Собственные колебания гармонического осциллятора

Удерживающая сила. Представляя атом гармоническим осциллятором определенной частоты, можно считать, что электрон в атоме удерживается в положении равновесия квазиупругой силой Д/ = —fr, которая пропорциональна смещению электрона г, возникающему под действием поля световой волны. Масса электрона т и коэффициент квазиупругой связи / определяют частоту собственных колебаний гармонического осциллятора [c.91]

Как записываются уравнения собственных колебаний гармонического осциллятора или точки 2. Каков вид уравнения колебательного движения точки с учетом сил сопротивления без воздействия вынуждающей силы при наличии возмущающей силы 3. В чем заключается явление резонанса и когда оно проявляется 4. Уравнения малых колебаний механической системы с одной степенью свободы и уравнения колебаний точки вдоль оси идентичны. Какая разница в интерпретации координат в этих случаях [c.156]

Рассмотрим полученный результат с энергетической точки зрения. На концах нашего стержня длины Ь напряжение, а следовательно, и поток энергии равны нулю. Обмена энергией с закрепляющими ножами также нет, так как они неподвижны. Следовательно, стержень не получает и не теряет энергии. Это и позволяет сохраниться неопределенно долго незатухающему колебанию (6.21). Как и при собственном колебании гармонического осциллятора дважды за период кинетическая энергия превращается в потенциальную и наоборот. [c.196]

Собственные колебания гармонического осциллятора 63 и д. [c.570]

Рис. 3.1. Поведение амплитуды колебаний гармонического осциллятора при внешнем воздействии, частота которого совпадает с собственной частотой осциллятора. Из-за множителя I в формуле (3.8) происходит так называемый секулярный рост амплитуды

Нормированные нормальные колебания (координаты) 85, 108 Нормировка к единице 88, 222, 406 Нормировка нормальных колебаний 85 собственных функций гармонического осциллятора 91 Нулевая энергии 9 , 225 в термодинамических расчетах 543, 551,. 558 [c.617]

Проиллюстрируем эти утверждения на простом классическом примере вынужденных колебаний гармонического осциллятора с собственной частотой о и затуханием у. Такие колебания характеризуются уравнением [c.583]

Отсюда видно, что в постоянном внешнем электрическом поле колебания осциллятора останутся гармоническими с прежней частотой о, но они будут происходить около нового положения равновесия. Таким образом, постоянное электрическое поле не изменяет собственную частоту гармонического осциллятора, а только смещает положение равновесия, около которого совершаются свободные колебания. [c.562]

При этом частота со снова является зависящей от амплитуды частотой собственных колебаний нелинейного осциллятора. Впрочем, этот пример показывает также, что в нелинейных системах возможны гармонические колебания. Их возникновение можно объяснить тем, что из-за наличия нелинейного члена колебания тройной частоты непосредственно компенсируются возмущением (см. формулу (5.166)). Правда, такая компенсация возможна только при совершенно определенной амплитуде возмущения. [c.247]

Частота v называется собственной частотой колебаний гармонического осциллятора. [c.53]

Если частота вынуждающей силы со совпадает с собственной частотой гармонического осциллятора V и сопротивление движению равно нулю (е = 0), то вынужденные колебания описываются уравнением , [c.54]

В этой схеме наличие в спектре нескольких полос поглощения, возле которых резко изменяется ход показателя преломления, потребует допущения о наличии нескольких групп различных гармонических осцилляторов. Воздержимся от этого предположения и связанного с ним усложнения исходных формул см. (4.12)]. Будем считать, что все гармонические осцилляторы идентичны, т.е. имеют одну собственную частоту колебания соо- [c.139]

В уравнении (107) со представляет собой частоту вынуждающей силы, а не собственную частоту осциллятора фаза ср — это разность фаз между вынуждающей силой и смещением осциллятора. Поэтому здесь ф имеет совершенно другое значение, чем то, с которым мы имели дело в случае невынужденных колебаний незатухающего гармонического осциллятора, когда величина ф определялась начальными условиями. Начальные условия не имеют значения для вынужденных колебаний осциллятора, если только рассматривается установившееся состояние. [c.226]

Итак, полная тепловая энергия колебаний атомов в цепочке складывается из энергий нормальны.х колебаний, ведущих себя подобно линейным гармоническим осцилляторам с собственной частотой (йк. [c.151]

Гармоническое возбуждение. Применение гармонического возбуждения (для определения частот и форм собственных колебаний), которое является частным видом периодического возбуждения, имеет ряд преимуществ. Исследуемая механическая система отзывается на такое возбуждение, как набор осцилляторов, особенно в случаях, когда соответствующие декременты малы, т. е. для тех собственных тонов, которые являются наиболее важными, например могут быть наиболее опасны по соображениям прочности. [c.332]

Выражение (8.28а) является суммой гамильтониана жесткого волчка и гамильтонианов гармонических осцилляторов остальные члены в выражении (8.28) создают эффекты центробежного искажения, кориолисова взаимодействия колебаний и ангармоничности ). Сначала мы определим точные собственные функции разделяющегося гамильтониана в выражении (8.28а), а в гл. 10 воспользуемся этими собственными функциями для определения типов симметрии уровней энергии. Запишем [c.192]

I ругая трактовка равновесного излу-иения, восходящая к Рэлею, состоит в том, чтобы само электромагнитное поле в полости рассматривать как набор осцилляторов. Можно говорить о собственных колебаниях этого поля и применить к ним методы статистической механики, а не вводить вспомогательный планковский осциллятор, взаимодействующий с излучением. Пусть для определенности полость имеет форму куба с ребром а ее стенки — зеркальные. Собственные нормальные колебания поля в таком объемном резонаторе представляют собой стоячие волны различных частот. Полное поле можно представить как суперпозицию таких стоячих волн, и в энергетическом отношении оно ведет себя как система невзаимодействующих гармонических осцилляторов. Для нахождения спектральной плотности энергии поля нужно подсчитать число независимых стоячих волн в полости с частотами в интервале от ы до о)-1-с]а). Как и в одномерном случае струны, закрепленной на концах, здесь для любого нормального колебания необходимо, чтобы вдоль каждого ребра укладывалось целое число полуволн. Пусть направление во ны (нормаль к плоскостям равных фаз) образует углы а, р и V с ребрами куба. Проекция любого ребра на это направление должна быть равна целому числу полуволн [c.435]

Для того чтобы последующие рассуждения были более ясны, рассмотрим в качестве примера колебательные возбуждения кристаллической решетки. До тех пор, пока колебания являются малыми, решетку можно рассматривать как совокупность связанных гармонических осцилляторов. Введя нормальные координаты, мы получим систему ЗМ (М — число атомов) линейных осцилляторов с собственными частотами ш,. Согласно квантовой механике, энергетический спектр [c.11]

В гл. 10 на основе теории представлений изучаются и систематизируются различные вопросы классической динамики решетки. Рассмотрение включает теорию инвариантов, вычисление тензоров, влияние ангармонизма и обсуждение того, как, используя свойства симметрии, определить собственные векторы нормальных колебаний и, таким образом, факторизовать динамическую матрицу. Изложение квантовой динамики решетки в гл. 11 следует традиционному рассмотрению в рамках адиабатического приближения Борна — Оппенгеймера. Однако, развивая традиционное рассмотрение, мы строим здесь параллельно теорию симметрии собственных функций. Преобразование собственных функций решетки при преобразованиях симметрии дает удобный способ характеристики основного и возбужденных состояний системы связанных гармонических осцилляторов решетки. Такое рассмотрение позволяет также исследовать интересную внутреннюю связь между теорией симметрии системы, имеющей пространственную группу или пространственно-временную группу д, и теорией симметрии системы тождественных [c.20]

Собственные колебания линейного гармонического осциллятора, рассмотренные в предыдущем параграфе, происходят в отсутствие переменных внешних полей и сил трения, действующих на колеблющуюся систему со стороны окружающей среды. Рассмотрим, какие изменения в характер малых колебаний системы вносит действие переменного внешнего поля. [c.218]

Явление вынужденного излучения в последние годы привлекает большое внимание потому, что оно лежит в основе действия мазеров и лазеров. Для того чтобы пояснить физический смысл этого явления, остановимся кратко на его классической трактовке. Как известно, в классике излучающий атом представляется упруго связанным электроном — гармоническим осциллятором. Пусть на осциллятор действует вынуждающая сила — электрическое поле световой волны, причем частота волны совпадает с собственной частотой осциллятора. Если в начальный момент осциллятор покоился, то под действием поля осциллятор начнет резонансно раскачиваться, амплитуда колебаний будет возрастать а знергия i . Однако если в начальный момент осциллятор обладал определенной энергией, то сила, действующая с резонансной частотой, может раскачивать осциллятор еще сильнее, а может и, наоборот, гасить его колебания, так что осциллятор будет терять энергию. Это зависит от соотношения фаз колебания и переменной силы. Подчеркнем при этом, что для отбора энергии от осциллятора резонансный характер силы также необходим, как и для раскачки осциллятора. [c.108]

В классической теории моделью излучающего атома является упруго связанный электрон, который совершает колебания около некоторого положения равновесия. В нулевом приближении, без учета потерь энергии на излучение, такая система представляет собой гармонический осциллятор. Поскольку колеблющийся электрон движется ускоренно, он излучает свет. Если потеря энергии за период одного колебания очень мала по сравнению с самой энергией колебаний Ш, то скорость излучения можно вычислить по общей формуле (5.1), подставив в нее ускорение гармонического осциллятора. Обозначим через Vo собственную частоту осциллятора. Если г — координата электрона, отсчитываемая от положения равновесия, то ускорение есть ю = 4я у г. Средняя по времени скорость потери энергии электрона на излучение согласно (5.1) равна [c.244]

Гармоники и субгармоники. Дан гармонический осциллятор с частотой собственных колебаний о=10 гц и очень большим временем релаксации. Если на осциллятор действует гармоническая сила с частотой 10 гц, то амплитуда колебаний осциллятора станет большой, т. е. он будет резонировать с частотой возбуждающей силы. Никакая другая гармоническая сила не сможет вызвать колебаний со столь большой амплитудой. (Очевидно, нужно сравнивать силы одинаковой величины, но разной частоты.) [c.148]

Уравнение (9.45) описывает простой гармонический осциллятор с затуханием у, возбуждаемый (первый член) на частоте, примерно равной 0) , близкой к собственной частоте Если пренебречь членом, обусловливающим вынужденные колебания, то мы получим решение в виде [c.239]

Явление резонанса состоит в резком возрастании амплитуды установившихся колебаний, которое наступает при приближении частоты и гармонического внешнего воздействия к собственной частоте Шо осциллятора (в более общем случае — к частоте иц одного из собственных колебаний анализируемой системы). [c.28]

Гипотеза Планка состоит в том, что излучение и поглощение света веществом происходит не непрерывно, а конечными порциями, называемыми квантами света или квантами энергии. Получим формулу Планка тем же методом, который применялся при выводе формулы Рэлея — Джинса. Тогда гипотезу Планка удобно взять в следующей форме энергия гармонического осциллятора может принимать не произвольные, а только избранные значения, образующие дискретный ряд О, Й о> 2й о, З о. где определенная величина, зависящая только от собственной частоты ю осциллятора. Здесь под осциллятором понимается не только частица, могущая совершать гармонические свободные колебания, но, например, и стоячая волна определенной частоты в полости. [c.698]

Резонанс можно наблюдать также и со светом. Если в откачанный стеклянный сосуд ввести кусочек натрия, последний будет испаряться. Можно подобрать такую температуру, чтобы в сосуде установилась заметная плотность газообразного натрия и тем не менее он еще не давал свечения. Если освещать сосуд красным, оранжевым, зеленым, синим, фиолетовым светом, сосуд останется темным. Но если освещать его желтым светом натрия, с которым мы познакомились в 1, газообразный натрий в сосуде вспыхивает таким же желтым светом. Это явление называется резонансной флуоресценцией. Объяснение его заключается в том, что электроны, заключенные в атомах натрия, ведут себя как гармонические осцилляторы, настроенные на определенный период колебаний, соответствующий желтому свету. Если период колебаний падающего на них света совпадает с собственным периодом колебаний, они сильно раскачиваются (резонанс ) и сами начинают испускать свет такого же периода. [c.23]

Периодическое вынужденное колебание. Рассмотрим теперь другую задачу. Можно ли при наличии периодических толчков так запустить гармонический осциллятор, т. е. подобрать такие начальные условия, чтобы он совершал периодическое движение с периодом толчков Иначе говоря, могут ли при подходяш их условиях периодические толчки навязать осциллятору свой период, поддерживая в нем периодические колебания с периодом, отличным от собственного периода осциллятора Будем опять вести исследование на плоскости 5, р. [c.78]

В разд. 2.1.3.5 были исследованы собственные колебания нелинейного осциллятора с восстанавливающей силой f x)=h sign х. Теперь мы рассмотрим вынужденные колебания этого же осциллятора, порожденные гармоническими возмущак)щими силами. При отсутствии демпфирующих сил уравнение движения имеет вид [c.232]

Для вынужденных колебаний гармонического осциллятора характерно явление резонанса. Резонанс наступает при сближении значений собственной частоты и частоты вынужденних колебаний. Он сопровождается значительным увеличением амплитуды колебаний и сильной зависимостью фазы колебаний от частоты. Последнее приводит к тому, что в сравнительно узкой области изменения частоты колебания на входе и выходе из звена переходят от почти синфазной к практически противофазной форме. Явление резонанса приводит к тому, что максимальное значение коэффициента усиления для первого осциллятора будет при частоте о) г, а для второго — при частоте В тех же слу [c.43]

Сложное Движение частиц, образующих твердое Тело, можно в определенном приближении разложить на сумму нормальных колебаний, каждое из которых обычно характеризует собой волну, расгфостраняющуюся в системе. С этой точки зрения система 1предста1вляет собой совокупность гармонических осцилляторов, причем каждому нормальному колебанию соответствует свой собственный осциллятор. Такого рода колеблющиеся осцилляторы можно рассматривать как квантовую систему диполей, возбуждающих элементарные порции энергии — фононы. [c.42]

В простом случае атом рассматрршается как гармонический осциллятор с круговой частотой собственного колебания ы ,. Предположение о гармоническом колебании электрона означает, что на него действует упругая сила, линейно возрастающая с увеличением смещения электрона из положения равновесия. Напишем уравнение движения [c.269]

В связи с обсуждением опытов Вавилова м ы обращали внимание на изменение числа поглощающих частиц под влиянием мощного падающего излучения. Однако это не единственный эффект, имеющий место при больших интенсивностях света. В 156 подчеркивалась тесная связь законов поглощения и дисперсии с представлением об атоме как о гармоническом осцилляторе, заряды которого возвращаются в положение равновесия квазиупругой силой. Если интенсивность света, а следовательно, и амплитуда колебаний зарядов достаточно велика, то возвращающая сила уже не будет иметь квазиупругий характер, и атом можно представить себе как ангармонический осциллятор. Из курса механики известно, что при раскачивании такого осциллятора синусоидальной внешней силой (частота ш) в его движении появляются составляющие, изменяющиеся с частотами, кратными со, — двойными, тройными и т. д. Пусть теперь собственная частота осциллятора соо. подсчитанная в гармоническом приближении, совпадает, например, с частотой 2ш. Энергия колебаний зарядов в этом случае особенно велика, она передается окружающей среде, т. е. возникает селективное поглощение света с частотой, равной со = /2 0o. Таким образом, спектр поглощения вещества, помимо линии с частотой о),,, должен содержать линии с частотами, равными /гСОо, а также /зй)(, и т. д. Коэффициент поглощения для этих линий, как легко понять, будет увеличиваться с ростом интенсивности света. [c.570]

Исследуемая механическая система при изменении гармонического возбуждения отзывается как набор осцилляторов. Рассмотрим методы определения характеристик собственных колебаний для систем с одной степенью свободы. Практически одним из простых и тотаых способов определения собственной частоты является ее определение по нулевому фазовому СДВИ1У сигналов скорости колебаний и вынуждающей силы. Максимальная амплитуда измеряется датчиком скорости при резонансной частоте (частоте фазового резонанса). Фазовый сдвиг перемещения (и ускорения) для этой частоты составляет 90 . [c.354]

Для большинства веществ величины /г и х заметно зависят от длины волны излучения На основании известной модели зату- хающего гармонического осциллятора была получена дисперсионная формула, устанавливающая зависимость оптических констант л и и от круговой частоты излучения со = 2яс/Я = 2 v и круговой частоты сод собственных колебаний упругосвязанного электрона. Величины д и я взаимно связаны друг с другом. Их соотношение устанавливается известной формулой Крамерса—Кронига [c.46]

Разложение поля, по нормальным тинам колебаиий эквивалентно разложению по гармоническим осцилляторам, т. е., в данном случае поле рассматривается как совокупность осцилляторов. Каждый из нормальных типов колебаний есть квантовый осциллятор с уровнями энергии Ьи)к(Пк+ /2), которые являются собственными значвииям и 0перат0 ра аиергии поля, Н=ЛЬш (<цак+Ч2). Опуская [c.198]

Как показано в книге [В], попытка Хампе доказать существование действующей на свободные электроны возвращающей силы, пропорциональной отклонению центра масс электронного облака от центра металлической частицы, является недоразумением, основанным на произвольном сосредоточении всех электронов в одной точке. На самом деле электроны, как и положительный заряд ионного остова, распределены равномерно по всей частице, так что внутри нее результирующий потенциал оказывается постоянным. Ошибочность теории Хампе особенно наглядно проявляется в невозможности получить из нее правильное классическое выражение для поляризуемости металлической частицы. Однако, несмотря на очевидную несостоятельность описания свободных электронов гармоническими осцилляторами, эта концепция усиленно развивалась в работах 1976, 983—985, 981], а в работе [986] она была использована для оценки влияния межзонных переходов на плазменный резонанс в малых металлических частицах. Между тем в рамках классической электродинамики правильная трактовка проблемы собственных колебаний электронов галой частицы возможна только путем строгого решения уравнения Лапласа с учетом граничных условий. [c.307]

ПЗ.4.4. Линейный гармонический осциллятор. Линейный гармонический осциллятор — это частица, совершаюш ая одномерные малые колебания под действием квазиупругой силы Е = —кх вдоль оси X с собственной циклической частотой ии к = тсо, т — масса частицы. Потенциальная энергия частицы равна [c.484]

Полная колебательная собственная функция (1 , согласно (2,46), является произведением собственных функций <1(50, <1 2( 2)>--- гармонических осцилляторов, соответствующих ЗЛ —6 или ЗЛ —5 нормальным координатам. Поэтому, если мы имеем только невырожденные нормальные колебания, то полная собственная функция по отношению к данной операции симметрии будет симметричной при условии, что число множителей ( ,/), антисимметричных относительно этой операции симметрии, является четным полная собственная функция будет антисимметричной, если имеется нечетное число антисимметричных множителей. Поведение полной собственной функции [Ю отношению к данной операции симметрии не зависит от числа симметричных множителей. Иначе говоря, в силу антисимметричности функций 4 г( ) антисимметричных нор- [c.115]

Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы одномерная система вблизи положения устойчивого равновесия совершает движение, представляющее собой наложение двух гармонических колебаний собственного колебания с частотой о)о и вынужденного колебания с частотой вынуждающей силы Y< В отсутствие сил трения вынужденные колебания осциллятора проис ходят либо синхронно с изменением вынуждающей силы (при у < < соо). либо отстают по фазе на угол п (при у > соо). Случай у = = о требует специального рассмотрения. Рассмотрим энергетические превращения, происходящие в механической системе, совершающей вынужденные колебания. Допустим, что в начальный момент / = О система находится в положении равновесия и покоится, т. е. л (0) = О и х (0) = 0. Пусть на систему действует вынужда- [c.220]

Отсюда видно, что во внешнем постоянном электрическом поле малые колебания ангармонического осциллятора в рассматриваемом приближении опять будут гармоническими. Однако при наличии ангармоничности внеихнее поле не только смеш/хет положение равновесия, но и изменяет собственную частоту осциллятора. Изменение квадрата собственной частоты осциллятора приближенно равно Асоо == 2рго, или в том же приближении [c.563]

Известно, что благодаря явлению резонанса сильно несинусоидальная внешняя сила при наличии линейного затухания может поддерживать Б гармоническом осцилляторе колебания, весьма близкие(в смысле близости периода и малости клирфактора) к одному из его собственных (и, следовательно, синусоидальных) колебаний. Мы можем поэтому сказать, что в задаче о генераторе с /-характеристикой при достаточно малом А мы имеем дело с авторезонансом, т. е. с резонансом под действием силы, порождаемой движением самой системы ). [c.194]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...