Симметрия энергетических зон

Обратим внимание еще на одно свойство симметрии энергетических зон. Рассмотрим уравнение, комплексно сопряженное уравнению на собственные значения энергии [c.102]

Как показал И. Е. Тамм, вблизи поверхности кристаллического образца возникают дополнительные энергетические уровни, обусловленные нарушением трансляционной симметрии кристаллической решетки вследствие ее обрыва поверхностные состояния или, иначе, уровни Там-ма). В полупроводнике эти состояния локализуются внутри запрещенной зоны. Они могут либо отдавать, либо принимать электроны, в результате чего на поверхности полупроводника образуется заряд того или иного знака, приводящий к изгибу энергетических зон в приповерхностном слое. Если полупроводник содержит донорные примеси (п-полупроводник), то в этом случае электроны будут переходить от примесей на поверхностные уровни в результате поверхность полупроводника зарядится отрицательно, а внутри полупроводника вблизи его поверхности возникнет положительный объемный заряд. Это приводит к изгибу зон, показанному на рис. 7.5, б. Изгиб происходит в пределах слоя толщиной обычно не более 10 м значительная же часть фотоэлектронов зарождается глубже — на расстояниях примерно до 10 —10 м от поверхности. Для таких электронов энергия электронного сродства х и соответственно порог фотоэффекта W увеличиваются на некоторую величину ЬЕ (см. рисунок). Более интересен в практическом отношении случай, когда полупроводник содержит акцепторные примеси (р-полупроводник). В нем электроны будут переходить с поверхностных уровней на примеси, поверхность будет заряжаться положительно, изгиб зон будет иметь вид, показанный на рис. 7.5, в. В данном случае благодаря изгибу зон происходит снижение порога внешнего фотоэффекта. [c.166]

Высокие давления, развивающиеся за ударными волнами, могут изменить структуру энергетического спектра в конденсированных средах. Сокращение межатомных расстояний ведет к расширению и перекрытию энергетических зон. Образующиеся новые фазы состояния веществ за сильными ударными волнами, как правило, являются более плотными и обладают большей симметрией. Переход к более плотным кристаллическим структурам с поглощением скрытой теплоты (фазовый переход I рода) наблюдается при полиморфных превращениях в металлах. При сильных ударных нагрузках могут также происходить потеря стабильности кристаллической решетки и плавление вещества. На рис. 1.8 схематично показан ход ударной адиабаты для веществ, испытывающих фазовый переход. При сжатии вещества из начального состояния (0) в точке А начинается фазовый переход. В случае полиморфного превращения наблюдается уменьшение удельного объема на участке АВ при незначительных приращениях давления. Это объясняется тем, что [c.39]

Создадим в кристалле внешнее поле ё. На каждый электрон это поле действует с силой F = qS, которая стремится нарушить симметрию в распределении электронов по скоростям, пытаясь затормозить электроны, движущиеся против силы, и ускорить электроны, движущиеся в направлении действия силы. Подобное ускорение (замедление) неизбежно связано с изменением энергии электрона, т. е. с переходом электрона в новое квантовое состояние с большей или меньшей энергией. Такие переходы могут осуществиться, очевидно, лишь в том случае, если в энергетической зоне, к которой принадлежит электрон, имеются незанятые состояния, т. е. если зона укомплектована неполностью. В этом случае уже слабое электрическое поле способно сообщить электронам достаточный дополнительный импульс, чтобы перевести их на близлежащие свободные уровни. В теле появится преимущественное движение электронов против поля, обусловливающее возникновение электрического тока. Такие тела должны быть хорошими проводниками, что и имеет место в действительности. [c.153]

Необходимо учесть стабилизирующее влияние на кристаллическую структуру энергетических зон, образуемых коллективизированными 3- и rf-электронами [32]. Энергетические полосы s- и d-электронов в переходных металлах перекрываются. Перекрытие означает возможность взаимных переходов коллективизированных электронов из s-состояния, где они почти свободны, в rf-состояние, где электроны сильно взаимодействуют с решеткой, хотя и не локализованы на атомах. Электроны в перекрывающихся s- и й-зонах обобществлены и принадлежат решетке в целом, в отличие от р-элект-ронов, локализованных во внешних р -оболочках остовов, так как зона остовных р-электронов отделена от s- и d-состояний широкой полосой запрещенных энергий. Естественно, что при формировании в металлической решетке энергетических 9- и d-зон (или полос) из дискретных энергетических уровней свободных атомов сохраняются признаки э- и <остояний не только по энергиям, но и по симметрии, т. е. в металлической решетке коллективизированные [c.21]

Коллективизированные электроны, заполняющие з-, р- и d-энергетические полосы или зоны, характеризуются не только энергиями, но в равной мере и S-, р , d-орбиталями, различающимися по симметрии. Внешние валентные электроны характеризуются в свободных невозбужденных атомах S-, р-, f-орбиталями, обусловливающими распределение электронов в пространстве вокруг ядра. Сближение атомов приводит к расширению дискретных энергетических уровней в полосы или энергетические зоны, сохраняющие симметрию S-, р-, rf-состояний и признаки геометрии соответствующих атомных орбиталей. Перекрытие электронных орбиталей между ближайшими соседями означает образование металлических связей. [c.37]

Другими словами, энергетическая зона таких возбуждений в Аг-про-странстве обязательно обладает центром инверсии. Равенство (5.5) должно выполняться и в кристаллах, пространственная группа симметрии которых не содержит элемента пространственной инверсии. [c.31]

Симметрия оператора Гамильтона по отношению к инверсии времени может привести к дополнительному вырождению энергетических зон кристалла. Исследование этого вопроса впервые было проведено Вигнером в 1932 г. (см. [3, 4]). [c.32]

Поскольку направление электрического момента перехода в анизотропном кристалле определяется симметрией кристалла, то поперечные и продольные экситоны соответствуют только некоторым направлениям волнового вектора. В частности, экситоны энергетической зоны (44.66) поперечны, если волновой вектор перпендикулярен моноклинной оси Ь, и продольны, если он параллелен этой оси. При этом поперечные экситоны имеют положительную эффективную массу, а продольные — отрицательную, [c.347]

Этот результат следует из геометрической симметрии зоны Бриллюэна. Каждому из основных типов решетки (см. гл. 1) свойственна инвариантность при операции инверсии —г относительно любой точки решетки. Из геометрического определения этой операции следует, что и зоны Бриллюэна для каждой такой решетки обладают инверсионной симметрией. Итак, если в энергетической зоне заполняются все пары состояний к, то неизбежно заполняются и все пары —к и, следовательно, полный волновой вектор равен нулю. [c.345]

Если энергетическая зона обладает симметрией ), при которой г к)=е —к), энергию дырки еп можно интерпретировать как ен кн), поскольку кн = —ке, и, следовательно, , [c.347]

Группа Л-векторов есть полная точечная группа О. Согласно размерностям неприводимых представлений энергетические зоны в Г могут быть простыми или дважды, нли трижды вырожденными. Симметрии блоховских функций в Г получаются из следующего рассмотрения. Каждому элементу группы мы можем сопоставить произведение координат х, у, г таким образом, чтобы, например, комбинация г, —х, у (записывается гху) означала, что при преобразовании, соответствующем этому элементу, ссь х перейдет в ссь г, ось у перейдет в ссь —X и ссь г—в ссь у. [c.376]

В следующей главе будет сформулирована задача о трансляционной симметрии произвольной кристаллической решетки. Пользуясь соображениями симметрии, мы получим некоторые дополнительные сведения об энергетических зонах и затем перейдем к выяснению их детальной структуры в кристаллах. Вид состояний электронов удается найти с помощью соображений симметрии, но для [c.65]

Рассмотрим двумерную квадратную решетку с периодом а. Можно показать, что векторы обратной решетки имеют величину 2п/а и лежат в направлениях примитивных трансляций решетки. Зона Бриллюэна представляет собой квадрат, и энергия в энергетической зоне есть функция двух компонент к. Таким образом, мы можем представить энергию в виде поверхности, откладывая ее в третьем измерении как функцию двумерной переменной к. Эго показано на фиг. 22 для двух возможных ситуаций. На фиг. 22, а изображены две зоны, которые отделены друг от друга при всех значениях волнового вектора. Здесь же вверху изображены зависимости энергии двух зон от волнового вектора, рассчитанные вдоль трех линий в зоне Бриллюэна линии, выходящей из угла зоны (обозначаемого через в центр (Г), из центра (Г) в середину стороны квадрата (X) и из X в. Результаты расчетов энергетических зон обычно традиционно изображаются в виде подобных кривых для линий симметрии в зоне Бриллюэна. [c.76]

Очень важно, что энергетические зоны могут быть определены для реальной системы в любом случае. Мы всегда можем на основании трансляционной симметрии сконструировать многоэлектронные состояния, отвечающие хорошо определенным волновым векторам. Основное состояние, например, будет соответствовать к = 0. Мы можем определить зонную энергию как изменение энергии при перенесении электрона из бесконечности в систему из N электронов, первоначально находившуюся в основном состоянии. Такое изменение энергии можно выразить как функцию волнового вектора, характеризующего состояние системы из 4- 1 электрона, в результате чего мы получим энергетические зоны, непосредственно наблюдаемые экспериментально. Такие зоны называются зонами квазичастиц. Мы будем говорить о них в следующей главе в связи с теорией ферми-жидкости. Расчеты в приближении самосогласованного поля — это просто попытки получить приближенные зоны квазичастиц. [c.91]

Прежде чем говорить о результатах расчетов энергетической зонной структуры, имеет смысл остановиться на вопросе о том, какой отпечаток накладывает симметрия кристаллов на энергетические зоны. Соображения симметрии широко используются как в самих расчетах энергетических зон, так и при формулировке результатов этих расчетов. Для описания зонной структуры мы уже использовали трансляционную симметрию решетки теперь мы попытаемся получить дополнительную информацию из свойств симметрии относительно поворотов и отражений, которые составляют точечную группу или пространственную группу кристалла. [c.102]

Операция симметрии дает нам новую волновую функцию, отвечающую новому волновому вектору к. Подействовав всеми операциями симметрии группы на данную волновую функцию или на ее волновой вектор к, мы получим звезду вектора к. Эта совокупность волновых векторов в случае кубической симметрии может содержать 48 векторов. Операции симметрии оставляют гамильтониан неизменным, следовательно, всем состояниям, возникающим в результате преобразования, должна отвечать одна и та же энергия. Таким образом, любая энергетическая зона имеет полную симметрию кристалла, т. е. при всех преобразованиях из группы симметрии кристалла энергетическая зона остается неизменной. Это справедливо и для энергетических зон в квадратной решетке, показанных на фиг. 22 и 23. [c.102]

Гамильтониан, будучи действительным, переходит при этом сам в себя, но волновой вектор к меняется на —к. Это справедливо при любой симметрии кристалла. Следовательно, энергетические зоны обладают симметрией по отношению к операции инверсии, даже если группа кристалла инверсии не содержит. Поскольку переход к комплексно сопряженному уравнению Шредингера эквивалентен [c.102]

ШИТЬ количество уравнений, которые нужно решить. Поэтому расчеты энергетических зон выполняются главным образом для линий и точек симметрии в зоне Бриллюэна. [c.104]

Таким образом, мы видим, что значительное количество информации об энергетических зонах снова можно получить на основании только одной симметрии, однако, чтобы определить сами зоны, необходим детальный расчет. [c.104]

В этом случае энергетические зоны естественно описывать в схеме приведенных зон, причем из соображений симметрии следует, что переходы должны быть вертикальными, как это показано на фиг. 98. Тем не менее вычисления здесь оказываются гораздо [c.368]

Говорят, что каждая из этих функций определяет энергетическую зону кристалла. В симметричных точках зоны Бриллюэна, на осях или плоскостях симметрии, значения некоторых из этих функций Е, могут совпадать. Тогда говорят о слипании энергетических зон. Это слипание обусловлено вырождением энергии для данного значения к, о котором мы говорили выше. [c.114]

Неорганические стекла обладают во многих случаях полупроводниковыми свойствами. Теория аморфных полупроводников указывает, что при плавлении кристаллов нарушается только- дальний порядок симметрии, ближний же порядок сохраняется. Энергетический спектр стеклообразного полупроводника состоит также из зон, как и у кристаллического, но из-за разупорядоченного строения происходит расширение валентной и свободной зон и сужение запрещенной зоны. В отличие от обычных стекол с преобладанием ионной проводимости стеклообразные полупроводники обладают чисто электронной проводимостью. [c.192]

Устойчивость кристаллической структуры, термодинамическая и механическая прочность и жаропрочность тугоплавких металлов в конечном итоге определяются межатомными связями. Образование сильных, коротких металлических связей между ближайшими атомами в плотноупакованных рядах рассматривается как результат перекрытия орбиталей внешних коллективизированных электронов. При этом энергетическим s-, р-, d-зонам отвечает распределение электронов в реальном пространстве решетки, сохраняющее признаки симметрии соответствующих атомных з-, р-, й -орбиталей или электронных облаков. Возбуждение и расщепление остовных р - [c.3]

Кристаллические структуры твердых тел обусловлены межатомными связями, возникающими в результате взаимодействия электронов с атомными остовами. Вывод металлических структур — ОЦК, ГЦК и ПГ — из электронного строения атомов представляет кардинальную проблему физики металлов [1, 21. В основе квантовой теории металлов лежит теория энергетических зон [3 —11]. Она рассматривает поведение электронов в периодическом поле решетки. Кристаллическая структура определяется дифракционными методами и вводится в зонную модель априори как экспериментальный факт, без объяснения ее происхождения. Разрывы непрерывности энергий электронов приводят к образованию зон Бриллюэна, ограниченных многогранниками, форма которых зависит от симметрии кристалла. Характер заполнения зон и вид поверхности Ферми различны для металлов, полупроводников и изоляторов. Расчеты позволяют получить з нергетическую модель, количественно описывающую энергетическое состояние электронов и физические свойства твердых тел. Однако из зонной модели нельзя вывести кристаллическую структуру, поскольку она вводится в основу построения зон как экспериментальный факт. Расчеты зонных структур и физических свойств металлов получили широкое развитие благодаря теории псевдопотенциала 112—19]. Они позволяют оценить стабильность структур металлов, но не вскрывают физическую природу конкретной геометрии решетки. [c.7]

II. Ef Е . На фиг. 18 энергия Е соответствует пересечению двух энергетических зон. В схеме расширенных зон это соответствует тому, что вектор к/ равен и IzYY. Если, как и прежде, перенести точки X я X в к-дространство, то в случае кристалла, обладаюш его сферической симметрией, геометрическим местом точек типа X ж X опять окажется сфера. Однако точки, лежащие на этой поверхности, будут двукратными. Ввиду трансляционной [c.91]

III. Ef — Е3. Энергетический уровень Е3 пересекает кривую Е (к) в двух точках — точке Ь в первой энергетической зоне и в точке с — во второй. Как и раньше, мы можем перенести эти точки в к Просгранство (фиг. 20). Если симметрия кристалла такова, что для векторов в плоскости k kz потенциал решетки видоизменяет кривые Е (к) таким образом, что для направлений, составляющих с осью х угол, больший 10°, точка X находится на энергетическом уровне Е , то точки Ь я с будут описывать в плоскости kxkz малые окружности. (Мы уже видели, что в случае, когда энергия Ef соответствует точке X, никакой поверхности Ферми не получается.) Если кристалл обладает цилиндрической симметрией относительно оси z, то точки Ь ж с будут порождать тороидальную поверхность (фиг. 20). Эта поверхность по определению будет поверхностью Ферми. Если описать на поверхности тороида замкнутую кривую (например, AB на фиг. 20), то внутри нее будут заключены незаполненные состояния. Такая поверхность Ферми называется дырочной поверхностью в первой энергетической зоне. [c.92]

Гораздо более полное описание кинетики процессов роста, лимитируемых диффузией, было дано Хэмом [34, 351, а также Булафом и Ньюменом [8, 9] для случая выделения на дислокациях. В работе Хэма была рассчитана временная зависимость скорости выделения для ряда сфероидальных Р-частиц в правильной кубической решетке. Использованный им метод решения формально сходен с методом Вигнера — Зейтца, применяемым для расчета структуры энергетических зон в твердых телах для расчета используются свойства симметрии такого ряда частиц в качестве граничного условия принимается следующее нормальная компонента потока атомов примеси становится исчезающе малой на поверхности кубической ячейки , окружающей каждую частицу. За исключением короткого начального переходного периода, закон роста для сферических частиц идентичен закону, даваемому методом Уэрта — Зинера можно также показать, что нерегулярное распределение частиц р-фазы не влияет сколько-нибудь заметно на закон их роста. Иглы иди пластины, сохраняющие в процессе роста эллипсоидальную форму с неизменным эксцентриситетом также дают качественно сходные результаты, отличающиеся от формулы Уэрта — Зинера только численной величиной входящих в уравнение параметров. Отсюда следует, что уравнение Аврами (39) является хорошим приближением для описания роста на ранних стадиях превращения во всех этих случаях, хотя, как подчеркивает Хэм, оно не имеет особого значения в случае превращений, лимитируемых диффузией, за исключением того, что служит [c.280]

Энергетические зоны всегда обладают инверсионной симметрией если пренебречь спии-орбитальным взаимодействием. Однако даже при учете спии-орбитальиого взаимодействия энергетические зоны всегда обладают симметрией, если структура кристалла инвариантна по отношению к операции инверсии (в обычном пространстве). При отсутствии центра симметрии, но при наличии спин-орбитального взаимодействия зоны обладают особой сим-1зтрией, если сравнивать между собой подзоны, для которых направление спинов противоположно, т.е. имеет место соотношение е(к, ) = — е. к, I). См. об этом в гл. 9 книги Киттеля [1]. [c.347]

Дополнительную информацию об энергетических зонах в кристалле можно получить, если воспользоваться методами, аналогичными тем, которые применяются при анализе расщепления кристаллическим полем атомных состояний. Рассмотрим состояния, отвечающие некоторой точке симметрии в зоне Бриллюэна. Будем классифицировать эти состояния в соответствии с неприводимыми представлениями группы симметрии волнового вектора в данной точке. Если волновой вектор начинает смещаться из этой точки, его группа становится меньше, и часть вырождения снимаетсям Как и в случае расщепления атомных уровней кристаллически, полем, мы можем определить те неприводимые представления, на которые расщепляется исходное представление. Условия, связывающие неприводимые представления в соседних точках, линиях и плоскостях, называются условиями совместности. Впервые эти условия были рассмотрены Боукартом, Смолуховским и Вигнером 1191 ). [c.104]

Ф и г. 28. Энергетические зоны в алюминии для различных линий симметрии, рассчитанные Сегалом (26). [c.106]

Е =Ез. Энергетический уровень ЕЗ пресекает кривую Е(к) в двух точках - точке Ь в первой энергетической зоне и в точке с - во второй. Если кристалл обладает цилиндрической симметрией относительно оси х, то точки Ь и с будут порождать торроидальную поверхность (рис. 4.5), которая по определению будет поверхностью Ферми. Если описать на поверхности тороида замкнутую кривую, например, АВС на рис. 4.5, то внутри нее будут заключены неполные состояния. Такая поверхность Ферми называется "дырочной поверхностью" в первой энергетической зоне. [c.19]

Теперь обсудим вопрос об электрическом поле в случае полностью заполненных зон и его изменении во внешнем поле. В частично заполненных зонах энергетические уровни заполнены вплоть до некоторого fe,. меньшего я/а. Поскольку состояния с импульсами р и —р равновероятны и функция Vg имеет центр симметрии в начале координат, то число электронов с положительными и от-рицэтельными скоростями будет одинаково, и ток идти не будет. При включении внешнего поля сфера Ферми смещается, и это равенство будет нарушено. В результате и возникнет электрический ток. Ситуация изменится, если зона заполнена полностью. В этом случае вследствие периодичности Vg в А-пространсхце полный ток за счет всех электронов будет равен нулю, как до,, так и после включения поля. [c.93]

Энергетическая зависимость ВС У от состава кристалла (рассмотрены твердые растворы Al .Ga N, In Gaj N кубической и гексагональной симметрии) исследована в [37] полуэмпириче-ским методом л р -сильной связи [41]. На рис. 2.5 приводятся концентрационные изменения ширин запрещенных зон (в точках Г, М и X), а также их оценки по данным экспериментов лю- [c.41]

Природа воз никновениядислокаций й любых других дефектов. Это. основополагающий вопрос в теории пластической деформации кристаллов. Однако в рамках представлений об устойчивом кристалле с идеальной трансляционной симметрией он до сих пор не имеет удовлетворительного решения. Все теоретические оценки показывали, что зародить дислокацию в идеальном кристалле в обычных условиях нагружения энергетически невозможно. Рациональных представлений о состоянии кристаллической решетки в зонах концентраЮров напряжений, на которые обычно ссылались, в литературе не нашли. [c.23]

Принципиальным отличием лазеров на конденсированных средах от газовых является то, что атомы и молекулы в них либо совсем не могут совершать какого-либо направленного поступательного движения, что имеет место в твердых телах, либо, если могут, то это движение настолько ограниченно и не существенно по сравнению с колебательным или вращательным (характерными для жидкостей), что его можно не учитывать. Колебательное или вращательное движение структурных элементов в конденсированных средах определяют главным образом релаксационные процессы и спектральное уширение линий, соответствующих переходам между парами отдельных энергетических уровней. Для твердых активных сред, которые в большинстве случаев представляют собой ионные кристаллы, характерно колебательт ное движение, которое, в зависимости от типа кристаллической решетки,, может соответствовать либо только акустическим ветвям колебаний, либо — акустическим и оптическим. В настоящее время наиболее широкое применение находят лазеры на растворах органических красителей, состоящих из сложных молекул, имеющих сложную систему энергетических уровней, сводимую в большинстве случаев к четырехуровневой схеме. В молекулах жидкостей могут также совершаться колебательные движения, которые, как и в кристаллах, сопоставимы либо с акустическими, либо с оптическими ветвями колебаний. С этой точки зрения между сложными молекулами и кристаллами мбжет быть установлена полная аналогия, если весь кристалл в целом рассматривать как большую молекулу. Основное различие заключается в том, что в сложных молекулах на уширение и усложнение системы энергетических уровней существенное влияние могут оказать вращательные движения. Кроме того в молекулах, как правило, отсутствует трансляционная симметрия, существенная для кристаллов и определяющая зонную структуру энергетических уровней твердых тел. [c.175]

Используя для электронов атомов в объемноцентри-рованной кубической решетке приближение сильной связи и предполагая при этом, что s-функции могут быть взяты в качестве электронных атомных волновых функций (атомных орбиталей), показать, что энергетические поверхности такой системы при й = 0 имеют сферическую симметрию. Определить эффективную массу у края зоны (вблизи к — О). [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...