Выпуклые замкнутые оболочки

Ниже указывается довольно широкий класс задач общей теории упругих оболочек, к изучению которых можно применить методы мембранной теории. К такого рода задачам относятся, например, определения напряженного состояния выпуклых замкнутых оболочек, а также выпуклых оболочек с краями, подчиненными втулочным связям. Как уже было отмечено выше (гл. I, 7, п. 10), эти связи осуществляются, если оболочка своими боковыми поверхностями опирается на твердые стенки, а также в том случае, когда в отверстия и щели оболочки вставлены втулки и затычки, которые плотно прилегают к краям. Напомним здесь еще одну формулировку соответствующих краевых условий, которые в дальнейшем нами будут все время рассматриваться. [c.155]

Если имеем выпуклую замкнутую оболочку, то граница отсутствует и краевая задача сводится к отысканию в определенном смысле регулярных на всей плоскости Е комплексной переменной г=х+11/ решений уравнения (3.38а) (условия регулярности будут указаны ниже, 4). Тогда для разрешимости задачи должно выполняться условие [c.183]

В случае выпуклой замкнутой оболочки нужно отыскать регулярное на S решение уравнения (3.34а). Аналогичную задачу мы получили выше (см. гл. III, 4, п. 2). Поэтому здесь повторять соответствующие рассуждения и результаты нет необходимости. Отметим только, что необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в этом случае выражаются условием [c.277]

ВЫПУКЛЫЕ ЗАМКНУТЫЕ БЕЗМОМЕНТНЫЕ ОБОЛОЧКИ. [c.230]

Напомним определение барицентрических координат в общем случае. Пусть а. .... а ц —совокупность точек в не лежащих в одной гиперплоскости л-симплексом Т, порожденным точками fli,. .., fl . 1, называется замкнутая выпуклая оболочка множества т. е. множество линейных комбинаций точек вида [c.149]

Пусть 2 = а, f= 1 — совокупность попарно различных точек т Rn а Т — замкнутая выпуклая оболочка этого множества будем предполагать, что точки й,- не расположены все в одной гиперплоскости, а Я — конечно-мерное пространство вещественных функций, заданных на Т. [c.160]

Определение. Совокупности, состоящие из множества точек 2, области Т —замкнутой выпуклой оболочки Е и пространства функций Р, заданных на Т, по отношению к которому 2 является Я-разрешимым, называются конечным элементом и обозначаются через (2, Т, Р). [c.169]

Рассмотрим теплообмен между телом и его оболочкой. На рис. 16.4,а, б представлены следуюш,ие системы двух тел тело I находится в замкнутой полости тела 2, тело 2 охватывает плоское или выпуклое тело 1. [c.412]

Для построения выпуклых оболочек разработаны метод ii алгоритм, реализующий рекуррентный процесс, пригодный для построения выпуклой оболочки около замкнутого ориентированного контура, называемого циклом, и около конечного числа контуров. Большинство выпуклых оболочек при решении задач проектирования может быть охарактеризовано плоскими контурами их сечений. [c.177]

Напомним, что пересечение Р замкнутых полуплоскостей, содержащих все точки. .., Р , называется выпуклой оболочкой множества точек Р . ..,Р (см. рис. 14). [c.159]

Пусть Р — дважды дифференцируемая строго выпуклая поверхность с краем у. Нетрудно дополнить ее до некоторой замкнутой выпуклой поверхности Ф, например, взяв выпуклую оболочку поверхности Р. Если бы поверхность Р при указанном закреплении края -у допускала нетривиальное изометрическое преобразование в классе регулярных поверхностей, то замкнутая поверхность Ф, очевидно, допускала бы изометрическое преобразование в классе выпуклых поверхностей. Но это невозможно в силу теоремы об однозначной определенности для таких поверхностей. [c.37]

Доказательство проведем индукцией по размерности многогранника М. При dim М = 1 утверждение, очевидно, справедливо. Предположим, что заключение леммы справедливо при dim М т. Пусть OL — одна из вершин (т -Ь 1)-мерного многогранника, а Па — замкнутое полупространство в не содержащее а, граница которого ЗП проходит через начало координат ортогонально вектору OL. По условию все вершины М, соединенные с а. ребром, лежат в Пд. Па самом деле все вершины М, кроме а, лежат в Па. Действительно, предположим, что найдется вершина /3, не лежащая в Па. Выпуклый многогранник М является объединением множества —выпуклой оболочки всех вершин, кроме а, и множества Ra — выпуклой оболочки одномерных ребер М, примыкающих к OL. Вершина /3, очевидно, не лежит в Отрезок Г, [c.211]

Исследование задачи (3.26) показывает, что выпуклая оболочка с двумя и большим числом отверстий т 2) всегда допускает мембранное регулирование за счет добавочного нагружения силами вида (3.24). Если же оболочка ограничена одним т — 0) или двумя т = 1) замкнутыми простыми гладкими контурами, то она, вообще говоря, не допускает такого рода мембранного регулирования. Это возможно только в исключительных случаях. [c.287]

Особо следует рассмотреть случай замкнутой выпуклой оболочки, нагруженной силами вида (3.24). Такая нагрузка всегда является мембранной, и соответствующее поле напряжений определяется в явной форме [c.289]

Предположим, что усилие (г>, заданное формулой (3.42), имеет направление i. Тогда Тз = О, т. е. срединная поверхность является сферой. Таким образом, если замкнутая выпуклая оболочка нагружена [c.289]

В механике оболочек изгибание важно потому, что деформациям в касательной плоскости (т. е. изменению Оцр) оболочка сопротивляется много сильнее, чем изгибу. Невозможность изгибаний означает большую жесткость. На этот счет существуют важные теоремы — например, все замкнутые выпуклые поверхности не допускают непрерывных изгибаний [81]. [c.215]

Множество С конечно, а потому его выпуклая оболочка со С замкнута, и, значит, со С является пересечением всех замкнутых полупространств жеР" ж- <6 , содержащих С (теоре- [c.208]

ГЛ. 5, 4, п. 3] в ш ТОПологии. Рассмотрим далее линейное пространство 21 как подмножество пространства, сопряженного (двойственного) с пространством, сопряженным с 21 (т. е. рассмотрим элементы пространства 21 как линейные функционалы на 21 ). Пространство 21 полно в 21 в том смысле, что из равенства (х Л) = 0 для всех Л е 21 следует заключение о равенстве нулю элемента х - Таким образом, 9Г, если его снабдить -топологией, становится локально выпуклым топологическим линейным пространством [91, гл. 5, 3, п. 3]. Множество в -топологии является компактным подмножеством локально выпуклого топологического пространства и, следовательно, содержит некоторые крайние точки [91, гл. 5, 8, п, 2]. Это позволяет дать ответ на заданный нами ранее вопрос о существовании чистых состояний. Кроме того, поскольку множество выпукло, по теореме Крейна — Мильмана [91, гл. 5, 8, п. 4] оно совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек (т. е. с пересечением всех замкнутых выпуклых подмножеств пространства 2[ , содержащих крайние точки множества 6). Обозначим через множество всех чистых состояний на 21 (иначе говоря, 6 —множество всех крайних точек множества <5). Предположим теперь, что для некоторой пары (Л, В) элементов алгебры 2[ и всех выполняется неравенство (ф ЛХ(р В). Поскольку [c.85]

Биполярная теорема утверждает, что Rp является слабой -замкнутой выпуклой оболочкой множества , 0 , т. е. ( р) = " со Я 0 . Это обстоятельство мы используем ниже при доказательстве теоремы 6. [c.134]

В то же время в силу биполярной теоремы (93р) — слабо -замкнутая выпуклая оболочка множества 93, 0 . Следовательно, единичный шар в 51 . совпадает с со 9 , 0 . Наконец, напомним, что состояния — это именно те элементы из 51+, норма которых равна 1. Следовательно, элементу мы [c.136]

Напомним, что множество < совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой (в ш -топологии) множества р всех чистых состояний на 9 , вследствие чего из равенства (ф Р) = 0, справедливого для всех элементов ф из < р, следует, что У = 0 (это обстоятельство мы имеем в виду, когда говорим, что —разделяющее семейство состояний). Таким образом, [/ 5] = = Од [У ] Од [5] для всех 7 и 5 из 9 . Слабая непрерывность отображения ад следует из определения группы симметрии. Теорема доказана. [c.211]

Пусть р означает множество всех состояний физической системы, или множество всех состояний, О-инвариантных относительно группы симметрии С этой системы, или множество всех состояний КМШ динамической системы при фиксированной естественной температуре р. Все эти выпуклые множества обладают общим свойством, состоящим в том, что они замкнуты в -топологии множества Я, ограничены в сильной топологии и, следовательно, компактны в -топологии. Как мы уже отмечали, отсюда следует, что множество р совпадает с -замыканием выпуклой оболочки своих крайних точек. Обозначим через р множество всех крайних точек множества р. Если говорить о более общем случае, то р может также означать любое компактное выпуклое подмножество локально выпуклого линейного пространства [c.275]

Случай выпуклой замкнутой оболочки. Краевые условия (6.40Ь) тогда, очевидно, отсутствуют, и задача сводится к отысканию решений уравнения Вейнгартена (6.40а), регулярных на овалоидах S i = onst. Докажем, что в этом случае уравнение (6.40а) на всяком овалоиде S имеет только три линейно независимых решения [c.207]

Для выпуклых замкнутых оболочек все координатные поверхности S, ж = onst представляют овалоиды.. Рассмотрим на них соответствующие сопряженно-изометрические координаты ж, у. При помощи координат х, у каждая координатная поверхность S = onst топологически отображается на плоскость Е комплексной переменной z-x- -iy. Тогда систему уравнений (1.14) можно записать в виде [c.220]

Выпуклые замкнутые оболочки. Если рассматриваются выпуклые замкнутые оболочки, то, как мы уже показали выше (см. гл. III, 6, п. 4), однородное уравнение Вейнгартена [c.271]

Пусть Г —замкнутая выпуклая оболочка множества V], предполагаемая невырожденной, и пусть Я — конечномерное пространство действителйно-значных функций, заданных на Т. [c.172]

В этой главе рассматривается класс задач о потере устойчивости безмоментного напряженного состояния оболочек нулевой гауссовой кривизны. Он характерен тем, что вмятины сильно вытянуты вдоль асимптотических линий и могут локализоваться вблизи одной (наиболее слабой) из них. Дополнительное напряженное состояние, возникающее при потере устойчивости, является полубезмоментным [87]. Жетод применим к выпуклым коническим и цилиндрическим оболочкам средней длины не обязательно кругового сечения края оболочки — не обязательно плоские кривые. Двумерная задача сводится к последовательности одномерных краевых задач четвертого порядка. Для цилиндрических оболочек при некоторых частных предположениях приближенное решение получено в замкнутом виде. [c.132]

М1 и Мг, где М1 —выпуклая оболочка вершин < (Д), кроме а, а Мг — выпуклая оболочка ребер, выходящих из а. Рассмотрим отрезок 7, соединяющий а и т. Пусть указанной точки /х не существует. Тогда 7 П Мг = П П Мг = а, множество 7 П М1 замкнуто и не содержит а, а это противоречит соотношению 7 С (М1 и Мг). Итак, точка /х существует. Угол между а и /х — острый и отличен от нуля. Поэтому, согласно лемме 2, система неинтегрируема. [c.396]

Это равенство превращается в известное условие статического равновесия абсолютно жесткого тела в случае замкнутой выпуклой оболочки. Как известно (И. Н. Векуа, 1965), такая оболочка является кесткой, т. е. поле смещений имеет вид [c.283]

Определение П 2.8. Подмножество С линейного пространства называется выпуклым, если для любых , ш 6 С и [0,1] выполнено условие 4и- -(1 — )и)бС. Если АСУ, то выпуклой оболочкой со(Л) называется наименьшее выпуклое множество, содержащее А, т. е. со(А) = С С АСС, С выпукло . В топологическои екторном пространстве замкнутая выпуклая оболочка множества А — это замыкание со(Л) множества со(Л). Крайней точкой выпуклого множества С называется такая точка и, что если = 4о- - (1 - 4)6 для о, Ь 6 С, 4 [О, 1], то 4 6 О, 1 или а= Ь = V, т. е. V не представляется в виде выпуклой комбинации других точек. Множество крайних точек С обозначается ех(С). [c.700]

Теорема П2.9 (теорема Крейна — Мильмана). Компактное выпуклое множество в локально выпуклом топологическом векторном г сп нстве является замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек, т. е. С = соех(С). [c.701]

Пересечение всех замкнутых полуплоскостей, содержащих 2, мы будем называть выпуклой оболочкой 2 и обозначать через К (2). Множество К (2) очевидно замкнуто и выпукло. Полуплоскость, ограниченная прямой Оз + ЬхХ2-—Ь%Хх = О, Аз > О, содержит 2 тогда и только тогда, когда выполняется условие (10.8). Таким образом, последнее из неравенств (10.9) выражает тот факт, что множество К 2) содержит точку (х°, х°у Обратно, если К (2) содержит точку X ) и если система приложенных сил эквивалентна одной равнодействующей, ортогональной плоскости лсз = 0 и направленной вниз, то выполняются условия (10.9), а с ними и неравенство (10.1). [c.140]

Мы знаем, что Sv = o9Sv для любого представления V алгебры Я и что отображение ] взаимно непрерывно в слабых -топологиях. Следовательно, условие 3 можно записать в виде включения /я( я) — /р (со 23р). Таким образом, это условие выполняется, если выполнено условие 1. Наоборот, перейдя в последней форме записи условия 3 к -замкнутой выпуклой оболочке, мы получим условие 1. Тем самым доказана эквивалентность условий 1 и 3. Аналогично доказывается и эквивалентность условий 1 и 4. Необходимо лишь заменить множество 33 множеством (здесь V = п, р, а — выпуклое множество всех матриц плотности, ассоциированных с представлением ) и заметить, что из соотношений — v и со 23 = 6 следует равенство V = v Итак, эквивалентность всех четырех условий леммы доказана. [c.140]

С физической точки зрения необходимо отметить, что в силу приведенной выше леммы равномерно замкнутая выпуклая оболочка со (Ж) всех векторов состояний на 92 совпадает с множеством всех состояний на 92, которые ультраслабо непрерывны, [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...