Амплитуда собственных гармонических колебаний

Прежде всего рассмотрим свободные гармонические колебания, при которых iW =0, /=0, Wij =0. В этом случае вал не возмущен и не колеблется. Понятие порядка гармонических составляющих V в данном случае теряет смысл. Поэтому в уравнениях (6.09) мы оставляем индексы v и вместо vw вводим частоту собственных, колебаний Q. После этого получим из уравнения (6.09) для амплитуды собственных гармонических колебаний следующие уравнения [c.261]

Первые два слагаемых правой части формулы (12) выражают собственные (гармонические) колебания с постоянной амплитудой характер их остается таким же, как и в случае, когда рфк. [c.533]

Для дальнейшего уточнения формулы (3.12) необходимо учесть колебательные движения атомов в молекулах относительно друг друга. Колебательное движение двухатомной молекулы, в первом приближении, представляется как гармоническое колебание атомов вдоль оси, соединяющей их. Колебательное движение многоатомной молекулы сложнее, чем двухатомной, но его можно разложить на ряд собственных гармонических колебаний. При вычислении кинетической энергии молекулы каждое из собственных колебаний учитывается как одна степень свободы. Чем выше температура, тем больше амплитуда колебаний. Пусть энергия [c.30]

Пример 2. Определить собственную частоту колебаний груза на тяжелой упругой пружине. Если вес пружины сравним с весом груза (см. рис. 348, а), то период собственных колебаний уже нельзя определить по формуле (124.24), при выводе которой масса пружины считалась равной нулю. Более точное значение периода для однородной пружины можно определить по закону сохранения энергии. Допустим, что груз совершает малые собственные гармонические колебания с частотой м и амплитудой а тогда каждое кольцо пружины, находящееся на расстоянии у от точки подвеса в состоянии покоя, имеет амплитуду колебаний [c.431]

Далее маятник будет совершать собственные гармонические колебания с амплитудой [c.35]

Момент изменяющийся по гармоническому закону с частотой со, равной угловой скорости ротора, вызывает вынужденные незатухающие колебания люльки. По мере убывания угловой скорости со ротора уменьшается и частота изменения возмущающего момента Когда эта частота станет близкой к собственной частоте колебаний системы k, возникает состояние резонанса в это время амплитуда колебаний люльки станет наибольшей. Из теории колебаний известно, что при резонансе амплитуда А вынужденных колебаний может считаться пропорциональной амплитуде возмущающего фактора [c.297]

Гармонические колебания полностью определяются амплитудой колебаний, периодом и начальной фазой. Отметим основные свойства собственных линейных колебаний. [c.432]

Задача 929. На материальную точку массой т = 2 кг действуют вдоль одной и той же прямой три силы упругая сила с коэффициентом упругости с = 5000 н/ м, сила сопротивления 7 = —160 и и возмущающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Найти отношение амплитуды вынужденных колебаний точки, имеющей место, когда частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных незатухающих колебаний, к максимальной амплитуде вынужденных колебаний. [c.333]

Гармонические колебания полностью определяются амплитудой колебаний, периодом и начальной фазой. Отметим основные свойства собственных линейных колебаний. Собственные линейные колебания системы являются гармоническими. Амплитуда этих колебаний — величина постоянная и определяется начальными условиями. Период колебаний тоже величина постоянная, не зависящая от амплитуды и, следовательно, от начальных условий. [c.397]

Часть обобщенной силы зависящую от сил сопротивления, считаем равной нулю. Постоянные Н, р и Ь, характеризующие гармоническую возмущающую силу, соответственно являются амплитудой, круговой частотой и начальной фазой этой силы. В этом случае, как и в случае собственных линейных колебаний, из уравнения Лагранжа в предположении, что для кинетической и потенциальной энергий справедливы формулы (2) и (3), получают дифференциальное уравнение [c.412]

Мы видим, что движение точки складывается из двух гармонических колебаний с конечными амплитудами 1) колебаний с амплитудой а (зависящей от начальных условий) и частотой к, которые называются собственными колебаниями, 2) колебаний с амплитудой А (не зависящей от начальных условий) и частотой р, которые называются вынужденными колебаниями. [c.531]

Резонатор Гельмгольца выделяет из всех действующих на него гармонических колебаний то колебание, частота которого совпадает с собственной частотой резонатора. Индикатор (нагретая проволочка, чувствительное газовое пламя и т. Д.), помещенный в горле резонатора или в специальном отростке, расположенном против горла, позволяет судить об амплитуде колебаний резонатора. Располагая большим набором резонаторов, частоты которых лежат достаточно близко друг к другу, можно определить амплитуды различных гармонических составляющих того или иного звука, т. е. произвести гармонический анализ звуков. [c.737]

По окончании действия импульсивной силы масса ш будет совершать гармонические колебания с собственной частотой колебаний системы и амплитудой 5д = 1/кт. [c.418]

Первые два слагаемых описывают свободные колебания с частотой X. При нулевых начальных условиях уо = уо = 0 эти слагаемые равны нулю. Третье слагаемое описывает гармонические колебания, происходящие с собственной частотой X, но с амплитудой, зависящей от вынуждающей силы. Эти колебания сопровождают вынужденные и их называют свободными сопровождающими колебаниями. Четвертое слагаемое описывает вынужденные колебания с частотой (О и амплитудой [c.114]

Таким образом, движение системы представляет собой сумму двух гармонических колебаний. Амплитуда первого из них, равная 1/С + Са, зависит только от движения системы в начальный момент (т. е. при t = 0). Его круговая частота р называется собственной потому, что не зависит от частоты q внешней силы, а определяется только параметрами системы т п к. [c.223]

Выполненное преобразование, которое сводит реакцию любой собственной формы колебания к реакции эквивалентной системы со сосредоточенными параметрами, является удобным методом в общей идеализации систем с распределенными параметрами. Эта идеализация устанавливает, что амплитуда смещения в любой точке А сложной колебательной системы, гармонически возбуждаемой на данной частоте, может быть получена как сумма амплитуд смещений соответствующих собственных форм колебаний системы А) и что действие каждой собственной формы принимает форму эквивалентной системы со сосредоточенными параметрами с резонансной частотой со . [c.227]

Таким образом, собственные частоты и коэффициенты распределения амплитуд и являются теми характеристиками, которые необходимо определить экспериментально. Удобно свободные колебания системы представить суммой собственных каждое из которых является гармоническим колебанием нормальной координаты q Последнюю можно определить как координату, совершающую гармонические колебания лишь частоты Амплитуда нормального колебания определяется амплитудой колебаний (той же частоты) в одной из обобщенных координат, напри.мер q . Обычные, физические, координаты выражаются через нормальные в соответствии с (3). [c.331]

Затухающие колебания не являются, строго говоря, гармоническими, так как их амплитуда не постоянна. При затухающих колебаниях амплитуда убывает во времени, причем закон убывания зависит от характера сил трения. Затухающие колебания, вообще говоря, не являются и периодическим процессом, так как характеризующие их физические величины (смещение, скорость) не повторяются точно. В связи с этим к ним неприменим и термин период. О периоде затухающих колебаний можно говорить условно, понимая под этим промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями в одну и ту же сторону. Период собственных затухающих колебаний будет больше, чем период незатухающих (свободных) колебаний. [c.338]

Таким образом, если частота возмущающей нагрузки превосходит частоту основного тона, но совпадает с одной из более высоких собственных частот колебаний круговой трехслойной пластины, то наблюдается существенный рост амплитуды колебаний. Это может привести со временем к нежелательным последствиям при эксплуатации инженерных конструкций в условиях гармонических воздействий. [c.392]

При рассмотрении собственных колебаний в сообщающихся сосудах неправильной формы (см. рис. 352, а) лучше воспользоваться законом сохранения энергии, предположив, что вся масса жидкости совершает очень маленькие гармонические колебания с одной частотой ш, а величина смещения зависит от поперечного сечения сосуда. Там, где сосуд широк, смещение будет меньше, чем в узкой его части. Пусть поперечное сечение 5 трубки есть известная функция расстояния 5 вдоль оси трубки. Форма трубки задана функцией 5 (5). Масса налитой жидкости т = р5й(5 вдоль всего отрезка I, занятого жидкостью, р — плотность жидкости. Колебания настолько малы, что поперечное сечение трубки на расстоянии двойной амплитуды колебаний можно считать практически неизменным. Поэтому, если и 5 — сечения свободных поверхностей правой и левой трубок соответственно, то [c.430]

Частоты (Ох и ( 2 зависят от физических параметров маятников длины их, массы грузов, от жесткости пружины и места ее прикрепления к маятнику, но не зависят от начальных условий, после которых возникают колебания. Поэтому частоты со и Шз называются собственными частотами системы двух маятников. От способа возбуждения, от начальных условий зависит только, какую амплитуду и начальную фазу будет иметь то или иное гармоническое колебание первого или второго маятника. [c.465]

Возникновение гармонических колебаний после начальных отклонений в случае, изображенном на рис. 384, в, не сразу ясно. Но можно сообразить, что восстанавливающая сила каждого маятника пропорциональна отклонению, причем коэффициент пропорциональности одинаков. Действительно, маятниковая часть восстанавливающей силы для среднего маятника в два раза больше, так как его отклонение равно а, а отклонение крайних — только /за так же и часть восстанавливающей силы от пружин, действующих на средний маятник, будет в два раза больше, чем действующих на крайние, так как одна пружина растянулась на величину, пропорциональную / а, а вторая сжалась на такую же величину. Массы маятников одинаковы, и одинаковы коэффициенты восстанавливающих сил, следовательно, и периоды колебаний одинаковы. Очевидно, что сох > соа, ибо пружины в третьем случае значительно больше деформируются (при той же амплитуде крайнего маятника), чем при колебаниях во втором случае. Колебания трех маятников, возникающие после начальных условий, показанных на рис. 384, представляют согласованные гармонические колебания всех маятников с одной из собственных частот. [c.467]

Теперь нужно рассчитать испускаемую осциллятором мощность Р сп. Как следует из (9.9), вынужденные колебания осциллятора под действием излучения с непрерывным спектром имеют заметную амплитуду только в узкой полосе частот вблизи собственной частоты 0)0 осциллятора. Поэтому при расчете Р сп можно считать, что осциллятор совершает гармонические колебания с частотой ш=о)о, и воспользоваться результатами 1.5. Согласно форму- [c.427]

Замечание. Решение задачи равносильно отысканию собственных значений матрицы А С, где А ж С матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов. Действительно, представим (1) в виде Ах + Сх = О, где X = х ,х2 - Умножим это уравнение на обратную матрицу А . Получаем, что х + А Сх = 0. Решение ищем в форме гармонических колебаний, записываем систему однородных линейных уравнений для амплитуд колебаний, определитель которой [c.341]

Линейный осциллятор массы т с собственной частотой со о под действием возмущающей силы совершает гармонические колебания с частотой р и амплитудой а. Какую работу совершает возмущающая сила на интервале времени Показать, что работа, совершенная этой силой за половину периода вынужденных колебаний, равна нулю. [c.187]

По мере увеличения Уа коэффициент х уменьшается и при V2 Vl т. е. значительно меньше единицы. Будем считать, что изменение У2 связано только с изменением длины второго маятника. Тогда при VI Уа длина второго маятника 4 значительно больше длины первого 4, а при У1< У2 длина 4 много больше 4-В этом случае амплитуда синфазных гармонических колебаний длинного маятника, как видно из рис. 6.5, всегда больше амплитуды колебаний короткого. Это связано с тем, что собственная частота синфазных колебаний Ш] меньше частоты противофазных колебаний со. . Поэтому энергия синфазных колебаний в основном сосредоточена в низкочастотной парциальной системе. Наоборот, энергия противофазных колебаний сосредоточена в в1. сокочастотной парциальной системе, т. е. иа частоте более короткий маятник колеблется [c.244]

Собственные линейные колебания системы являются гармоническими. Амплитуда этих колебаний величина постоянная и определяется начальными условиями. Период колс6а шй тоже величина постоянная, не зависящая от амплитуды и, следовательно, от начальных условий. [c.432]

Собственные линейные колебания системы являются гармоническими. Амплитуда этих колебаний — величина постоянная и определн- [c.419]

Разложение сложных колебаний на ряд простых гармонических колебаний не является лишь чисто математической операцией, а может быть осуществлено на опыте. Например, с помощью набора резонаторов определяют частоыч гармонических колебаний, в сумме составляющих сложное колебание. Резонатор-представляет собой колебательную систему с достаточно малым затуханпем. Им может быть плоская пружина, один из концов которой закреплен в держателе. Даже при небольших периодических воздействиях, частота которых совпадает с собственной частотой пружины, амплитуда ее колебаний становится весьма большой. [c.195]

Эти высшие гармонические компоненты достаточно малы пока система для данной амплитуды колебаний слабо нелинейна, но возрастают по мере роста амплитуды вынужденных колебаний. Если частота одной из возникших за счет нелинейности системы гармонических компонент близка к собственной частоте колебаний системы, то амплитуда этой компоненты может существенно возрасти. В итоге при исходной гармонической вынуждающей силе результирующий колебательный процесс может иметь характер весьма далекий от гармонического с резким увеличением амплитуды тех компонент, частоты которых лежат в резснансной области. При этом, естественно, от вида нелинейных зависимостей (тип нелинейности) существенно зависит возможный характер результирующего процесса. [c.107]

Уравнения (12.36) содержат 6 постоянных (Лц, Л12, Л13, , 2, < з), которые определяются из начальных условий. При произвольно заданных начальных условиях обобщенные координаты изменяются по полигармоническому закону. Специальным выбором начальных условий можно достичь того, что все обобщенные координаты будут изменяться по гармоническому закону с одной и той же частотой ki (или Аг, или Аз), а фазы колебаний либо совпадают, либо отличаются на я главные колебания). ОтЕЮшения амплитуд при главных колебаниях образуют собственную форму, соответствующую частоте колебаний. [c.245]

Первый способ заключается в том, что к системе прикладывается гармоническая возбуждающая сила, частота которой известна. Изменением частоты возбул дающей силы добиваются установления резонансных состоиний и измеряют соответствующие им частоты собственных колебаний. По величине резонансных амплитуд и форме резонансных кривых см формулы (16) и (23)] определяют коэффициенты усиления в резонансе и обратные им коэффициенты демпфирования. По распределению амплитуд получают формы колебаний. [c.383]

КОЛЕБАНИЯ (вынужденные [возникают в какой-либо системе под влиянием внешнего воздействия переменного пружинного маятника (характеризуется переходным режимом и установившимся состоянием вынужденных колебаний резонанс выявляется резким возрастанием вынужденных механических колебаний при приближении угловой частоты гармонических колебаний возмущающей силы к значению резонансной частоты) электрические осуществляют в электрическом колебательном контуре с включением в него источника электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени] гармонические относятся к периодическим колебаниям, а изменение состояния их происходит по закону синуса или косинуса затухающие характеризуются уменьшающимися значениями размаха колебаний с течением времени, вызываемых трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением волн когерентные должны быть гармоническими и иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз во времени комбинационные возникают при воздействии на нелинейную колебательную систему двух или большего числа гармонических колебаний с различными частотами кристаллической решетки является одним из основных видов внутреннего движения твердого тела, при котором составляющие его частицы колеблются около положений равновесия крутильные возршкают в упругой системе при периодически меняющейся деформации кручения отдельных ее элементов магнитострикционные возникают в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически изменяющемся магнитном поле модулированные имеют частоту, меньшую, чем частота колебаний, а также определенный закон изменения амплитуды, частоты или фазы колебаний неавтономные описываются уравнениями, в которые явно входит время некогерентные характерны для гармонических колебаний, частоты которых различны незатухающие не меняют свою энергию со временем нормальные относятся к гармоническим собственным колебаниям в линейных колебательных системах [c.242]

Незатухающие колебания при наличии сил сопротивления можно создать, если к телу приложить гармоническую силу любой частоты. Эту силу называют возмущающей, так как она вызывает колебания, а возникающие колебания — вынужденными. При действии возмущающей силы тело колеблется с частотой, равной частоте возмущающей силы, независимо от значения своей собственной частоты колебаний. Амплитуда смещений при вынужденных колебаниях зависит в первую очередь от близости частоты возмущающей силы /вс к частоте собственных колебаний/ Если и/различаются лищь на 10 %, то эта возмущающая сила не может раскачать систему, т.е. возникающие колебания будут иметь неболь-щую амплитуду. [c.431]

Выше речь шла об устойчивости равновесия жидкости в горизонтальном слое. Если жидкость заполняет полость произвольной формы, то задача с помощью метода Канторовича также может быть сведена к интегрированию системы обыкновенных уравнейий первого порядка с периодическими коэффициентами для амплитуд. В качестве базисных координатных функций можно выбирать, например, точные или приближенные собственные функции задачи об устойчивости при отсутствии модуляции. При этом в первом приближении мы приходим к канонической системе вида (33.18) (пример вертикального кругового цилиндра, совершающего гармонические колебания вдоль оси, рассмотрен в Р]). [c.242]

Итак, собственные колебания системы, описываемые координатами ( =1, , 5), представляют собой наложение гармонических колебаний с собственными частотами системы. Функции 9 являются строго периодическими функциями времени, а в общем случае не являются таковыми (например, при несоизмеримости собственных частот координата никогда не примет начального значения / о). Подчеркнем также, что нельзя отождествлять какую-либо собственную частоту соа с частотой колебаний какой-либо определенной точки системы. Такое представление верно лишь в предельном случае невзаимодействующих точек системы, если каждая из них обладает одной степенью свободы. Вообще говоря, собственные частоты характеризуют движение системы в целом всегда можно задать начальные условия так, чтобы все координаты гармонически изменялись со временем с одной из собственных частот системы. Действительно, в силу произвольности амплитуд а начальные условия можно выбрать так, чтобы все амплитуды, кроме одной, равнялись нулю. Например, пусть аа =7 0, тогда из (6.47) лолучим частное решение [c.274]

Рассмотрим линейный резонатор, ограниченный двумя бесконечно протяженными сферическими зеркалами с коэффициентами отражения по амплитуде г 1 и г2- Для того чтобы найти поле и, возбуждаемое источником гармонических колебаний, расположенным внутри резонатора, удобно представить и как сумму собственных функций (то> что у используются три индекса, мы объясним ниже) лапласиана (см. работу ван Бладеля [8], указанную в литературе к гл. 4 настоящей книги) [c.513]

Амплитуда горизонтальных колебаний г значительна и с увеличением скорости возрастает по линейному закону. Вертикальные перемещения стола видны в виде колебаний с небольшой амплитудой, наложенных на кривую неровностей ленты, относительно которой измеряются перемещения. Последнее подтверждается симметрией кривой относительно точки реверса и неизменностью ее формы при изменении скорости. Регистрация движения стола при различных значениях параметров системы показала, что при неустойчивом движении всегда возникают колебания в двух направлениях с одинаковой частотой, близкой к частоте собственных колебаний, и с постоянным отношением между амплитудами. Типичная зависимость амплитуды горизонтальных колебаний от скорости изображена на фиг. 4 сплошной линией. При определенных значениях среднего удельного давления, скорости, жесткости привода, вязкости смазки и других параметров в диапазоне скоростей 0,5—10 мЫин (8,3— 167 мм сек) наблюдались как релаксационные, так и гармонические колебания. [c.58]

Нелинейность деформационных свойств резин проявляется и в области резонансных частот гармонического нагружения, близких к собственной частоте колебаний системы. Нелинейность выражается в аномальной (со скачком) зависимости амплитуды перемещения вынужденных колебаний от частоты со (рис. 3.3.8), наблюдаемой вместо симметричных относительно максимума кривых для линейных систем (см. рис. 1.3.5). Обычно нелинейные соотношения сг — 8 выражены кривыми, вогнутыми к оси напряжений а. При увеличении частоты со амплитуда постепенно возрастает по АВ (см. рис. 3.3.8), достигая максимума <7 при соДалее наб.тю-дается скачок амплитуды, и при увеличении со экспериментальные данные попадают на кривую EF. При уменьшении частоты со ход кривой не совпадает с полученным при увеличении со, а именно кривая проходит по FED до точки D при Wj, а с дальнейшим умень-гаепие>[ со происходит скачок амплитуды из D в 5 и последующее [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...