот (у) по сравнению с теорией Дебая был предложен в [c.269]

I — эксперимент г — модель газа з — модель непрерывной диффузии 4 — модель кристалла Рис. 2. Функция распределения частот (т) для жидкого свинца, полученная из эксперимента [1] [c.44]

Тензорный анализ полезен при определении критических точек функции распределения частот фононов. При этом применяется теория возмущений для вырожденного случая, приводящая, как всегда, к секулярному уравнению. Основные матричные элементы в этом уравнении можно определить с помощью теоретико-группового анализа. [c.298]

В этом параграфе демонстрируется применение методов теории групп для определения критических точек. С самого начала следует подчеркнуть, что учет симметрии не дает всех критических точек функции распределения частот для данного кристалла с определенной симметрией, а только выделяет некоторую совокупность критических точек, которую принято называть критическими точками, обусловленными симметрией [86]. Дополнительные критические точки возникают при определенных значениях силовых постоянных для данного материала существование их никак не связано с симметрией. Такие критические точки можно назвать динамическими . Кроме того, существование критических точек следует из топологических соображений [c.312]

Этому результату соответствует простое правило. Достаточным условием существования критической точки функции распределения частот пря ко является обращение в нуль коэффициента приведения (107.46) и, следовательно, отсутствие какого-либо линейного члена ч ряде теории возмущений (107.21>), [c.320]

Затем мы дадим перечень тех критических точек, которые могут быть предсказаны из свойств симметрии. Непосредственно может быть определен симметрический набор критических точек и дана их классификация в соответствии с теорией Морзе. Кроме того, будет дан обзор проведенного анализа критических точек в нескольких кристаллах со структурой алмаза (в германии, кремнии и алмазе), основанного на дополнительной ин- формации о дисперсии фононов, полученной комбинированием детальных расчетов и измерений неупругого рассеяния нейтронов. Вслед за изучением роли критических точек в дисперсии фононов (т. е. в однофононных состояниях) полезно привести результаты подобного же анализа для объединенной, т. е. двухфононной, функции распределения частот в различных кристаллах типа алмаза и сравнить их с имеющимися оптическими исследованиями в двухфононной области энергий. [c.148]

Важно лишний раз подчеркнуть, что объект нашего анализа экспериментальные данные по инфракрасному оптическому поглощению и комбинационному рассеянию света. Следовательно, в инфракрасном поглощении, например, мы имеем данные не в виде точной аналитической функции а(ю), а в виде записи измеренного спектра, основные изучаемые особенности которого характеризуются изменением наклона, максимумами и минимумами. При современном состоянии теории имеются две возможности. Мы можем попытаться вычислить многофононные функции распределения частот, например двухфононную суммарную (комбинации и составные тона) плотность состояний, и прямо сравнить их с измеренными спектрами инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния. При этом предполагается постоянство матричных элементов, определяющих [c.160]

Фиг. 9. Типы особенностей функции распределения частот, обусловленных критическими точками Р] п), / = 1, 2, 3 и = О, 1 [91].

Следует напомнить, что критическая точка каждого типа приводит к различным типам особенностей в функции распределения частот. Сводка результатов, подробно обсуждаемых в работах [11, 34], приведена на фиг. 9. [c.174]

Двухфононная функция распределения частот и критические точки для решеток типа алмаза [c.175]

Теперь мы можем построить таблицу, аналогичную табл. 31, для критических точек на двухфононных дисперсионных кривых. Как и раньше, рассмотрение молсет быть выполнено частично чисто аналитически с использованием только теоретико-группового анализа, а частично с привлечением детальной информации о дисперсионных кривых. В принципе, однако, процедура остается той же, что и для однофононной функции распределения частот. Мы будем различать случаи, когда два фонона комбинируются из одной и той же ветви и, следовательно, являются вырожденными ( обертоны), и случай, когда фононы возникают из разных ветвей [комбинированные тона) [3]. Напомним здесь обсуждение, проведенное в т. 1, 117, 118. Во всех случаях правила отбора для коэффициентов приведения должны сопоставляться процессу, который мы намерены анализировать, т. е. инфракрасному поглощению либо комбинационному рассеянию света. [c.175]

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, позволяют перейти теперь к интерпретации многофононных спектров инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света в кристаллах типа алмаза в предположении, что эти спектры определяются функцией распределения частот и правилами отбора. Другими словами, мы не рассматриваем зависимость мат- [c.177]

Далее имеются две возможности. Первая из них заключается в допущении, что интенсивность разрешенного перехода действительно во всех деталях пропорциональна Pl( d). В этом случае мы ожидаем, что измеренный спектр /(со) есть точная копия pL(a). В частности, должны воспроизводиться разрывы производной функции распределения частот (фиг. 9), связанные со всеми критическими точками в каждой ветви. Следовательно, при изучении двухфононного инфракрасного поглощения мы должны найти особенности, отвечающие всем критическим точкам для разрешенных обертонов и комбинированных ветвей. Для обертонов тип и положение критической точки те же, что и для соответствующих однофононных ветвей для определения индексов критических точек на комбинированных ветвях мы используем табл. 36. Перечень разрешенных двухфононных процессов для структуры алмаза приведен в табл. 37. [c.178]

Фиг. 10. Спектр двухфононного инфракрасного поглощения алмаза, а — экспериментальный спектр б — объединенная функция распределения частот в — инфракрасный спектр, рассчитанный с учетом взаимодействия следующих

Были проведены расчеты дисперсионных кривых в рамках оболочечной модели с использованием результатов этих измерений (результаты также даны на фиг. 7), с помощью которых были вычислены однофононная функция распределения частот и объединенная функция для двухфононных процессов ). Детали этих расчетов нам неизвестны, поэтому мы будем ссылаться только на опубликованные результаты [87]. [c.184]

Фиг. 18. Рассчитанные дисперсионные кривые, функция распределения частот и критические точки в NaF [116].

F —сила, свободная энергия Fhki — структурная амплитуда g —фактор спинового вырождения G — модуль сдвига 0(ш)—спектральная функция распределения частот А=2л ft—постоянная Планка [c.377]

На рис. 42 пунктирная линия изображает функцию распределения частот в тео рии Дебая, а сплошная линия — решеточную (истинную) функцию распределения, учитывающую дискретную структуру кристалла и специфичную для 1конкретного твердого тела. Функция g(v) определяется экспериментально по рассеянию нейтронов, а теоретически — численными методами. [c.259]

Наиболее существенная информация, получаемая с помощью гармонического анализатора Фурье, — зависимость динамических перемещений от частоты колебаний. При этом одновременно проводятся экспериментальные замеры, которые с помощью ЭВМ обрабатываются для получения истории изменения возбуждающей колебания силы и ускорения. Эти данные с помощью гармонического анализатора Фурье позволяют вычислять спектральные автокорреляционные функции ускорений, скоростей или перемещений (дуу), сил (Gxx), а также смешант ные спектральные функции Gyx и функцию распределения частот Я(f) [c.189]

Очень важным следствием из теории А. И. Леонова является возможность расчета релаксационного спектра по кривым течения. В частности, из этой теории вытекает, что определение точки перегиба на кривой зависимости (Ig 7) позволяет легко найти максимум релаксационной функции N (s), где N — функция распределения частот релаксации (величин обратных временам релаксации), так как у = as, причем а — постоянный коэффициент. Можно легко показать, что N (s) = — (as) т) (as), где (as) — первая производная вязкости по релаксационной частоте. Точка перегиба на кривой (Ig у) отвечает условию dN/ds = 0. Также просто находится время / после начала опыта в условиях у = = onst, когда наступает интенсивное разрушение структуры материалов. Оказывается, что / = а/у. Следовательно, в согласии с опытными данными возрастание скорости деформации приводит к быстрому уменьшению времени достижения максимума на кривых т (/) при у — onst. Рассматриваемая теория позволяет определить достижение максимума функции xjxy = / (у) и многие другие важные реологические характеристики материалов. Отсюда следует, что измерение вязкости у материалов с неньютоновским поведением важно отнюдь не только для расчета процессов их течения, но имеет фундаментальное значение для характеристики их реологических свойств. [c.125]

Параметры маневра б могут с частотой v принимать любые значения из фиксированной области В или фиксированного дискретного множества В. Частота v (Ь) повторений маневра Ь записывается через функцию распределения Fy, (Ь) при помощи интеграла Стилтьеса (допускаются ступенчатые функции распределения). Частота v (6 В ) повторения маневров, принадлежащих подобласти В В, равна [c.282]

Предположим теперь, что в начальный момент времени t = О каждый из атомов находится в состоянии либо а, либо 6, и обозначим через скорость атома в направлении z, в котором распространяется электромагнитное поле. При этом частота его перехода в лабораторной системе координат будет равна со = oq + k ju . Если теперь обозначить через g o)) функцию распределения частот со, обусловленную движением атомов в газе или наличием локальных кристаллических неоднородностей в твердом теле, то можно написать следующее выражение [c.22]

Второй том посвящен теории колебаний кристаллической решетки и ее оптическим свойствам — инфракрасному поглощению и комбинационному рассеянию. С позиций теории симметрии проанализирован вопрос о критических точках функции распределения частот, определяющих особенности оптических спектров. Специальное внимание уделено анализу симметрии по отношению к обращению времени. Обсуждаются свойства симметрии ангармонических силовых постоянных, дипольных моментов и поляризуемостей высших порядков. Центральное место в этом разделе занимает обсуждение поляризационных эффектов в рассеянии света. Во втором томе рассматривается также применение всех результатов к кристаллам со структурой каменной соли и алмаза, представляющим собой важные примеры симморфной и несимморфной пространственных групп. Завершается книга кратким анализом роли эффектов, обусловленных нарушением симметрии, дефектами или внешними полями. [c.6]

Это важный результат функция распределения частот или плотность состояний G/( o )A o2 пропорциональна поверхностному интегралу [c.315]

Сингулярные критические точки были идентифицированы как в измеренных, так и в рассчитанных дисперсионных кривых для различных кристаллов со структурой алмаза. Ранее мы видели, что сингулярные критические точки, характеризуемые разрывной первой производной только в одном направлении, вносят разрыв в первую производную функции распределения частот dg ( i)jd(u, если критическая точка является максимуигом или минимумом (см. [91, в частности фиг. 2] и [92, табл. VI]). Другие сингулярные случаи, например разрывы в более чем одной первой производной для максимума Рз или минимума Ро или случаи седловых точек Рь Рг или F, F2 с одной или более разрывными производными, вносят разрывы в производные более высокого порядка функции ( ). Более детально обозначения поясняются ниже. [c.160]

СВЯЗЬ функции распределения частот и спектра поглощения. Таким образом мы пытаемся экспериментально определить детальную частотную зависимость функции распределения многофононных состояний, в частности разрывы производной и другие особенности, и установить корреляцию с рассчитанными особенностями, стремясь добиться детального соответствия в предположении, что известные критические точки ответственны за все особенности. При другом подходе предполагается, что поведение вблизи любой критической точки проявляется как ступенька или даже как б-образная особенность затем делается попытка скоррелировать пики, изменения наклона и другие особенности (включая резкие провалы интенсивности поглощения или рассеяния) с положением критических точек, не особенно заботясь о детальном количественном согласии (или игнорируя отсутствие согласия) для относительных интенсивностей. [c.161]

Анализ критических точек в трехфононных ветвях не был проведен из-за практических трудностей, обусловленных большим числом возможностей, а также большей ролью ангармонических процессов, затрудняющих использование концепции критических точек. В спектрах снова наблюдаются только некоторые из разрещенных трехфононных процессов, приводящие к разрывам в трехфоноиной функции распределения частот. Мы укажем эти особенности в дальнейшем. [c.179]

Другая возможность интерпретации спектров основана на использовании гипотезы о критических точках в более общем виде, т. е. на предположении, что интенсивность разрещенных процессов определяется только объединенной функцией распределения частот без детального анализа разрывов производной. В этом случае требуется знание графика объединенной функции распределения частот, которая непосредственно сопоставляется с распределением относительных интенсивностей в наблюдаемых спектрах правила отбора учитываются тем, что вклад от запрещенных ветвей исключается. Например, поскольку обертоны неактивны в инфракрасном поглощении, т. е. не могут давать вклада ни в какой процесс инфракрасного поглощения (см. 4), при сравнении с экспериментом их следует исключить из рассчитанной функции распределения частот. Этот подход к анализу спектров также будет использован ниже при обсуждении инфракрасных спектров кристаллов типа алмаза и каменной соли. [c.179]

Недавно Вейнстейн и Кардона [106] измерили для Ое спектры комбинационного рассеяния второго порядка. Их спектры оказались в очень хорошем согласии с результатами анализа в модели критических точек, основанного на данных по рассеянию нейтронов [107], [108]. Они наблюдали также (см. выше замечание относительно кремния), что компонента (Г1+) для двухфононных обертонов была наиболее интенсивной, тогда как две другие компоненты (Г12-(-) и (Г25-Ь) оказались слабыми. Результаты экспериментов по рассеянию нейтронов представляют большой интерес в связи с тем, что Нелин и Нильсон [107, 108] сумели получить одиофононную функцию распределения частот прямо из измеренных сечений рассеяния нейтронов. Этот метод представляется весьма перспективным, так как в тех случаях, когда он может быть использован, открываются богатые возможности для детальной проверки расчетов динамики решетки, которые до сих пор сопоставлялись лишь с дисперсионными кривыми в основных направлениях зоны Бриллюэна. Очевидно, новый метод дает возможность сравнения как для основных направлений, так и для всей функции распределения частот в данной ветви. [c.197]

Фиг. 17. Рассчитанная однофононная функция распределения частот в КаС1. Модель соответствует дисперсии, показанной на фиг 16 [85]

Двухфононные функции распределения частот и критические точки в Na l [c.203]

Двухфононные дисперсионные кривые для нескольких щелочногалоидных кристаллов вычислены в работе [85] с использованием тех же моделей, что и для однофононной дисперсии. Они приведены для КаС1 на фиг. 19 соответствующая двухфононная функция распределения частот показана на фиг. 20. Отметим снова соответствие в обозначениях критических точек на этих двух фигурах. [c.203]

Фиг. 20. Рассчитанная двухфононная функция распределения частот в Na I и двухфононные критические точки Модель соответствует дисперсии, показанной на фиг. 19 [85].

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...