Разностная задача Коши

Заметим, что в предыдущем параграфе мы также рассматривали решение разностного уравнения второго порядка (2.23). Однако там вместо краевых условий (3.33) были начальные условия (2.24), благодаря чему матрица системы была треугольной, и поэтому система разрешалась в явном виде (разностная задача Коши). Ищем решение краевой разностной задачи (3.32), (3.33) в виде [c.178]

Разностная задача Коши [c.6]

Уравнение (1.11) называется конечно-разностным уравнением, или конечноразностной схемой, или разностной схемой. Разностная задача (1.11)-(1.12) называется разностной задачей с начальными данными, или разностной задачей Коши. [c.7]

Нетрудно доказать, что коэффициент численной диффузии и в (2.13) должен быть положительным для обеспечения ограниченности решения разностной задачи Коши (1.11), (1.12). Для этого, при произвольной функции щ х) = и[х,0), можно применить метод разделения переменных. А можно это сделать и несколько иначе. Введем новые переменные X = х — а1, 1 = I. Пусть й(Х, ) = и х,1). Тогда [c.13]

Пусть у нас разностное решение зависит от Ь пространственных переменных XI,... Т > 1) и времени 1. Рассмотрим разностную задачу Коши [c.22]

Аналогично может быть исследована в норме пространства С устойчивость нелинейных разностных задач Коши, а также разностных начально-краевых задач. Заметим, что получаемые при этом условия устойчивости являются не только необходимыми, но и достаточными, поскольку проверяются непосредственно неравенства (3.20) или (3.21), то есть определения устойчивости. [c.26]

Рассмотрим разностные многошаговые методы, свободные от этого недостатка. Вновь рассмотрим задачу Коши (1.30). Пусть Xi, Xi-u. .. — узлы такие, что Xi—Xi- = h, и решение известно в некотором числе узлов xi, xi-, . .., xi-h. Запишем уравнение [c.19]

Разностная схема. Ошибка аппроксимации. Обычно при рассмотрении уравненнй эволюционного типа требуется определить решение в некоторой области G по условиям, заданным на определенных частях ее границы Г. Это могут быть начальные условия (задача Коши) или начальные и граничные условия (краевая задача). В процессе изложения будем формулировать различные краевые задачи как для уравнений (3.1), (3.2), так и для других простейших гиперболических и параболических уравнений. [c.75]

Рассмотрим для уравнения (3.1) задачу Коши найти решение уравнения (3.1) в области —оо<л < + оо, 0, удовлетворяющее начальному условию (О, х)=(( х). Здесь область G — верхняя полуплоскость >0, а Г — ось х. Построим следующую разностную схему для этой задачи. Введем прямоугольную сетку t = nx, п = 0, 1, 2,... Xm = tnh, m = 0, 1, 2— За- [c.75]

Полученная таким способом линейная сеточная краевая задача с постоянными коэффициентами обычно не допускает еще строгого исследования, поэтому производят дальнейшие упрощения, которые приводят к редуцированным краевым задачам, учитывающим лишь некоторые из краевых условий. Далее будем рассматривать простейшую из них — задачу Коши. Таким образом, в вопросе исследования корректности разностной схемы мы ограничимся изучением устойчивости ее относительно возмущений начальных данных. Исследование, проведенное на уровне задачи Коши, позволяет отсеивать многие неустойчивые схемы. Окончательный вывод об устойчивости схемы можно сделать только после ее испытания. [c.85]

Таким образом, обратная задача сводится к задаче Коши. Известно, что для эллиптических уравнений задача Коши в общем случае некорректна, т. е. небольшое изменение начальных данных может привести к значительному изменению решения. Представленная ниже разностная схема пригодна для решения некорректной задачи Коши в силу специальной аппроксимации производных и выбора шагов разностной схемы. [c.188]

Основная проблема ири использовании этого метода состоит в обеспечении устойчивости и допустимой погрешности разностной схемы. Для дифференциальных уравнений задача Коши, когда заданы начальные значения всех искомых функций, сводится к рекуррентным формулам для последовательности значений в узлах, начинающейся от начальных значений. Такая схема называется явной. Краевые задачи приводят к решению системы алгебраических уравнений — неявная схема. Обычно решение нетрудно реализовать в виде программы для ЭВМ, однако требования к объему располагаемой памяти и скорости выполнения операций оказываются весьма жесткими. [c.83]

Разностные методы решения задачи Коши (188) — (189) чаще всего используют сетку (191) с постоянным шагом Л. [c.123]

Приведенные разностные схемы интегрирования задачи (188) — (189) легко применить для решения задачи Коши в случае систем дифференциальных уравнений второго порядка (193) — (194). [c.124]

Систему (8.55) удобнее всего решать конечно-разностным методом как задачу Коши, на кажд м шаге отыскивая решение нелинейной алгебраической системы четырех уравнений (начальные условия — нулевые- при t — О и — v — О). [c.468]

Имеем дифференциально-разностное уравнение, в котором произведение nd играет роль координаты. Согласно теории дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных решение задачи Коши [c.359]

Сопоставление точного и приближенных решений. Реализация на ЭВМ описанного выше точного решения для оболочек с большим числом слоев затруднительна. Поэтому представляет интерес использование различных приближенных подходов, эффективных с вычислительной точки зрения, и их сопоставление с точным решением иа примере задачи для оболочки с небольшим числом жестких слоев. Ранее [И] для решения этой задачи был использован получивший в последнее время широкое распространение метод сведения к ряду задач Коши, являющийся разновидностью метода ортогональной прогонки (метод С. К. Годунова). Однако в связи с ограниченной памятью ЭВМ и особенностями операторов уравнений теории многослойных оболочек этот метод не может применяться для оболочек с большим числом слоев. Поэтому представляет интерес изучение возможности и эффективности применения разностных методов. [c.82]

При численном решении задачи Коши возникают определенные трудности. В эллиптической области в обш,ем случае задача некорректна в смысле Адамара, хотя, если рассматривается класс аналитических функций, то в ограниченной области задача становится, как показано М. М. Лаврентьевым, корректной. Тем не менее даже при аналитических начальных данных в дозвуковой области, где уравнения газовой динамики являются эллиптическими, при неудачно выбранной разностной схеме при решении задачи Коши чрезвычайно быстро возрастают ошибки округления. Поэтому для получения устойчивого решения необходимо выбрать такую разностную схему, при применении которой ошибки округления не превосходили бы существенно ошибок аппроксимации. [c.99]

Таким образом, при расчете течения в эллиптической области целесообразно использовать разностную сетку с переменным шагом. Использование больших шагов разностной сетки в областях с малыми градиентами приводит к тому, что рост ошибок округления при численном решении задачи Коши для эллиптических уравнений оказывается практически незаметным и не сказывается иа устойчивости счета. [c.101]

Разностные схемы для уравнения переноса. Рассмотрим разностные схемы решения задачи Коши для уравнения переноса [c.159]

Последнее неравенство называют также принципом максимума для разностной схемы максимальное значение модуля разностного решения достигается на границе области. Для задачи Коши, которую мы рассматриваем, это имеет место в начальный момент на прямой = 0. Таким образом, выполнение принципа максимума фактически является достаточным условием устойчивости разностной схемы. [c.164]

Свойства матрично-разностных операторов. Чтобы оценить устойчивость нелинейной схемы (1.65а) с любыми из операторов (1.66), будем использовать принцип замороженных коэффициентов. Предполагается, что Г(и, д )=/,и, Р(и,х) = С и, я = 0, где > и I - постоянные матрицы. Кроме того, для исключения влияния на устойчивость граничных условий, различных для различных задач, будем считать, что для (1.58) поставлена задача Коши в неограниченной области >0, с начальными данными при г = О, обращающимся в ноль вне некоторого интервала оси д . [c.44]

Полученное решение можно трактовать как линейную комбинацию решений двух разностных задач Коши. В самом деле, из тождественных преобразований (полагая Uj = / , / — некоторый паргшетр), где [c.179]

Таким образом, при расчете течения в эллиптической области целесообразно применять разностную сетку с переменным шагом. Использование больших шагов разностной сетки в областях с малыми градиентами приводит к тому, что рост погрешностей округления при численном решении задачи Коши для эллиптических уравнений оказывается практически незаметным и не влияет на устойчивость счета. Для проверки этих соображений были проведены специальные расчеты, в которых рассматривалось различное расположение точек на слое. При использовании разностной сетки с постоянным, но мелким шагом рост погрешностей округления в области / приводил к тому, что после небольшого числа шагов в направлении по нормали к линии тока счет становился неустойчивым. При использовании разностной сетки с постоянным, но большим шагом, таким, что рост погрешностей округления в области / был практически неощутим, погрешности аппроксимации в областях II и IV становились настолько значительными, что по-прежнему счет быстро становил- [c.189]

При вычислении производных в крайних точках слоя х полагают равным Xi-i или д ,+, для левого и правого конца соответственно. В остальных точках слоя x = xi. При вычислении производных трехточечная разностная схема в сочетании с неравномерной сеткой является своеобразным регуляризирующим оператором, который позволяет успешно решать некорректную задачу Коши в эллиптической области. Изложенная разностная схема имеет второй порядок точности по который обеспечивается итерациями по I. [c.190]

Численные методы решения задачи Коши. Наиболее широко применяют одношаговые методы типа Рунге—Кутта, а также многошаговые явные и неявные разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так называемых жестких или сиигулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко реализовать автоматический выбор шага дискретизации. [c.120]

Если решать численно задачу Коши и в качестве начального условия взять распределение параметров в стационарной волне, а в качестве условия на бесконечности за волной — условие отсутствия отражения возмущений, идущих туда вдоль характеристик, то для случаев, когда согласно линейной теории стационарная волна устойчива, волна продолжает распространяться в стационарном режиме. Малые отклонения от принятых начальных данных быстро затухают. Если же проводить расчет для линейно-неустойчивой волны, то вычислительные ошибки используемых конечно-разностных методов служат источником малых возмущений и очень быстро приводят к колебательному режиму распространения волны детонации. На рис. 20 приведен пример такого расчета для модели с одной реакцией первого порядка аррениусовского типа. В этом примере согласно линейной теории имеется лишь одна неустойчивая частота. Численный расчет [c.136]

Изложенные выше формы метода продолжения решенш по параметру предполагают, что в рассматриваемом интервале значений параметра Ро < Р < Р определитель det(/) матрицы Якоби системы уравнений (В. 1.1) отличен от нуля. Использование метода в окрестности особых точек, где det(/) = О, требует особого обсуждения. Рассмотрим этот вопрос на примере алгебраической или трансцендентной системы уравнений. С учетом отмеченной выше общности форм дискретного и непрерывного продолжений будем исследовать задачу Коши по параметру, не касаясь ее конкретной численной реализации в ввде тех или иных разностных схем. [c.17]

Итак, переход от классической модели деформирования слоистых тонкостенных пластин к той или иной корректной уточненной модели сопровождается увеличением не только порядка системы дифференциальных уравнений, но и спектрального радиуса матрицы ее коэффициентов и, как следствие, появлением быстропеременных решений, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и описывающих краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом поперечных сдвигов и обжатия нормали. Такая ситуация характерна не только для балок или для длинных прямоугольных пластинок, изгибающихся по цилиндрической поверхности, но, как будет показано ниже, и для элементов конструкций других геометрических форм — цилиндрических панелей, оболочек вращения и др. Отметим, что стандратные методы их решения, которые согласно известной (см, [283 ]) классификации делятся на три основные группы (методы пристрелки, конечно-разностные методы, вариационные методы, метод колло-каций и др.), на этом классе задач малоэффективны. Так, группа методов пристрелки, включающая в себя, в частности, широко используемый и весьма эффективный в задачах классической теории оболочек метод дискретной ортого-нализации С.К. Годунова [97 ], на классе задач уточненной теории оболочек оказывается практически непригодной. Методами этой группы интегрирование краевой задачи сводится к интегрированию ряда задач Коши, формулируемых для той же системы уравнений. Для эллиптических дифференциальных уравнений теории оболочек такие задачи некорректны (см., например, [1]), что при их пошаговом интегрировании проявляется в форме неустойчивости вычислительного [c.109]

Метод прогонки. Этот метод применяется не к интегральному, а к дифференциальному уравнению переноса. Значительная трудность при его решении создается тем обстоятельством, что задаются не начальные, а граничные условия, так что надо решать не задачу Коши, а краевую задачу, что всегда сложнее. После дискретизации дифференциального уравнения по глубине, углам и частотам получающееся разностное уравнение решается сначала от верхней границы в сторону возрастающих глубин, а затем обратным ходом. Однако в первом случае не известна интенсивность излучения, идущего вверх, а во втором — вниз. Поэтому при прямом проходе находится решение не с определенным граничным значением интенсивности выходящего излучения, а рассчитываются обратные матрицы на случай как бы произвольных ее значений, причем заданных для всех значений углов. Затем решение выбирается так, чтобы удовлетворить условию на нижней границе [45]. После этого вычисляется интенсивность восходящего излучения. В теории переноса такая процедура, которая применяется для расчета как рассеяния в линии, так и при монохроматическом рассеянии, носит название метода Фотрие. [c.201]

Решение приведенных краевых задач достигается различными способами. В случае, когда уравнения (6.12) линеаризованы, решения задач Коши и Римана можно представить в замкнутом виде посредством функции Римана [224]. Однако использование указанных решений связано с большим объемом вычислений. Решение краевых задач можно представить в аналитической форме с помощью аппарата так называемых метацилиндрических функций, рассмотренных Л. С. Агамирзяном [I]. Однако более простыми методами решения краевых задач являются приближенные методы построения полей скольжения, основанные на переходе к конечно-разностным соотношениям и использовании некоторых свойств линий скольжения [77, 155, 200, 212, 224]. Рассмотрим некоторые методы численного решения приведенных основных уравнений. [c.168]

ДЛЯ системы уравнений (1.35) — (1.37) в переменных Мизеса х, ф и состоит в онределепии параметров течения и линий тока в окрестности оси симметрии т]) = О но заданному распределению ско-рости п = па х) (или давления, или плотности) на оси в общем случае в дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой областях сопла. Уравнения газовой динамики имеют в этих областях эллиптический, параболический и гиперболический тип соответственно. Известно, что для эллиптических уравнений задача Коши в общем случае некорректна, т. е. небольшое изменение начальных данных может привести к значительному изменению решения. Представленная нинге разностная схема оказалась пригодной для решения некорректно задачи Коши в силу специальной аппроксимации производных и выбора шагов разностной схемы [149, 150]. [c.84]

При вычислении производных в крайних точках слоя s полагается равным Si-1 или s,+i для левого и правого концов соответственно. В остальных точках слоя s=s,. Производные dp/dQ и dr/dQ вычисляются аналогичным образом. Однако при этом, по-видимому, целесообразно использовать трехточечную схему с постоянным шагом А0 на плоскости s= onst, который тем не менее. может изменяться от одной плоскости к другой. Очевидно, что формула (3.12) получена в результате дифференцирования интерполяционного полинома Лагранжа, проходящего через точки 5, 1, Si и s,+i. Трехточечная разностная схема при вычислении производных в сочетании с неравномерной сеткой является своеобразным регуляризирующим оператором в смысле Тихонова А. Н., который позволяет успешно решать некорректную задачу Коши. Производная входящая [c.102]

Успешное решение представленных выше задач оказалось возможным благодаря следующим обстоятельствам. Во-первых, во всех случаях решалась обратная задача, которая сводится к задаче Коши, а не к краевой задаче, что значительно упрощает алгоритм численного решения. Во-вторых, примененная разностная схема позволяет проводить расчеты сложных течений с высокой точностью при весьма малых затратах машинного времени и практически без ограничений, связанных с устойчивостью. В-третьих, весьма существенным оказалось применение малоточечных (трехточечных) разностных схем с переменным шагом на слое для решения некорректных задач Коши. [c.188]

В этой глапе в основном будет рассматрпнаться задача Коши. В общей теории устойчивости доказывается, что для линейных задач схемы, устойчивые по начальным данным, устойчивы и по правой части [80], Поптому в дальнейшим мы ограничимся главным образом исследованием устойчивости разностных схем по начальным данным. [c.155]

Заметим, что вычисление аппроксимации Ритца предполагалось непрерывньш по времени-, до сих пор лишь дискретизация заменяла все допустимое пространство его подпространством 5 . Это соответствует изложению задачи Коши в гл. 7, где ошибки метода" Ритца отделены от ошибок метода конечных. разностей (или другого метода) по временному направлению. Для нелинейной задачи большие дискуссии вызвал наилучший метод приращений , но мы полагаем, что все основные возможности сходятся в одном. Они просто вносят новую ошибку, пропорциональную степени приращения в случае разностного уравнения. [c.138]

Безусловно, можно использовать более точные разностные схемы для вычислений производных, папример, центральную, но в этом случае придется на каждой итерации решать пять задач Коши, что увеличит время вычислений почти вдвое, не сказываясь прпнцпппально на конечном результате. [c.321]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...