Приводимые и неприводимые представления группы

Приводимые и неприводимые представления группы [c.30]

Приводимые и неприводимые представления группы матрица представления должна иметь следующий вид [c.31]

Найти классификацию нормальных колебаний — это значит определить неприводимые представления групп волновых векторов, по которым преобразуются нормальные координаты. Для определения характеров приводимого представления, по которому преобразуются нормальные координаты с данным значением волнового вектора, воспользуемся формулами (9.8) и (9.9). Нам удобно представить их в следующем виде [c.265]

Всякое представление конечной группы приводимо (теорема Машке), поэтому (17.2) можно разложить на. сумму неприводимых представлений. Используя определение характера или следа (15.6) и вычисляя след от (17.2), получаем [c.59]

В гл. 6 и 7 анализируется математическая задача определения представлений, содержащихся в приводимом представлении и имеющих вид прямого произведения двух неприводимых представлений. Следовательно, математическая задача в точности совпадает с задачей, рассмотренной в общем виде для конечных групп в 17. Название метод полной группы просто отражает то обстоятельство, что на всех стадиях рассматриваются неприводимые представления полной группы и, соот- [c.134]

Пространства представлений групп Ли могут иметь весьма сложную структуру, изучение которой требует введения понятия топологической приводимости представления. Будем называть подпространство пространства представления инвариантным, если все операторы представления T g) переводят каждый элемент в элемент этого же подпространства, т. е. T g)3S i для любого g из G. Тривиальные примеры инвариантных подпространств, естественно, дают нулевое подпространство и все пространство В соответствии с этим представление T g) называется неприводимым (приводимым), если его пространство не содержит (содержит) нетривиальных подпространств. Можно показать, что в пространстве любого представления содержится не менее одного неприводимого подпространства. Если инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение J ", Ж, то Т (g) однозначно определяется представлениями T (g) и T"(g) в и соответственно, т. е. сужениями T g) на эти подпространства. Тогда говорят, что представление T(g) есть прямая сумма Т g) и T" g), и является вполне приводимым, если оно представимо в виде прямой суммы неприводимых. Заметим, что все унитарные представления вполне приводимы. [c.56]

Связь сплетающих операторов с вопросами приводимости, эквивалентности и унитарности представлений. Одной из наиболее кардинальных проблем теории представлений полупростых групп Ли является описание всех неприводимых унитарных представлений. В случае вещественных форм данная задача особенно сложна ввиду характерных особенностей их представлений (отсутствующих для комплексных групп). Причина этого заключается, в частности, в существовании нескольких типов основных серий унитарных представлений, что находится в тес- [c.94]

Число классов, а следовательно и число неприводимых представлений, не должно удваиваться вместе с числом элементов. Размерность неприводимых представлений простой группы, наоборот, удваивается. Эти представления могут оказаться приводимыми для двойной группы и распадаться на новые неприводимые представления более низкой размерности спинорные представления). Это согласуется с тем фактом, что собственные уровни энергии прн введении спина могут заселяться вдвойне, однако из-за спин-орбитального взаимодействия они могут и расщепиться. Так, представления Гц и в нашем примере при введении спина делаются шестимерными, однако при Этом расщепляются на одно четырехмерное и два двухмерных неприводимых представления. Такой пример показан на рис. 109. [c.382]

В приложениях теории групп часто оказывается известным какое-то приводимое представление группы (например, полученное путем применения операций симметрии к некоторой пробной функции) и нужно разложить это представление на неприводимые. Оказывается, что для решения этой задачи достаточно знать характеры неприводимых представлений. Пусть некоторое представление распадается на неприводимые представления ( ), причем каждое нз них встречается в разложении 01 раз. Записывая соответствующие матрицы в приведенной форме, т. е. в виде [c.43]

Если на рассматриваемый кристалл наложить внешнее постоянное электрическое поле, направленное вдоль оси 4-го порядка (ось г), то некоторые из представлений, неприводимых в группе О , в новой группе симметрии (группа становятся приводимыми. Действительно, рассмотрим, например, представление Е (не путать с единичным элементом Е 1) группы 0 . В новой группе вместо трех осей С осталась одна. такая ось, вместо шести осей 4-го порядка остались две такие оси, вместо трех операций С —две и вместо шести операций симметрии 1С — также две операции симметрии. Очевидно, каждому элементу симметрии, [c.368]

Из формулы (15.12) следует, что функции Рр образуют базис регулярного представления группы перестановок. Напомним, что регулярное представление является приводимым и каждое неприводимое представление порядка I содержится в нем / раз. [c.176]

Представление, определяемое характерами (1.20) — (1.21), вообще говоря-приводимо в группе О/,, и может быть разложено на неприводимые пред, ставления этой группы, которые и будут характеризовать состояния пары и типы уровней энергии (без учета спина). [c.11]

Неприводимые (и неэквивалентные ) матричные представлен ния играют особую роль в молекулярной физике, так как они используются для классификации состояний молекул. Это очень полезный способ описания состояний, но при его применении мы часто имеем дело с приводимыми представлениями, которые необходимо редуцировать (привести) к неприводимым компонентам. Для приведения данного представления группы к неприводимым компонентам требуются только характеры матриц этого представления и характеры матриц неприводимых представлений группы. Для большинства групп, которые нас инте-ресуют, характеры неприводимых представлений протабулиро-ваны такая таблица называется таблицей характеров группы. [c.59]

Согласно приведенному выше доказательству [см. (8.193)], нормальные координаты Qr, имеющие невырожденные частоты кг, образуют базис для одномерных (и, следовательно, неприводимых) представлений группы симметрии гамильтониана. Набор I нормальных координат Q i, Qs2, , Qst, которые имеют одинаковую нормальную частоту образует базис для /-мерного представления группы. Такое /-мерное представление может быть приводимым или неприводимым. Это представление бывает приводимым лишь случайно при наличии случайных соотношений между силовыми постоянными и ядерными массами, что бывает редко. Если даже имеет место случайное вырождение, то тем не менее можно построить нормальные координаты, преобразую-ншеся по неприводимым представлениям. [c.216]

В отсутствие резонансов вычисление поправок на центробежное искажение и кориолисово взаимодействие методом возмущений приводит к эффективному вращательному гамильтониану или уотсониану [113, 118, 133, 134, 136 ], в котором последовательные члены содержат вторую, четвертую, шестую и т. д. степени компонент оператора углового момента. Эффективный вращательный гамильтоииан коммутирует с операциями молекулярной группы вращений и в отсутствие резонансов между состояниями, вызываемых центробежным искажением или корнолисовым взаимодействием, число К остается приближенным квантовым числом для симметричного волчка, а неприводимые представления группы D2 дают хорошую классификацию уровней асимметричного волчка. Для молекул типа сферического волчка центробежное искажение и кориолисово взаимодействие приводят к важному явлеиию частичного расщепления (2/+ 1)-кратного вырождения по k каждого уровня. Максимальное число расщепленных компонентов равно полному числу неприводимых представлений группы МС, входящих в приводимое представление Frv. Например, вращательный уровень с / = 18 основного колебательного состояния молекулы метана состоит из уровней с различными типами симметрии группы МС (см. табл. 10.14) [c.331]

Пусть задано произвольнее предстгвление О группы С. Т гда встают следующие вопросы. Будет ли представление О приводимо или неприводимо Сколько имеется неприводимых представлений группы и какой они размерности Является ли разложение (Б.З) однозначным и как определяются коэффициенты с, На все эти (и дальнейшие) вопросы можно ответить, если знать так называемые характеры представлений. Ниже мы приведем важнейшие определения и соотношения. Некоторые вопросы, остающиеся при этом откры тыми, будут пояснены на примерах. [c.365]

Рассмотрим задачу о классификации нормальных колебаний молекулы. Мы будем рассматривать молекулу как систему материальных частиц (ядер), совершаюпщх малые колебания относительно положений равновесия, образующих некоторую симметричную конфигурацию. Мы знаем, что нормальные координаты такой системы, соответствующие одной собственной частоте, преобразуются по неприводимым представлениям группы симметрии, в нашем случае точечной группы молекулы. Порядок вырождения частот равен порядку соответствующего неприводимого представления. Для определения свойств симметрии нормальных координат и кратности вырождения собственных частот надо представление О, по которому преобразуются составляюпще смещений частиц Х , разложить на неприводимые части. Мы знаем, что число, показывающее, сколько раз неприводимое представление матрицами содержится в данном приводимом представлении, определяется по формуле [c.79]

Нормальные координаты, соответствующие одному и тому же значению волнового вектора, должны преобразовываться по некоторому (приводимому) представлению группы Я, этого волнового вектора. Представление Г, как было показано в главе VIH, при отсутствии несобственных трансляций определяется представлением точечной группы Ffi. Нормальные колебания, преобразующиеся по неприводимому представлению группы F i, должны иметь одинаховую частоту. Найдем представление Г. С этой целью рассмотрим смещения атомов, принадлежащих некоторой фиксированной (нулевой) ячейке [c.110]

Если изменять величину возмущения V, сохраняя его симметрию, то смещение АЕ, собственных значений будут также изменяться, и некоторые уровни энергии Еа, как функции параметров возмущения, могут пересечься. В точках пересечения уровней будет иметь место случайное вырождение, так как собственные функции, соответствующие этому значению энергаи, будут преобразовываться по приводимому представлению группы б о- Существует, однако, правило, которое в некоторых случаях запрещает пересечение уровней, соответствующих эквивалентным неприводимым представлениям. Рассмотрим для простоты два невырожденных уровня, предполагая, что ooтвeт твyюшJIe им волновые функции 1 и -фг преобразуются по эквивалентным неприводимым представлениям группы Сц. Допустим, что при некотором значении возмущения 1 1 рассматриваемые уровни энергаи Ех и Ег почти совпадают. Выясним, может ли отклонение возмущения V от значения 1 1 вызвать пересечение этих уровней. Обозначим через V разность V - Ух и через г , матричные элементы этого оператора. Новые уровни энергаи мы найдем, решая вековое уравнение [c.215]

Даппое /-кратно вырожденное состояние может относиться к приводимому или неприводимому /-мерному представлению рассматриваемой группы симметрии. Если представление неприводимое, то говорят, что вырождение обязательно, т. е. обусловлено симметрией гамильтониана. Однако если представление приводимое, то говорят, что вырождение между различными состояниями случайное и не обусловлено симметрией гамильтониана. [c.76]

Чтобы понять, как устанавливается эта корреляция, допустим, что группа G порядка g имеет элементы Gi, G2, ... .., Gg и что ее подгруппа Н порядка h .g имеет элементы Я], Яг,, Нн). Далее предположим, что Н = Gi, Я2 = G2,.... .., Hh — Gh- Любое неприводимое матричное представление группы С, например Г , будет матричным представлением для подгруппы Н при учете только матриц, соответствующих элементам Gi, Gq,. .., Gh группы О. Это матричное представление Н будет в обпюм случае приводимым, в котором неприводимое представление, например Г/, подгруппы Н содержится ог раз, [c.239]

Значение неприводимых представлений определяете тем, чтс каар1 ой группы симметрии число и размерность различных типов приводимых представлений вдолн ошзеделены. Вот их основные с ства. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...