Неприводимые представления группы трансляций

Неприводимые представления группы трансляций кристалла г [c.69]

В нескольких последующих параграфах ( 20—25) рассматриваются неприводимые представления группы трансляций кристалла Обсуждаются основные понятия волновой вектор к, блоховский вектор ф(й), зона Бриллюэна, соотношение полноты и ортонормированности для неприводимых представлений, а также прямое произведение неприводимых представлений группы 5 . Так как является абелевой группой (точнее, прямым произведением трех более простых абелевых групп), математическая теория здесь очень проста. Однако для обсуждения представлений пространственной группы необходимо изложить этот материал в удобной для нас форме. [c.69]

Неприводимые представления группы трансляций 71 [c.71]

Неприводимые представления группы трансляций 73 [c.73]

Неприводимые представления группы трансляций 75 [c.75]

Необходимо построить первую зону Бриллюэна согласно рецепту, содержащемуся в 23. Первая зона Бриллюэна является геометрическим местом всех волновых векторов к, определяющих полный набор неэквивалентных неприводимых представлений группы трансляций 5. Для каждого волнового вектора к в первой зоне Бриллюэна определим звезду к, действуя [c.120]

При выполнении этих условий выражение (4.8) определяет N различных значений приведенных волновых векторов к. Каждое из этих значений соответствует неприводимому представлению группы трансляций. [c.21]

Таким, образом, собственные функции оператора Н должны быть одновременно собственными функциями оператора трансляции. Следовательно, эти функции классифицируются по неприводимым представлениям группы трансляций, т. е. зависят от приведенного волнового вектора к и удовлетворяют уравнениям [c.24]

Из этих функций легко построить линейные комбинации, которые преобразуются по неприводимым представлениям группы трансляций [c.115]

Отметим любопытное свойство множества представителей смежных классов (14.22), а именно его замкнутость по отнощению к умножению. Несмотря на наличие нетривиальной трансляции в (14.22), это множество образует группу, поскольку любой поворот либо оставляет Т1 неизменным, либо только меняет знак Т1 на обратный. Поэтому мы можем, очевидно, используя те же соображения, что и в (14.20) и (14.21), рассматривать не полную малую группу ( , / ( 1), а только точечную группу Вза точно так же, как и в предыдущем случае. Напомним, что в табл. 5 мы привели характеры для допустимых неприводимых представлений группы (ВЩ)/ в 0%. Эту таблицу можно использовать и для 0, изменив обозначения для шести представителей смежных классов, указанных в (14.22), т. е. включив в них нетривиальную трансляцию Ть После этого изменения мы имеем нужную таблицу характеров. Используя [c.130]

Наша следующая задача — подытожить результаты математического анализа этих непрерывных унитарных представлений неоднородной группы SL 2, ). Каждое непрерывное унитарное представление а. Л U а, А) уни тарно-эквивалентно представлению, разложенному на неприводимые представления. Два представления унитарно-эквивалентны, если меры, указывающие, какие неприводимые представления встречаются в разложении, дают нуль для одних и тех же подмножеств неприводимых представлений и если функции кратности, указывающие, сколько раз встречается данное неприводимое представление, совпадают. Неприводимые представления задаются несколькими параметрами, и первый из них обозначает импульсы, встречающиеся в состояниях этого представления. [Понятие энергии-импульса можно определить исключительно в терминах теории групп, поскольку каждое непрерывное унитарное представление группы трансляций имеет вид и а, 1) = ехр iP , где P — коммутирующие самосопряженные операторы.] Имеется шесть случаев — [c.47]

Как и при описании колебаний молекулы, можно ввести нормальные координаты, являющиеся линейными комбинациями смещений отдельных ионов, и, как и в случае молекулы, нормальные координаты преобразуются по неприводимым представлениям группы симметрии системы, в данном случае по представлениям группы трансляций. Так как представления этой группы одномерны и определяются заданием волнового числа к, мы можем связать с каждой нормальной модой волновое число к, относящееся к неприводимому представлению, по которому эта мода преобразуется. [c.63]

Изоморфные группы имеют одни и те же неприводимые представления. Это весьма существенно, ибо означает, что для классификации состояний механических экситонов, соответствующих могут быть использованы неприводимые представления точечной группы кристаллического класса F, которая, как мы видели, изоморфна фактор-группе инвариантной подгруппы трансляций. Использование неприводимых представлений группы F, таким образом, возможно, несмотря на то, что F, вообще говоря, содержит элементы, не являющиеся элементами симметрии кристалла (последнее имеет место, как уже указывалось, при наличии существенных винтовых осей и плоскостей скольжения). [c.367]

Таким образом, каждое неприводимое представление группы Т характеризуется своим вектором й. Мы будем обозначать эти представления через Гк. Если д — орт представления Г, и о — оператор трансляции на вектор а, то [c.99]

Нормальные неприводимые представления легко определить, когда пространственная группа не содержит поворотов с несобственными трансляциями Тогда группа Я состоит из всевозможных произведений элементов группы и точечной группы JP., которая в свою очередь состоит из тех элементов точечной г шпы F, которые оставляют инвариантным вектор к. Так как все векторы пространства являются собственными векторами операций трансляции с одним и тем же собственным значением, то из неприводимости представления относительно группы Я, следует неприводимость относительно точечной группы Fk- Таким образом, классификация нормальных неприводимых представлений группы Яц в рассмотренном случае проводится по неприводимым представлениям точечной группы F - [c.103]

Рассмотрим теперь случай, когда группа вектора к содержит несобственные трансляции. Осложнение, которое возникает здесь, связано с тем, что преобразования Ша не образуют группы произведение двух таких элементов может содержать трансляцию на вектор решетки. Однако, как мы сейчас увидим, классификация неприводимых представлений группы Н , когда вектор к лежит Внутри приведенной зоны Бриллюэна, также проводится по неприводимым представлениям точечной группы. Между представлениями групп и Р. в этом случае можно установить однозначное соответствие. Пусть Г(Л) — матрица представления группы Я, , соответствующая элементу Л = Я . Покажем, что матрицы [c.105]

В этом параграфе мы рассмотрим неприводимые представления одномерной группы трансляций 1. Из (4.33) следует, что г] является абелевой группой с образующим элементом е] . [c.69]

В случае звезды общего типа (38.1) пространственная группа (й) = 5 , т, е. равна группе трансляций. В этом случае допустимые неприводимые представления имеют размерность [c.99]

Заметим, что в (39.15) мы используем вектор трансляции решетки / .(й), так как для любого вектора / .(й) группы Х к) этот результат тривиален вследствие (39.2). Поскольку вектор к известен, равенство (39.15) представляет собой важное ограничение на индекс неприводимого представления и позволяет однозначно определить допустимые представления, которые в последующем будут всегда обозначаться индексом ц — т. [c.103]

Точно таким же образом можно теперь определить ядро представления )( )(/ ) обозначим его через )(/ ). Можно так же рассмотреть и группу Я (Л )- Трансляции, входящие в группу Ш к ), могут либо совпадать, либо не совпадать с трансляциями из группы 9 ( ). Можно, наконец, построить группу Ш к"), соответствующую неприводимому представлению /)( ") (т") в таком случае мы получим три отдельные группы матриц, каждая из которых задает представление совокупности абстрактных элементов 91 (Л), Я (Л ) или 31(Л")- Эти матричные группы несут существенную (не избыточную) информацию о [c.150]

Займемся теперь определением неприводимых представлений пространственной группы ( 1). Заметим прежде всего, что группа трансляций (1-1) определена как набор всех таких, что [c.108]

Очевидно, (14.23) и (14.24) определяют группу порядка 16, со-держащую 10 классов и 10 неприводимых представлений, как показано в табл. 8. Однако для алмаза элементы 64л и I содержатся среди представителей смежных классов только вместе с нетривиальной трансляцией Т1 следовательно, представители смежных классов /2 с поворотной частью, не затрагивающей Х, образуют следующий набор [c.131]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

Обратимся теперь к содержанию последующих глав 4 и 5. Каждая пространственная группа содержит нормальную подгруппу трансляций Поскольку группа X абелева (в действительности является прямым произведением трех циклических групп), ее неприводимые представления и неприводимые линейные векторные пространства одномерны. Неприводимые представления характеризуются волновым вектором к и бло-ховским вектором [21]. Набор допустимых значений к заполняет первую зону Бриллюэна кристалла и характеризует все неприводимые представления группы 3 . [c.49]

Предположим, что представление D пространственной группы разложено на неприводимые представления подгруппы трансляций, т. е. что матрицы представлений, соответствующие трансляциям, диаго-нальны. Выберем в пространстве <т представления D те орты, на которых реализуется одно и то же представление группы Т . Обозначим через линейное подпространство, образованное этими ортами. Если к любому вектору подпространства применить преобразование из группы Я, , то мы опять должны получшъ вектор, принадлежащий представления группы соответствующего вектора. Каждое из подпространств <Т]с, может быть получено из подпространства с помощью операций г. Ясно также, что в каждом из подпространств г, , реализуются эквивалентные представления изоморфных групп Я., . [c.102]

Мы еще должны выяснить вопрос, какие неприводимые представления группы вектора Щ могут реализоваться в пространстве г, . Оказывается, что на возможные неприводимые представления группы Hit должны быть наложены некоторые ограничения. Действительно, в группу волнового вектора входят преобразования трансляций на векторы решетки. По определению все подпространство состоит из собственных векторов трансляций ia с собственным значением ехр г ка). Поэтому матрица представления, соответствующая трансля-1ЩИ, должна иметь вид [c.103]

Нормальные координаты, соответствующие одному и тому же значению волнового вектора, должны преобразовываться по некоторому (приводимому) представлению группы Я, этого волнового вектора. Представление Г, как было показано в главе VIH, при отсутствии несобственных трансляций определяется представлением точечной группы Ffi. Нормальные колебания, преобразующиеся по неприводимому представлению группы F i, должны иметь одинаховую частоту. Найдем представление Г. С этой целью рассмотрим смещения атомов, принадлежащих некоторой фиксированной (нулевой) ячейке [c.110]

В таблицах этого приложения символы и числа слева и над пунктирными линиями ОТНОСЯТСЯ к обычным точечным группам (см. [23], стр. 118—139). Ниже и справа от пунктирных линий даны обозначения неприводимых представлений и характеры соответствующих расширенных точечных групп (гл. I, разд. 1). Для этих точечных групп порядок классов плоскостей симметрии и осей симметрии второго порядка вдвое больше, чем указанный, поскольку обозначения относятся к обычным точечным группам. Сокращенным словом разд. отмечены раздельно вырожденные представления (см. [23], стр. ИЗ). Элемент симметрии В — искусственный элемент симметрии, рассмотренный на стр, 23. Справа в каждой таблице указаны трансляции и вращения, преобразующиеся по данным неприводимым представлениям. Для некоторых точечных групп (скажем, Р), содержащих в качестве элемента симметрии центр инверсии, таблицы характеров не даны в явном виде, так как эти характеры могут легко быть получены из характеров соответствующих групп ( ), не содержащих в качестве элемента симметрии центра инверсии, заменой каждого неприводимого представления на два одного симметричного ( ), а другого антисимметричного (и) относительно центра инверсии. Это соотношение может быть представлено символическим равенством Р = X С,. [c.568]

Полезно заметить (имея в виду изучение в дальнейшем несимморфной структуры алмаза), что в случае симморфной пространственной группы типа каменной соли наиболее экономный способ полного описания неприводимых представлении заключается в задании характеров только представителей смежных классов (чистых поворотов). Для получения характеров общего элемента пространственной группы (включая трансляцию) мы видоизменим (9.16) следующим образом [c.110]

Пространственная группа алмаза Он несимморфна представители смежных классов для нее даны в (8.6). Поскольку группой трансляции, как и для Он, является гранецентрированная кубическая группа 3 , полный набор волновых векторов, для которых ищутся неприводимые представления, а также зона Бриллюэна (фиг. 3) те же, что и для каменной соли. Следовательно, данные табл. 1—3 могут использоваться без всяких изменений. [c.127]

V = иМ. Положение элементарных ячеек в основном кристалле определяется векторами решетки п, пробегающими N значений. Соответственно, имеется N операторов трансляций Т , которые образуют Л -мерную группу трансляций. Эта группа Абелева, поэтому все ее неприводимые представления одномерны. Следовательно, собственные значения операторов трансляции невырождены. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...