Неприводимые представления ортогональной группы

Неприводимые представления ортогональной группы 0(3) [c.136]

Ранее эти соотношения были получены из соотношений ортогональности и нормировки для строк и столбцов неприводимых представлений трансляционной группы . Они также могут рассматриваться как набор соотношений полноты для совокупности функций [c.203]

Использовать свойство ортогональности характеров неприводимых представлений перемножаемых групп. [c.261]

Используя (83.6) и суммируя результат по всем элементам группы (А), после применения условий ортогональности и нормировки для неприводимых представлений группы к) получаем [c.300]

Общие определения. Базис рассмотренных в 1.5 неприводимых представлений полупростых алгебр Ли задавался своим старшим (младшим) элементом, из которого остальные элементы базиса получаются применением понижающих (повышающих) операторов, построенных из корневых векторов, с последующим выделением линейно-независимых взаимно ортогональных компонент. В принятых ранее обозначениях матричные элементы конечных преобразований группы О записываются в виде а Т ( ) > или <а 6>, где групповой элемент берется в соответствующем представлении. Для дальнейших приложений нам потребуются матричные элементы между старшими базисными бра- и кет-векторами, т. е. [c.67]

Из этой теоремы можно немедленно получить одно важное следствие. Построенные векторы принадлежат Л-мерному пространству в котором, очевидно, можно построить лишь Л взаимно ортогональных векторов. Поэтому сумма квадратов размерностей неприводимых представлений не может превышать числа элементов группы. Оказывается, что в действительности эти числа должны быть равны, т. е. [c.41]

Это новое соотношение ортогональности также можно сделать более наглядным с помощью ортогональных векторов. При заданном ( числа У р/Л Х Ф) можно считать элементами вектора-столбца. Тогда каждому неприводимому представлению соответствует свой вектор-столбец. Соотношение (1.7) утверждает, что эти векторы ортогональны. Число компонент каждого вектора равно числу классов в группе. Поэтому число взаимно ортогональных векторов (т. е. число неприводимых представлений) не может превышать число классов. На самом деле эти числа строго равны, и, таким образом, число неприводимых представлений группы равно числу ее классов (в случае группы треугольника это число равно трем). [c.42]

В качестве примера рассмотрим треугольную молекулу, помещенную в магнитное поле, перпендикулярное ее плоскости. Рассмотрим сначала операции симметрии измененной задачи. Отражения меняют направление магнитного поля на противоположное, поэтому если гамильтониан зависит от магнитного поля, то он может быть неинвариантным при отражениях. С другой стороны, вращения вокруг оси, направленной вдоль магнитного поля, не изменяют гамильтониан. Поэтому в данном случае подгруппа состоит из преобразований Е, Су и С . Пользуясь полученными выше правилами, основанными на соотношении ортогональности, заключаем, что подгруппа имеет три одномерных неприводимых представления и является абелевой группой. Заметим далее, что все элементы этой группы можно представить как степени одного из ее элементов С , С и С. Группа, обладающая таким свойством, называется цик.гической группой. Любая циклическая группа, очевидно, является абелевой. Таблица характеров рассматриваемой группы, совпадающая в данном случае с таблицей неприводимых представлений, имеет вид [c.44]

Таким образом, складывание, изображённое на рис. 109, определяет представление группы Н4 в евклидовом 8-пространстве (сохраняющее решётку 8). Это представление приводимо. А именно, 8-пространство является ортогональной суммой двух 4-х мерных пространств неприводимых представлений группы Н4. Таким образом, группа отражений Н4 является группой, порождённой 4 произведениями, приведёнными выше, действующей на 4-х мерном (иррациональном) пространстве неприводимого представления. [c.251]

Из общих теорем предыдущего параграфа вытекает, что стационарные состояния составной системы должны распадаться на различные системы — серии термов, которые соответствуют различным неприводимым представлениям группы перестановок. Кроме того, матричные элементы симметричных величин отличны от нуля только, если начальное и конечное состояние принадлежит одной и той же серии термов. Если представление имеет степень 1, то термы не вырождены (случайное вырождение или такое вырождение, которое связано с инвариантностью гамильтоновой функции относительно другой группы, отличной от группы перестановок, мы пока не рассматриваем) собственные функции при каждой перестановке умножаются на численный множитель. В более общем случае, когда представление имеет степень Н, соответствующие уровни энергии /г-кратно вырождены. В соответствующем Л-мерном линейном векторном пространстве собственных функций можно найти базис из ортогональных друг другу и нормированных собственных функций [c.188]

Точка Wi. Для изучения наклона дисперсионных кривых в точке Wi мы выбираем три ортогональных направления, а именно Z и два направления Q, проходящие через W в плоскости, перпендикулярной Z, и строим соответствующую таблицу характеров. В табл. 33 приведены все необходимые данные. Разрещенные неприводимые представления в этой таблице есть проективные представления с определенной фактор-системой точечной группы (1 1), которая изоморфна группе D d- Мы выбираем три единичных вектора поляризации и [c.170]

Мы знаем, что характеры неприводимых представлений удовлетворяют соотношениям ортогональности и нормировки (3.83). Кроме того, разбивая порядок группы гга на к квадратов целых чисел, мы можем найти согласно (3.93) порядки неприводимых представлений, которые, очевидно, равны характерам этих представлений, соответствуюпщх единичному элементу группы. Однако в общем случае этих условий недостаточно для однозначного определения значений всех характеров неприводимых представлений. Покажем сейчас, что для характеров неприводимых представлений можно дополнительно получить квадратичные соотношения, которые позволяют решить задачу. В главе II было доказано, что всевозможные произведения элементов двух классов группы образуют совокупность, состоящую из целых классов этой [c.42]

Точечными группами называют конечные подгруппы хруппы 0(3), группы ортогональных преобразований в трехмерном пространстве. В физических приложениях точечные группы используются для описания симметрии молекул. Кроме того, знание точечных групп необходимо для исследования свойств симметрии кристаллов. Наши наглядные представления о симметрии геометрических фигур (призмы, куба, тетраэдра и т. д.) связаны со свойством совместимости этих фигур при преобразованиях, принадлежащих точечным группам. В этой главе мы рассмотрим точечные группы и их неприводимые представления. Полученные результаты будут применены для классификации электронных и колебательных состояний молекул. [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...