Представление группы перестановок

Физический смысл имеют лишь волновые функции тех неприводимых представлений группы перестановок, которые соответствуют схемам Юнга Я , имеющим не более двух столбцов (так, чтобы Я имели не более двух строк, соответственно двум проекциям спина электрона). Кроме того, как показал Вейль, в (1.8) появляются лишь те Я , которые имеют не более т строк. [c.9]

Представление группы перестановок [c.255]

Из общих теорем предыдущего параграфа вытекает, что стационарные состояния составной системы должны распадаться на различные системы — серии термов, которые соответствуют различным неприводимым представлениям группы перестановок. Кроме того, матричные элементы симметричных величин отличны от нуля только, если начальное и конечное состояние принадлежит одной и той же серии термов. Если представление имеет степень 1, то термы не вырождены (случайное вырождение или такое вырождение, которое связано с инвариантностью гамильтоновой функции относительно другой группы, отличной от группы перестановок, мы пока не рассматриваем) собственные функции при каждой перестановке умножаются на численный множитель. В более общем случае, когда представление имеет степень Н, соответствующие уровни энергии /г-кратно вырождены. В соответствующем Л-мерном линейном векторном пространстве собственных функций можно найти базис из ортогональных друг другу и нормированных собственных функций [c.188]

В квантовой теории поля эта связь получила объяснение в теореме Паули. Таким образом, для описания симметрии волновых функций системы тождественных частиц в действительности из всей совокупности неприводимых представлений группы перестановок используются два простейших одномерных представления антисимметричное и симметричное. В дальнейшем, как правило, мы будем иметь дело с системами электронов и, следовательно, с антисимметричными [c.173]

Из формулы (15.12) следует, что функции Рр образуют базис регулярного представления группы перестановок. Напомним, что регулярное представление является приводимым и каждое неприводимое представление порядка I содержится в нем / раз. [c.176]

ТО это число совпадает с числом построенных нами инвариантных подпространств. Отсюда следует, что в каждом из этих подпространств реализуется одно из неприводимых представлений группы перестановок 5 . Будем обозначать эти неприводимые представления символами А а - [c.181]

Покажем, что матрицы р(е)" образуют представление группы перестановок S , т. е. что [c.184]

Мы определили представление группы перестановок матрицами р(е) " и представление группы С матрицами (а)". Базисом этих представлений является базис тензорного пространства, т. е. совокупность га" тензоров, у которых отлична от нуля и равна единице только одна компонента. Будем обозначать орты этого базиса через [c.185]

Перейдем теперь в тензорном пространстве к новому базису, выбрав его таким образом, чтобы представление группы перестановок распалось на неприводимые части. Матрицы приведенного представления мы можем представить в виде [c.185]

Особенно часто приходится иметь дело с симметричной или антисимметричной степенями представлений, т. е. с представлениями Rm a) и A ii...i (a), которые соответствуют тождественному и антисимметричному неприводимым представлениям группы перестановок. Характеры тождественного представления равны единице, Х а 1- Следовательно, для характеров симметричной степени мы получим [c.188]

Характеры представлений группы перестановок вещественны (см. упр. 15.2). [c.194]

Теперь мы должны сделать следующий шаг и найти представление группы перестановок, по которому преобразуется 2я + 1)" -компонентная спиновая функция. Такую спиновую функцию можно рассматривать как тензор п-го ранга в 25 +1-мерном пространстве, поскольку при вращениях трехмерного пространства она преобразуется по закону [c.202]

После этих предварительных рассмотрений мы можем найти выражение для статистического веса / данного уровня. Для этого воспользуемся тем, что тождественное (симметричное) представление группы перестановок содержится только в прямом произведении эквивалентных неприводимых представлений, а антисимметричное представление содержится в прямом произведении неприводимых представлений с транспонированными схемами Юнга (см. главу XVI). Учитывая это, мы получим [c.203]

Пусть "Жм — конечномерное векторное пространство всех форм степени М по переменным . Векторы вида (4.27) с I О I = М образуют базис в пространстве Жм-Представление группы перестановок 7 +1 определяется на пространстве так же, как оно определялось на пространстве Г. Поэтому мы можем опять представить пространство Жм виде [c.55]

Книга адресована читателю, серьезно изучающему молекулярную спектроскопию, и хотя предполагается, что он знаком с основными постулатами квантовой механики, теория групп рассматривается здесь из первых принципов. Идея группы молекулярной симметрии вводится в начале книги (гл. 2) после определения понятия группы, основанного на использовании перестановок. Далее следует рассмотрение точечных групп и групп вращения. Определение представлений групп и общие соображения об использовании представлений для классификации состояний молекул даны в гл. 4 и 5. В гл. 6 рассматривается симметрия точного гамильтониана молекул и подчеркивается роль перестановок тождественных ядер и вращения молекулы как целого. Чтобы классифицировать состояния молекул, необходимо выбрать подходящие приближенные волновые функции п понять, как они преобразуются под действием операций симметрии. Преобразование волновых функций и координат, от которых волновые функции зависят, особенно углов Эйлера и нормальных координат, под действием операций симметрии подробно описывается в гл. 7, 8 и 10. В гл. 9 рассматриваются определение группы молекулярной симметрии и применение этой группы к различным системам. В гл. 11 определяется приближенная симметрия и описывается применение групп приближенной симметрии (таких, как точечная группа молекул), а также групп точной симметрии (таких, как группа молекулярной симметрии) для классификации уровней энергии, исследования возмущений, при выводе правил отбора для оптических [c.9]

Обозначим в молекуле водорода два электрона буквами а и 6 и два протона цифрами 1 и 2. Группой перестановок электронов является группа = Е, (аЬ) , а полной группой перестановок ядер является группа = , (12) . Эти группы изоморфны между собой и каждая имеет два неприводимых представления (см. табл. 5.1), которые обозначим символами rf и Гг" для S2 и г " и Г2" для Электроны являются [c.123]

В системе из большего числа одинаковых частиц могли бы в принципе осуществляться более сложные представления группы перестановок частиц (см. Парастатистика). Однако, как показывает опыт, в системе из произвольного числа тождеств, частиц имеет место симметрия или антисимметрия отвосительно переста-вовки любой пары частиц. Свойство симметрии или антисимметрии оказывается характерным признаком данного сорта частиц. Соответственно все частицы делятся на два класса. Частицы, описываемые симметричными волновыми ф-циями, иаз. бозоиалц, антисимметричными — фермионами. Эмпирически было установлено правило, связывающее симметрию волновых ф-ций тождеств, частиц со значением их спина (т. н. связь спина и статистики). В нерелятивистской К. м. оно было принято в качестве постулата [c.291]

Симметрия (или антисимметрия) волновой ф-цнн относительно перестановки одинаковых частиц является простейшим (одномерным) представлением группа перестановок. В ирияцине математически возможно существование более сложных (многомерных) представлений этой группы (см. Парастатистика). Реальные более сложные типы С. возникают отдельно для координатных (или спиновых) волновых ф-ций одинаковых частиц, когда рассматриваются перестановки только [c.507]

В нерелятивистской квантовой механике волновая функция распадается на произведение двух множи-те.ией, один из которых зависит только от координат, а другой — от спиновых переменных. Ири этом свойства симметрии полной волновой функции налагают онределенные ограпичения на допустимые свойства симметрии координатной и спиновой частей. Нанример, в случае двух электронов симметричной координатной функции должна соответствовать антисимметричная спиновая функция (полный спин равен нулю), и наоборот. В случае большого числа частиц допустимые перестановочные симметрии координатной части волновой функции определяются неприводимыми представлениями группы перестановок. Связь спипа со статистикой моя ет быть иолпостью выяснена только в рамках релятивистской квантовой механики. В этом случае дипамнч. свойства частиц (т. е. структура волнового ур-пия) оказываются существенно зависящими от ее снина (см., напр., Дирака уравнения). [c.299]

II характеризуется рассматриваемой Ю. с.). Ф-ции, различающиеся лишь распределением переменных по строкам одной и той же Ю. с., имеют одинаковую симметрию II при перестановках переменных преобразуются друг через друга, образуя неприводимое представление группы перестановок. Т. о., понятия тип перестаповочной симметрии , схема л Юнга и неприводимое представле- г-гт-нне группы перестановок эквива- лентны. Все возможные разбиения переменных г д. па группы, [c.540]

Рассмотрение вершинных моделей на квадратной решетке начинается в гл. 7 с метода Либа для диагонализации трансфер-матрицы общей шестивершинной модели, удовлетворяющей условию нейтральности. Исследование термодинамики различных моделей сегнетоэлектриков дано схематически, и по этому вопросу следует обратиться к развернутому обзору Либа и Ву. Решение восьмивершинной модели (самосопряженной) описано в гл. 8 и 9, где в основном используется метод Бакстера. Там же интегрируемость трансфер-матрицы или соответствующего гамильтониана с тремя константами анизотропии связывается с существованием тернарных соотношений между матрицами вершинных весов. Эти тернарные соотношения, называемые также соотношениями звезда — треугольник, представляют собой замечательные представления группы перестановок и приводят к существованию коммутирующих однопараметрических семейств операторов,-что, в свою очередь, влечет за собой интегрируемость. [c.10]

Наиболее важными для дальнейшего окажутся следующие результаты. Произвольная спиновая функция <Г2, --,<Гп) может быть разложена по спиновым функциям % а (о 1, о-2, > < п), преобразующимся по неприводимым представлениям группы перестановок своих аргументов. При этом допустимыми неприводимыми представлениями будут лишь те, схема Юнга которых состоит не более чем из двух строк, А = А1,Аг . Компоненты спиновой функции образуют [c.193]

Представление р(е) , как мы показали в предыдущем пункте, разлагается на неприводимые представления, схемы Юнга которых состоят не более чем из двух строк. Согласно доказанной теореме мы теперь можем утверждать, что допустимые неприводимые представления Д д , по которым преобразуются координатные функции, могут иметь схемы Юнга, состоящие не более чем из двух столбцов. Решения уравнения Шрёдингера (17.1), которые преобразуются по другим представлениям группы перестановок, в нашей задаче не имеют физического смысла. [c.195]

Таким образом, классификация собственных значений энергии для решений уравнения Шрёдингера (17.1) по неприводимым представлениям группы перестановок в силу принципа Паули оказалась равносильной классификации по собственным значениям квадрата полного спина. [c.195]

Наметим план решения этой задачи. 1) Определим представление группы перестановок, которому соответствуют решения приближенного уравнения Шрёдингера. 2) Найдем представление группы пере- [c.199]

Возвращаясь к нашей задаче, мы можем сказать, что характер представления группы перестановок, по которому преобразуется рассматриваемая волновая функция, определяется формулой (18.10), а разложение этого представления на неприводимые можно найти с помошз>ю теоремы Фробениуса. [c.202]

Интересно заметить, что хотя само определение статистического веса существенно связано с группой перестановок, статистические веса уровней можно определить без привлечения представлений группы перестановок, рассматривая только точечную группу Н. Действительно, мы могли бы рассуждать следующим образом. Поскольку спиновые фунидаи образуют базис представления для группы перестановок, то тем самым они образуют и базис представлений точечной грутпа Я, являющейся подгруппой группы 5 . Можно легко найти характер этого представления. Пусть перестановка р имеет циклическую структуру ( 102 п)- Отличный от нуля вклад в характер дадут лишь те компоненты спиновой функции, которые при указанной перестановке [c.203]

В заключение этой главы мы коснемся вопроса о собственных значениях полного спина системы, соответствующих данному энергетическому состоянию. Мы видели, что для многоэлектронной системы каждому собственному значению бесспинового уравнения Шрёдингера соответствует определенное собственное значение полного спина. В рассматриваемом теперь общем случае такое однозначное сопоставление не имеет места. Каждому энергетическому уровню будет соответствовать в общем случае несколько собственных значений полного спина. Это связано, во-первых, с тем, что в-тензор п-го ранга, соответствующий неприводимому представлению группы перестановок, преобразуется теперь по приводимому представлению группы вращений. (Неприводимость имеет место только для 5 -тензоров или спиноров.) Во-вторых, так как уравнение Шрёдингера обладает симметрией точечной группы, то по отношению к группе перестановок его решение преобразуется в общем случае по приводимому представлению. Это означает, что в полную антисимметричную (или симметричную) функцию дадут отличный от нуля вклад в-тензоры, преобразующиеся по нескольким неприводимым представлениям группы Поэтому даже при 5=5 [c.204]

Теоретико-групповые методы применяют в спектроскопии атомов и молекул (см. Си.мметрия молекул. Перестановок группа), ядериой физике, ква 1товой теории поля, квантовой мехавшке, физике твёрдого тела, теории ур-ннй матем. физики. В приложениях используют ] Л. обр. теорию представлений групп, т. е. реализаций Г. преобразованиями лине шого пространства. Эта теория позволяет извлекать количеств, следствия из одного лишь факта, что физ. система обладает той или iiHOii симметрией. [c.540]

Следовательно, число разбиений числа пять на целые числа равно семи. Аналогия между этим разбиением числа 5 и видом перестановок каждого из классов в (4.57) очевидна. Так как число неприводимых представлений группы равно числу классов группы, группа S5 имеет семь неприводимых представлений. Аналогичным образом определяется разделение на классы ППИЯ-группы, причем операция Е образует собственный класс. Например, для ППИЯ-группы молекулы H3F [см. [c.63]

Хамермеш [43]. В гл. 7 рассматриваются группы перестановок и их представления. [c.65]

Группа S n порядка п имеет т неприводимых представлений, где т — число разбиений п [см. (4.57) и последующие замечания]. Одно из неприводимых представлений группы Slf называется антисимметричным представлением Г< >(/4) и имеет характер (+1) для всех четных перестановок и (—1) для нечетных. Поскольку электроны являются фермионами и подчиняются статистике Ферми — Дирака (т. е. приьщипу запрета Паули), молекулярная волновая функция должна менять знак при нечетной перестановке электронов. Таким образом, функция Ф может преобразовываться только по представлению Г<- ЦА) группы Как следствие принципа запрета Паули все уровни энергии относятся к типу симметрии Г< >(Л) группы SL , поэтому применение этой группы не дает возможность различать уровни энергии пли выявлять взаимодействия между уровнями энергии. Однако мы еще воспользуемся этой группой в следующем разделе, посвященном симметрии базисных функций. [c.109]

Электронный спин-спиновый гамильтониан коммутирует с операциями группы перестановок электронов Sn и 2" произведений функций типа (6.59) и (6.60) порождают 2"-мерное представление ГЙ группы Это представление легко определяется и, как будет показано ниже на частном примере, может быть разложено на неприводимые компоненты Г,- с помощью соотношения (4.43) вместе с таблицей характеров группы Затем, используя соответствующие проекционные операторы, можно построить из 2" произведений функций их комбинации, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...