Формализм матрицы

Методы исследования X. с. предполагают сочетание теории с экспериментом. В совр. теоретич. расчётах используют формализм матрицы плотности, позволяющий характеризовать одночастичные состояния для систем, содержащих неск. разных или тождественных частиц. [c.408]

ФОРМАЛИЗМ МАТРИЦ ДЖОНСА [c.132]

Фазовые пластинки (называемые также волновыми пластинками) и фазосдвигающие устройства выполняют роль преобразователей состояния поляризации. С помощью подходящей фазовой пластинки состояние поляризации светового пучка можно преобразовать в любое другое состояние поляризации. В формализме матриц Джонса предполагается, что отражение света от любой поверхности пластинки отсутствует и что свет полностью проходит через пластинку. Практически же любая пластинка всегда имеет конечный коэффициент отражения, несмотря на то что большинство фазовых пластинок имеют специальное покрытие, чтобы уменьшить потери на отражение от поверхностей. Френелевские отражения на поверхностях пластинки не только уменьшают интенсивность прошедшего излучения, но и влияют также на его тонкую спектральную структуру вследствие интерференции при многократном отражении (см. разд. 5.5). Опираясь на рис. 5.1, рассмотрим падающий пучок света, состояние поляризации которого описывается вектором Джонса [c.133]

Уравнения для описания энергетических процессов в лазере. Для рассмотрения большого числа вопросов теории твердотельных лазеров используются полуклассические уравнения, в которых поле описывается в рамках уравнений Максвелла (классически), а активная среда — квантово-механически на основе формализма матрицы плотности. Будем считать, что все активные центры в среде лазера ориентированы одинаково, поля всех мод линейно поляризованы, а спектральное уширение активной среды — однородное (неоднородность мы учтем позднее). Представим поле (г, /) в виде разложения в ряд по модам резонатора, вводя медленно изменяюш,иеся амплитуды и фазы. мод. В комплексном виде это разложение имеет вид [c.90]

В заключение отметим, что имеются два типа средних значений. Первый возникает в рамках квантовой механики и следует из того, что квантовое состояние допускает только статистическое описание. Второй тип средних значений чисто классический. Он отражает тот факт, что у нас нет полной информации о системе, мы даже не знаем, в каком квантовом состоянии система находится. В результате возникает усреднённая матрица плотности р. В то время, как в первом случае можно описывать состояние системы вектором состояния, во втором следует обратиться к формализму матрицы плотности. Иногда векторы состояний называют чистыми состояниями, а усреднённые матрицы плотности описывают смешанные состояния В оставшейся части книги мы не будем делать различий между р и р, и станем писать р даже тогда, когда будем иметь дело со смешанными состояниями. [c.69]

Определение и свойства. В предыдуш,ем разделе мы обосновали введение матрицы плотности как наиболее обш,его описания квантового состояния. В каждом случае, когда у нас нет достаточной информации о системе, мы вынуждены пользоваться формализмом матрицы плотности. Так, в рассмотренном выше примере мы не знали фаз амплитуд вероятности. В данном разделе кратко изучим ряд свойств матрицы плотности. [c.69]

Описание квантовой системы с затуханием из-за взаимодействия с резервуаром тоже опирается на представление о матрице плотности. Резервуар имеет огромное число степеней свободы, то есть он включает много подсистем, каждая из которых взаимодействует с интересующей нас квантовой системой. Поскольку число подсистем велико, мы не можем произвести измерения для каждой из них и, следовательно, не можем следить за перепутыванием между нашей квантовой системой и подсистемами резервуара. Это обстоятельство приводит к формализму матрицы плотности. [c.562]

Более строгое и полное описание взаимодействия следует проводить в рамках формализма матрицы плотности атома р(г, г) с учетом процессов релаксации. (См., например, [4, 10].) В Представлении взаимодействия уравнение движения для р (г) имеет вид [c.116]

Следует отметить, что закон Кюри (III.1), выведенный в гл. I для системы изолированных ядерных спинов, находящихся во внешнем постоянном поле Hz = Яо, в действительности справедлив при горазда более общих предположениях, что можно легко показать, используя формализм матрицы плотности, введенный в гл. II. [c.41]

Определитель матрицы, составленный из коэффициентов Ду, отличен от нуля в силу основной теоремы лагранжева формализма. [c.261]

Для описания процессов, происходящих с Э.ч., в КТП используется Лагранжев формализм. В лагранжиане, построенном из полей, участвующих во взаимодействии частиц, заключены все сведения о свойствах частиц и динамике их поведения. Лагранжиан включает в себя два гл. слагаемых лагранжиан i o, описывающий поведение свободных полей, и лагранжиан взаимодействия отражающий взаимосвязь разл. полей и возможность превращения Э. ч. Знание точной формы позволяет в принципе, используя аппарат матрицы рассеяния (S -матрицы), рассчитывать вероятности переходов от исходной совокупности частиц к заданной конечной совокупности частиц, происходящих под влиянием существующего между ними взаимодействия. Т. о., установление структуры открывающее возможность количеств, описания процессов с Э. ч., является одной из центр, задач КТП, [c.605]

Бреннер [8] проиллюстрировал значение этого формализма при помощи рассмотрения гидродинамического взаимодействия двух сферических частиц разных размеров. В этом случае из уравнений (8.5.34) и (8.5.356) следует, что для определения большой матрицы сопротивлений нужны 16 диадиков. Только десять из них независимы, так как имеются шесть условий симметрии [c.473]

Здесь также возможно использование указанного выше формализма, однако с некоторыми оговорками. Он может считаться обоснованным для случая дифференциально-линейных соотношений (13.2). В этом случае при условии разрешимости (13.2) относительно ац матрица Ец п упругого эквивалента будет, очевидно, иметь вид [c.35]

Заметим теперь, что вероятностные коэффициенты (4.5.5) Представляют собой диагональные элементы матрицы плотности в таком представлении, в котором и гамильтониан, и оператор полного числа частиц диагональны. Следует четко представлять, что теперь N считается оператором, собственные значения которого равны всем неотрицательным целым числам. При решении в большом каноническом ансамбле особенно удобен формализм вторичного квантования. Матрицу плотности легко привести к виду, пригодному для любого произвольного представления [c.150]

Вторичное квантование. В статистической механике приходится иметь дело с волновыми функциями, зависящими от огромного числа переменных, поэтому координатное представление неудобно для практического использования. Квантовые состояния многочастичных систем обычно описываются в представлении чисел заполнения которое также называется представлением вторичного квантования. Главным достоинством этого представления является то, что в нем симметрия Д/ -частичных волновых функций учитывается автоматически путем введения специальных операторов рождения и уничтожения. Действуя на квантовое состояние системы, эти операторы изменяют число частиц в одночастичных состояниях. Как мы увидим дальше, формализм, основанный на использовании операторов рождения и уничтожения, очень удобен для построения операторов динамических величин и приведенных ( -частичных) матриц плотности, которые играют исключительно важную роль в кинетической теории (см. главу 4). Мы обсудим основные идеи метода вторичного квантования, поскольку он будет часто использоваться в книге. Детальное изложение этого метода можно найти в любом современном учебнике по квантовой механике (см., например, [14, 79, 89, 125]). [c.32]

Возвращаясь снова к уравнениям (5.3.18), мы видим, что основные величины, представляющие интерес в излагаемом формализме, — это частотная матрица и матрица функций памяти. Элементы частотной матрицы (5.3.19) выражаются через статические равновесные корреляционные функции и, в принципе, могут быть вычислены методами равновесной статистической механики. В частном случае, когда динамические переменные Рп коммутируют друг с другом ), частотная матрица равна нулю. С другой стороны, вычисление элементов матрицы функций памяти (5.3.20) или матрицы (5.3.23) в -представлении является, как правило, очень сложной проблемой. Главные трудности связаны с тем, что эволюция микроскопических потоков в кинетических коэффициентах (5.3.17) описывается приведенным оператором Лиувилля (5.3.15), который имеет гораздо более сложную структуру, чем обычный оператор L. [c.377]

Изложенный формализм находит многочисленные применения в задачах квантовой механики и статистической физики [4, 31, 104]. В теории неравновесных процессов он дает возможность преобразовать квантовое уравнение Лиувилля или основные кинетические уравнения в дифференциальные уравнения для символов матриц плотности. Во многих случаях решать эти дифференциальные уравнения проще, чем иметь дело с исходными операторными уравнениями. [c.149]

После построения матрицы-функции Грина для решения интегрального уравнения применяется метод фиктивного поглощения. Для перехода из пространства изображений в пространство оригиналов авторы используют численный метод Файлона. Развитый трехмерный формализм решения задачи применяется затем к анализу нестационарного нагружения слоистой полосы при плоской деформации, когда на электрод-штамп в центре его массы действует перпендикулярная к границе сила в форме ступеньки, а электрические условия соответствуют случаям 1) или 2). Авторами представлены численные расчеты для различных случаев соотношения жесткостей слоев, коэффициентов электромеханической связи и различных электрических условий подключения электрода. [c.603]

Будем исходить прямо из выражения для матрицы рассеяния в 1п-формализме тп = где п)1п — 1п-вектор состояния оператор 8 (его тоже называют мат- [c.65]

При этом нельзя избежать трудностей и в рамках обычного одновременного формализма. Хотя соответствующее решение и существует, его релятивистская инвариантность оказывается существенным образом нарушенной. Дело в том, что в б -матрице фигурируют запаздывающие коммутаторы типа [c.112]

Преимущество матричного формализма состоит в том, что матрицы содержат всю информацию о линзах и свойства систем линз легко могут быть получены простым умножением матриц. [c.214]

В разд. 4.8.1 был введен матричный формализм для описания систем линз. Такой же подход удобен для расчета аберраций систем линз через коэффициенты аберрации отдельных элементов системы. Окончательный вид матриц получается достаточно сложным. Причем в общем случае [151] выражение для любого конкретного коэффициента аберрации системы линз содержит не только соответствующие коэффициенты отдельных линз, а может содержать весь набор их коэффициентов аберраций. Единственным исключением являются аксиальные аберрации, которые зависят только от аксиальных коэффициентов аберраций отдельных линз. Тем не менее смешивание сферической и аксиальной хроматической аберраций также не является простой задачей. Мы вернемся к этому вопросу в разд. 5.7. [c.326]

Преимущества матричного формализма особенно очевидны для асимптотических аберраций. В этом случае полиномиальные коэффициенты аберраций отдельных элементов дают всю необходимую информацию для расчета аберраций системы. Здесь требуется построение аберрационных матриц и их последовательное умножение для цепочки элементов. Очень удобно написать компьютерную программу, которая решала бы эту задачу автоматически. Можно включить даже некоторые элементы оптимизации путем циклического формирования матрицы с последующим умножением для различных значений параметров [c.326]

Матрица рассеяния, определяемая выражением (6.11.1), эквивалентна матрице Джонса А, введенной в гл. 1 настоящей книги [см. выражение (1.3.15)]. Таким образом, можно воспользоваться соответствующим формализмом, который был применен в разд. 1.3 при вычислении параметров Стокса рассеянного поля. Например, для рассеивающей среды в матрице Джонса не равны нулю всего два элемента, а именно 5 2 = А, 82 = А 2, так что матрица Р, определяемая выражением (1.3.18), принимает совсем простой вид [c.464]

Пример. Проиллюстрируем метод вычисления квантово-механиче-ского среднего значения оператора с помощью формализма следа. Для этого вычислим среднее значение самой матрицы плотности, то есть [c.72]

Примеры матрицы плотности. Проиллюстрируем описанный формализм, сравнив и отметив различия матриц плотности для теплового термодинамического) состояния и теплового фазового состояния гармонического осциллятора. В этом разделе для представления матрицы плотности используются собственные энергетические [c.73]

Строгое математическое описание этих эффектов требует использования формализма матрицы плотности ). Наглядность этого строгого описания достигается путем использования так называемых оптических уравнений Блоха [1—4] ) и приближения вращающейся волны [1] ). В данной лекции по ставится цель дать строгое описапие нестационарных эффектов целью является лпшь феноменологическое качественное их описание. Интересующиеся строгим описанием могут обратиться к монографиям [1-4]. [c.180]

Тот факт, что состояние полевой моды может быть описано только матрицей плотности, а не вектором состояния, связан с отсутствием процедуры измерения для атома после взаимодействия, то есть с отсутствием измерения для резервуара. Даже если бы все инжектируемые атомы были в возбуждённом (или в основном) состоянии, мы, всё эавно, должны были бы прибегнуть к формализму матрицы плотности. [c.564]

Для ответа на этот вопрос нужно строго квантовомеханически решить задачу о взаимодействии излучения со средой, используя формализм матрицы плотности. [c.256]

Формализм матрицы плотности немедленно можно рапространить и на вычисление двухэлектронных операторов. Поступая точно так же, как и выше, мы должны теперь проинтегрировать по всем координатам, кроме двух. Среднее значение двухэлектронного оператора тогда будет [c.327]

Д. м. м, не применяется для неоднородных волн и для световых пучков больших апертур. Д. м. м. непригодеп также для цекогерентного света, но формализм его можно использовать для построения матрицы когерентности [4]. Для описания состояния поляризации неко-герептного света используются методы Стокса параметр ров и Мюллера матриц. [c.604]

ОПЕРАТОРЫ в квантовой теории — сим-волич. изображение составленных по определённым правилам матем. операций (алгебраич., дифференциальных, интегральных, перестановочных и т. д.), используемых в квантовой теории для преобразования встречающихся в ней величин. Если состояние квантовой системы описывается с помощью волновой ф-ции ф(ё,ж) (для конкретности, папр., в Шрёдингера представлении), то О. или их последовательность в конечном счёте действуют на эту ф-цию, сопоставляя с ней волновую ф-цию, соответствующую уже др. состоянию системы. В др. формализмах квантовой теории (папр,, когда состояние системы фиксируется с помощью О. матрицы плотности или в представлениях, когда ф является фиксир. вектором в гильбертовом пространстве) О. действуют па др. О., характеризующие состояние системы или к.-л. ее характеристики. Ниже будут рассмотрены наиб, часто встречающиеся типы U. [c.410]

Теория Дирака. К гамильтонову формализму со связями обычно приходят, отправляясь от лагранжиана, вырожденного по скоростям (определитель матрицы производных лагранжиана по скоростям равен нулю). Требование непротиворечивости дияамич. ур-ний означает, что подмногообразие связей F в С. м. М ин-волютивно пространство / связей (ф-ций на М, нулевых на F) замкнуто относительно скобки Пуассона [c.522]

Здесь энергия основного электронного состояния принята за нуль. Эта система уравнений весьма напоминает систему (6.52), с которой мы начали рассмотрение туннелон-фононной системы. Фактически это — уравнение Шредингера для хромофора, внедренного в матрицу с колебательными и туннельными степенями свободы. Мы можем применить формализм псевдоспина и, пренебрегая оператором неадиабатичности U (Д), переписать гамильтониан системы (7.1), используя матрицу Паули [c.86]

Если для дифференциально-линейного соотношения вне зависимости от (13.10) следовал упругий эквивалент с матрицей (13.8), то для дифференциально-нелинейного случая даже в предположении равноактивиости соотношение Аоц—Авц оказывается нелинейным и неоднородным, что приводит к большим (если не сказать — непреодолимым) трудностям при определении бифуркации первого порядка в реальных задачах. В то же время определение бифуркации второго и высшего порядков для таких тел принципиально не отличается от случая дифференциальной линейности, ибо снова оказывается справедливым прежний формализм, на этот раз с матрицей, [c.35]

Многие сложные двулучепреломляющие оптические системы, такие, как широкоугольные электрооптические модуляторы [1], светофильтры Лио [2—5] и светофильтры Шольца [6, 7], используют прохождение света через последовательность поляризаторов и фазовых пластинок. Действие каждого такого элемента (поляризатора или фазовой пластинки) на состояние поляризации распространяющегося света нетрудно рассчитать и без применения матричной алгебры. Однако, в случае когда оптическая система состоит из многих таких элементов, каждый из которых ориентирован под разным азимутальным углом, расчет всей оптической системы оказывается весьма сложным. Существенно упростить его позволяет лишь применение определенного систематического подхода. Исчисление Джонса, предложенное Р. Джонсом в 1940 г. [8], представляет собой мощный матричный метод, в котором состояние поляризации задается двухкомпонентным вектором (см. разд. 3.4), а каждый оптический элемент описывается матрицей 2x2. Общая матрица полной системы получается перемножением всех таких матриц, а состояние поляризации распространяющегося света вычисляется как произведение вектора, определяющего поляризацию входного пучка, на общую матрицу. Сначала в данной главе мы изложим математический формализм матричного метода Джонса, а затем используем его для расчета некоторых двулучепреломляющих фильтров. [c.132]

Фильтры Шольца мы рассмотрели в разд. 5.3, где для изучения их характеристик пропускания использовался метод матриц Джонса. Однако этот формализм не дает четкого представления о физическом механизме действия такой структуры в роли фильтра. В данном разделе для изучения пропускания этих фильтров мы применим теорию связанных мод. Разумеется, эта теория применима лишь к скрещенным фильтрам Шольца, которые представляют собой периодическую структуру. Геометрия этих фильтров изображена на рис. 5.5, а их характеристики были приведены в табл. 5.1. [c.205]

Прежде всего из выражений (3.6.11) и (3.6.16) должно быть ясно, что вигнеровские функции представляют собой средние значения операторов (вычисленные с матрицей плотности р), которые не являются положительно определенными. Это означает, что вагнеровские функции не являются положительными или равными нулю) во всех точках, а могут принимать и отрицательные значения. Следовательно, их нельзя интерпретировать как плотности вероятностей. Это та цена, которую приходится уплатить, чтобы не нарушить принципа неопределенностей Гей-эенберга фазовое пространство не может играть такую же роль, как в классической механике. Теперь уже невозможно связывать точку с состоянием системы. Замечательно, однако, что вигнеров-ские функции дают абсолютно самосогласованный формализм вычисления средних, аналогичный вероятностному, хотя его интерпретация другая. Однако во многих случаях эта интерпретация совершенно несущественна, ибо функции распределения в фазовом пространстве не являются непосредственно наблюдаемыми физическими величинами. [c.118]

Для описания процессов рождения и уничтожения Э. ч. в различных типах взаимодействий в полевой теории развит специальный математич. аппарат (аппарат Л -матрицы), базирующийся гл. обр. на лагран-жевом фо1)мализме [1]. Исторически лагранжев формализм был первой попыткой последоват. описания свойств Э. ч. Поле можно рассматривать как систему с бесконечным числом степеней свободы. Соответствеппо, половой лагранжиан есть обобщение лагранжианов классич. механики для систем с многими степенями свободы. [c.524]

Часто исполь-зуют другой формализм. Именно, наряду с про-страи( твом с и. м. Н вводят пространство с п. м. Н, вектора к-рого и) находятся во взаимооднозначном соответствии с векторами а) пространства Я. В пространстве Н скалярное произведение оиределяется с помощью метрич. матрицы и (а/ц Ь) — (а Ь). В силу (I) и — Э1Шитов оператор. Матричные элементы оператора Р определяются так Р — (i,i]P k . [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...