Лагранжиан обобщенный

Рассмотрим движение точки по линии пересечения неподвижной сферы и колеблющейся горизонтальной плоскости (см. пример 5.3). В этом случае лагранжиан, обобщенный импульс и функция Гамильтона соответственно равны [c.392]

Функцию L естественно назвать обобщенным лагранжианом. [c.158]

Натуральные и ненатуральные системы. Введя понятие об обобщенном потенциале, мы сделали важный шаг в расширении класса систем, для которых ковариантные уравнения движения могут быть записаны в форме, содержащей только одну функцию, зависящую от выбора системы отсчета,— ее лагранжиан. [c.164]

Приняв за обобщенные координаты главные координаты б ,. ... .., 9 и получив поэтому Т и V в виде (46) и (47), подставим лагранжиан [c.238]

Лагранжиан L является функцией координат q, скоростей q, а в нестационарном случае также и времени. Поэтому и обобщенные импульсы являются, вообще говоря, функциями тех же переменных [c.261]

Выполнить доказательство существования обобщенного интеграла энергии Якоби в случае, когда Лагранжиан не зависит явно от времени. [c.622]

Решение. Система имеет три степени свободы. Вводя в качестве обобщенных координат эйлеровы углы 0, ф и координату центра масс Z, получим лагранжиан [c.205]

Решение В. Выбрав в качестве обобщенных координат углы Эйлера, получим лагранжиан [c.224]

Решение. Используя лагранжиан спутника (см. задачу 6.4.4.), получим обобщенные импульсы [c.244]

Таким образом, величина U является обобщенным потенциалом в смысле (1.54), и, значит, лагранжиан заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле, можно записать в виде [c.33]

Примеры получения уравнений Лагранжа. Из предыдущего видно, что если система такова, что д,ля нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получения уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и другие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями Т и V, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции Г и У в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан L и, подставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых, координат к обобщенным получается для функций Г и У с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так, [c.34]

Преимущества вариационной концепции. Хотя принцип Гамильтона в форме (2.2) можно распространить на случай неконсервативных систем и неголономных связей, однако практически этот принцип наиболее полезен тогда, когда можно составить лагранжиан из независимых координат. Вариационный принцип Гамильтона в компактной форме содержит в себе всю механику консервативных голономных систем. Кроме того, этот принцип имеет то достоинство, что в его формулировке фигурируют только такие физические величины, которые не связаны с частной системой обобщенных координат (кинетическая и потенциальная энергии). Поэтому этот принцип автоматически инвариантен относительно преобразования обобщенных координат системы. [c.58]

Другое достоинство этого принципа состоит в том, что его можно легко распространить на системы, не являющиеся чисто механическими, например, на упругие среды, электромагнитные поля, поля элементарных частиц и т. д. Позже мы рассмотрим некоторые из этих обобщений, а сейчас проиллюстрируем это на примере следующей простой системы, выходящей за обычные рамки механики. Предположим, что мы имеем систему, лагранжиан которой имеет вид [c.58]

Таким образом, каждой координате qj соответствует обобщенный импульс pj. Величину pj часто называют также каноническим импульсом или импульсом, соответствующим координате Qj. Заметим, что если qj не есть декартова координата, то pj может и не иметь размерности импульса. Кроме того, если потенциал системы зависит от скорости, то даже тогда, когда qj является декартовой координатой, соответствующий обобщенный импульс не будет совпадать с обычным импульсом в механическом смысле этого слова. Так, например, в случае частиц, находящихся в электромагнитном поле, лагранжиан имеет вид [c.61]

Следует заметить, что формулы перехода к обобщенным координатам могут содержать время явным образом и по причинам, отличным от движения связей, например в случае вращающихся координатных осей. Тем не менее, может случиться, что лагранжиан не будет при этом содержать времени явным образом. Величина Н будет тогда постоянной, но так как Т не будет при этом однородной функцией скоростей, то Я более уже не будет равно Т + V. Ясно, что энергия системы также будет в этих случаях постоянной. Использование, например, вращающейся системы координат оказывается удобным в математическом отношении и не изменяет, конечно, физического существа явления (см. гл. 8). [c.69]

Пусть потенциал, фигурирующий в лагранжиане, содержит члены, зависящие от скорости, и пусть О будет координатой, характеризующей поворот системы в целом. Показать, что соответствующий обобщенный импульс Ре будет не обычным кинетическим моментом Lq, а будет определяться равенством [c.70]

Сведение проблемы к эквивалентной задаче для одного тела. Рассмотрим консервативную систему, состоящую из двух точек с массами гп и т . Единственными силами, действующими на эти точки, мы будем считать силы, обусловленные потенциалом взаимодействия V, относительно которого мы будем предполагать, что он является функцией вектора Г — Г2, относительной скорости Г1 — Г2 и производных более высокого порядка от fi — Г2. Рассматриваемая система имеет шесть степеней свободы и, следовательно, характеризуется шестью независимыми обобщенными координатами. В качестве таких координат мы выберем три составляющих радиуса-вектора R, идущего в центр масс системы, и три составляющих вектора г = Г2 — Тогда лагранжиан этой системы будет иметь вид [c.72]

Из сказанного ясно, что, пользуясь девятью направляющими косинусами как обобщенными координатами, нельзя получить лагранжиан и составить с его помощью уравнения движения. Для этой цели мы должны использовать не сами эти косинусы, а некоторую систему трех независимых функций этих косинусов. Некоторые такие системы независимых переменных, из которых наиболее важной является система углов Эйлера, будут описаны нами позже. Однако применение направляющих косинусов для описания связи между двумя декартовыми системами координат имеет ряд собственных важных преимуществ. Так, например, многие теоремы о движении твердых тел можно получить с их помощью весьма изящным и общим способом, притом в форме, встречающейся в специальной теории относительности и в квантовой механике. Поэтому этот метод заслуживает более подробного изложения. [c.113]

Углы Эйлера. Мы уже говорили, что так как элементы Uij не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являются углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования, [c.124]

Заметим, что углы ф и не входят явным образом в лагранжиан. Следовательно, они являются циклическими координатами, указывающими на неизменность соответствующих обобщенных импульсов. Но мы знаем, что обобщенный импульс, соответствующий какому-либо углу поворота, представляет собой составляющую полного кинетического момента относительно соответствующей оси вращения, какой для угла ф является вертикальная ось, а для угла 1з —ось 2, связанная с телом. Поэтому составляющие кинетического момента относительно этих осей должны оставаться постоянными. В сущности то, что эти составляющие кинетического момента должны быть постоянными, можно показать, исходя из элементарных принципов. Действительно, момент силы тяжести симметричного волчка направлен вдоль линии узлов. Следовательно, кинетические моменты волчка относительно вертикали и относительно его собственной оси должны быть равны нулю, так как согласно определению этих осей они перпендикулярны к линии узлов. [c.187]

Циклические координаты и метод Рауса. Уравнения Гамильтона особенно удобны при исследовании систем, содержащих циклические координаты. Согласно определению, данному в 2.6, циклической координатой называется координата, которая не входит в лагранжиан, и отсюда, как мы знаем, следует (на основании уравнений Лагранжа), что обобщенный импульс Pi, соответствующий этой координате, является постоянным. Но если pj будет равно нулю, то согласно уравнениям (7.12) про- [c.243]

Лежандрово преобразование может быть приложено к лагранжиану, рассматриваемому как функция переменных преобразования ф, а также координат положения и времени t. При этом скорости преобразуются в импульсы, а лагранжиан — в гамильтониан. Преобразование Лежандра при приложении его к уравнениям Лагранжа отделяет дифференцирование по времени от алгебраического процесса и приводит к каноническим уравнениям. В самом деле, определив обобщенный импульс р, через лагранжиан [c.876]

Левая формула удобна в ton случае, когда система описывается декартовыми координатами, правая —когда применяются обобщенные координаты q . Если группа преобразований, о которой шла речь в начале параграфа, может быть описана через изменение одной подходящим образом выбранной обобщенной координаты, скажем q,., то для любого произвольного изменения q , т. е. для любого qr, лагранжиан не должен изменяться, т. е. L = 0, и следовательно, [c.63]

Если движение происходит в потенциальном поле, надо не вычислять обобщенные силы, а составить выражение для потенциальной энергии системы, и затем, используя формулы (8), подставить в него декартовы координаты точек как функции новых координат. После этого надо найти кинетическую энергию так, как это было указано выше, и, снова выразив декартовы координаты и их производные через новые координаты, выписа1ь лагранжиан, т. е. разность кинетической и потенциальной энергий. Найденный таким образом лагранжиан подставляется в уравнения (29). [c.134]

Во всех предыдущих параграфах данной главы мы рассматривали движение системы в потенциальном поле, но не требовали, чтобы поле это было стационарным. Именно поэтому мы предполагали, что лагранжиан, гамильтониан и иные функции, встречавшиеся нам по ходу изложения, могут зависеть явно от времени. В этом смысле изложенный выше материал охватывал движения в нестационарных потенциальных полях и, в частности, движение в потенциальном поле системы, имеющей механические реономпые связи. Для случая, когда система натуральна, связи склерономны и поле стационарно, т. е. когда потенциальная функция не зависит явно от времени, выше было установлено лишь то, что гамильтониан совпадает с полной энергией системы. Отправляясь от этого факта, мы ввели понятие обобщенно консервативной системы как такой гамильтоновой системы, в которой гамильтониан не зависит явно от времени, а сам гамиль- [c.325]

Пусть лагранжиан Ь голономноИ системы не зависит явно от времени (силы потенциальны или обобщенно потенциальны). Тогда действительная траектория изображающей точки конфигурационного пространства служит экстремалью функционала [c.616]

Решение 2. В неинерциальной системе с началом в точке подвеса х = /з1пф, г = —/созф. Обобщенная потенциальная энергия 7o6=-mgr +mwr, где w(/) — ускорение поступательного движения неинерциальной системы, w=(0. О, s), следовательно, Uo6== =—m g+s)l os (f. Поскольку o 2= ф2, то лагранжиан совпадает с (2). [c.80]

Решение. Пусть /п,, m2 — массы частицы и маятника. Обобщенная координата 5 определяет положение mi на прямой, <р — угол отклонения нити маятника от вертикали. Направляя ось у вверх по вертикали, получим Х] = 5, у = 0, Х2 = /81пф4-5, у2-= = —/созф. Лагранжиан системы [c.86]

Решение. Выберем в качестве обобщенной координаты угол ср Л1ежду вертикалью и пружиной. Лагранжиан частицы L K—U, [c.129]

Решение. Рассмотрим плоскопараллельное движение клина и шара. Масса шара — т, его радиус — а масса клина — М. Высота клина — Я, угол наклона — а. Введем две обобщенные координаты 5i — координата левого торца клина, — расстояние, отсчитываемое от вершины клина до точки касания шара. Координаты центра масс шара X2=Si+S2 os а, г/2=Я+а os а—S2 sin а. Скорость центра масс определяется выражением y2 = Si +S2 + -I-2siS2 os а. Скорость точки соприкосновения Vp=(ii, О, 0) и скорость точки М связаны условием качения ур=У2+[югмр], из которого находим ft)=(0, О, —S2/a). Теперь можно записать лагранжиан системы [c.212]

Лагранжиан математического маятника Ь = /2ф — —со (1—созф). Найти гамильтониан, выбирая в качестве обобщенной координаты x = 2s,ixi(fl2. [c.240]

Общий метод решения задачи о движении твердого тела. Уравнения Эйлера. Весь аппарат, необходимый для решения задачи о движении твердого тела, нами практически уже получен. В некоторых случаях, когда на это тело наложены не-голономные связи, нам потребуется применить специальные приемы, чтобы учесть их. Так обстоит дело, например, в том случае, когда на тело наложена связь качения , которая может быть учтена с помощью введения неопределенных множителей Лагранжа, как это делается в 2.4. Если, однако, исключить эти специальные случаи, то, как правило, нам придется иметь дело только с голономными и консервативными системами, а движение таких систем вполне определяется их лагранжианом. Если рассматриваемое тело является свободным, то нам потребуется полная система из щести обобщенных координат TpeJ< [c.177]

Релятивистские уравнения Лагранжа. Теперь, когда нами получено релятивистское обобщение уравнения Ньютона, мы можем перейти к вопросу о релятивистских уравнениях Лагранжа. В некотором отношении это сделать легко, так как нетрудно образовать лагранжиан, приводящий к правильным релятивистским уравнениям движения. Правда, на этот раз трудно пол учить уравнения Лагранжа, исходя только из принципа Да-ламбера, как это было сделано в главе 1. Дело в том, что хотя равенство [c.230]

Гамильтонианы (7.20) и (7.23) являются релятивистскими лищь в том смысле, что они приводят к правильным релятивистским уравнениям движения. Однако они не являются ковариант-ными. Ковариантный гамильтониан Н можно получить, применяя преобразования Лежандра к ковариантному лагранжиану L, рассмотренному в предыдущей главе. При этом вместо времени t следует пользоваться инвариантным временем т и вместо обобщенного 3-импульса рассматривать обобщенный 4-импульс. В релятивистских обозначениях ковариантный гамильтониан частицы запищется в виде [c.248]

Так как удельный лагранжиан мы не будем теперь связывать с определенной механической системой, то он не обязательно должен быть равен разности удельных энергий — кинетической и потенциальной. Вместо этого мы можем взять для Й любое выражение, приводящее к нужным уравнениям поля. Рассмотрим, йапример, поле, возникающее при звуковых колебаниях газа. В 11.3 при описании этого поля мы рассматривали перемещения отдельных частиц газа и принимали эти перемещения за обобщенные координаты. Однако это поле является, в сущности [c.394]

Это выражение, так же как и выражение (11.73), является лагранжианом системы, состоящей из электромагнитного поля и п заряженных частиц. Оно является функцией обобщенных координат ((> х1,х2,хз) и А х1,Х2,Хз), а также обобщенных координат г -. Таким образом, мы одновременно описываем две системы элек- [c.398]

G6. Два примера. Лагранжевы уравнения (65.6) связывают наиболее часто встречающиеся динамические системы и излагаем абстрактную теорию. Эта теория приложима ко всем физическим системам, которые ведут себя согласно уравнениям (65.6), независимо от того, действительно ли эта система динамическая или нет. Ср1стема может состоять из электрических контуров с обобщенными скоростями, соответствующими токам. В чисто динамической области благодаря (46.18) настоящая теория приложима ко всем голономным системам, для которых обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или обобщенной потенциальной функцию. В таких системах кинетическая энергия всегда выражается через квадраты обобщенных скоростей и таким же является лагранжиан L = Т — F), когда [c.217]

Вплоть до этого момента всюду предполагалось, что потенциальная энергия (У-зависит только от координат Хй теперь, следовательно, потенциальная энергия будет функцией только обобщенных координат <7/,, т. е. U = U qi,). Лагранжиан же будет функцией как г/, так и 4 (в этой же глапе ниже будет также кратко рассмотрен и потенциал, мвисящий от скоростей) [c.51]

Применим теперь уравнения Лагранжа к исследованию некоторых физических систем. Прежде всего заметим, что для системы без связей в качестве обобщенных координат дюжно использовать декартовы координаты j j. В этом случае лагранжиан имеет вид [c.52]

В этой связи говорят иногда о скрытых массах-, такие скрытые массы,, как это предполагалось, вызывают посредством кинематических соотношений псевдопотенциаль-ную энергию такого типа, с каким мы столкнулись в (2.333). Разберем очень простой пример, в котором и в самом деле скрытая масса создает такую псевдопотенциальную энергию (рис. 10). Две массы и т. связаны невесомой нитью длины I. Масса m2 может свободно перемещаться по горизонтальной плоскости, нить может двигаться без трения через отверстие в плоскости, а масса движется вертикально. Система обладает двумя степенями свободы, и за обобщенные координаты мы примем величины Jt и ф (см. рис. 10). Лагранжиан системы запишется в виде [c.60]

В 2.4 мы убедились в том, что для систем, потенциал которых зависит только от относительного расстояния между частицами, импульс, соответствующий /.оорди-цатам центра масс, является интегралом движения. Соот-Еетствующими обобщенными импульсами Рг будут, таким образом, три компоненты полного импульса системы. Чтобы показать это, мы замечаем, что для систем такого рода лагранжиан н[1вариантен относительно любого поступательного перемещения (трансляции), т. е. инвариантен относительно всех преобразований вида [c.63]

Теперь перейдем к случаю, когда лагранжиан инва-)иантен относительно вращения вокруг некоторой осн. Лусть эта ось параллельна некоторому вектору я через бф мы обозначили угол поворота вокруг этой осн. Координатой Qr, фигурирующей в (2.603), является, таким образом, угол ф, и следует ожидать, что соответствующий обобщенный импульс окажется интегралом движения. Этот импульс оказывается просто моментом импульса относительно этой оси. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...