Функция депланации

Как известно, для выполнения соотношения (21) необходимо, чтобы обобщенные изменения кривизны и кручения, относительное удлинение и сдвиги Уу, а также функции депланации f (s) и Ф (л , у) удовлетворяли системе уравнений Эйлера—Остроградского. Действительно, если необходимо найти систему п функции г/i, (xi, 2,. . ., х,п) Уп ( 1. х ,. . л ) от т независимых переменных Xi, Х2,. . ., х,п, реализующих максимум или минимум кратного интеграла [c.81]

Задачу будем решать следующим образом. Допустим, что функция Ф,—функция кручения. Тогда интегралы, входящие в первые шесть соотношений Кирхгофа, можно считать известными. Выразим из первого, второго, третьего и шестого соотношений величины е, -Лу, гр и подставим их в седьмое уравнение. Тогда получим уравнение для определения функции депланации [c.101]

Уравнение для определения функции депланации с учетом выражений (84) запишется в виде [c.103]

Таким образом, функция ф, называемая функцией депланации, является гармонической функцией, которая удовлетворяет граничному условию (6.16). Получив решение задачи, из (6.14) найдем [c.160]

Подставляя выражения (6.52) и (6.64) в уравнения (6.61) и (6.62), находим, что функция Ф, определенная таким образом, эквивалентна функции депланации ф, определенной в 6.1. Соответственно выражение (6.63) можно записать в виде выражения [c.169]

Рассмотрим приближенный способ определения функции депланации Сеи-Венана тонкостенного незамкнутого сечения, изображенного на рис. 6.6. Обозначим среднюю линию стенки через С. Координата s отсчитывается от одного конца средней линии вдоль нее. Два единичных вектора t и п являются касательным и нормальным векторами в средней линии соответственно, тав что три [c.176]

Тогда, следуя задаче 1 к гл. 6, найдем, что если ф (у, г) является функцией депланации Сен-Венана с осью вращения, проходящей [c.481]

Уравнение, записанное в виде (2), можно, конечно, использовать для решения упругопластической задачи при почти любой форме поперечного сечения и любом типе деформационного упрочнения. Вообще говоря, однако, более предпочтительной была бы, по-видимому, постановка задачи, использующая функцию депланации (осевое перемещение), поскольку функция депланации имеет более четкий физический смысл, чем функция напряжений, и, что важнее, при этом исчезает различие между односвязными и многосвязными областями. Поэтому мы сформулируем задачу, используя функцию депланации, и более подробно опишем построение решения в случае стержня квадратного сечения. [c.71]

Записанное при помощи функции депланации w ГИУ имеет вид [6] [c.71]

Функция депланации должна удовлетворять следующим граничным условиям [6] [c.72]

Компоненты пластической деформации, входящие в определение функции f x,y), будут, разумеется, в свою очередь нелинейными функциями депланации w. Их можно определить из соотношений [c.73]

Сравнение значений безразмерной функции депланации на контуре квадратного сечения стержня, вычисленных в случае упругого поведения материала стержня, с точным решением задачи о кручении упругого стержня [c.75]

Метод ГИУ можно легко запрограммировать для решения на цифровых вычислительных машинах. Использование функции депланации при постановке задачи позволяет с равной легкостью применять метод как для односвязных, так и для многосвязных тел. [c.81]

Некруговое поперечное сечение, функция депланации [c.154]

Требуется найти функцию депланации ф х,у), которая внутри рассматриваемой области поперечного сечения является гармонической, по заданной на границе области нормальной производной. [c.156]

Таким образом, задача кручения стержня произвольного поперечного сечения полностью решена, если известна функция депланации ф х,у). С учетом допущений о перемещениях показано, что основные уравнения полностью удовлетворены. [c.158]

Связь между функцией депланации и функцией кручения Прандтля [c.159]

Функция депланации ф х,у) представляет собой, как известно, гармоническую функцию. Для нее существует так называемая сопряженная гармоническая функция %(х,у), причем они связаны условиями Коши — Римана, известными из теории аналитических функций [c.159]

Прямоугольное поперечное сечение. Решение задачи кручения для прямоугольного сечения удается получить только в виде ряда Фурье. При этом можно отыскивать в виде ряда или решение гармонического уравнения Лапласа для функции депланации ф, или решение уравнения Пуассона для ф. Пусть прямоугольная область задана при —Ь < л < й, —а < у < а (см. рис. 7.11). Вследствие симметрии функция кручения Прандтля должна быть четной относительно хну. Для дифференциального уравнения Аф = О с граничным условием ф/г = О функция ( 2 — х ) как частное решение для узкого прямоугольника при Ь а уже рассматривалась. Естественно поэтому ввести [c.163]

Функция депланации ф(х,у), а также функция х(х,у), связанная с функцией кручения Прандтля 1р х,у), являются гармоническими функциями. Поэтому они могут быть представлены в виде вещественной и мнимой частей так называемой аналитической функции комплексной переменной. Такая формулировка задачи кручения оказывается весьма целесообразной, так как для рещения задачи тогда можно привлечь общие теоремы теории аналитических функций [c.168]

Введенную выше аналитическую функцию f(Z) = f- -i% при рассмотрении задачи кручения называют иногда комплексным потенциалом. Ее вещественной и соответственно мнимой частями являются функция депланации ф, применяемая в п. 7.4.2, и сопряженная ей функция %. [c.170]

Граничное условие для функции %, сопряженной с функцией депланации ф, будет иметь вид (см. п. 7.4.4) [c.170]

Видно, что задача изгиба (характеризуемая гармонической функцией изгиба 1) связана с задачей кручения (характеризуемой гармонической функцией депланации ф). Общее решение задачи поперечного изгиба состоит, таким образом, в определении двух гармонических функций ф и ф. [c.178]

Первая часть этого выражения соответствует граничному условию на функцию депланации при кручении [см. (7.44)], в то время как граничное условие, которому удовлетворяет функция изгиба, имеет вид [c.178]

В этом простом примере расщепление задачи на две одномерные (по 5 и по л) не бросается в глаза, но оно состоялось. Интереснее и сложнее задача для функции депланации и ( 4.13). Однако можно определить и по ф простым интефированием согласно (4.13.16) [c.136]

Первые два слагаемых отвечают гипотезе плоских сечений. Третье содержит функцию депланации IV из задачи Сен-Венана (орт / —см. рис. 13, 4.12). Варьируемая функция а(г) представляет собой дополнительную — седьмую — обобщенную координату в сечении. [c.175]

На рис. 11.1 изображено свободное кручение, когда функция депланации зависит только от х, у я не зависит от г. Если представить стержень разделенным на щ)0-дольные волокна, то каждое волокно за счет одинаковой депланации всех сечений переместятся в продольном направлении на и> как жесткое целое. Так как его удлинение отсутствует (А(Ьг=0), то <т, = 0. [c.291]

Второе условне выражает периодичность функции депланации (12.31) при обходе контура, то есть отсутствие разрывов в перемещениях w в срединной поверхности стержня. [c.337]

Гармоническая функция ф (Xi, называется функцией кручения. Она характеризует депланацию поперечных сечений бруса и поэтому ее называют также функцией депланации. Известно, что гармоническая функция достигает своего максимального значения на границе области ее определения (теорема, называемая принципом максимального значения 1491). Это означает, что депланация поперечного сечения бруса при его кручении достигает наибольшего значения на контуре сечения. [c.144]

Показать, что решение задачи о кручении стержня с поперечным сечением в виде равностороннего треугольника можно получить, если, принять функцию депланации в виде (p=A(xh 3x X2), где А—постоянная величи-. на. Уравнения контура сечения определяются уравнениями (xi—а) = 0, (j i + 2а — > 3j 2) = О, (xi + 2а + у 3х2) =0- [c.184]

Из второго условия, выражающего периодичность функции депланации (8.3.22) при обходе контура, т.е. отсутствие разрывов в перемещениях W в срединной поверхности стержня, следует дифференциальное уравнение для определения углов за]фучивания [c.43]

Здесь -ф х, у) называется функцией кручения Прандтля Если исключить из выражений (7.39) для напряжений функцию депланации Ф(х.у), то прежде всего получим dxzxjdy — [c.158]

Уравнение (12.19) определяет 17как прогиб в элементарной теории балки отброшенная константа соответствует перемещению твердого тела. Равенство (12.20) — условие Коши—Римана ддя сопряженных гармонических функций. Депланацию можно определить простым интегрированием по ф и VI/, минуя (12.18). [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...