Абстрактные группы

Далее в основном будет идти речь о преобразовании симметрии в кристалле. При этом стоит отметить, что многие закономерности симметрии кристаллов и ее использования в квантовой теории и других разделах физики твердого тела в наиболее общей форме описываются на основе одного из разделов математики — теории абстрактных групп. [c.125]

Сравнение преобразований симметрии и свойств их взаимного сочетания с элементами абстрактных групп и их композициями показало, что многие характеристики преобразований симметрии могут быть описаны на языке теории абстрактных групп. Теоретико-групповой анализ преобразований симметрии позволяет не только наиболее компактно их описывать, но и широко используется в последнее время для классификации электронных состояний, колебательных уровней и т. д. В связи с этим в следующем параграфе излагаются наиболее важные элементы теории абстрактных групп. [c.130]

Общее число кристаллографических точечных групп равно 32. В таблице 6.6 дан перечень этих групп с указанием их формулы симметрии, порядка группы и изоморфных групп, соподчиненно сти группы. Интересно отметить, что, хотя число точечных групп симметрии 32, число абстрактных групп, отвечающих им, всего 18. Некоторые из групп симметрии оказались изоморфными. Рассмотрим теперь распределение точечных групп по кристаллическим системам. [c.142]

При выполнении правила (39.11) набор lk t) представителей смежных классов обладает замкнутостью и изоморфен абстрактной группе П(й). Для этой группы можно обычным образом получить таблицу умножения, структуру классов и коэффициенты перемножения классов. Если определить коэффициенты перемножения для классов (Е , й) и группы П (к) равенством [c.102]

Полезно резюмировать рассуждения двух последних параграфов. Для нахождения допустимых неприводимых представлений /Х ) " ), соответствующих каноническому волновому вектору к (которые будут затем использованы для построения индуцированных неприводимых представлений группы ), была построена абстрактная группа П(й). Однако при рассмотрении П(й) как некоторой абстрактной группы возникают как допустимые представления запрещенные представления 0 И. Было показано, что последние, являясь неприводимыми представлениями абстрактной группы операторов [c.105]

Таким образом, мы видим, что матрицы допустимых неприводимых представлений )( Ит) малой группы образуют проективное представление абстрактной группы или 5Р(й), система факторов которого имеет вид [c.114]

В таком случае группу И к) — к) 1 к) можно рассматривать как расширение абелевой группы Х/Х (к) с помощью группы (к). Элементы Х/Х к) не входят в центр расширенной абстрактной группы, хотя в матричном представлении (со- [c.114]

Совокупность операторов, состоящая только из операторов преобразования координат, образует пространственную группу симметрии кристалла По причинам, которые будут выяснены ниже, абстрактную группу 8 , определенную как [c.235]

В равной степени в качестве представителя смежного класса в (14.28) можно взять е <2 . Главное то, что представитель смежного класса рассматривается как некоторый абстрактный (трансляционный) элемент, имеющий представление в виде диагональной матрицы с элементами, равными —1. Определим теперь абстрактную группу с помощью образующих элементов [c.132]

Основные определения ). Абстрактно группа О задается своими элементами, а и правилом, по которому каждым двум из них, скажем ga и ставится в соответствие третий, символически gag = [c.11]

В нашем определении не требуется, чтобы группы G] и G2, как абстрактные группы, были изоморфны. [c.91]

Определение 2.2 [36, с. 14] (абстрактная группа). Множество И с бинарной операцией умножения называется группой, если [c.27]

Глава II. Абстрактные группы [c.16]

Одна из главных задач теории представлений групп состоит в нахождении неприводимых представлений абстрактной группы (в нашем случае — группы Т )). [c.128]

Под обобщенной математической моделью понимается некоторая абстрактная модель, содержащая в себе группу реальных модулей. Элементы реальных моделей, объединенные в одну модель, зачастую несовместимы, и в этом смысле и понимается абстрактность обобщенной модели. [c.45]

Инженерная практика показывает, что принципы и приемы, сформулированные абстрактно, не будят или очень слабо будят фантазию проектировщика, но принципы-примеры, связанные с конкретным опытом, заставляют фантазию бурно работать.. Особенно продуктивной становится фантазия инженера, когда подсказ имеет отраслевую направленность. Практика показала, что если группе из 4—6 человек (оптимальной по количеству) предложить коллективно выработать серию Идей на темы дверь, часы, очки, ручка, передачи и т. д., то фантазия начинает буксовать на 15—20-й идее. Используются, как правило, простейшие приемы — адаптация, дифференциация, интеграция. При работе с ДМП за 2—3 часа те же 4—6 человек способны выдать более 100 качественно различных идей, причем 5—10 из них оказываются оригинальными, а 2—3 весьма перспективными даже в патентном отношении. Некоторые из разработанных учебных ДМП прилагаются. [c.126]

Пространственные решетки (ПР), или решетки Брава, — наиболее общий (абстрактный) образ внутреннего строения кристалла (рис. 5. I). ПР получаем, если исключим все особенности химической природы составляющих его частиц — форму, размер и состав молекул,, атомов или ионов и вместо частиц будем рассматривать точки (узлы решет и) — центры тяжести частиц. По взаимному расположению узлов ПР все многообразие кристаллов сводится к 14 типам. ПР, или решетка Бравэ, характеризуется прежде всего группой трансляций (три) или параллелепипедом повторяемости — элементарной ячейкой (ЭЯ) (см. рис. 5.1). Параллельным переносом (трансляцией) элементарной ячейки в трехмерном пространстве и строят ПР. Трансляция — одна из операций симметрии, поэтому решетки Бравэ можно называть также трансляционными группами . Симметрия относительного располо- [c.95]

Читатель, уже знакомый с абстрактной теорией групп, использованием точечных групп и формой волновых функций молекул, может после гл. 2 сразу перейти к гл. 9, в которой дается определение группы молекулярной симметрии, а затем к гл. 10— 12, в которых обсуждается применение групп молекулярной симметрии. Центральной главой книги является гл. 11, в которой подробно рассматривается связь между группой молекулярной симметрии и точечными группами молекул (см., в частности, рис. 11.3—11.5). В этой главе подчеркивается полезность групп молекулярной симметрии для классификации состояний жестких молекул, т. е. молекул, не туннелирующих между различными конформациями. [c.10]

Предметно-математические модели образуют одну из важнейших групп. К ним относят системы, не имеющие с объектом одной и той же физической природы и не имеющие с ним физического и геометрического подобия В этом случае отношение между моделью и объектом рассматривают как аналогию. Аналогия может быть структурной или функциональной. Выражается это идентичностью систем уравнений. Предметно-математические модели в отличие от мысленных (абстрактных) требуют материального воплощения, а в отличие от физических — их создают на базе элементов иной физической природы, чем оригинал. Предметно-математические модели могут быть прямой и непрямой аналогии. По характеру представления переменных в математических моделях различают модели аналоговые (вычислительные машины непрерывного действия — АВМ) и цифровые (машины дискретного действия — ЭВМ). Существуют комбинированные аналого-цифровые машины. [c.95]

Каждый из тридцати двух кристаллографических классов является представлением некоторой абстрактной математической группы. Порядок этой группы равен числу эквивалентных точек на стереографической проекции соответствующего класса. Например, класс 2/т представляет группу четвертого порядка, класс 4/т —группу восьмого порядка. [c.11]

Мы уже указывали, что каждая группа G характеризуется таблицей умножения. Если элементы группы представлены какими-либо числами, символами, функциями, матрицами и т. д., имеющими такую же таблицу умножения, что и элементы группы, то совокупность этих чисел, символов, функций, матриц и т. д. называется представлением группы. Среди них особую роль играют матричные представления, и представлением группы обычно называют именно представление в виде квадратных матриц, гомоморфное или изоморфное группе G. Важное свойство представлений— при реализации представления абстрактных групп в виде системы (группы) матриц умножение последних по обычным правилам для матриц приводит к тем же соотношениям, что и представляемая группа. Отображение элементов абстрактной группы на матричную не обязательно должно быть взаимно-однозначным, однако оно по крайней мере гомоморфно. Если же это представление изоморфно группе, то оно называется точным, или истинным, или основным. Размерность матриц называется размерностью представления. [c.134]

Группы С. к. несут в себе геом. смысл каждой из операций g eGr соответствует, напр., поворот вокруг оси симметрии, отражение в плоскости. Нек-рые точечные группы в смысле теории групп, учитывающей лишь правила взаимодействия операций glg i = в данной группе (но не их гео.м. смысл), оказываются одинаковыми, или изоморфными друг другу. Таковы, напр,, группы 4 II 4 21т, тгп1, 222. Всего имеется 18 абстрактных групп, иэо.морфиых одной или нескольким из 32 точечных групп С. к. [c.511]

Большинство пространственных групп симметрии кристаллов различны между собой и как абстрактные группы число абстрактных групп изоморфных 230 пространственным группам равно 219. Абстрактно равными оказываются 11 аеркальво-равных (знантиоморфных) пространственных групп — одна лишь с правыми, другие с левыми винтовыми осями. Таковы, напр., РЗ121 и Обе эти пространственные группы [c.514]

О Под этим подразумевается, что при данных о, т 6 Vсуществует одно и только одно а, такое, что оа = т. Мы предполагаем здесь некоторое знакомство с левыми переносами абстрактной группы. [c.220]

К ли ( ayley ) Apmj/jj (1821-1895) — английский математик. Окончил Кембриджский университет (1841 г.). В течение 20 лет занимался адвокатурой. Профессор Кембриджского университета с 1863 г. Заложил основы современной алгебраической геометрии. Создал алгебру матриц (термин принадлежит Коли), Ввел понятие абстрактной группы. Занимался сферической астрономией. [c.359]

С другой стороны, согласно теореме Машке, любое представление абстрактной группы либо неприводимо, либо разло-л<имо. Поэтому представление (40.4) разлагается в прямую сумму неприводимых составляющих, соответствующих вектору к [c.104]

При иссугедовании общих свойств группы несущественна конкретная реализащм ее элементов (преобразованиями, матрицами, перестановками и т.д.). Обозначив элементы группы некоторыми символами, для которых задан определенный закон умножения, мы получаем так называемую абстрактную группу. В этой главе мы рассмотрим некоторые свойства абстрактных групп. [c.15]

НО связать инерциальную систему координат. Для всех задач техники с достаточной для нее точностью в качестве инерциальной системы выбирают систему отсчета, связанную с Землей. Системы координат, ностроениые на базе солнечной системы. Галактики и Метагалактики, все с большей и большей степенью точности будут инерциальными. Абсолютно инерци-альных систем координат указать нельзя. Это абстрактное понятие, представляющее модель координатных систем, связанных с определенными группами материальных тел. [c.48]

Две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их параллелепипеды Браве одинаковы и имеют одинаковую центрировку. На рис. представлены все типы Б. р., причём в одной строке расположены решётки с одинаковыми параллелепипедами Браве, а в одном столбце — решётки с одинаковым типом цонтри-ровок. Около каждого параллелепипеда Браве указан символ соответствующей группы Браве — полной совокупности преобразований симметрии соответствующей решётки. Имеется 14 абстрактно-неизоморфных таких групп (14 из 73 симморфных фёдоровских групп). [c.227]

После работ Гаюи идея повторяемости элемен-а-арных кирпичиков в кристаллах прочно завладела умами ученых. Но вплоть до XX века не было точного понимания того, чем на самом деле являются элементарные крипичики . Поэтому долгое время кристаллография оставалась формальной наукой, исследовавшей свойства периодических структур лишь на бумаге. Только опыт Лауэ четко показал, что элементарные кирпичики — это атомы или группы атомов. Это открытие сразу наполнило абстрактные [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...