Неприводимые представления группы вектора

Для точек внутри зоны Бриллюэна неприводимые представления группы вектора к даются выражением [c.119]

Неприводимые представления группы вектора к 103 [c.103]

В корпускулярном подходе к релятивистскому квантовому описанию свободных частиц векторы состояния частицы должны образовывать неприводимое представление группы Пуанкаре. Последнее фиксируется заданием значений операторов Казимира (операторов, коммутирующих со всеми десятью генераторами группы Mi и Ж ), к-рых у группы Пуанкаре два. Первый — [c.301]

Волновые функции электронов (вычислены ли они приближенно или нет) должны преобразовываться как базисные функции неприводимых представлений группы симметрии волнового вектора ft. Такая группа либо оставляет к инвариантным, либо преобразует его в вектор к Кп, где /Г —вектор обратной решетки. [c.314]

Последним шагом является разбиение на смежные классы по к). Далее неприводимые представления группы к) используются для определения неприводимых представлений группы . Неприводимые представления группы характеризуются звездой волнового вектора к и индексом т допустимого представления Это построение определяет также структуру неприводимого векторного пространства, в котором задано представление [c.50]

В нескольких последующих параграфах ( 20—25) рассматриваются неприводимые представления группы трансляций кристалла Обсуждаются основные понятия волновой вектор к, блоховский вектор ф(й), зона Бриллюэна, соотношение полноты и ортонормированности для неприводимых представлений, а также прямое произведение неприводимых представлений группы 5 . Так как является абелевой группой (точнее, прямым произведением трех более простых абелевых групп), математическая теория здесь очень проста. Однако для обсуждения представлений пространственной группы необходимо изложить этот материал в удобной для нас форме. [c.69]

Таким образом, если к и к — два волновых вектора, связанных соотношением (23.6), то они определяют одно и то же неприводимое представление группы Заметим также соответствие этого вывода с выводом, следующим из (20.7). Сформулируем результат. Набор всех векторов к в обратной решетке, где к = к кг кз и [c.73]

Каждое неприводимое представление группы одномерно, поэтому отдельная блоховская функция или блоховский вектор образует соответствующее неприводимое линейное векторное пространство Е . Пусть ф блоховская функция. Тогда из (14.5) имеем [c.77]

В дальнейшем изложении мы прежде всего будем считать, что нам известны неприводимые представления группы , и установим целый ряд свойств этой матричной группы. При этом главную роль играет тот факт, что является нормальной подгруппой . Вследствие этого блоховские векторы являющиеся базисными для неприводимых представлений группы можно использовать всюду в качестве составляющих элементов для неприводимых представлений группы . Неприводимые представления заданы в пространстве, образуемом совокупностью 5 блоховских векторов ... Набор из [c.79]

При определении допустимых неприводимых представлений группы (к) в зависимости от структуры и размерности звезды волнового вектора к (32.10) следует различать два главных случая. В первом случае к содержит др независимых неэквивалентных волновых векторов [c.99]

Полезно резюмировать рассуждения двух последних параграфов. Для нахождения допустимых неприводимых представлений /Х ) " ), соответствующих каноническому волновому вектору к (которые будут затем использованы для построения индуцированных неприводимых представлений группы ), была построена абстрактная группа П(й). Однако при рассмотрении П(й) как некоторой абстрактной группы возникают как допустимые представления запрещенные представления 0 И. Было показано, что последние, являясь неприводимыми представлениями абстрактной группы операторов [c.105]

Следуя в точности методу, изложенному в 36, 37, можно использовать все неприводимые представления (44.15) группы Z/X(k) для построения индуцированных неприводимых представлений группы П(й). Очевидно, допустимое представление )( )(т) группы n(fe) индуцировано с помощью того представления группы Z/X(k), которому соответствует правильное значение р, определяемое из (44.15). В таком случае ясно также, почему запрещенное представление соответствует набору волновых векторов (40.7). Это представление индуцировано с помощью иных представлений, чем те, для которых р определяется соотношением (44.15). Это доказательство дополняет прямое доказательство, приведенное в 40. [c.115]

Необходимо построить первую зону Бриллюэна согласно рецепту, содержащемуся в 23. Первая зона Бриллюэна является геометрическим местом всех волновых векторов к, определяющих полный набор неэквивалентных неприводимых представлений группы трансляций 5. Для каждого волнового вектора к в первой зоне Бриллюэна определим звезду к, действуя [c.120]

Если свойства собственных векторов классифицированы согласно неприводимым представлениям группы , то эти результаты можно сразу применить для вычисления любых функций этих собственных векторов. Такими функциями могут быть решеточные инварианты и коварианты, построенные из этих векторов, например ангармоническая потенциальная энергия кристалла или электрический дипольный момент кристалла более высокого порядка. Используя результаты теории групп, эти функций можно заметно упростить. Для функций, имеющих вид разложения по степеням этих собственных векторов, можно установить существенное минимальное число отличных от нуля независимых коэффициентов. Таково максимальное упрощение, которое можно получить с помощью теории групп. [c.173]

Следует специально отметить, что (75.5) и (75.6) показывают, что совокупность всех вырожденных физических собственных состояний, являющихся вырожденными собственными векторами динамической матрицы, образует базис для вещественного неприводимого представления группы . Обратное утверждение, очевидно, не верно. Иначе говоря, не каждое неприводимое представление группы соответствует физическому собственному состоянию. Одна из причин ошибочности обратного [c.198]

Получается, что полный набор собственных векторов (90.1) или комплексных нормальных координат (90.2), являющихся базисом неприводимого представления группы , может служить также базисом неприводимого представления )( )(/) группы , если этот базис преобразовать с помощью оператора обращения времени К- Отсюда сразу следует, что если )( ) является неприводимым представлением группы то )( )(/) тоже является таковым. [c.242]

Следует сделать еще одно, последнее. замечание. Очевидно, весь предшествующий анализ просто устанавливает необходимые условия вещественности представлений, по которым преобразуется либо пространство собственных векторов, либо пространство нормальных координат. Таким образом, если существует представление группы , по которому преобразуется пространство собственных векторов или нормальных координат колебаний, то оно должно иметь физический смысл. Обратное утверждение неверно при заданной пространственно-временной группе не все неприводимые представления группы, имеющие физический смысл, встречаются в динамике решетки. Определение таких физических неприводимых представлений для конкретных кристаллов рассматривается в 103. [c.245]

Мы начнем исследование неприводимых представлений группы 9 с приведения Ясно, что приведение (аналогично 29) могут осуществлять блоховские векторы. Тогда [c.265]

Собственные векторы матрицы D k) как базис неприводимых представлений группы [c.288]

СКОГО поля является полярным вектором. В изотропном пространстве он преобразуется подобно трем компонентам сферической гармоники У/т(0, ф), образующим базис неприводимого представления группы Оз (или SU2). Инвариантной груп- [c.248]

Мы еще должны выяснить вопрос, какие неприводимые представления группы вектора Щ могут реализоваться в пространстве г, . Оказывается, что на возможные неприводимые представления группы Hit должны быть наложены некоторые ограничения. Действительно, в группу волнового вектора входят преобразования трансляций на векторы решетки. По определению все подпространство состоит из собственных векторов трансляций ia с собственным значением ехр г ка). Поэтому матрица представления, соответствующая трансля-1ЩИ, должна иметь вид [c.103]

Таким образом, мы можем классифицировать 16 электронных, спиновых состояний четырехэлектронной молекулы по - типам симметрии групп К (П) и Sjf. Изложенный выше метод применим и к молекуле, содержащей произвольное число электронов, однако если состояния различной мультиплетности относятся к одному и тому же типу симметрии группы Sif , то необходимо использовать коэффициенты векторного сложения для определения комбинаций произведений функций, преобразующихся по неприводимым представлениям групп и К (П). Электронные спиновые функции не зависят от ядериых координат и поэтому преобразуются по полносимметричному неприводимому представлению группы G". Спиновые функции также инвариантны относительно Е (S — аксиальный вектор) и имеют положительную четность. [c.117]

Обратимся теперь к содержанию последующих глав 4 и 5. Каждая пространственная группа содержит нормальную подгруппу трансляций Поскольку группа X абелева (в действительности является прямым произведением трех циклических групп), ее неприводимые представления и неприводимые линейные векторные пространства одномерны. Неприводимые представления характеризуются волновым вектором к и бло-ховским вектором [21]. Набор допустимых значений к заполняет первую зону Бриллюэна кристалла и характеризует все неприводимые представления группы 3 . [c.49]

Для каладого к определен набор операторов из группы , преобразующих блоховский вектор в вектор с эквивалентным значением волнового вектора к. Эта совокупность операторов образует группу волнового вектора к, обозначаемую (к). Она является подгруппой группы . Определяются неприводимые представления группы к). Для этой цели можно использовать два метода. Будет рассмотрен метод лучевых (проективных или нагруженных) представлений, использующий представление структуры к) как расширения. Кроме того, будет излож-ен метод малых групп. Среди всех неприводимых представлений к) допустимыми для наших целей оказываются только некоторые. Будут определены эти допустимые неприводимые представления а тажже соответствующие им векторные пространства. [c.49]

Второй случай соответствует звезде специального типа, и при его рассмотрении проявляются новые особенности неприводимых представлений пространственных групп. Рассмотрение звезды специального типа приводит к понятию пространственной группы волнового вектора , ( ), и к задаче о неприводимых представлениях группы к). Допустимые неприводимые представления группы (й) индуцируют неприводимые представления группы . Построив неприводимые представления группы , мы проверим для них соотношения полноты и ортонормкровац-дорти. [c.79]

Сравнивая (44.12) с (43.6), видим, что это соотношение действительно определяет каноническую калибровку, требуемую для проективных представлений группы Поэтому допустимые неприводимые представления группы П(й) являются проек-тивными представлениями группы 5(5, имеющими требуемую каноническую калибровку, соответствующую волновому вектору к. [c.114]

ПО отношению к полной пространственной группе , а также гомоморфизм остальных представлений, входящих в соотношение приведения Достоинство этого метода (в случаях, когда возможно его применение) состоит в том, что он допускает проверку коэффициентов с помощью соотношения ортонормированности. Как и в случае более пр0С10Г0 метода малой группы, состоящего в определении неприводимых представлений группы (3 к) по неприводимым представлениям группы П(Л), оказывается, что метод группы приведения полезен в случае звезд высокой симметрии, т. е. канонических волновых векторов высокой симметрии. [c.152]

Эта глава содержит применения теории пространственных групп к классической теории колебаний кристаллической решетки [4—6, 59—64]. Основной эффект от использования полной пространственной группы симметрии состоит в упрощении решения секулярного уравнения для определения частот нормальных колебаний и соответствующих собственных векторов в гармоническом приближении. Секулярное уравнение оказывается факторизованным согласно неприводимым представлениям рассматриваемой пространственной группы . Факторизация по пространственной симметрии приводит к появлению пространственных координат, зависящих от волнового вектора k неприводимого представления. Учет полной симметрии обеспечивает дальнейшее уточнение свойств отдельных собственных векторов, преобразующих согласно допустимым представлениям группы k), т. е. по определенной строке неприводимого представления группы . [c.173]

Соотношение (98.5) определяет группу с антиунитарными элементами. Удобно определить неприводимые представления группы к) и получить из них неприводимые копредставления группы При этом следует отметить, что не все пространственные группы имеют волновые векторы гласса И для этого нужно, чтобы была операция ф т , поворотная часть которой дает волновой вектор к (98.2). [c.271]

Посмотрим, чем мы располагаем для решения этой задачи. Мы имеем полный набор неприводимых представлений группы- . В частности, имеются неприводимые допустимые представления группы 9 к). Если вектор к для каждого к) относится к классам I, П, П1 из (94.2), (94.3) и (94.4), то мы можем установить, относится ли данное неприводимое копредставление к типу А, В, С из (98.59), (98.60) и (98.61). Тогда мы можем установить, выделяет ли неприводимое копредставление одно неприводимое представление унитарной подгруппы либо два. Во втором" случае, когда имеется неприводимое копредставление типа В или С, выделяющее прямую сумму двух неприводимых представлений, установлено, какие именно два представления объединяются (например, в случае С представление вхо- [c.289]

Таким образом, мы можем выполнить процедуру разложения представления /)< > базисом которого являются собственные векторы, на неприводимые представления группы (й). Зная, к какому из типов А, В, С принадлежит индуцированное представление, мы сразу же можем выполнить разложение О на неприводимые копредставления группы [c.290]

Ясно, что для заданного k имеется Зг ткких блоховских векторов. Используя их в качестве базиса, мы можем построить Зг-мерное представление малой" группы T[ k) = k)определенной в (39.9). Следовательно, если является элементом k) % k), то можно найти результат применения этого оператора к сумме (104.2). Так как Зг сумм (104.2) образуют полное линейное векторное пространство для всех нормальных колебаний с волновым вектором к, а также являются полными по отношению ко всем возможным единичным смещениям, то результатом действия 11 на такую сумму будет возникновение линейной комбинации всех Зг величин (104.2). Таким способом мы получим представление базисом которого являются единичные декартовы смещения. Это представление также называют полным представлением. Когда преобразовано в прямую сумму допустимых неприводимых представлений группы (к)/Х к), мы можем найти специальные представления, возникающие в задаче о нормальных колебаниях, т. е. симметрию всех имеющихся нормальных колебаний. [c.292]

В формулах (79.8) — (79.11) были определены два вида скалярных произведений рассматриваемых собственных векторов. В нескольких последних параграфах мы доказали, что эти собственные векторы являются базисом для неприводимых копредставлений группы Это позволяет развить теорию несколько дальше. Рассмотрим сначала унитарные элементы симметрии, т. е. вначале -мы будем считать, что собственные векторы образуют неприводимое представление группы . [c.299]

Суммируем результаты. Наличие элементов антиунитарной симметрии в группе и тот факт, что собственные векторы относятся к неприводимым представлениям группы, приводят к условиям вещественности матричных элементов типа (106.48) и [c.311]

Из (83.5) мы видим, что каждый србственный вектор (столбец), в Е ко) может служить базисом допустимого неприводимого представления группы (ко). Следовательно, действие оператора на Е(ко) дает (Зг X Зг)-мерную матрицу )( фо ), которая получается уже в полностью приведенной форме [c.323]

Один из способов интерпретации этих результатов заключается в том, что, строго говоря, ограничение волновых векторов первой зоной Бриллюэна служит для разделения неприводимых представлений группы (см. т. 1, 23) так, чтобы два эквивалентных волновых вектора, связанных (18.1), не считались бы дважды. Но, с другой стороны, представление должно быть непрерывной функцией к, Условие непрерывности может привести к двойной периодичности некоторых представлений в несимморфных структурах, например в алмазе 01- [c.145]

Таблица Г2 Неприводимые представления групп волновых векторов для точек симметрии решетки цинковой обманкн [177] Таблица характеров представлений группы волнового вектора Г

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...