Матрица разностная

Отметим, что в предлагаемом алгоритме осуществляется регулярная нумерация элементарных ячеек, что обеспечивает регулярность структуры матрицы разностных уравнений, которую по узлам рассчитанной сетки можно составить для различных задач математической физики. [c.500]

В большинстве задач система алгебраических уравнений, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений разностными, имеет очень большой порядок (как правило, iV lOO), но обладает разреженной матрицей. В случае нелинейных систем итерационные процедуры, как правило, сводят к линейным системам. [c.74]

Рассмотрим теперь случай систем уравнений. Линейные двухслойные разностные схемы можно описать теми же формулами (3.38), но только теперь искомая сеточная функция Um является р-компонентным вектором, а коэффициенты а ,, Р/ суть квадратные матрицы (размера рХр). Сначала изучим решения специального вида [c.86]

Отметим, что каждое из уравнений (7.45) получено в результате разрешения разностного уравнения типа (7.41) относительно неизвестной ai(n+i). Такое разрешение, во-первых, устраняет произведение малой разности а,—а больших величин на большую величину 1/т,, содержаш,ееся в правой части основного уравнения, и делает матрицу Якоби при вычислениях в методе Ньютона лучше обусловленной. [c.207]

Искомые значения температур в уравнениях разностной схемы связаны между собой по горизонталям так же, как и в одномерном случае. Кроме того, имеются связи и по вертикалям . Причем неизвестные любой внутренней горизонтальной прямой взаимодействуют только с неизвестными двух соседних прямых — верхней и нижней. Этот факт определяет ленточный характер матрицы линейной системы уравнений относительно неизвестных температур, возникающей при неявной схеме. Остановимся на этом подробнее. [c.115]

Другой подход, называемый счетом на установление , заключается в определении решения стационарной задачи путем моделирования процесса выхода в стационарный режим нестационарного температурного поля, которое рассчитывается по какой-либо экономичной разностной схеме. При этом приходится делать определенное число шагов по времени. Общие затраты машинного времени равны произведению числа шагов по времени J на затраты на одном шаге. При использовании экономичных схем затраты на расчет поля на одном шаге пропорциональны числу узлов сетки К- Поэтому общие затраты времени с увеличением числа узлов растут медленнее, чем при решении стационарной системы с ленточной матрицей. Кроме того, при счете на установление нет необходимости хранить в памяти матрицу А, содержащую LK элементов. [c.118]

Локальные матрица и вектор-столбец. Для формирования матрицы линейной системы разностных уравнений удобно записать полученные выше соотношения для частных производных функционала п-го элемента в матричном виде. Для получения матричной записи принято использовать так называемую локальную нумерацию узлов и соответствующих им неизвестных температур, действующую только в рамках каждого конкретного элемента разбиения. [c.138]

Свойства системы разностных уравнений и методы ее решения. Теперь рассмотрим ряд важных свойств, которыми обладает глобальная матрица. Во-первых, можно доказать, что она является симметричной. Во-вторых, глобальная матрица для задач большой размерности М является сильно разреженной, т. е. большинство ее элементов — нулевые. Наконец, путем введения разумной нумерации узлов ее можно сделать ленточной. [c.144]

Система разностных уравнений (12) решается методом последовательных приближений, а компоненты матрицы и правой части принимаются с учетом результатов предыдущей итерации. Например, г = Го (1 -Ь ёе), Ф = Фо -Ь р и т. д. [c.152]

Несложно заметить, что эта матрица не зависит от координат точки внутри элемента. Следовательно, деформации в элементе постоянны, так же как и в вариационно-разностном методе. [c.125]

Система уравнений (1.15). .. (1.18) решается численным методом с записью численных аналогов уравнений по неявной схеме и с использованием метода матричной факторизации совместно с итерационными циклами по нелинейностям [16]. Наибольшую трудность при реализации метода вызывает запись конечно-разностных аналогов исходных уравнений в особой точке на оси пучка витых труб (т = 0) и введение в одну из матриц коэффициентов условия периодичности ис1, о-мых функций по азимуту. [c.18]

Расчет напряжений и смещений в винте выполнен вариационно-разностным методом (ВРМ) в перемещениях на основе разностной схемы, изложенной в работе [9]. Выбор метода расчета был продиктован тем, что при одинаковых параметрах системы разрешающих конечно-разностных уравнений (число уравнений, ширина полосы ленточной матрицы) и одинаковом расположении узловых точек ВРМ может дать лучшую аппроксимацию уравнений теории упругости, чем метод конечных элементов (МКЭ). [c.129]

Рассеивающие мотивы атомов иногда можно рассматривать как нек-рые частицы, включённые в однородную матрицу осн. вещества. Тогда ур-ние (2) соответствует т. н. разностной кривой рассеяния (разности интенсивностей излучений рассеянного всей системой и рассеянного матрицей осн. вещества). Если описывать рассеивающие мотивы атомов ф-цией распределения рассеивающей плотности р(г), а плотность частиц матрицы обозначить pj, то разность [c.42]

Методы решения разностных уравнений. При вычислении собственных частот разностными методами используют стандартные процедуры отыскания собственных значений матриц. Для построения форм собственных колебаний системы разностных уравнений наиболее часто решают методом прогонки в различных модификациях, в частности, методом матричной прогонки [30, 95]. В случае периодических решений (полярные координаты) применяют метод циклической прогонки [30, 95]. [c.187]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

Компоненты a lf и которые входят в компоненты вектора fi , заранее неизвестны и выражаются через искомые значения Ut (М, t) и Vi (М, t). Поэтому разрешить (7.25) явно относительно искомых компонентов вектор-столбца Nsd X 1 X , которыми являются неизвестные узловые значения Uj (iVn) и pt (Nn) на границе рассматриваемой области, простым обращением матрицы [А ] не удается. Тем не менее самый простой способ интегрирования (7.25) связан с обращением матрицы [А ] на каждом v-m интервале времени если аппроксимировать компоненты X разностным соотношением [c.270]

Приближения теории эффективной гомогенной среды предназначены для описания упругих свойств композитов при идеальном контакте матрицы и наполнителя. Учет корреляции включений, усложнение определяющих соотношений и условий связности фаз на границе раздела привели к необходимости использования численных методов в механике композитов. Широкое применение находят методы конечных элементов, разностные схемы. [c.20]

Для сравнения с этими результатами для выделенного на рис. 48 квадрата разностным методом, описанным в 8 гл. 5,. было получено решение той же задачи. Решение получено на сетке с тем же числом узлов на единицу длины, что и сетка, на которой вычислялась матрица А. А. Ильюшина. В табл. 4.3 и 4.4 показаны результаты проведенных вычислений. [c.211]

Таким образом, использование матрицы А. А. Ильюшина для определения эффективных модулей сильно экономит машинное время. Кроме того, если модули р1 и рг различаются между собой иа порядок и выше, матрица А. А. Ильюшина позволяет удовлетворить условиям сопряжения на границе раздела компонентов композита, а с помощью разностного метода это сделать затруднительно. [c.212]

Заметим, что в предыдущем параграфе мы также рассматривали решение разностного уравнения второго порядка (2.23). Однако там вместо краевых условий (3.33) были начальные условия (2.24), благодаря чему матрица системы была треугольной, и поэтому система разрешалась в явном виде (разностная задача Коши). Ищем решение краевой разностной задачи (3.32), (3.33) в виде [c.178]

Упражнение 5.2. Показать, что матрица А, построенная описанным выше способом, является сингулярной (вырожденной). Для численного построения матрицы А для двумерной области в виде квадрата была использована разностная схема, полученная вариационно-разностным методом, описанным в гл. 5. [c.312]

Порядок системы линейных алгебраических уравнений (7.251), (7.253), которую надо решить, сравним с N", где N h. Для достижения хорошей точ-иости решения нужно брать h достаточно мальш. Если h 1/100, то порядок системы 10 . При решении системы столь высокого порядка общими методами, например методом исключения Гаусса, нужно выполнить около = арифметических операций. На машине, делающей 0 onepatviH а секунду для этого потребуется несколько месяцев машинного времени. Это время можно сократить да 20—30 мин, если воспользоваться методом матричной прогонки (см. [24], с. 100—102), учитывающим специфику матрицы разностной задачи (ее триди-атональность) этот метод требует операций [c.186]

Итак, метод прогонки — это метод, основанный на факторизации трехдиагональной матрицы разностной системы в виде двух треугольных двухдиагональных матриц — верхней и нижней. [c.183]

Чтобы еще более существенно сократить машинное время, нужно использовать не только специфику матрицы системы, но и отказаться от нахождения ав TtwHoro решения. На самом деле точное решение разностной задачи не столь уж цгино, поскольку оно само лишь приближается к решению исходной дифферен-ц альной задачи с точностью h . Поэтому имеет смысл искать решение раз-шктной задачи тоже приближенно с точностью е 1/А/ , [c.186]

Для решения разностных уравнений, которые являются линейными алгебраическими уравнениями с трехдиагональной матрицей, в направлении используют прогонку по лучам т] = onst, а в направлении т] — итерационную схему по всему временному слою. Чтобы реализовать такую схему, члены, аппроксимирующие Ф, В-, считают известными с предыдущей [c.141]

Ниже кратко изложены некоторые аспекты устойчивости данной разностной схемы без ее детального математического обоснования. Для устойчивости схемы требуется, чтобы была устойчива как прогонка, так и итерационный процесс. Условие устойчивости прогонки для получаемой в результате преобразования дифференциальной задачи к разностной системе нелинейных алгебраических уравнений совпадает с условием хорошей обусловленности системы алгебраических уравнений для определения Zm на лучах т] = onst. Последнее условие, в свою очередь, определяется знаками собственных значений матрицы А, среди которых должны быть как отрицательные, так и положительные. Число различных но знаку собственных значений связано с направлением характеристического конуса и согласуется с количеством граничных условий при g=0 и =1. В практических расчетах из-за сильного изменения направления потока в расчетной области условие хорошей обусловленности может нарушаться, что при1юдит к неустойчивости или разбалтыванию разностного решения. В этом случае для стабилизации четырехточечной схемы приходится, например, сдвигать систему координат таким образом, чтобы собственные значения не изменяли знаков. [c.141]

Разностные уравнения (5.27) — (5.31) связывают значения сеточной функции в двух соседних сечениях по оси z с номерами (т —1) и т. При известных значениях Un,m-i ( . Л г) эти уравнения образуют систему N уравнений относительно значений сеточной функции в сечении z z - Система уравнений имеет трехдиагональную матрицу и может быть решена методом прогонки, которая проводится поперек трубы . Таким образом, построенная разностная схема аналогична неявной схеме для нестационарного одномерного уравнения теплопроводности, с тем отли-чием, что роль временных слоев играют поперечные сечения 2 . В первом сечении (т = 1) температуры задаются граничным условием (5.32), а далее последовательно для каждого сечения решается методом прогонки система разностных уравнений (5.27)—(5.31) относительно неизвестных (п = 1,. .., Nr) и определяются тем- [c.165]

Аналогично определяется поток сквозь остальные грани ячейки. Используя полученные выражения, можно преобразовать уравнение (8-46), выражакгщее баланс между потоком вектора электрической индукции и зарядом ячейки, к конечно-разностной форме. Матрица системы уравнений будет пятидиагональной, что характерно для расчета пространственно-двухмерных полей. [c.131]

Стивенсон [142] предложил более реалистичную модель. Он построил отдельные конечные элементы, состоящие из волокна с круговым поперечным сечением, помещенного в квадратную матрицу при этом он рассматривал волокна различных диаметров, находящиеся либо в центре матрицы, либо вне его. Напряжения, деформации и перемещения такого элемента определялись при помощи конечно-разностных схем. Образуя различные комбинации таких элементов с квадратными ячейками, не содержащими волокон, Стивенсон смог рещить некоторые интересные задачи. В частности, он рассмотрел схему из 25 элементов, содержащих как центральные, так и нецентральные волокна. Его результаты уточняют модель Адамса и Цая. Из-за недостатка машинного времени Стивенсон, работавший на UK4VA 1107 и 1108, не смог просчитать все примеры. [c.91]

Позже Хавнер [14] предложил новый подход к решению проблемы, применимый к общему случаю упругопластического поведения. Он получил конечно-разностную дискретизацию путем минимизации полной потенциальной энергии, что привело к системе уравнений с симметричной положительно определенной матрицей Однако Хавнер не довел решение до численных результатов и не рассматривал двухфазные материалы, которые можно было бы считать типичными представителями композитов. [c.224]

Таким образом, МКР и МКЭ позволяют привести решение краевых задач к решению однотипных систем алгебраических уравнений. Однако МКЭ обеспечивает большую степень автоматизашш получения системы разрешающих алгебраичесьсих уравнений при составлении программ. Еще одно преимущество зтого метода — универсальность по отношению к геометрии исследуемой области. Кроме того, матрица коэффициентов при неизвестных, получаемая при применении МКЭ, симметрична и, как правило, положительно определена, что позволяет использовать для решения системы алгебраических уравнений эффективные методы. Сложности применения МКР возникают при составлении конечно-разностных соотношений в многомерных областях при произвольном расположении узлов. [c.51]

Для численного решения системы (5) применялся метод конечных разностей, причем пр-именялась неявная разностная схема и получающиеся линейные системы с трехдиагональной матрицей решались методом прогонки. [c.217]

Вязкие напряжения на старом временном слое аппроксимируются с помощью обобщения центральных разностей на произвольные сетки. Вклад вязких членов в конечно-разностный оператор на новом временном слое оценивается приближенно, поскольку вклад некоторых точек опускается, с тем чтобы сохранить блочную пятидиагональную структуру матрицы коэффициентов разностной системы линейных алгебраических уравнений для приращений по времени упомянутых выше переменных. [c.393]

СЭЩдовательно, ранг матрицы не равен трем и решения не существует. Разностные схемы такого типа являются неполными, так как не позволяют найти всех функций, составляющих решения. Так, в рассматриваемом случае среди независимых разностных уравнений нет [c.228]

Изложенные выше формы метода продолжения решенш по параметру предполагают, что в рассматриваемом интервале значений параметра Ро < Р < Р определитель det(/) матрицы Якоби системы уравнений (В. 1.1) отличен от нуля. Использование метода в окрестности особых точек, где det(/) = О, требует особого обсуждения. Рассмотрим этот вопрос на примере алгебраической или трансцендентной системы уравнений. С учетом отмеченной выше общности форм дискретного и непрерывного продолжений будем исследовать задачу Коши по параметру, не касаясь ее конкретной численной реализации в ввде тех или иных разностных схем. [c.17]

Лискретный анализ устойчивости колонны, позволяющий учитывать различие геометрии и материала элементов, основан на разностных уравнениях (0.5), (0.6), дополненных уравнением равновесия колонны в целом. Здесь рассмотрены случаи шарнирно и жестко закрепленных краев, приведенные к однородным уравнениям и граничным условиям для изгибающих моментов М . Полная система уравнений записана в матричной форме. Критическое значение осевой сжимающей силы ищется из условия равенства нулю определителя матрицы методом Ньютона — Рафсона. [c.217]

Итерационные методы достаточно эффективны при решении конечно-разностных СЛАУ, матрицы которых имеют весьма специальные структуру и спектральные свойства. Метод сопряженных градиентов (МСГ) [2, 10] нельзя отнести безоговорочно к первой или второй группе, поскольку, будучи итерационным по характеру вычислительного процесса, он дает (при отсутствии погрешностей округления) точное решение за число шагов, не превышающее размерности задачи. Однако наличие погрешностей округления в реальных расчетах на ЭВМ сводит на нет эту его особенность. Спектральные свойства конечно-элементных матриц обычно обеспечивают достаточно быструю сходимость МСГ число [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...