Стокса разложение

Предполагается, что входящие в уравнения Навье-Стокса переменные (компоненты скорости и давления) могут быть представлены в виде тройного разложения [6.14] [c.167]

Для благоприятного развития процессов на микроуровне необходимо найти критические условия, при достижении которых и происходит смена типа диссипативной структуры. Если для стационарных равновесных состояний можно использовать условие максимума энтропии, то для квазистационарной неравновесной ситуации такой универсальный экстремальный принцип отсутствует. В случае развитой турбулентности обычно рассматривают систему с очень большим числом степеней свободы N, коррелирующим с числом Рейнольдса Re N - Re . При развитой турбулентности фактически речь идет о числе вихрей. Формально в качестве степеней свободы можно взять, например, моды фурье-разложения для поля скоростей. Динамика системы подчиняется уравнениям Навье-Стокса. [c.325]

Опыты проводились в аргоне, гелии, неоне, криптоне и ксеноне. Приведенное сравнение показывает, что уравнение Навье — Стокса обладает удовлетворительной точностью лишь при низких частотах колебаний. Решение, полученное с помощью разложения в ряд (5.3), оказывается более точным, чем решение Навье—Стокса, вплоть до чисел /- 1. Однако при еще меньших числах г оно также резко расходится с экспериментом. [c.313]

Идея метода Чепмена — Энскога заключается в разложении оператора 8 в случае, когда величины рР не разложены. При этом предполагается, что хотя зависимость рР от 8, вообще говоря, неаналитическая, но оператор 8 аналитичен по 8 (или по крайней мере имеет асимптотическое разложение по степеням 8). Это предположение отнюдь не противоречиво, так как, например, в уравнение Навье — Стокса вязкость и теплопроводность входят аналитически (именно линейно), а средних решений есть, в общем случае, такие, которые нельзя разложить в ряды по этим параметрам. Чтобы формализовать эту идею в алгоритм, заметим, что уравнения (3.1) можно записать в виде [c.122]

Легко проверить, что формулы (3.17) справедливы и здесь. Таким образом, первые два члена п 1) разложения Чепмена — Энскога дают макроскопическую модель типа Навье — Стокса с коэффициентами переноса, зависящими только от температуры и молекулярных констант. Напомним, что вывод о независимости вязкости от плотности был одним из первых достижений кинетиче- [c.126]

Предложенный метод Ы 1) идентичен методу Чепмена — Энскога вплоть до приближения Навье — Стокса. Дальнейшие приближения аналогичны разложению Гильберта существенными отличиями будут только следующие вместо линеаризованного оператора Эйлера входит линеаризованный оператор Навье — Стокса полная система уравнений сохранения выписывается на каждом втором (а не на каждом) шаге. [c.132]

Изложенные в этой главе методы применяются не только к самим уравнениям Больцмана, но и к уравнениям типа Больцмана, которые получаются, когда квадратичный оператор столкновений заменяется модельным оператором / (/) (гл. 4). Отличия возникают только в связи с разложением нелинейных членов по степеням 8, ибо нелинейность моделей, вообще говоря, сложнее квадратичной. Эта особенность не проявляется, однако, раньше второго (члены порядка 8 ) приближения. Вследствие этого модели правильно воспроизводят уравнения Эйлера и Навье — Стокса, причем можно подогнать даже значения коэффициентов вязкости и теплопроводности так, чтобы они были согласованы с точными, если модели содерж ат по крайней мере два свободных параметра. Это несправедливо в случае простейших моделей, таких, например, как БГК-модель, и мы должны решать, что подогнать — вязкость или теплопроводность. [c.138]

Итак, основной результат теории Чепмена — Энскога состоит в том, что можно вернуться к макроскопическому описанию Навье — Стокса—Фурье, надлежащим образом разложив соответствующие решения уравнения Больцмана. При этом преодолеваются некоторые из многочисленных неравномерностей разложения Гильберта вязкие пограничные слои (толщиной порядка 8 /= ) и финальный слой (порядка 8 ) описываются единым образом вместе с нормальными областями, однако начальный и кнудсеновский слой толщиной порядка 8 все еще не охватываются. Теория Чепмена — Энскога просто учитывает существование режимов с с1 гх)- (где т и с1 — характерные время и длина т можно заменить некоторой длиной, отличной от с1). [c.275]

Все эти разложения, будучи оборванными, удовлетворяют уравнению Больцмана с ошибкой (х, е), которая формально имеет порядок Для разложения Гильберта Rn не зависит от 8, но растет алгебраически как в задачах, зависящих от времени (из-за вековых членов). Следовательно, разложение Гильберта является асимптотическим только на ограниченном интервале времени о < / < t. Оценок остаточных членов разложения Чепмена — Энскога в приближениях, следующих за приближением Навье — Стокса, конечно, не существует. Методика, определяемая соотношениями (4.6) — (4.8), дает остаточный член, который убывает при больших t для любого п> поэтому соответствующее разложение превосходит ряд Гильберта по области применимости, а ряд Чепмена — Энскога — по отсутствию лишних решений и приводит к известной системе дифференциальных уравнений в частных производных. [c.278]

Третья задача связи (ударный слой) должна привести к вычислению поправки к классическим соотношениям Рэнкина — Гюгонио, необходимой для того, чтобы вычисления на континуальном уровне давали те же самые результаты, что и решение уравнения Больцмана вдали от ударного слоя. Та же необходимость возникает в теории Навье — Стокса [40], когда требуется учесть взаимодействие между ударным и пограничным слоями. Несмотря на то что уравнения Навье — Стокса дают гладкую структуру ударной волны, они должны допускать разрывы, чтобы описать кинетические эффекты. Для разложения Гильберта кинетическое решение задачи связи трудно уже в нулевом приближении (задача о структуре скачка см. разд. 6 гл. VII), но условия сращивания тривиальны (соотношения Рэнкина — Гюгонио) аналогичная задача для теории Чепмена — Энскога (или модифицированного разложения, рассмотренного в разд. 4) пока еще не сформулирована. [c.291]

При исследовании нелинейных столкновительных моделей, таких, как описанные в разд. 10 гл. II, изменения возникают только в связи с разложением нелинейных членов по степеням е, поскольку нелинейность модели, вообще говоря, сложнее, чем квадратичная. Это обстоятельство, однако, не сказывается до второго приближения (члены с е ). В результате модели точно воспроизводят уравнения Эйлера и Навье — Стокса и даже можно добиться того, чтобы коэффициенты вязкости и теплопроводности совпадали с точными, если модели содержат по крайней [c.291]

Линейная векторная функция точки (73). 41. Геометрическое значение отдельных величин матрицы, определяющей скоростное поле (74). 42. Скорость сдвига и скорость растяжения (76). 43. Понятие аффинора (77). 44. Разложение аффинора ка симметричную и антисимметричную части (78). 45. Теорема Стокса (80). 46. Теорема Гаусса (33). 47- Введение оператора У (набла) (84). [c.7]

Асимптотические методы решения уравнений Навье — Стокса нашли применение к задачам обтекания малых препятствий или неровностей, расположенных в основании пограничного слоя [59, 60]. В работе [59] рассматривается обтекание несжимаемой жидкостью единичной шероховатости , т. е. выступа с высотой, много меньшей толщины пограничного слоя. Исследуется такой режим течения, при котором число Рейнольдса, вычисленное по характерному размеру выступа и скорости внутри пограничного слоя на высоте выступа, у таЪ, велико. Поэтому в первом приближении для области с характерным размером порядка высоты выступа задача сводится к решению уравнений Эйлера. Использование принципа сращивания асимптотических разложений позволяет определить граничные условия в набегающем на выступ потоке и вдали от него. В этих местах возмущения, вносимые выступом, должны затухать. Невозмущенный поток локально имеет вид и у, у = 0. Коэффициент пропорциональности в формуле для и должен соответствовать местному значению напряжения трения на дне невозмущенного пограничного слоя. В работе [59] исследованы также течения около выступов, постепенно понижающихся вверх и вниз по потоку. Показано, что при слишком резком [c.262]

Неразрешимость краевой задачи (7), (10) в рамках принятых предположений означает неразрешимость полного уравнения конвективной теплопроводности (4) с полем скорости (1), (2), являющимся точным решением уравнений Навье — Стокса. Отсюда можпо было бы сделать выводы о том, что уравнение энергии и уравнения гидродинамики несовместимы Однако такой вывод является преждевременным, поскольку наши рассуждения существенно опирались на представление поля температуры в виде разложения по целым обратным степеням (5). В этой связи естественным является предположение о том, что парадокс неразрешимости связан с выбором разложения в виде (5), которое следует из условия аналитичности решений при В = >, тогда как для физически приемлемых решений достаточно их регулярности [46]. [c.263]

По аналогии с уравнением Лапласа и тепловой задачей, рассмотренной в 1, собственные решения линеаризованной системы уравнений Навье — Стокса (11) можпо назвать гидродинамическими мультиполями, а разложение решения задачи по ее собственным функциям соответственно мультипольным. [c.280]

Итак, для описания струйного неавтомодельного течения при помощи главных членов асимптотического разложения (27) необходимо задать не два, а три интеграла сохранения Jz, Q и Данный вывод относится к решению полных уравнений Навье — Стокса. Между тем, большинство работ по теории струй выполнено в приближении пограничного слоя. Сначала рассмотрим, что происходит с точным решением в ситуации, когда ReA- +i и, следовательно, согласно (1.3) Jz- °°. Конечный результат существенно зависит от того, каким образом изменяется расход Q при этом предельном переходе, что в свою очередь зависит от способа увеличения Re. [c.285]

Таким образом, с помощью мультипольного разложения можно построить решение уравнений Навье — Стокса в шаровом слое, на границах которого задано произвольное осесимметричное поле скорости из 2 ([—1, 1])- В этом случае разложения (6) —(10) имеют тот же вид, но суммирование распространяется от —до °о (эти пределы указаны в скобках). Отрицательные индексы у показателей степени п < 0) означают, что < О, причем [c.291]

Подстановка разложений (8.101) в уравнения Навье-Стокса, записанные в переменных Мизеса и совершение предельного перехода при Моо сю, <5 О и X О показывают, что в наиболее обпдем случае при а Ъ течение в области 3 в первом приближении описывается полными уравнениями Навье-Стокса для сжимаемого газа на поверхности неровности г/з = /(жз) при = О должны выполняться обычные условия непротекания и прилипания, вдали от неровности решение должно срапдиваться с невозмупденным течением в пристеночной части пограничного слоя (8.100). Если же а 6 <С <5 , то в области 3 в первом приближении будут справедливы уравнения Стокса. Разложения (8.101) показывают, что при <5 <С а 6 (5 напряжение трения т и тепловой поток д по поверхности неровности изменяются в своих основных порядках (8.96). [c.405]

Для решения поставленной задачи будем использовать метод последовательных итераций [22]. Он заключается в следующем. В качестве начального приближения для ф и используем функции тока, являющиеся решением задачи об обтекании пузырька потоком жидкости при учете инерционных эффектов (см. разд. 2.3). С помощью этих выражений для функций тока можно определить нормальные компоненты тензора напряжений в обеих фа.чах. Тогда можно решить уравнение (2. 7. 9) и тем самым определить начальное значение функции С (т]). Далее для найденной формы пузырька нужно повторить решение уравнения Навье—Стокса при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений (см. разд. 2.3) и т. д. Рассмотрим решение уравнения (2. 7. 9) в соответствии с [22], считая, что неоднородная его часть явля- [c.66]

При числах Рейнольдса TVr = a /p/ji вплоть до 0,05 сопротивление по закону Стокса только на 2% меньше, чем ожидаемое более точное значение, полученное Праудменом и Пирсоном [49 на основе строгих разложений уравнений Навье — Стокса по малому числу Рейнольдса, в которых принимаются во внимание инерционные члены. Этот результат выражается уравнением (2.6.6). [c.59]

Следовательно, функция распределения тринадцатимоментного при-ближсння получается из функции распределения (8.21), если в разложениях функций А с) и В (с) по полиномам Сонина сохранить лишь по одному члену. Следовательно, для произвольных молекул тринадцатимоментное приближение приводит к уравнениям Навье — Стокса с неточными коэффициентами вязкости и теплопроводности, получаемыми лишь в первом приближении. [c.153]

Более того, в 3.3 и 3.8 мы видели, что для произвольных немаксвелловских молекул из тринадцати- и двадцатимоментных уравнений нельзя получить даже уравнения Навье — Стокса с правильными значениями коэффициентов переноса (значения коэффициентов вязкости и теплопроводности могут быть найдены лишь в первом приближении в смысле Энскога, см. 3.8). Как показано в 3.3, максвелловские молекулы являются исключительными, так как для них при малых числах Кнудсена (Кп = —>0) высшие моменты (точнее, коэффициенты (лг) разложения функции распределения в ряд по полиномам Эрмита, являющиеся линейной функцией моментов) имеют порядок и выше. Для произвольных же молекул вся бесконечная цепочка моментов (точнее, коэффициентов в( >) имеет порядок е, как и Pij и qi. Поэтому, хотя в практических приложениях обычно интересуются лишь первыми тринадцатью моментами, мы не имеем права при выборе определяющих параметров ограничиться только этими моментами, а необходимо учитывать бесконечное число определяющих параметров даже для получения функции распределения в навье-стоксовском приближении, и, следовательно, в скобку выражения (16.11) необходимо добавить бесконечное число [c.236]

Конечно, из того факта, что при М> 1,851 решение не может быть представлено в виде ряда (4.29), еш,е не следует, что, например, тринадцати- или двадцатимоментпые уравнения или уравнения еш,е более высокого порядка не должны иметь решений нри этих числах Маха. Так, уравнения Навье—Стокса имеют решение при любом числе Маха волны, в то время как соответствующая им функция распределения для максвелловских молекул тождественна тринадцати-моментной функции распределения. Однако из доказанного следует, что нельзя надеяться на получение все более точного решения путем сохранения все большего числа членов ряда в разложении гю полиномам Эрмнта. [c.307]

Граничные условия для уравнений Барнетта могут быть установлены подобно тому, как они были выше установлены для уравнений Навье — Стокса. При этом только в разложениях (1.10) и (1.11) необходимо сохранить по три члена. [c.333]

Основной результат метода Чепмена — Энскога заключается в возвращении к макроскопическому описанию Навье — Стокса — Фурье путем соответствующего разложения определенных решений уравнения Больцмана. Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. С другой стороны, рассматривая высшие приближения метода Чепмена — Энскога, мы получаем дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнеттовские и супербарнеттовские уравнения), относительно которых ничего неизвестно, нет даже должных граничных условий. Эти уравнения более высокого порядка никогда не имели заметного успеха в описании отклонений от механики газа как континуума. Более того, предварительный анализ проблемы граничных слоев, по-видимому, дает одинаковое число граничных условий для приближений любого порядка (см. следующий параграф), в то время как порядок производных увеличивается. [c.130]

Полученные результаты показывают, что естественный подход, основанный на предположении (х, 0) == р% (х), по существу справедлив на уровне уравнений Эйлера и Навье — Стокса он неприменим на уровне уравнений Бар>нетта, статус которых, однако, не ясен, а практическая важность незначительна. Это означает, что разложение типа Гильберта корректным образом описывает начальный слой и не учитывает (обычно пренебрежимо малые) члены порядка 8 . [c.136]

Как указывалось в 4 гл. 5, если рассмотреть задачу с начальными данными, то мояшо получить строгое доказательство того, что разложение Гильберта является асимптотическим (при 8- 0) решением уравнения Больцмана и что то же самое справедливо для процедуры Чепмена — Энскога, оборванной на приближении Навье — Стокса. Из этих результатов ясно, что рассмотренные разложения, действительно, дают разумные приближения (при определенных значениях параметров), но вопрос о сходимости разлоя ений и, следовательно, о самом существовании нормальных решений не проясняется. Ввиду того что сходимости иногда придают большое значение (хотя при обычных применениях основное свойство ряда — его асимптотичность, а не сходимость), обсудим кратко вопрос о сходимости разложения Чепмена — Энскога для линеаризованного уравнения Больцмана. [c.168]

Это точное решение можно использовать для нахождения асимптотических разложений в случае малых и больших времен и для численного табулирования пространственно-временного поведения газа. Решение показывает, что профиль скорости становится все более и более гладким с ростом времени, но по прошествии 12 времен между столкновениями все еш е остается десятипроцентное отличие от решения Навье — Стокса. [c.196]

Идея метода Чепмена — Энскога [6—8] состоит в том, чтобы разложить 8 , оставляя величины р1 неразложенными, т. е. предполагается, что, хотя зависимость р1 от е во многих случаях оказывается неаналитической при 8 = 0, оператор 5 аиа-литичен по 8 (или по крайней мере представляется асимптотическим разложением по степеням е) при 8 = 0. Это предположение отнюдь не противоречиво, так как, например, уравнения Навье — Стокса аналитически (линейно) зависят от коэффициентов вязкости и теплопроводности, но у них есть решения, которые в общем случае нельзя разложить по степеням этих параметров. Чтобы формализовать эту идею и превратить ее в алгоритм, заметим, что уравнение (3.1) можно записать в виде [c.270]

Чтобы отсечь посторонние решения, нужно иметь граничные условия, способные их выделять. Хотя и возможно приступить к поискам таких условий, по-видимому, довольно неестественно строить граничные условия с целью исключения большого класса решений без всякой связи с физическими задачами. Более естественно, пожалуй, пользоваться системой уравнений, которая не имеет лишних решений. Такие уравнения получаются путем иного упорядочения членов в разложениях. Эту перегруппировку можно сделать апостериори, переразлагая решение уравнений Чепмена — Энскога по степеням средней длины свободного пробега и сохраняя решение Навье — Стокса в качестве главного члена. Однако удобнее выполнить перегруппировку априори, как было предложено в частном случае Триллингом [13], а в общем случае Трэдом [14] и Черчиньяни [15, 16]. Простой и общий метод, указанный автором [16], основан на следующем расщеплении производной по времени [c.277]

Приведенные результаты показывают, что этот прямолинейный подход, основанный на предположении р (х, 0) = р (х), по суш,еству является точным на уровне уравнений Эйлера п Навье — Стокса он не достаточен на уровне уравнений Барнета, однако практическая ценность этих уравнений весьма мала. Это означает, что разложение типа Гильберта корректно описывает [c.282]

Другой подход предложил Даррозе [38], рассматривавший степенные разложения типа Гильберта, но не по е, а по V В результате он обнаружил два пограничных слоя внешний слой толщины 0(e ), который можно отождествить с прандт-левским вязким пограничным слоем, и внутренний слой толщины 0(е), соответствующий кнудсеновскому, или кинетическому, пограничному слою. В прандтлевском слое функция распределения не относится к гильбертовскому классу, но сохраняет свойства функциональной связи с макропараметрами течения (как это известно из успешного применения метода Чепмена— Энскога на уровне Навье — Стокса). Однако при таком разло женин уравнения Навье — Стокса не появляются вместо них по лучаются уравнения Прандтля для пограничного слоя. [c.287]

Для того чтобы найти поведение к на бесконечности, нужно знать асимптотику функции Грина. Согласно результатам разд. 11 гл. IV, решение на бесконечности всегда определяется оборванным разложением Чепмена — Энскога со скоростью, давлением и температурой, удовлетворяющими стационарным линеаризованным уравнениям Навье — Стокса. В таком случае нетрудно выяснить, выполняется ли условие (13.1) для решений, стремящихся на бесконечности к линейной комбинации инвариантов столкновений (линеаризованный вариант стремления к максвеллиану). [c.378]

Уравнение (13.2) можно исследовать по аналогии с частным случаем Ксх, = О, рассмотренным в разд. 11 гл. IV, однако вид собственных решений в нашем случае более сложен. Таким образом, общее представление асимптотической части решения найти не легко. Шарф [70] получил разложение асимптотического решения в степенной ряд по k вплоть до членов второй степени. Конечно, это равносильно решению Чепмена — Энскога, оборванному на уровне Навье — Стокса соответственно и результаты, получаемые с помощью решения Шарфа, могут быть получены нeпo pi д твeннo из уравнений Навье — Стокса [71]. [c.379]

Для вывода теоремы Стокса рассмотрим произвольную замкнутую к-риную С в такой области, в которой с достаточной точностью, как и раньше, можно пренебречь членами г во второй и высших степенях в разложении w в ряд Тейлора. Тогла в такой области аффинор Ф, однозначно определяющий скоростное поле, практически постоянен. [c.80]

В монографии обсуждается значение парадоксов в динамике-вязкой жидкости, дается их классификация. Приводятся новые примеры парадоксов, связанных с потерей существования решений уравнений Навье — Стокса, пеединствеииостью стационарных решений, споптанным возникновением вращения, неравномерностью предельного перехода при устремлении к нулю вязкости, неклассическими асимптотическими разложениями в теории вязких струй. Парадоксы выявлены в широком классе гидродинамических задач. [c.2]

Перейдем к построению общего решения сформулированной краевой гидродинамической задачи вне шара радиуса Во. Для этого разложения (2.26) и (1) с учетом собственных значений у необходимо дополнить членами с такими показателями при сферическом радиусе В, чтобы при подстановке полученных разложений в уравнении Павье — Стокса линейные и нелине1шые члены имели показатели степени при В из одного и того же семейства (см. 2). Следовательно, семейство дробных показателей степени должно быть замкнуто относительно этой подстановки. Искомое разложение имеет вид (ср. с (2.26)) [c.290]

До сих пор шла речь о мультипольных разложениях (6) — (10), как об общем решепии уравнений Павье — Стокса. Однако пока не доказана равномерная сходимость этих разложений, представление решения в виде (6), (10) имеет лишь формальный характер. [c.292]

С другой стороны, главный асимптотический член (30) показывает, что при больших значениях N решение определяется вкладом решения однородной задачи, вклад же части решения, полученной итерациями по нелинейности, пренебрежимо мал. Следовательно, главную роль в определении асимптотического поведения членов разложения при оо будет играть конкретный вид граничных условий. В случае рассматриваемой краевой задачи это вид профилей скорости на сфере В = i o Можпо полагать, что для весьма широкого класса профилей скорости, близких к автомодельному, рассмотренные выше оценки будут справедливы. Указанное характерное асимптотическое поведение членов разложения может сделать предлагаемый способ построения решений уравнений Навье — Стокса удобным с практической, вычислительной, точки зрения, хотя вопрос о том, являются ли предлагаемые разложения паилуч- [c.296]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...