Неприводимые представления точечных групп

Неприводимые представления точечных групп (см. также Типы симметрии) 116, [c.617]

Орбитали всех трех атомов водорода вновь задаются в виде выражения (111,7). При этом, одпако, необходимо взять такие их линейные комбинации, чтобы получились орбитали (орбитали симметрии), базисные для неприводимых представлений точечной группы Dsh- Несколько ниже объяснено более детально, что, согласно теории групп, три орбитали атомов Н в случае точечной группы 1>зп образуют одну молекулярную орбиталь типа а[, и одну молекулярную орбиталь типа е. В первом приближении они могут быть представлены следующим образом [c.306]

Орбитали, определяемые равенствами (П1,16), не преобразуются ни по одному из неприводимых представлений точечной группы С гв- Однако они обладают таким свойством, как эквивалентность первые две орбитали [c.310]

Энергия одной из этих орбиталей будет ниже, а другой — выше, чем энергия системы На и С при больших расстояниях между ядрами Н и С ). Аналогичные пары орбиталей, эквивалентные орбиталям (111,19), могут быть записаны для каждого из оставшихся трех направлений (к вершинам 6, с и й). Ни одна из этих восьми локализованных орбиталей (называемых также тетраэдрическими гибридными орбиталями) не принадлежит какому-либо неприводимому представлению точечной группы Та, однако, как и в случае молекулы Н2О, можно взять такие линейные комбинации [c.312]

Другим способом получения того же результата будет разложение атомной орбитали Рг по орбиталям, базисным для] неприводимых представлений точечной группы [c.336]

Для молекул с симметрией точечной группы Сзв в том, например, случае, когда имеется один электрон вне заполненной оболочки на орбитали тина 1, необходимо умножить неприводимое представление точечной группы [c.346]

Первых два возбужденных состояния, обнаруженных экснериментально, действительно имеют симметрию 4г и Мг (гл. V, разд. 2,6). Конечно, молекула в этих состояниях не совсем плоская, однако отклонения от плоскости малы, так что можно использовать неприводимые представления точечной группы Сг (гл. I, разд. 2,а). [c.357]

Разложение неприводимых представлений точечных групп более высокой симметрии по неприводимым представлениям [c.586]

Для точечной группы следует опустить индексы и " и добавить индексы и и так, чтобы они согласовывались с индексами у неприводимых представлений точечных групп линейных молекул. [c.588]

Разложение неприводимых представлений точечных групп 2n -Огл, Х>з/ 0, 1 и Та по неприводимым представлениям точечных групп более низкой симметрии [c.589]

Это важное утверждение следует из того, что произведение двух представителей смежных классов из (45.8) является снова представителем смежного класса, так что система факторов ( . М ) = 1- Поэтому неприводимые представления группы к) совпадают с обычными хорошо известными неприводимыми представлениями точечных групп. Так, например, для группы Он или О неприводимые представления могут иметь размерность / = 1, 2, 3. Разумеется, и в этом случае равенство (36.14) дает решение задачи во всей его полноте. [c.118]

Компоненты вектора электрического момента (14.5) преобразуются при операциях симметрии кристалла как координаты X, у, г. Поэтому этот оператор отличен от нуля только для ветвей колебаний, которые относятся к неприводимым представлениям точечной группы кристалла таким же, как и координаты X, у, г. Например, для точечных групп Сг/, (табл. 5) и (табл. 6) отличный от нуля дипольный момент может быть только у колебаний, относящихся, соответственно к неприводимым представлениям Аа, Ви и 5х, 5д. [c.74]

Изоморфные группы имеют одни и те же неприводимые представления. Это весьма существенно, ибо означает, что для классификации состояний механических экситонов, соответствующих могут быть использованы неприводимые представления точечной группы кристаллического класса F, которая, как мы видели, изоморфна фактор-группе инвариантной подгруппы трансляций. Использование неприводимых представлений группы F, таким образом, возможно, несмотря на то, что F, вообще говоря, содержит элементы, не являющиеся элементами симметрии кристалла (последнее имеет место, как уже указывалось, при наличии существенных винтовых осей и плоскостей скольжения). [c.367]

Разл. электронные уровни о заданным L линейной М. обозначают 2, П, Д, Ф,. .. в соответствии со значениями Л = 0,1,2,3,... Между типами симметрии и значениями Л имеется взаимно однозначное соответствие, поэтому неприводимые представления точечных групп Ueah и ool) также обозначаются 2, П, Д, Ф. Мультиплет-ность уровня, определяемая значениями 25 - - 1, записывается слева сверху Л, Наир., 2 обозначает уровень сЛ = 0 и5 1, а обозначает уровень с Л = 1 и 5 К этому символу добавляется значение J, N или F для каждого вращат. подуровня, а если необходимо, то ещё и номер колебат. уровня v. Для нелинейных М. Л не имеет смысла, вместо Л используется тип симметрии, а остальные обозначения сохраняются. [c.187]

Объединенный атом или молекула ) в общем имеют более высокую симметрию, чем рассматриваемая молекула (например, НоСО О2 S). Для того чтобы получить молекулярные электронные состояния, соответствующие данному состоянию объединенного атома (или молеку.иы), необходимо разложить неприводимые представления точечной группы Р этого атома на неприводимые представления той точечной группы О, к которой принад.т[е-жит молекула. Такое разложение приводится без труда с помощью таблицы характеров групп (приложение I). При этом для рассматриваемых представлений в этой таблице характеров точечной группы / нужно найти характеры для онераций симметрии точечной группы Q. Эти характеры либо принадлежат определенным неприводимым представлениям Q, либо относятся к сумме определенных неприводимых представлений О, устанавливаемых однозначно (см. [23], стр. 255). В табл. 58 приложения IV дано такое разложение первых десяти неприводимых представлений сферической точечной грунны свободных атомов (соответственно точечная группа см. табл. 55 приложения I) на неприводимые представления точечных групп Од, Т,i, -Duh, [c.277]

Существует одно важное отличие табл. 59 и 60 (а также табл. 53 пред-п1ествующего тома [23]) от табл. 21. В том случае, когда неприводимые представления точечной группы более высокой симметрии / разлагаются на неприводимые представления точечной группы более низкой симметрпи Q (однако так, что все элементы симметрии (> являются также и элементами симметрии Р), корреляция всегда является однозначной. Обратная корре.ляция, однако, не всегда однозначна. Например, состояние типа молекулы точечной группы симметрии может возникнуть из Sg, или Рц, или Dg, или Рц и др. состояний объединенного атома либо из состояний Ах или / г объединенной молекулы симметрии Та- На основе корреляционных правил нельзя сказать, какое соответствие является правиль- [c.281]

В табл. 58 и 59 колонки для точечных групп 1>2Л и 1>2а или для и 1)за на первый взгляд имеют одно-однозначное соответствие, однако это лишь кажуш,ееся соответствие, поскольку таб.иицы дают только разложение неприводимых представлений точечной группы более высокой симметрии на представления групп 7>2Л) а не действительное соответ- [c.282]

Рассмотрим образование нелинейной молекулы ХУ2 (точечная группа С ) из атомов X, У и г. Чтобы установить, какие типы молекулярных состояний могут быть получены таким способом, необходимо прежде всего разложить неприводимые представления точечных груни атомов X, и 2 на неприводимые представления точечной группы (Л, используя табл. 58 (приложение IV). Например, если исходные состояния атомов и Рд, как это имеет место в молекуле HNO, то получаются представления М, М" и А Н " -К А" соответственно. Согласно правилам для прямого произведения (табл. 57 приложения III), результирующие молекулярные состояния будут следующих типов А", А и А. Мультиплетность, как и для линейных молекул, получается при векторном сложении векторов >5 [уравнение (111,2)], что в настоящем случае приводит к результирующим значениям спинового квантового числа 3, 2, 2, 1, 1, 0. Таким образом, получаются следующие молекулярные состояпия Ы (2), А",. М (4), М" (2), (4), - А" (2), (2), М". [c.290]

При образовании нелинейной молекулы Х г (точечная группа Сг,) из X и 2 необходимо рассматривать два атома совместно, как двухатомную молекулу, а затем полученные неприводимые представления точечной группы JJ h разложить на иредставления группы Сг и > памятуя о том, что ось второго порядка группы Сги перпендикулярна оси С , группы 7>оо/(. В качестве примера рассмотрим случай, когда атомы находятся в состоянии, а атом X — в зр -состоянии, как это имеет место при образовании молекулы НзО (или нелинейной формы молекулы СНг) из атомов в их основных состояниях. Два атома , согласно правилам Вигнера — Витмера,. дают состояния 2 , и молекулы г, которые при разложении по неприводимым представлениям С гв, согласно табл. 59, дают состояния и 4 2- Рд-Состояние атома X дает при раз.пожении (табл. 58) - - -г Комбинируя состояния молекулы г и атома X (т. е. образуя прямое произведение представлений), получим [c.290]

Для получения типов состояний тетраэдрической молекулы XY4 необходимо сначала разложить представления, соответствующие состоянию центрального атома X, по неприводимым представлениям точечной группы Тd, а затем умножить полученные ненриводимые представления на приведенные выше неприводимые представления группы атомов Y4. Таким путем для молекулы СН4, образованной из атома С в основном состоянии Р и четырех атомов Н в их основных состояниях, получаются следующие состояния 1, Е, F, 2), М,, F (2) [c.294]

Точно так же, если молекула Х 7з образуется из X и 2з приближением атома X по оси симметрии группы 2з, то представление, к которому относится состояние атома X, а если нужно, то и представление, к которому относится состояние 2з, надо разложить по неприводимым представлениям точечной группы Сз,.. Например, если принять, что 7з это группа СНз в основном состоянии -Ло, а X — атом Р в основном состоянии Ра, ТО при переходе к неприводимым представлениям группы Сз будем имегь соответствепно при их перемножении получают- [c.295]

В заключение рассмотрим тот случай, когда обе части молекулы имеют более высокую симметрию, чем сама молекула, и в то же время при построении молекулы симметрия оказывается более низкой, чем симметрия молекулы. Примером может служить образование нелинейной молекулы XX2 из и Х , причем атом не лежит на оси Х . В общем случае точечной группой здесь будет в силу чего необходимо будет разложить неприводимые представления, которым иринадлежат как состояния , так и состояния Х , на неприводимые представления точечной группы С - Если, например, атом находится в 5я-состояпии и Х — в П-состоянии, как это будет иметь место в случае основного состояния системы Н + ОН, то при разложении получим неприводимые представления и Ы Ы " соответствепно, и, следовательно, молекулярными состояниями будут М, М ", Ы и А". На основании табл. 60 невозможно узнать, будет ли состояние А приводить к состоянию М, или состоянию i 2 симметричной молекулы Х 2- Аналогичное ноложение наблюдается и в других случаях. Как следует из табл. 25, в разобранном примере Н- 2 не приводит к состоянию В2, и, следовательно, М -состояние, получающееся из + П, должно соответствовать М,, поскольку известно, что основное состояние П для ОН получается из основных состояний атомов ). Такие заключения, однако, не будут справедливыми для других пар. Для несимметричных молекул, подобных НХО и НСО, такого рода неопределенность, естественно, не возникает. [c.297]

Очевидно, что для нелинейной конфигурации ядер волновая функция (орбиталь), зависящая от координат одного электрона, должна иметь свойства симметрии, соответствующие одному из неприводимых представлений точечной группы симметрии конфигурации ядер ). Это следует из таких же соображений, что и приведенные в гл. 1, разд. 1, для полной многоэлектронной волновой функции. Если есть несколько электронов, то они рассматриваются так, как если бы кан<дый электрон двигался в объединенном поле ядер и других электронов. В общем поле не имеет в каждый момент полной симметрии точечной группы ядерной конфигурации, однако если подходящим образом усреднить поле других электронов, то полученное поле будет обладать симметрией этой точечной группы. Вообще говоря, это подходящим образом усредненное поле представляет собой хорошее приближение к тому же полезно помнить, что только при этом допущении орбитали можно классифицировать подобно электронным состояниям. Для симво.тов, обозначающих тип орбитали, далее будут использоваться строчные буквы, соответствующие прописным буквам, используемым для обозначения непосредственно самих неприводимых представлений, подобно тому, как это было сделано для атомов и двухатомных молекул. [c.301]

Следует отметить, что не обязательно все неприводимые представления точечной группы встречаются в качестве типов орбиталей. Так, атомные орбитали будут встречаться лишь следующих типов %, р , dg, Eg, Электронные состояния атомов принадлежат g- или и-тииу в зависимости от того, четна или нечетна S а, следовательно, для отдельных электронов — четно или нечетно Ц. На этом основании индексы g ж и обычно опускаются. Как следствие (табл. 58 приложения IV) для двухатомных или линейных многоатомных молекул (точечные группы v и Dxh) не встречается орбиталей, принадлежащих неприводимому представлению типа 2 , в силу чего для о-электронов верхний индекс плюс обычно опускается. Для остальных точечных групп могут встретиться орбитали всех типов, соответствующих всем неприводимым представлениям, хотя некоторые тины орбиталей и могут появиться только при довольно больших значениях числа I соответствующей атомной орбитали. Например, самое низкое значение I, для которого появляются орбитали типа 2 точечной группы Та, равно 6 (в табл. 58 это значение не включено) аналогично орбитали тина 02g точечной группы О,, появляются впервые тол1.ко при I == 6, а орбитали типа fliu — только при / = 9. [c.301]

Разложение -неприводимых представлений точечной группы атомов по неприводимым представлениям различных точечных групп молепул [c.586]

Разложение неприводимых представлений точечных групп Do h и Соси линейных молекул на неприводимые представления точечных групп более низкой симметрии Здесь принято, что ось z совпадает с осью, проходящей через ядра линейной молекулы. Для точечных групп, имеющих оси симметрии, принято, что ось z совпадает с осью симметрии максимального порядка. Для точечных групп 1>2й, zh [c.588]

Следовательно, необходимо рассмотреть только неприводимые представления точечной группы Озс1. Другой возможный способ формулировки этого результата заключается в утверждении, что матричная группа , состоящая из матриц [c.109]

Неприводимые представления группы Та были получены Парментером [177] в этом приложении мы следуем его обозначениям, за некоторыми исключениями, отмеченными особо. Поскольку группа симметрии цинковой обманки является симморфной, имеются лишь обычные (векторные) представления, т. е. все элементы фактор-множеств для неприводимых представлений точечных групп 45(А), в том числе и для к, лежащих на границе зоны, равны единице. Таким образом, фактически единственнЪй проблемой является классификация представлений. В табл. Г2 приведены найденные Парментером характеры [c.293]

Основное состояние Ь-экситона в квантовой яме GaAs/AlAs (001) четырехкратно вырождено. В обозначениях неприводимых представлений точечной группы Did имеем Гб ><Гб -А + 2 + . Следовательно, с учетом обменного взаимодействия это состояние расщепляется на радиационный дублет Е с проекциями М =s + m = углового момента на ось z и термы Al, Ai (5 = 1/2, т = Ъ/2). Последние являются симмет-ризованной и антисимметризованной линейными комбинациями состояний с проекцией момента 2. Расщепление между ними мало, обычно им пренебрегают и используют базис 2). Состояния 1 дипольно активны в поляризации ст + и ст соответственно оптические переходы в состояния 1 2) запрещены. [c.140]

Все это составляет двенадцать операций. Так как пространственная группа симморфна, то мы должны интересоваться только неприводимыми представлениями точечной группы а 0 . Трансляции дают зону Бриллюэна, форму которой мы уже знаем. Точечная группа имеет шесть классов и, следовательно, шесть неприводимых представлений. [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...