Потенциал решетки

Рис. 2.20. К определению внутреннего потенциала решетки а — расположение ионов в одной из атомных плоскостей металлического кристалла (схематическое) б — распределение потенциала вдоль линии АВ параллельной одной из атомных цепочек, в предположении, что потенциал внутри кристалла постоянен в — характер истинного распределения потенциала вдоль линии АВ

Присутствие в определенном месте кристалла атома приме си или дефекта структуры приводит к тому, что на периодический потенциал решетки V(r) накладывается достаточно сильное возмущение и (г—Го), локализованное в некоторой малой области объемом Vro с центром в точке го (там, где расположен примесный атом или дефект). Таким образом, следует решить одноэлектронное уравнение Шредингера [c.236]

Электропроводность металлических сплавов. Предположим, что в идеальной решетке металла, например меди, имеюш,ей строго периодический потенциал (рис. 7.7, а), часть атомов меди беспорядочно замеш,ена атомами другого элемента, например золота. Так как поле вблизи примесных атомов иное, чем вблизи основных атомов, то потенциал решетки не сохранится строго периодическим (рис. 7.7, б). Он нарушается беспорядочно распределенными примесями. Такое нарушение приводит, естественно, к рассеянию носителей и дополнительному электрическому сопротивлению. Так как в сплавах примеси вызывают более сильное нарушение периодичности потенциала решетки, чем тепловые колебания, то абсолютное значение роил значительно выше р чистых компонентов и определяется в основном рассеянием носителей тока на примесях. [c.188]

Как показал Нордгейм, в этом случае для бинарных сплавов подвижность носителей, обусловленная рассеянием их на нарушениях периодичности потенциала решетки, определяется, следующим приближенным соотношением [c.188]

Потенциал решетки металла равен нулю. При абсолютном нуле электронные состояния до уровня энергии Ферми заполнены. При возбуждении электроны переходят через уровень энергии Ферми [c.139]

Для свободного электрона волновая функция имеет вид плоской волны = ехр(1Йг), а его энергия ё = Wk j2m. Если поместить электрон в периодическую решетку, то он перестанет быть свободным. Тем не менее, если рассматривать потенциал решетки как малое возмущение, то можно считать электрон почти свободным . Волновой функцией такого электрона будет [c.25]

Можно, однако, показать, что матричные элементы (25) обращаются в нуль всегда, за исключением случая к = пл 1а ), когда они равны Vn- Таким образом, при учете периодичности потенциала решетки в первом приближении теории возмущений для электронов получаются те же разрешенные энергетические состояния, что и в модели свободных электронов, кроме точек к = пп/а, где вырожденные уровни расщепляются при этом возмущенные [c.80]

Т. е. их величина равна кинетической энергии периодический потенциал решетки. С помощью приближений более высокого порядка можно показать, что вырожденные уровни несколько смещаются, когда к стремится к пл/а. Таким образом, зависимость энергии от волнового вектора теперь выглядит так, как показано на фиг. 11. [c.81]

Но величины т ж v зависят соответственно от кривизны и скорости изменения функции Е (к) ). Как видно из фиг. 23 и 24, при учете потенциала решетки эти величины могут меняться в очень широких пределах при переходе от одной части поверхности Ферми к другой. [c.97]

Приближение следующего порядка основано ка предложенной Филлипсом и Клейнманом [1] теории псевдопотенциала. Псевдопотенциал включает в себя как потенциал решетки, так и отталкивание, описывающее влияние принципа Паули,— взаимную ортогональность волновых функций электронов проводимости и внутренних (связанных) электронов. Благодаря почти полной компенсации этих двух слагаемых в области расположения внутренних электронов псев- [c.182]

Рис. 3.1. К определению внутреннего потенциала решетки

Если в определенном месте кристалла присутствует атом примеси или другой дефект кристаллической решетки, то это вызывает достаточно сильное локальное возмущение периодического потенциала решетки. Такое возмущение приводит к отщеплению уровней от разрешенной зоны. В результате в запрещенной зоне появляются разрешенные уровни Яа (рис. 3.21), обусловленные примесями или дефектами. [c.247]

Структура двух верхних энергетических зон натрия показана на рис. 10.21 кривые построены на основе расчетов, выполненных в приближении почти свободных электронов. Значения требуемых для этого фурье-компонент потенциала решетки были взяты из экспериментов, выполненных при изучении эффекта де Хааза — ван Альфена, который будет рассмотрен ниже. Эти эксперименты дают результаты, весьма чувствительные к отклонениям формы поверхности Ферми от сферы, п позволяют точно определять коэффициенты 7о. [c.358]

Сфера Ферми для свободных электронов в алюминии содержит в себе всю первую зону Бриллюэна и перекрывается со второй и третьей зонами Бриллюэна. В третьей зоне поверхность Ферми имеет довольно сложный вид, хотя построена она из частей сферы Ферми для свободных электронов. Модель свободных электронов также дает небольшие карманы дырок в третьей зоне, но если потенциал решетки берется так, чтобы учесть эти пустоты , то электроны добавляются в третью зону. Общие свойства предсказываемой поверхности Ферми для алюминия вполне хорошо подтверждаются опытом [20. [c.375]

Появление таких энергетических зон может быть понято с двух точек зрения. При объединении свободных атомов в кристалл дискретные уровни этих атомов распадаются на группы термов, которые и образовывают энергетические зоны. Или же непрерывный энергетический спектр свободного электронного газа под действием периодического потенциала решетки разбивается на характеристические энергии, так как электроны с заданной энергией (и с заданным импульсом) при прохождении через решетку претерпевают брэгговское отражение. Оба способа описания, исходящие из сильно связанного или из свободного электрона, приводят к зонной модели твердого тела. [c.70]

Для обсуждения влияния симметрии решетки сначала рассмотрим в этом параграфе невзаимодействующий электронный газ в периодическом потенциале решетки. Величину этого потенциала примем исчезающе малой. Первоначально кажется противоречивым принимать потенциал стремящимся к нулю, так как, казалось бы, его влияние на электрон, как на отрицательно заряженную частицу, при этом должно быть исчезающе малым. Однако надо принять во внимание, что электроны обладают и волновыми свойствами и что, следовательно, они должны испытывать брэгговское отражение от регулярно построенной решетки. Это рассеяние электронных волн зависит только от направления падающих волн и регулярного расположения атомов в решетке, но не зависит от величины потенциала решетки. Лучше всего мы можем рассмотреть влияние симметрии, если принять идеализированный граничный случай Vir), стремящийся к нулю. К случаю УфО мы обратимся в 19. [c.77]

Теперь мы посмотрим, расщепляются ли эти вырожденные уровни энергии под действием возмущения. Возмущением в этом случае является конечный потенциал решетки V (г). При такой постановке вопроса достаточно рассматривать случай малого возмущения и тогда применить обычные методы теории возмущений. [c.85]

Рис. 23. Зоны рис. 21, 6 сглаженные влиянием слабого потенциала решетки.

Рассматриваемый до сих нор одномерный пример ограничен цепочкой идентичных шариков. Тогда возникает только акустическая ветвь, охватывающая диапазон частот от нуля до граничной частоты 0. Можно таким образом, видеть, что только дефекты с положительным е (меньшая масса Мо) порождают локализованные колебания решетки. Как наглядно показано на рис. 17, дискретный уровень отщепляется от дна или вершины зоны в зависимости от того, больше или меньше потенциал (масса) дефекта потенциала решетки (больше или меньше массы М). Поскольку здесь акустическая ветвь начинается уже при нулевой частоте, локализованное колебание может отщепиться только вверх. Это обусловливается дефектами с Мо< М. [c.85]

По существу, также легко учесть влияние периодического потенциала решетки на Хз. Как уже говорилось, учет периодического потенциала сводится к изменению массы пг электрона на поверхности Ферми на т, где [c.115]

Величина т получила название эффективной массы электрона. Эффективная масса отражает влияние периодического потенциала решетки на движение электрона в кристалле под действием внешней силы. Из (7.96) следует, что электрон в периодическом поле к ристаллической решетки движется под действием внешней силы F в среднем так, как двигался бы свободный электрон под действием этой силы, если бы он обладал массой т. Таким образом, если электрону в кристалле вместо массы т приписать эффективную массу т, то его можно считать свободным и движение этого электрона описывать, так как описывается движение свободного электрона, помещенного во внешнем поле. Разница между т и т обусловлена взаимодействием электрона с периодическим полем решетки, и, приписывая электрону эффективную массу, мы учитываем это взаимодействие. [c.233]

Приближение слабой BsrsH — метод вычисления волновых функций и закона дисперсии одночастичных состояний в твердых телах, основанный на рассмотрении периодического потенциала решетки как возмущершя. [c.285]

Следует учесть, что фактически электроны проводимости в металле не являются полностью свободными, а находятся под воздействие1М периодического потенциала решетки. В первом приближении такое уточнение может быть сделано введением эффективной массы т. Тогда, используя (4.47) и [c.149]

Рассмотренные поверхностные состояння возникают на идеально чистой бездефектной поверхности, получить которую практи- ческн невозможно. В реальных условиях поверхностные свойства полупроводников определяются новерхностнымп состояниями, созданными главным образом чужеродными атомами (молекулами) на поверхности. На рис. 8.26, в показана зонная структура полупроводника. Вертикальной прямой ВС обозначена одна из свободных его поверхностей. Предположим, что на этой поверхности химически сорбировалась частица М. При такой сорбции волновые функции решетки и частицы перекрываются настолько, что частицу можно рассматривать как примесь, локально нарушающую периодичность потенциала решетки и приводящую к возишсновению в запрещенной зоне поверхностного уровня. [c.242]

В табл. 1 собраны основные типы тех приближений, которые успешно применяются для того, чтобы сделать эту задачу разрешимой, При использовании всех этих методов, за исключением плазменного приближения, частицы считаются независимыми, т. е. не учитывается электрон-электронное взаимодействие. Таким образом, потенциал, создаваемый всеми остальными N — 1 электронами, предполагается размазанным по всему кристаллу и имеюго им вид постоянного члена, который можно включить в потенциал решетки. Исчерпывающий обзор указанных методов можно найти в работах [8—10], основная же цель этого раздела — обсудить смысл этих приближений и изложить два из них в такой мере, чтобы на их основе можно было понять главные физические свойства электронов в металле. [c.67]

Хотя допущения, лежащие в основе метода ячеек, менее законны вблизи границ ячейки и приведенная выше зависимость энергии от волнового вектора к для металлов, вероятно, не соответствует действительности (это не относится к полупроводникам), все же этот метод обладает тем преимуществом, что он дает зависимость энергии, соответствующей данной волновой функции, от радиуса ячейки (межатомного расстояния). На фиг. 15 показано, как изменяется с расстоянием энергия низшего атомного s-состояния в литии. К преимуществам метода относится и то, что он позволяет вычислить равновесное межатомное расстояние, энергию сцепления и сжимаемость, если допустить, что можно пренебречь всеми вкладами в потенциал решетки, кроме вклада от иона в центре ячейки. Например, относительное изменение объема dQIQ связано с изменением расстояния соотношением [c.85]

III. Ef — Е3. Энергетический уровень Е3 пересекает кривую Е (к) в двух точках — точке Ь в первой энергетической зоне и в точке с — во второй. Как и раньше, мы можем перенести эти точки в к Просгранство (фиг. 20). Если симметрия кристалла такова, что для векторов в плоскости k kz потенциал решетки видоизменяет кривые Е (к) таким образом, что для направлений, составляющих с осью х угол, больший 10°, точка X находится на энергетическом уровне Е , то точки Ь я с будут описывать в плоскости kxkz малые окружности. (Мы уже видели, что в случае, когда энергия Ef соответствует точке X, никакой поверхности Ферми не получается.) Если кристалл обладает цилиндрической симметрией относительно оси z, то точки Ь ж с будут порождать тороидальную поверхность (фиг. 20). Эта поверхность по определению будет поверхностью Ферми. Если описать на поверхности тороида замкнутую кривую (например, AB на фиг. 20), то внутри нее будут заключены незаполненные состояния. Такая поверхность Ферми называется дырочной поверхностью в первой энергетической зоне. [c.92]

Было замечено (см. гл. П1), что благородные металлы группы Ш — медь, серебро и золото, которые обладают гранецентрирован-ной кубической структурой, при выполнении некоторых условий образуют широкие области твердых растворов с элементами подгрупп В. Оказалось, что процесс образования твердого раствора заканчивается появлением объемноцентрированной кубической фазы и что границе между фазами соответствует число электронов на атом е/а, равное 1,4. Джонс [42] впервые установил, что плотность состояний на единицу объема к-пространства в случае гранецентрированной кубической структуры начинает уменьшаться, когда kf = 2я/ац,, другими словами, когда поверхность Ферми касается границы зоны Бриллюэна в направлении [111] (фиг. 41,а). При дальнейшем увеличении энергии и отношения ela свободные состояния остаются только в углах зоны. Поскольку плотность состояний в данном направлении пропорциональна dE/dk) , пик плотности состояний (фиг. 42) является следствием наличия запрещенной полосы энергий у границы зоны Бриллюэна, возникающей из-за периодического потенциала решетки. [c.117]

Хотя эти рассуждения и кажутся вполне правдоподобными, однако в последнем разделе мы видели, что в чистой меди поверхность Ферми касается границы зоны в направлениях [111]. Это согласуется с более детальными вычислениями Джонса [42], который показал, что влияние запрещенной энергетической зоны в направлении [111] должно смещать максимум плотности состояний, так что ему будет соответствовать отношение е а — 1,0. Юм-Розери и Роуф [43], сохраняя основную идею, попытались видоизменить эти рассуждения, предположив, что кривая плотности состояний для гранецентрированной кубической структуры имеет два пика (фиг. 43) первый из них соответствует отношению е а = 1,0, что согласуется с результатами Джонса, второй — отношению е а = 1,3, отвечающему случаю, когда поверхность Ферми касается граней куба. Другие возможные аргументы заключаются в том, что в результате образования сплава изменяется потенциал решетки это приводит к увеличению ширины запрещенной энергетической зоны в направлениях [111] и устранению контакта поверхности Ферми с соответствующими октаэдрическими гранями дальнейшее увеличение концентрации раствора в конце концов восстанавливает контакт. Эти аргументы не вполне согласуются с численными оценками, однако тот факт, что энергия 3( -зоны достаточно близка к энергии Ферми [16] и может влиять на форму поверхности Ферми в чистой меди, подтверждает изложенные идеи. [c.119]

В то же время теория электронных корреляций достигла больших успехом в так называемом приближении желе , в котором твердое тело рассматривается как система взаимодействующих электронов на однородном фоне положительных зарядов. В таком приближении не учитывается влияние потенциала решетки. Для описания ферми-жидкости гелий-3 был предложен подход, при котором расчеты из первых принципов, основанные на методах квантовой теории поля, объединяются с феноменологической теорией Ландау. Он дал приемлемые значения энергии связи, увеличения эффективной массы и теплоемкости (или плотности состояний), а также определенные сведения о необычайно разнообразных коллективных модах в системе взаимодействующих электроиов. Ясно, что модель желе для металлов в лучшем случае может служить лишь нулевым приближением. [c.182]

В работе Ли, Лоу и Пайнса [133] был развит вариационный метод, применимый к исследованию случая промежуточной связи а <6, не опирающийся на использование адиабатического приближения. Исследовалось медленное движение электрона, окруженного облаком виртуальных фононов оптической ветви колебаний в ионных кристаллах. Диэлектрик рассматривался как непрерывная колеблющаяся среда с одной ветвью продольных колебаний частоты Й ( ) = Й. Действие периодического потенциала решетки на электрон учитывалось путем введения эффективной массы электрона т. [c.261]

Далее мы можем выписать уравнения для С (Ко dz Зg), и т. д. до бесконечности. Во всех этих уравнениях энергия е будет одной и той же, и она-то и подлежит определению, а через к- +sg обозначена величина (Коsg) 2m, где 5 — целое число. Мы ВИДИ.Ч, что система из бесконечного числа уравнений получается даже для задачи, в которой потенциал решетки имеет лишь одну компоненту Фурье g. [c.318]

В применяемом здесь обычном приближении электроны считаются независимыми частицами, подчиняюш 1шися статистике Ферми— Дирака. В приближении нулевого порядка твердое тело рассматривается как ящик или сосуд, внутри которого электроны движутся, как газ это так называемая модель Зоммерфельда. Более реалистично влияние кристаллической решетки учитывается в приближении первого порядка, где периодический потенциал решетки рассматривается как возмущение состояния почти свободных электронов. Можно исходить из противоположного допущения, а именно считать, что электроны достаточно жестко связаны с атомными ядрами в твердом теле, но способны двигаться через решетку благодаря некоторому перекрытию орбиталей, принадлежащих близко расположенным атомам. Как то, так и другое рассмотрение приводят к одним и тем же результатам в кристалле существуют области близко расположенных уровней энергии (энергетические зоны), разделенные запрещенными зонами (энергетическими щелями). Эти зоны соответствуют областям, для которых волновое уравнение Шредингера имеет или не имеет решения. Линия раздела между разрешенными и запрещенными уровнями носит название границы зоны. Волновые функции "ф всегда могут быть представлены как волновые функции свободных электронов, модулированные функцией, имеющей периодичность решетки. [c.457]

Несмотря на такие грубые пренебрежения, модель невзаимодействующих свободных электронов дает возможность рассмотреть многие явления. Обосновано это будет только в гл. IV. Будет показано, что взаимодействие электронов с периодическим потенциалом решетки (включая усредненное электрон-электронное взаимодействие приближения Хартри —Фока (3.20)) может быть во многих случаях учтено введением эффективной массы т. Проблема движения электронов при одновременном воздействии на них внешних сил и потенциала решетки будет сведена к модели, в которой квазиэлектрон с измененной массой т движется под действием внешних сил. [c.28]

Теперь мы нашли характерный аспект зонной модели—сле-иующие друг за другом разрешенные и запрещенные участки энергий. Тем не менее форма зонной структуры, изображенной на рис. 23 и 24, часто отличается от истинной. Потенциал решетки не является малым возмущением, и зонная структура реального твердого тела обычно отличается от граничного случая свободных электронов. Б дальнейшем мы изучим относящиеся к этому примеры. Из-за важности зонной структуры для всех вопросов теории твердого тела, которые могут рассматриваться в рамках одноэлектронного приближения, целесообразно сначала изучить общие свойства функции Е к). Этому посвящены следующие параграфы. [c.87]

Поясним это на примере гексагональной точечной решетки, которую мы уже использовали в качестве примера на рис. 17, 20, 21, 23 и 24. Теперь можно ответить на следуюшлй вопрос. На рис. 24 мы сравнили между собой зонные структуры гексагональной точечной решетки для свободных и почти свободных электронов. При этом мы нашли, что для случая свободных электронов потенциал решетки приводит к снятию вырождения. [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...