Тензор относительных перемещений

ТЕНЗОРА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ [c.26]

Исходя из (4.26) и учитывая (4.35), (4.37), получим формулу для компонент тензора относительного перемещения [c.78]

Первая матрица правой части симметрична она определяет чистую деформацию (без вращений). Вторая матрица антисимметрична видим, что она определяет жесткий поворот тела (без деформации). Наши рассуждения можно связать с теорией тензоров ) и тогда формулировать последний результат так тензор малой деформации (2.7) может быть разложен на симметричный тензор чистой деформации и антисимметричный тензор жесткого вращения. Тензор (2.7) иногда называют тензором относительных перемещений. Действительно, рассмотрим бесконечно малый параллелепипед с ребрами йх=, у= I, 2=1 тогда очевидно, что [c.52]

По аналогии с теорией сплошной среды можно говорить о тензорах сил резания, тензорах относительных перемещений и скоростей заготовки и инструмента и о связи между ними. Если колебания по величине соизмеримы с толщиной срезаемого слоя, то связь эта будет нелинейной. [c.90]

Разложение тензора относительного перемещения на тензор чистой деформации и тензор поворота. Вводя тензор со, на основании (7.8) можно рассмотреть тождество [c.81]

При изучении движений сплошной среды в переменных Эйлера используется тензор бесконечно малых деформаций среды за время di, когда вводится вектор относительных перемещений точки и за время At, равный [c.9]

Тензорные уравнения замкнутости закрытых кинематических цепей в форме (3.21), (3.24) или открытых кинематических цепей в форме (3.20) содержат всю информацию о параметрах движения этих цепей. Для определения, например, абсолютных и относительных перемещений звеньев конкретной цепи необходимо заменить входящие в перечисленные уравнения тензоры отображающими их матрицами и после осуществления операций умножения матриц и приравнивания соответствующих элементов правой и левой частей получить систему алгебраических уравнений, решение которой даст возможность определить перемещения звеньев. Как известно, скорости и ускорения движения звеньев и их точек представляют собой соответственно первые и вторые производные по параметру времени от перемещений звеньев. Дифференцируя дважды по параметру времени полученную систему алгебраических уравнений, получим соответственно две системы уравнений одну для определения ускорений, другую для определения скоростей. Разумеется, первая система может иметь коэффициенты, зависящие от величины перемещений, которые следует считать известными после решения исходной системы уравнений. Аналогично коэффициенты системы линейных уравнений для определения ускорений могут содержать величины перемещений и скорости звеньев. Решение линейных систем не представляет принципиальных трудностей и может быть осуществлено по методам Крамера (при помощи определителей) или Гаусса (при последовательном исключении неизвестных). Иллюстрация изложенного дана на примерах (см. 3.4). [c.46]

Относительные удлинения 6а и сдвиги в большом числе задач теории упругости оказываются достаточно малыми, что дает основание к замене формул (3.6.8) приближенными равенствами (3.6.10). Однако малость самих относительных удлинений и сдвигов еще не может служить основанием для замены тензора S на е—требуется, как говорилось, малость всех компонент тензора-градиента перемещения Уи. Так, в п. 3.8 будет приведен пример, когда S" = О (поворот среды как твердого тела), тогда как ё= 0 и компоненты этого тензора могут быть сколь угодно большими. Очевидно, что здесь возможность отождествления тензоров и ё отпадает. Эти же вопросы рассматриваются в п. 3.9. [c.77]

Условиями интегрируемости системы дифференциальных уравнений (4.2) относительно перемещений являются уравнения совместности Сен-Венана, обращающие в нуль симметричный тензор несовместности Т] [c.235]

Если тензор деформации 1 в окрестности точки Ро тождественно равен нулю, то относительное перемещение окрестности этой точки du = dx - da = U(q ) - U(p ) [c.45]

С. Д. Волков считает, что при обобщении критериев прочности на хрупкие материалы, по-разному сопротивляющиеся растяжению и сжатию, путем формального введения в условие прочности линейных или квадратичных функций шарового тензора не учитываются все аспекты влияния нормальных напряжений. Например, не учитывается отклонение линий скольжения от траекторий максимальных касательных напряжений первого рода. Проводя аналогию между сопротивлением сдвигу при пластическом деформировании и явлениями трения при относительном перемещении соприкасающихся тел, С. Д. Волков [541 сначала принимает гипотезу Кулона [см. уравнение (III.6)] в виде [c.132]

Подставляя в уравнение (3.7.1) по формулам (1.8.3) вместо компонентов тензора напряжений компоненты тензора деформации, выраженные через перемещения с помощью уравнений Коши (1.7.1), и учитывая независимость друг от друга аппроксимирующих функций , (р , ф , получим три приближенные системы (т + л- -/) уравнений в частных производных по трем переменным относительно (т + п + /) искомых функций /и П, [c.73]

Рассмотрим упругое тело, в котором компоненты тензора деформаций г J, и относительные смещения малы, а в качестве начального состояния, отвечающего метрике °дц (см. 1), выбрано состояние, которое может быть реально осуществлено, т. е. существуют перемещения из состояния, отвечающего метрике в актуальное деформированное состояние. Пусть лагранжева система координат в начальном состоянии выбрана совпадающей с системой отсчета. Тогда координаты ж точек среды в деформированном состоянии представляются в виде [c.319]

Во многих задачах, особенно если на границе тела заданы перемещения, удобно в качестве основных уравнений брать уравнения теории упругости в перемещениях — уравнения Ламе (см. гл. IV т. 1). Уравнения Ламе получаются, как известно, из общих уравнений количества движения с использованием закона Гука и формул (1.1), выражающих компоненты тензора деформаций через перемещения (при условии, что относительные смещения малы, а входящие в закон Гука, могут быть выражены через перемещения). [c.342]

Однако автор не располагает какими-либо данными относительно растяжения полиэтилена или других анизотропных материалов, в которых возможны сс-перемещения, достаточными для того, чтобы подтвердить или опровергнуть положения термодинамики необратимых процессов как обоснование симметричности тензоров вязкоупругих податливостей и модулей релаксации. Тем не менее и без таких данных методы термодинамики представляются приемлемыми без особого риска, ибо они подтверждаются многочисленными экспериментальными данными при ином поведении материала [22]. [c.113]

Постановка задачи. В контактной задаче поверхность тела состоит из грех участков Г = Г + Гд +, где — участок возможного контакта тела с жестким основанием или другим телом. Считается, что начальный зазор Др на соизмерим с перемешениями и мало меняется по координатам, а кривизна Гк относительно невелика. Определяются вектор перемещений и и тензоры деформаций е и напряжений а, связанные известными соотношениями [c.142]

Зная коэффициенты С,-, D , по формулам (7.1.5), (7.1.6) составляем выражения радиального и осевого перемещений и всех компонент тензора напряжений. Это решение обобщается на случай произвольного нагружения боковой поверхности цилиндра, симметричного относительно среднего сечения цилиндра ( = 0). Тогда Or четно, Xrz нечетно относительно и их краевые значения представимы тригонометрическими рядами [c.349]

Сначала на примере одномерной задачи теории упругости прослеживается техника осреднения периодических структур. Затем подробно излагаются методы решения статической пространственной задачи теории упругости в перемещениях и в напряжениях для композитов, являющихся периодическими структурами. При этом описывается методика определения эффективных тензоров модулей упругости и упругих податливостей. Указывается схема построения задачи теплопроводности для композитов и определения эффективных тензоров теплопроводности, теплового расширения и удельной теплоемкости. Дается определение регулярной структуры, квазипериодической структуры и описывается метод решения статических пространственных задач теории упругости для композитов, у которых тензор модулей упругости не обладает свойством периодичности по координатам. Разрабатывается теория нулевого приближения , по которой можно, решая задачу только по теории эффективного модуля, найти приближенно микроперемещения и микронапряжения. Рассматриваются условия неидеального контакта, когда один компонент композита может, например, проскальзывать относительно другого. [c.91]

Рассмотрим. условие совместности деформаций в классической теории упругости, поскольку подобные соотношения б удут играть существенную роль в дальнейшем изложении. Вопрос заключается в определении вектора перемещений по заданному линейному тензору деформации е, согласно (2), поскольку компоненты е. имеют простой физический смысл и могут быть определены опытным путем. Имея шесть уравнений (2) относительно трех неизвестных функций Mi, задачу можно решить наложением определенных условий на величины е . Разделим тело на элементарные объемы (кубики) и сообщим каждому из них деформацию (локальная деформация полагается однородной внутри кубика). Деформированные кубики можно сложить в сплошную среду только при определенной согласованности деформации отдельных кубиков. В обычном случае для вектора перемещений в точке ri можно записать [c.100]

Формула Чезаро ввиду громоздкости подынтегральных функций обычно не используется для определения перемещений. Значительно проще перемещения можно определить через компоненты тензора относительного перемещения ( / по заданным компонентам тензора деформации (е -). Из дифференциальных зависимостей Коши (1.44) непосредственно находятся три компоненты тензора (И(, ) [c.26]

I, л = <1 й + л. i — л.( -98) определяющую все производные компонент тензора относительного перемещения через производные заданных компонент тензора дефор- мации, удовлетворяющих условиям совместностн(1.93). [c.25]

Путем наложения некоторых связей в уравнениях обобщенного вариационного принципа можно получить сформулированные относительно скоростей уравнения вариационного принципа Хилла для упругих и упругопластических тел при произвольной величине деформаций [47, 73, 78, 79, 81]. Рассмотрим уравнения (3.6). Предположим, что варьируемые поля скоростей перемещений й принимают заданные значения на границе qSu, т.е. выполнены кинематические граничные условия в (3.6). В этом случае исчезает последний член в правой части (3.8). Далее предполагаем, что материальная производная тензора градиента деформации не является произвольной варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента перемещения с помощью четвертого равенства (3.6). Тогда исчезает второй член в правой части (3.8). Предположим также, что материальная производная первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа не является независимой варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента деформации с помощью последней формулы (3.6), т.е. определяющие соотношения предполагаются заданными. В этом случае вариационное уравнение (3.7) преобразуется в следующее [c.117]

Очевидно, что рассуждения, проведенные при лагранжевом описании вектора отно сительного перемещения, тензора линейного поворота и вектора линейного поворота, можно полностью повторить для эйлеровых аналогов тех же величин. При этом для вектора относительного перемещения имеем [c.46]

Если тензор деформации тождественно равен нулю в окрестности точки Ро, ТО относительное перемещение окрестности этой точки будет бесконечно малым поворотом абсолютно твердого тела. Этот бесконечно малый поворот можно представить лагранжевым векп о-ром линейного поворота [c.122]

За время dt он также становится косоугольным, но искажения являются бесконечно малыми и потсшу они сравнительно просто выражаются через вектор скорости v x, /) основными кинематическими объектами становятся так называемые тензоры скорости деформации и скорости относительного перемещения. Отсюда попятно, что все кинематические соотношения метода Эйлера формально получаются из соответствующих соотношений метода Лагранжа, если интервал времени t—io стремить к нулю. [c.61]

Отсюда вледует, что вектор я предвтавляет еобой перемещение точки N относительно точки М не в результате деформации окрестности точки М, а веледствие ее малого поворота, как абсолютно твердого тела. Поэтому тензор (ац), компоненты которого определяются формулой (1.29), называется тензором малого поворота. [c.13]

При некоторых уелрвиях нагружения тел, у которых один размер существенно отличается от двух других измерений (тонкий длинный стержень, тонкая оболочка), могут возникать большие перемещения и при малых деформациях. В этих случаях компоненты имеют более высокий порядок малоети, чем ohj, и в формуле (1.31) необходимо сохранить квадратичные слагаемые относительно со /, т. е. компоненты тензора малой деформации будут определяться формулой [c.14]

На основании (П1.88) подстановка (1.2.70) в (1.2.88) приводит к тождеству. Это означает, что при решении задач МСС в перемещениях нет необходимости проверять выполнение условия (1.2.88), когда тензор деформаций определяется по формуле О.Коши (1.2.70). При решении же этих задач в малых деформациях на тензор Те должны бьпъ наложены ограничения в виде соотношения (1.2.88), которое назьшается условием Б.Сен-Венана или в данном случае условием совместности деформаций. С математической точки зрения выполнение соотношения между компонентами тензора деформаций в (1.2.88) является необходимым и достаточным условием интегрируемости системы уравнений О.Коши (1.2.70) относительно компонент вектора перемещения (п. П1.6), которые вычисляются по обобщенной формуле Е.Чезаро (П1.108) с заменой в ней а на и ао на uo Тс на Т о и Ть на Те [c.42]

На соотношения (2.1) можно смотреть как на систему дифференциальных уравнений относительно вектора перемещения, если компоненты тензора деформаций считаются заданными. Для односвязного тела необходимым и достаточным условием интегрируемости этой системы будет обращение в нуль симметричного тензора второго ранга т], называемого тензором несовместности (1пкотра11ЬШ1е) [c.11]

Предположение о малости перемещения и поворотов влечет соблюдение малости удлинений и сдвигов. Однако обратное утверждение несправедливо. В то же время существует только общее рассуждение о критерии малости перемещений относительно линейного размера тела. Есть основание полагать, что для тел с микроструктурой необходимо сравнивать перемещения с размерами структурных элементов. Подчеркнем, что в основе классической теории малых деформаций лежит допущение о малости поворотов и перемещений. Если в основу положить малость удлинений и сдвигов по сравнению с единицей, то перемещения и повороты могут быть значительны. Эти преднолон ешш соответствуют линейной теории упругости, в которой реигаются задачи упругого равновесия, сильного изгиба стержней, оболочек и т, п, В этом случае тензор деформации имеет вид [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...