Регулярные точки границы

Требуется найти решение уравнений статической теории упругости в указанной области, удовлетворяющее заданным граничным условиям в регулярных точках границы и некоторым дополнительным условиям в сингулярных точках. Общий вид дополнительных условий в особых точках устанавливается ниже. [c.53]

В последнем равенстве интеграл в правой части понимается в смысле главного значения по Коши. Для регулярной точки границы = 0. Для нерегулярной точки границы выражаются в виде интегралов по конечному отрезку. Таким образом, относительно основных неизвестных задачи получим следующую систему ГИУ [c.307]

Метод, примененный в предыдущем пункте, можно обобщить так, чтобы получить результаты, касающиеся регулярности решения в окрестности регулярных точек границы области А. [c.128]

Пусть — касательное пространство к подмногообразию Fi в точке q, n q) —единичный вектор нормали к q, направленный внутрь Q. Если q — регулярная точка границы, то вектор n(q) определен однозначно В особых точках может быть несколько векторов n q). [c.174]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

Если мы примем, что при < > О движение жидкости на свободной границе регулярно, то из конечности комбинации [c.108]

Выражения (4.6) не пригодны для вычисления компонентов смещений для дальнего поля в точках граничной поверхности х а). Здесь необходимо прежде всего учесть вклад рэлеевской волны. Кроме того, для оценки асимптотических значений интегралов в (3.1), вследствие того что при г = О все показатели экспонент являются регулярными функциями в окрестности точек ветвления функции F ( ), следует использовать соотношения (4.3). Окончательно для вычислений смещений точек границы полупространства получаем следующие асимптотические выражения [c.98]

Точку Р границы будем называть регулярной точкой, если она не лежит на оси (в случае осесимметричного потока), а находится на окружности [c.454]

Вводим два безразмерных параметра X = Н/а я 1 = д/а, где 2а — максимальное расстояние между точками границы области контакта О . Предполагая, что Х> 1 и X велико, раскладываем регулярную часть ядра М х,у, ,г]) в ряд по степеням С точностью до членов порядка представим интегральное уравнение (17) в виде [c.150]

На каждой части границы требуется выполнение п граничных условий если форма верхней части границы у = А (х) не задана, то на ней требуется выполнение л + 1 условия. Некоторые краевые условия могут иметь вид требования регулярности решения в точках границы. [c.172]

Так как степень равна алгебраической кратности, она, очевидно, дает нижнюю границу для числа прообразов регулярной точки. [c.321]

Если 9 и вблизи х совпадают, то искомый результат тривиален. Если же нет, то вблизи регулярной точки х, общей для и мы опишем круговой цилиндр малого радиуса Дг, осью которого служит общая нормаль п, и обозначим часть ограниченной им области, лежащую между 9 и через АЗ). Обозначим, далее, цилиндрическую часть границы д AS) через Asi-, а части этой границы, общие с и соответственно, через As и Asi. Как следствие закона количества движения и основных предположений (III. 1-12) относительно систем сил, встречающихся в механике сплошной среды, мы вывели соотношение (III. 1-15). Это соотношение является ключевым для последующих рассуждений. [c.135]

На практике форма границы нередко описывается ломаной линией, состоящей из регулярных кусков, и тогда может возникнуть потребность в дополнительных соотнощениях, определяющих Г, со и г] в угловых точках границы. [c.25]

Рассмотрим угол, образованный двумя регулярными участками границы (стенка — стенка, свободная поверхность — стенка), и пусть на них выполняются условия вида (1.30), (1.33) или (1.38). Следует помнить, что температура в угловой точке должна оставаться непрерывной, удовлетворяя условиям, которые приняты на смежных участках границы. Угловое значение функции гока выбирается таким же, как и на остальной части границы 115 = 0. [c.25]

Если имеем выпуклую замкнутую оболочку, то граница отсутствует и краевая задача сводится к отысканию в определенном смысле регулярных на всей плоскости Е комплексной переменной г=х+11/ решений уравнения (3.38а) (условия регулярности будут указаны ниже, 4). Тогда для разрешимости задачи должно выполняться условие [c.183]

Регулярный поиск основан на частичном переборе. Для начала перебора находят один допустимый режим (з о, о) и, двигаясь от начальной точки вдоль границы области пересечения (рис. 3.27), находят оптимальный режим, приводящий целевую функцию (3.24) к максимуму. [c.139]

На практике часто встречаются конструкции, имеющие регулярную конфигурацию (геометрию) в каком-либо направлении (рис. 1.2), нагруженные периодически изменяющейся системой возмущающих факторов (силы, температура, начальные деформации). Вполне очевидно, что для определения НДС таких конструкций нет необходимости рассматривать их полностью, поскольку НДС регулярных участков конструкции одно и то же. В связи с этим процедура определения НДС регулярной конструкции сводится к выделению из нее регулярного участка и наложения по его границам условия плоских сечений, которое для двумерных задач можно представить в виде и = [c.27]

Несколько сложнее решается та же задача в случае, когда область определения функции имеет произвольную форму (см. рис. 1.15, в). Здесь для внутренних узлов, как и в предыдущем случае, сетка является регулярной. Однако в области имеется ряд приграничных узлов, один из которых приведен на рис.. 18, для которых необходимо интерполировать заданные граничные условия. На практике интерполяция производится различными способами. Наиболее простой из них заключается в замене граничных условий, заданных на границе области С, граничными условиями на звеньях сетки Сл. Например, для случая, изображенного на рис. 1.18, можно принять, что граница С/, проходит через приграничный узел 7i.j, причем краевые условия в узле принимаются равными значению либо в точке либо [c.48]

Рассеяние света происходит также на свободной поверхности (на границе раздела жидкость—воздух) жидкости и на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей. На возможность такого рассеяния указал Смолуховский еще в 1908 г. Однако это явление им не было обнаружено и теория явления не была разработана. Этот вопрос рассеяния света как экспериментально, так и теоретически был решен Л. И. Мандельштамом . Он пишет Ниже мне хотелось бы подробнее обсудить вопрос, относящийся к форме поверхности жидкостей. Поверхность жидкости, которая при идеальном равновесии должна быть, напрнмер, плоской, вследствие нерегулярного теплового движения непрерывно деформируется. Если заставить отражаться от такой поверхности световой луч, то наряду с регулярным отражением должно появиться н диффузионное. Достаточны уже очень малые — по сравнению с длиной волны — шероховатости, чтобы это рассеяние обладало заметной величиной . [c.321]

Перейдем к вопросу о единственности решений и начнем с рассмотрения статических задач. Будем предполагать, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией. Тогда для этих смещений в области О, ограниченной, вообще говоря, кусочно-гладкой поверхностью 5, справедливо третье неравенство Бетти (4.26) гл. И. Пусть 1 (р) и 2(р) — два различных регулярных решения, удовлетворяющие одним и тем же краевым условиям первой, второй или сразу в общем случае смешанной задач. Тогда интеграл в правой части (4.26) гл. II для разности смещений окажется равным нулю. Поскольку же подынтегральное выражение в левой части является положительно определенной формой, то из равенства нулю интеграла будет следовать, что подынтегральное выражение есть тождественный нуль. Следовательно, напряжения будут обращаться в нуль, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Однако в случае первой и смешанной задач необходимо исключить это смещение, поскольку тогда нарушаются условия на той части границы, где заданы смещения. [c.251]

Приведем следующую схему расчета. Пусть на слое с номером п скорость и меняет знак между узлами и mi-ь 1. В окрестности точки X характеристики Со образуют расходящийся веер (на рис. 3.8 пунктирными линиями изображены характеристики). Вычислим в узле m на слое п+1 значение р, используя какую-либо явную схему. Это не наложит ограничения на шаг по времени в силу специфики расположения характеристик Со. С помощью уравнения (3.83) перенесем в узел гп значение инварианта с левой границы. Таким образом, для отрезка [л , Хм] получен уже описанный выше случай с регулярным полем характеристик. После определения решения в правой области можно найти решение и на отрезке [хо, х ]. [c.104]

Как уже указывалось, в период регулярного режима изменение температуры во времени одинаково для всех точек тела. В этот период процесс распространения теплоты зависит только от физических свойств тела, его размеров и условий теплообмена на границе тела. Найдем зависимости, характеризующие регулярный режим. [c.377]

Гидроцилиндр конструктивно исполнен таким образом, что в сечении представляет собой два цилиндра, разделенные тонкой стенкой. Изломы обоих гидроцилиндров имели характерное, однородное ио шероховатости строение излома, которое определяет усталостное разрушение детали из алюминиевого сплава при ее регулярном нагружении. Развитие трещины в цилиндре № 1 происходило от клиновидной зоны, расположенной у цилиндрической поверхности диаметром 60 мм (рис. 14.17). Указанная зона ориентирована перпендику.лярно цилиндрической поверхности и имела протяженность около 5 мм в глубину при ширине у поверхности около 1 мм. Рельеф излома зоны начального разрушения характеризовался растрескиванием материала, разупорядоченными фрагментами различной формы — типичными элементами рельефа поверхности при вскрытии материала по дефекту в виде направленных неметаллических включений. Граница между начальной зоной "А и зоной последующего роста трещины была четкой и свидетельствовала, что в начальной зоне разрушение материала произошло практически за счет хрупкого проскальзывания, а далее от границы дефекта происходило зарождение усталостной трещины вдоль всего контура начальной [c.754]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Так как t вещественно вдоль границ области движения, то мы можем дифференцировать уравнения (а) по t. Нетрудно видеть, что условия (а) могут быть заменены условиями, выписанными на отрезках СЕ, ED и DA (рис. 2). По физическому смыслу задачи Z ъ F могут иметь лишь регулярные особенности в точках f = О, i = 1, t = оо. [c.128]

Далее мы предположим, как это делается в теории регулярного режима, что какие бы то ни было источники тепла в теле отсутствуют. В применении к конкретным практическим случаям это означает, что нет искусственно питаемых нагревателей или охлаждаю-Щ.ИХ приспособлений ни внутри тела ни на наружных его границах, что в нем не происходят параллельно с изменением температур еще сопутствующие процессы, сопровождающиеся выделением или поглощением теплоты, например, испарение влаги или ее замерзание во влажных материалах, изменение структуры в сталях, в керамических материалах и т. п. [c.167]

Мы будем предполагать, что для почти каждой (в смысле меры (х) точки J бIntЛi геодезическая, проведенная по направлению X, пересекается с границей дО . Это свойство выполняется во всех известных в настоящее время интересных примерах биллиардов. Пусть 5 — наименьшее положительное число такое, что геодезический сегмент длины 5, проведенный по направлению X, оканчивается в регулярной точке границы дQ. (Можно показать, что мера ц, множества точек, через которые проходят геодезические сегменты, оканчивающиеся в особых точках дQ, равна нулю). Обозначим через у касательный к Q вектор, полученный из х при помощи параллельного перенесения вдоль геодезической до конца сегмента длины 5. Отразим у в точке я = к у) по закону угол падения равен углу отражения , т. е. построим новый касательный вектор у =у—2(п д), у)п д). Выпустим по направлению у геодезический сегмент до следующего пересечения с границей и т. д. Можно показать, что множество точек х, для которых описанный процесс приводит к бесконечному числу отражений за конечное время, имеет меру 0. Будем считать также, что для почти всех точек все получающиеся при этом геодезические сегменты имеют конечную длину. [c.175]

Из приведенных неравенств следует, что поверхности нагружения и деформирования являются невогнутыми, вектор приращения пластической деформации в регулярной точке предельной поверхности направлен по ее внешней нормали (принцип градиенталыюсти), а в особой точке лежит внутри или на границе коиуса внешних нормалей [122]. Как видим, в данной части факт разупрочнения материала не приводит к противоречию с традиционными положениями теории пластичности. [c.199]

Перейдем теперь к рассмотрению сингулярных интегралов на границе Г области Q z R . Будем предполагать, что Г — кусочногладкая ляпуновская граница. Множество регулярных (неугловых) точек границы Г обозначим через Гр. В каждой точке хеГк однозначно определена внешняя (по отношению к й) единичная нормаль п(х) = пи. .., Пт , что позволяет однозначно построить в точке л касательную к Г плоскость П(х), которую можно рассматривать как т—1)-мерное евклидово пространство (это соответствует введению на П( х) некоторой декартовой системы координат). Для каждой точки уеГ обозначим через ортогональную проекцию точки у на П(х) [c.46]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Таким же образом легко переносятся на наш случай доказательства теорем единственности для первой и второй основных задач, приведенные в 42, в предположении, что рассматриваемые решения регулярны, т. е. что соответствующие им функции ф (z), ф (г), г ) (z) непрерывно продолжимы на все конечные точки границы. [c.342]

Напомним, что граница дQ оснащена полем единичных нормалей п д), направленных внутрь области Q. Поэтому для любой регулярной точки qбдQ можно определить оператор второй квадратичной формы К д), действующий в касательном пространстве к границе <3(3 в точке д. Оператор К д) является самосопряженным. [c.180]

Для двумерных областей это условие эквивалентно строгой лоложительности кривизны границы. Сейчас мы объясним, почему рассеивающие биллиарды являются естественным аналогом гладких гиперболических систем. Обратимся снова к биллиарду в области, изображенной на рис. 5. Предположим для простоты, что Б своих концевых точках регулярные компоненты границы области Q пересекаются трансверсально. [c.180]

Решения в ПК и ФТД записываются в единообразной, интегральной форме независимо от того, как устроено искомое поле. Их абсолютная погрешность не зависит от того, находится ли точка наблюдения в зоне света или в переходных зонах. Поскольку ПК и ФТД в основном правильно описывают поле в геометрооп-тической области (точный смысл этого утверждения будет пояснен далее), они с той же степенью точности описывают поле и в переходных зонах. Это справедливо как в рассматривавшихся ранее переходных зонах (область полутени, окрестность регулярной точки каустики), так и в более сложных ситуациях, например в области пересечения каустической и полутеневой областей, т. е. в окрестности точки касания с каустикой луча, являющегося границей свет — тень геометрооптического решения. [c.139]

Условие (2.4), которое будем называть основным неравенством пластичности, утверждает, что вектор приращения пластической деформации бе , возникающий при догрузке бо из состояния о, на поверхности нагружения должен составлять нетупой > угол с любым вектором Ло, имеющим начало в произвольной ючке внутри или на поверхности нагружения, а конец — в точке погружения о. Отсюда следует, что 1) поверхность нагружения-.-для любого состояния о должна быть невогнутой и 2) вектор при- ) щения пластической деформации бе в регулярной точке поверхности нагружения направлен по ее внешней нормали (прин цпп градиентальности), а в особой точке лежит внутри или на границе конуса крайних внешних нормалей. [c.17]

Другой пример показывает намного меньшие различия величин статических поправок, но снова иллюстрирует недостаток корреляции между статическими поправками Р- и S-волн. На профиле (рис.5.А.З), проблема длиннопериодной статики является причиной искусственного наклона вправо, который обозначен цветными вставками на разрезах данных Р- и S-волн. Как видно, наклон на разрезе по данным S-волн смещен приблизительно на 50 полевых точек наблюдения от наклона на разрезе данных Р-волн. После независимой коррекции двух разрезов, где использовался критерий регулярности скоростных границ, обе версии стали почти горизонтальными. [c.67]

До сих пор рассматривалось растекание жидкости с малой регулярной и с полной неравномерностями потока. При большой регулярной неравномерности нет резкой границы между трубками тока с различными скоростями и нет узкой одиночной струи (рис. 3.9, а), поэтому растекание жидкости по решетке имеет промежуточный характер. Выравнивание потока за решеткой будет, очевидно, достигаться при критическом коэффициенте сопротивления р = опт. имеющем большее значение, чем при малой регулярной неравномерности, но меньшее, чем при полной неравномерности. При коэффициенте сопротивления решетки р >> профиль скорости на конечном расстоянии будет перевернутым (рис. 3.9, в), и максимальная скорость за пешеткой окажется в той части сечения, в которой перед решеткой она была минимальной (рис. 3.9, 6), и наоборот. [c.87]

Начальный этап развития трещины в диске V ступени по межпазовому выступу был связан с формированием сглаженного рельефа без усталостных бороздок, что свидетельствовало о разрушении по механизму многоцикловой усталости. Далее имели место на длине около 1 мм до границы выявленной трещины блоки усталостных бороздок (рис. 9.44). Шаг блока составляет около 0,1-0,2 мм, а усталостные бороздки регулярно возрастают и убывают в блоке и колеблются в пределах 0,3-2,0 мкм. Характер развития трещины указывает на то, что ее развитие происходит на значительное расстояние за один цикл испытания в составе двигателя на стенде. При шаге бороздок 2,0 мкм развитие трещины реализуется в области малоцикловой усталости и свидетельствует о достижении ситуации, близкой к циклической вязкости разрушения материала. [c.519]

Результаты, основанные на вариационных принципах, точны, но обладают большим недостатком верхние и нижние границы слишком далеки одна от другой. Попытки сузить их путем статистической информации имели ограниченный успех см. разд. IV). Если исследовать под микроскопом типичный бороэпоксидный или бороалюминиевый волокнистый композит, то станет очевидным, что структуру таких композитов можно моделировать регулярной укладкой идентичных включений в неограниченную матрицу, содержащую упорядоченную систему волокон с круговыми поперечными сечениями, как показано на рис. 3. Ради удобства материалы матрицы и включений будем считать изотропными. [c.84]

Пусть криволинейная, регулярная, многосвязная поверхность S детали определена областью Q, являющейся прообразом S на плоскости с декартовым и координатами х к у, а также регулярной вектор-функцией г = г х, у). Тогда координатные линии и, о на S являются пространственным образом координатных прямых х, у на Q при некотором соответствии, которое каждой точке (х, /) Q относит точку пространства с декартовыми координатами х(х, у), у(х, у), z x, у). Область Q может быть многосвязной. На границу области не накладывается ограничений, кроме непрерывности и отсутствия самопересечений. [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...