Срединной Уравнения в перемещениях

В [3.172] исследуется распространение волн в упругой цилиндрической оболочке с учетом поперечного сдвига и инерции вращения. Получено пять уравнений в перемещениях относительно перемещений точки срединной поверхности и углов сдвига в продольной и поперечной плоскостях [c.203]

Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили, уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариационное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные члены в формулах для деформаций, как это было сделано для общей теории в 12.2 и для задачи об устойчивости стержня в 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те квадратичные члены, которые зависят от прогиба w, производные от перемещений мы сохраним лишь в первой степени. Повторяя вывод 12.4, мы найдем, что формулы (12.4.3) сохранят силу и в этом случае, но компоненты деформации срединной поверхности нужно будет вычислять по формулам [c.411]

Для вычисления функций х, у) и /Дх, у), появившихся при интегрировании уравнений в частных производных, воспользуемся гипотезой о нерастяжимости срединной плоскости. Согласно этой гипотезе составляющие перемещения и и (7.3) на срединной плоскости при 2 = 0 равны нулю. Подставляя эти условия в формулы (а), получаем [c.114]

Для плоского напряженного состояния, когда объектом расчета является пластинка и все внешние силы лежат в срединной плоскости такой пластинки (примем ее за плоскость хОу), следовательно, отсутствуют силы в направлении, перпендикулярном к плоскости пластинки (т. е. в направлении оси Ог), уравнения метода перемещений сводятся к двум уравнениям, а в методе сил к следующим трем уравнениям [c.53]

Для того чтобы представить уравнение (6.52) в перемещениях, необходимо предварительно выразить изгибающие моменты Мг II 71/0 через кривизны срединной поверхности [c.142]

В результате деформации оболочки точки ее срединной поверхности получают перемещения и (а, Р), поэтому уравнение срединной поверхности деформированной оболочки [c.234]

Уравнения в частных производных (6.1) составляют систему второго порядка. Перемещения определяют интегрированием соотношений, связывающих деформации срединной поверхности с перемещениями и силами [c.290]

Заметим, что безразмерные перемещения в уравнениях (7.28) и (7.22), так же как решения соответствующих линеаризованных уравнений теории пластин, не зависят от безразмерной нагрузки и дают представление о форме изгиба срединной поверхности в момент выпучивания о точностью до неопределенного множителя. [c.143]

Случай II имеет место, когда / < О (тангенциальное граничное условие допускает изгибания срединной поверхности), но внешние силы не совершают работы на перемеш,ениях возможных изгибаний. Тогда статическая задача будет иметь решение (единственное), и на первом этапе будут единственным образом определены тангенциальные усилия (Г,, S, Т )- Поэтому на этапе 2 единственным образом определятся (Ej, со, Ej). На этапе 3 в геометрических уравнениях в правых частях произволов уже не будет, но они и не нужны, так как при R <С0 соответствующая краевая задача решается всегда. Перемещения будут при этом определяться не единственным образом (с точностью до перемещений возможных изгибаний). [c.259]

Перемещения и и и точек срединной поверхности в направлении осей Ох и Оу определяются соответственно через ф (х, у) и w х, у) системой дифференциальных уравнений [c.273]

В статьях [55, 56] предлагается новый вариант теории трехслойных пластин с несжимаемым в поперечном направлении заполнителем, основанный на гипотезе ломаной нормали. Уравнения равновесия в перемещениях получены с помощью принципа Лагранжа. Формальным введением малого параметра в дифференциальные уравнения решение исходной задачи сведено к итерационному процессу, содержащему решение задачи об изгибе пластины на упругом основании и плоской задачи теории упругости. Точное решение получено для прямоугольной шарнирно-опертой по контуру пластины, найдена оценка погрешности приближенного решения, получаемого после произвольного числа итераций. Этими же авторами предложен метод расчета осесимметричных круглых трехслойных пластин с легким сжимаемым заполнителем на действие нагрузок, симметричных и обратносимметричных относительно срединной плоскости. Разложение нагрузок на составляющие позволяет упростить определение постоянных, входящих в общее решение задачи. [c.13]

Из уравнений равновесия в срединной поверхности находятся перемещения и n v, а затем напряжения а , ау и txy. [c.11]

Уравнения (5.2.17) удовлетворяются тождественно при замене деформаций срединной поверхности их выражениями в перемещениях и, и, по формулам (5.2.6), (5.2.8), (5.2.14), (5.2.15). [c.121]

Уравнения (6.3.16) удовлетворяются тождественно при замене деформаций срединной поверхности их выражениями в перемещениях по формулам (6.3.6), (6.3.7), (6.3.13), (6.3.14). [c.177]

Второй классический путь решения проблемы теории оболочек состоит в отыскании в первую очередь перемещений точек срединной поверхности, т. е. в отыскании функций и , и и ш. Как и в теории упругости, разрешающие уравнения в этом случае выводятся с таким расчетом, чтобы они выражали и условия равновесия и условия совместности деформаций применительно к оболочке, материал которой подчиняется закону Гука. [c.111]

Перемещения, деформации, уравнения неразрывности деформаций срединной поверхности. В силу основной гипотезы из шести соотношений (6) третье, четвертое и пятое соотношения [c.156]

Перемещения (и деформации) срединной поверхности пластины и и о выражаются через компонент перемещения ш, который должен быть задан и определен так, чтобы описывающая его функция была непрерывной. В этом случае все перемещения будут известными, уравнения совместности деформаций удовлетворены. Необходимо выполнить и условия равновесия (1.8). Два первых уравнения равновесия удовлетворены надлежащим выбором компонентов напряжений Ххг и Туг в 1У.4. Удовлетворим третье уравнение (1.8) [c.65]

В результате получим три уравнения (7.39), (7.40), (7.44), которые содержат пять неизвестных функций N , Nq, Мф, Me, ( ф. Если выразить усилия, NNe, действующие в срединной поверхности и изгибающие моменты М , Мв через перемещения точек срединной поверхности, то указанную систему уравнений можно записать системой трех уравнений относительно двух перемещений v, w п попе- [c.220]

Величины Иав теперь следует назвать параметрами изменения кривизны вопрос о том, как выразить в общем случае деформации ва И параметры изменения кривизны через перемещения точек срединной поверхности или каким уравнениям совместности они удовлетворяют, изучается в общей теории оболочек, которая здесь рассматриваться не будет. Следует заметить, что формула (12.13.1) не является точным следствием гипотезы прямых нормалей. Это ясно из рис. 12.13.1, абсолютное удлинение элемента тп есть отрезок пп = v.zds, но длина этого элемента есть не ds, а ds i + z/R), как видно из чертежа. Поэтому относительное удлинение будет [c.420]

Мы получили геометрические уравнения теории круговой цилиндрической оболочки. Они устанавливают связь между деформациями в произвольной точке оболочки и перемещениями соответствующей точки срединной поверхности. [c.222]

Прямоугольная пластина, подверженная действию сил в ее плоскости, находится в плоском напряженном состоянии. При этом в пластине имеются в общем случае внутренние усилия Nj , N у и Л/д,,, а нормальное перемещение w равно нулю. Предположим, что при некотором сочетании значений внутренних усилий наряду с плоской формой равновесия становится возможной сколь угодно близкая к ней искривленная форма равновесия. При этом уравнение равновесия (16.63) в направлении нормали к срединной плоскости примет вид [c.414]

Если допустить, что усилия Б срединной плоскости (Л , Му, Т) достаточно велики, а перемещения ю малы (теория Сен-Венана), то в уравнениях (6.25) —(6.27) можно пренебречь членами, представляющими собой произведения производных от функции прогиба. Тогда эта система примет следующий вид [c.135]

Сдвиг в срединной поверхности тонкостенного стержня, согласно уравнению Коши (6.11) и принятым обозначениям для перемещений, выражается формулой [c.390]

Начальные усилия связаны зависимостями (4.3) с удлинениями и сдвигами е2, е , -у в срединной плоскости, которые с помощью линейных зависимостей (4.1) выражаются через производные начальных перемещений. Это позволяет свести задачу определения функции усилий Фо к решению бигармонического уравнения [c.194]

Систему уравнений Кармана можно получить с помощью приведенных в 19 геометрически нелинейных зависимостей для е,у, 7, если поперечный прогиб пластины w считать малой, но конечной величиной [12, 19]. Для решения системы уравнений (5.95) должны быть заданы граничные условия относительно поперечного прогиба W, усилий и перемещений в срединной плоскости пластины (подробнее см. [12]). Систему уравнений Кармана для практически интересных случаев удается проинтегрировать только приближенным методом результаты таких решений можно найти в работах [19, 33). [c.219]

Напомним, что во всех приведенных выражениях начальные усилия Т , Т°у, 5 считались найденными из решения уравнений безмоментной теории оболочек (6.35). Воспользовавшись записью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко (см. 10), можно избежать определения начальных усилий в оболочке, но для этого необходимо найти перемещения точек срединной поверхности оболочки второго порядка малости, как это сделано для кругового кольца и пластин. [c.249]

В работе К. В. М1пс1Нп а и . J. Зрепсег а [2.167] (1967) выведены дифференциальные уравнения связанных продольных и поперечных колебаний пластины постоянной толщины из кварца АТ-среза. Учитывается влияние инерции вращения и сдвига. Уравнения движения записываются в виде двух связанных подсистем — уравнений обобщенного плоского напряженного состояния и уравнений типа Тимошенко. Для пластины толщины к с координатами срединной поверхности ху и Хг уравнения в перемещениях имеют вид [c.129]

Е. Н. Kennard [3.118—3.121] (1953—1958) рассматривает задачу о малых упругих колебаниях круговой цилиндрической оболочки в развитии статьи [3.84]. Считая, что искомые функции являются аналитическими по z, автор разлагает в ряды по степеням z компоненты тензора напряжений и вектора перемещений. Пользуясь граничными условиями и общими соотношениями теории упругости, автор исключает слагаемые, содержащие производные от искомых величин по переменной г. Это позволяет вывести уравнения движения без привлечения гипотез о неизменяемости нормального элемента и получать уравнения с любой степенью точности, которая оценивается степенью h. Получены уравнения в перемещениях с точностью до включительно. В приближении тонких оболочек предполагается, что hIR очень мало и изменение любой функции вдоль срединной поверхности на расстояниях порядка h тоже мало. В этом случае, как полагает автор статьи, метод степенных рядов справедлив и законно усечение рядов. Показано, что несоблюдение второго условия может приводить к паразитным решениям. Проверкой служит предельный переход h 0. Если в этом случае мембранные уравнения имеют решение и притом единственное, то построенное приближенное решение действительно [c.189]

Из второго условия, выражающего периодичность функции депланации (8.3.22) при обходе контура, т.е. отсутствие разрывов в перемещениях W в срединной поверхности стержня, следует дифференциальное уравнение для определения углов за]фучивания [c.43]

Из уравнений (5.65). .. (5.69) можно исключить перерезывающие силы Qi, Qa в оставшиеся уравнения подставить выражения сил Т , Га, 5 и моментов Mi, М2, М через перемещения и, v, w и их производные и получить три дифференциальных уравнения в частных производных для определения перемещений. Однако практическое решение этих уравнений наталкивается на большие математические трудности. В то же время очевидна специфика уравнений моментной теории оболочек силы Т ,, Та и 5 пропорциональны первой степени, а моменты Ml, М2П Mia — третьей степени толщины оболочки. По предположению толщина h оболочки мала по сравнению с характерными размерами, например или срединной поверхности. Следовате н>-но, можно максимально упростить уравнения с учетом малости толщины оболочки. [c.143]

В четвертое и пятое уравнения (3.19.11) усилия Ni и входят алгебраически (это свойство сохраняется и в том случае, когда срединная поверхность отнесена к произвольной системе координат). Пользуясь этим, можнб в первых трех уравнениях (3.19.11) исключить N i, и получить три уравнения относительно усилий и моментов Т , Т , S i, Gi, Gg, которые в свою очередь выражаются через компоненты деформации е,, е , (О, Ki, К2, т с помощью уравнений состояния (5.34.11) или какого-либо другого варианта этих уравнений. Наконец, формулами (4.26.2), (4.26.5) компоненты деформации выражаются через перемещения, что и приводит нас к трем уравнениям равновесия в перемещениях и , и , w. Эти уравнения очень громоздки и в расчетах используются редко. Они, конечно, зависят от того, какой вариант уравнений состояния был использован при их выводе. Для общего случая мы не будем приводить эти уравнения. Пример их применения будет дан в части V при рассмотрении задачи р круговой цилиндрической Оболочке. [c.75]

Э. Рейсснера, будем исходить из линейного закона изменения напряжений (4.10). Закон изменения напряжений Xxz,tyt,az полученный интегрироВ Знием уравнений равновесия (4.1), с учетом (4.10) будет иметь вид (4.16). Закон из менения перемещений по толщине пластины, полученный интегрированием соотношений (4.17), будет иметь вид (4.18), (4.19), где и, о, w — перемещения срединной плоскости. В рамках данного раздела и в дальнейшем при использовании уточненной теории через и, и, w будем обозначать обобщенные перемещения, смысл которых будет ясен ниже. [c.192]

Ллойд Гамильтон Доннелл — известный в США и у нас в стране специалист по теории оболочек. Он завершил в 1930 г. в Мичиганском университете докторскую диссертацию, посвященную распространению продольных, волн и удару, под руководством С. П. Тимошенко. В 1933 г. он решил задачу об устойчивости тонкой упругой круговой цилиндрической оболочки крнечной длины при кручении ее концевыми парами. Эта работа связала имя Л. Г. Доннелла с уравнениями линейной теории пологих оболочек. Л. Г. Доннелл записал для нелинейной теории пологих оболочек уравнение совместности деформации, являющееся обобщением известного уравнения Максвелла. Специальная форма дифференциальных уравнений устойчивости круговых цилиндрических оболочек в перемещениях носит название уравнений Доннелла, а уравнения устойчивости пологих оболочек общего вида именуются ныне как уравнения Доннелла — Муштари. Работы Л. Г. Доннелла по оценке влияния несовершенств формы срединной поверхности оболочек на критическую нагрузку в рамках нелинейной теории не прошли незамеченными для специалистов. [c.5]

Основы теории. До сих пор рассматривались только пластины прямоугольной формы с использованием прямоугольной системы координат и методов, основанных на рассмотрении уравнений равновесия или энергии. Хотя это не только простейший, но также и наиболее важный тип пластин, приведенное обсуждение было бы не полным без, по крайней мере, беглого рассмотрения других типов пластин. Кроме прямоугольной, наиболее важной системой координат, используемой в теории пластин, является полярная система координат, удобная главным образом для круговых пластин. Для простоты здесь будем рассматривать случай-осесимметричных деформаций, вызываемых осесимметричным нагружением, круговых пластин или их осесимметричных форм пот тери истойчивости, а также колебаний общий случай может быть выведен из общих теорий оболочек, приведенных в главе 6. Случай осесимметричной пластины проще случая прямоугольной пластины тем, что решения изменяются только вдоль одного направления — вдоль радиуса. Расстояние, измеряемое от срединной поверхности, и перемещение, но.рмальное к этой поверхности, будем обозначать так же, как и в прямоугольных координатах. [c.280]

При прогибах, равных нулю, и действии только объемных сил уравнение (6.31к) принимает вид V

плоского напряженного состояния теории упругости. Очевидно, что любые решения этого уравнения (в том числе в виде степенных рядов или гиперболо-тригонометрических функций, рассматривавшихся в 3.3) можно прибавить к решениям уравнения (6.31к) и использовать для удовлетворения двух краевых условий, налагаемых на мембранные силы или перемещения и и V срединной поверхности по всем четырем краям криволинейной панели, либо эквивалентных условий непрерывности деформаций. Точно так же решения уравнения У и = 0 можно прибавить к решениям уравнения (6.31з) и использовать для удовлетворения условий, задаваемых на поперечные силы или моменты, либо на поперечные смещения или углы наклона. [c.457]

Степень значимости этих членов невозможно предсказать, пока их влияния не будут сопоставлены на некоторой общей основе, а зто можно сделать только из рассмотрения окончательных несвязанных уравнений, ыражающих условия равновесия сил в поперечном направлении, так как не-сз ествует удобного способа сравнения относительных значений членов уравнения в которы входят перемещения в плоскости срединной поверхности с членами, содержащими прогибы. Так как зачастую члены уравнений частично или полностью взаимно Погашают друг друга, то результаты могут оказаться ошибочными, если рассматривается только часть неосновных членов, поэтому ниже в уравнениях будут сохраняться все члены. [c.463]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Дифференциальные уравнения колебаний в перемещениях. Пусть в качестве координат на срединной поверхности цилиндрической оболочки выбрана координата Xi = л вдоль образующей и длина дуги д 2 = S в окружном направлении (рис. 2). Тогда коэффициенты Ламе Hi, На будут равны единице. Радиус кривизны Ri обращается в бесконечность, радиус кривизны R2 = R = onst. [c.423]

В работе же [2.15) гипб рболо- параболическая система аппроксимируется гиперболическим уравнением путем чисто аналитических манипуляций. Аналогично в статье [1 32] процесс исключения продолжен далее с тем, чтобы получить отдельно гиперболические уравнения для продольного перемещения Uq и температуры 0о срединной поверхности. В результате получены слабые аппроксимации исходных уравнений. [c.143]

При ударе по тонкой плите возникают явно выраженные нзгибные деформации, т. е. доминирующим является перемещение ю (прогиб плиты). Рассматривая плиту в декартовой системе координат Охуг, начало О и координатная линия Ох которой расположены на срединной поверхности, а координатная линия Ог направлена по нормали к ней, для упругой плиты получим уравнение [c.275]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...