Группа вращений трехмерная

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА КОМПЛЕКСНЫМИ МАТРИЦАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [c.52]

В предыдущем параграфе были приведены операторы (6) и (7), представляющие группу вращений трехмерного пространства в виде матриц 3-го порядка, каждая из которых имеет девять компонентов. Матричные операторы группы вращений звеньев [c.52]

Мы назовем точку М пространства моментов регулярной точкой, если разбиение окрестности точки М на орбиты диффеоморфно разбиению евклидова пространства на параллельные плоскости (в частности, все орбиты, близкие к точке М, имеют одинаковые размерности). Например, для группы вращений трехмерного пространства регулярны все точки пространства моментов, кроме начала координат. [c.294]

Если М = 50(3) — связная составляющая единицы группы вращений трехмерного пространства то геодезический поток представляет вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Каждая орбита соответствует какому-нибудь движению. [c.119]

Рассмотрим теперь вращательное брауновское движение. В общем случае поворот частицы описывается тремя углами Эйлера й = а, р, 7 и сферическими функциями Вигнера Пт (а, р, у), образующими неприводимые представления группы Ot трехмерных вращений (см. приложения V, VII). [c.85]

Аналитический метод автора [65 1 по исследованию наиболее распространенных пространственных стержневых механизмов, составленных из двухповодковых кинематических групп с низшими кинематическими парами (вращательной, цилиндрической, шаровой с пальцами, шаровой и винтовой), основан на применении матричных представлений групп вращений и различных приемов аналитической геометрии и кинематической геометрии в трехмерном пространстве. Этот метод может быть распространен на механизмы любой сложности и механизмы с высшими кинематическими парами [69, 70 ]. [c.98]

В этой главе рассматривается геометрическая симметрия некоторых трехмерных объектов для того чтобы дать определение групп вращения и точечных групп. Применение этих групп к молекулам обсуждается только в предварительном порядке. [c.39]

Эти ограничения следуют из того, что поворот вокруг оси на угол е -f- 2я рад идентичен повороту на угол е. Эта группа называется трехмерной группой чистых вращений К и имеет бесконечное число элементов, т. е. является бесконечной группой. Такую группу, элементы которой определяются непрерывно изменяющимися параметрами (в нашем случае — параметрами а, Р, y). называют непрерывной группой. Две другие непрерывные группы вращения — Соо и D . Группа С является группой вращения конуса, а D — цилиндра. [c.42]

Инвариантность гамильтониана относительно вращения следует из того факта, что пространство изотропно. Гамильтониан не меняется при вращении молекулы вокруг любой оси, фиксированной в пространстве и проходящей через центр масс молекулы. Такая операция не меняет расстояния между частицами. Вследствие этого молекулярный гамильтониан инвариантен относительно всех элементов пространственной трехмерной группы вращений К, введенной в гл. 3. [c.102]

Пространственная трехмерная группа вращений [c.106]

Полная группа вращений в трехмерном пространстве имеет конечное число неприводимых представлений. Сферические гармоники, используемые для построения волновых функций для состояний с заданным орбитальным моментом количества движения, являются удобными базисными функциями этих представлений, т. е. 2L-1-1 функций Уш образуют базис представления полной группы вращений. Это представление обычно обозначается Di. [c.136]

Рис. 3.26.1. Трехмерная группа вращения.

Очевидно, его конфигурационное многообразие — трехмерная группа вращений 80(3). [c.119]

Задача. Вычислить операцию коммутирования в алгебре Ли группы Б0(3) вращений трехмерного евклидова пространства. [c.186]

В частности, если V — евклидово трехмерное пространство, а С — группа его вращений вокруг точки О, то значения момента — это обычные векторы кинетического момента если С — группа вращений вокруг оси, то значения момента суть кинетические моменты относительно этой оси если С — группа параллельных переносов, то значения момента — это векторы импульсов. [c.340]

П р и м ер 2. Рассмотрим п свободных материальных точек (г , т ) в трехмерном евклидовом пространстве. Пусть 50(2)—группа вращений пространства вокруг оси, заданной единичным вектором е. Группа 50(2) действуете пространстве положений / (/ X. .. ей соответствует векторное по- [c.94]

Примеры свободное вращение твердого тела и задача трех тел. Рассмотрим сначала задачу Эйлера о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции (см. п. 2.4 гл. 1). Здесь Л1 = Г50(3) =50(3)X/ , группой симметрий О является группа вращений 50(3) ей соответствует пуассонов-ская алгебра первых интегралов, изоморфная алгебре Ли 50(3). Зафиксируем значение кинетического момента и рассмотрим интегральный уровень Мс=Рв<цз) Чс). Нетрудно показать, что при всех значениях с множество Мс является трехмерным многообразием, диффеоморфным пространству группы 50(3). Стационарной группой Ос является одномерная группа поворотов 50(2) твердого тела в неподвижном пространстве вокруг постоянного вектора кинетического момента. Приведенное фазовое пространство Л7е = 50(3)/50(2) диффеоморфно двумерной сфере. [c.110]

Конфигурационное пространство твердого тела с закрепленной точкой — группа вращений 80 (3) трехмерного пространства. Уравнения Эйлера движения твердого тела могут быть записаны как уравнения касательного вектора к геодезической левоинвариантной римановой метрики на 0(3) (метрика задается кинетической энергией тела). Уравнение Эй/.ера движения идеальной жидкости, как показал Арнольд [5], также можно рассматривать как уравнение движения по геодезической. Обобщенным твердым телом (о. т. т.) называется система с конфигурационным пространством —группой Ли О, нулевой потенциальной энергией и кинетической энергией, задающей лево-(или право-) инвариантную метрику на С и равной положительной квадратичной форме на алгебре Ли С( группы [c.312]

Группа вращений 0 (3) ее элементы — преобразования вращения трехмерного пространства или соответствующие им ортогональные матрицы с определителем, равным единице. Это также непрерывная трехпараметрическая группа 9 элементов ортогональной матрицы преобразования связаны, как известно, щестью условиями. Б качестве независимых параметров вращения могут быть выбраны, например, углы (р, в, ф . Полярные углы <р ж в определяют положение оси вращения, проходящей через начало координат. Угол -ф определяет поворот относительно этой оси . Инвариантность относительно группы 0 (3) выражает свойство изотропности (т.е. равноправности направлений) трехмерного пространства. [c.11]

Группа вращений 0 п) состоит из ортогональных матриц га-го порядка с определителем, равным 1. Ясно, что число параметров в этой группе также равно Особый интерес для физических приложений представляет группа 0 (3) трехмерных вращений. [c.119]

К.— К. п. задают координаты в группе вращений трехмерного пространства SO (3). Их введение основано на связи между группой 50(3) и группой SU 2 унитарных матриц 2-го порядка с единичным определителем. Всякий денствит. вектор ж а-3) можно представить эрмитово11 матрицей [c.537]

Длина каждого вектора а является инвариантом относительно полной группы вращения трехмерного евклидового прост- [c.311]

Эйлерово движение твердого тела можно описать как движение по геодезическим на группе вращений трехмерного евклидова пространства, снабженной левоинвариантной римановой метрикой. Значительная часть теории Эйлера связана лишь с этой инвариантностью и потому переносится на случай других групп. [c.283]

В. Прнмер. Пусть G — 80(3) — группа вращений трехмерного евклидова пространства, т. е. конфигурационное пространство твердого тела, закрепленного в точке. Движение тела описывается тогда кривой ё = В t) на группе. Алгебра Ли группы G — это трехмерное пространство угловых скоростей всевозможных вращений. Коммутатор в этой алгебре — обычное векторное произведение. [c.288]

СЯ ДО симметрии, определяемой расположением атомов, окружающих в решетке данный атом. Например, пятикратно вырожденные ( -состояния свободного атома расщепляются при помещении его в кубическую решетку на двукратно и трехкратно вьфожденные. Чтобы показать это, необходимо сначала расширить класс рассматриваемых нами групп, включив в него бесконечную непрерывную группу вращений трехмерного пространства. Учет отражений для наших целей не существен, так что мы ограничимся рассмотрением группы чистых вращений. Теорию представлений непрерывной группы вращений можно построить аналогично теории представлений дискретных групп, которая была кратко изложена выше. Здесь мы ограничимся тем, что приведем один или два простых результата этой теории. [c.46]

Дальше, однако, возникает существенное осложнение. Дело в том, что — в отличие от группы трансляций — группа вращений трехмерного пространства — это группа неабелева. Поэтому нельзя ожидать, что унитарные операторы (90), соответствующие поворотам вокруг различных осей, будут коммутировать. [c.427]

Здесь Г(/) — ортогональный оператор, определяющий переход от системы координат Ох,Х2Хз к системе 01 1 2 з вз — орт оси Ох постоянный в системе координат ОХ]Х2Хз, оператор о х = Г о -угловая скорость системы координат Ох,дусз. Оператор Г принадлежит группе вращений трехмерного пространства и задается матрице. [c.73]

Изотопи еским спином называется оператор, устанавливающий связь между различными элементарными частицами в гипотетическом пространстве изотопического спина. Так, например, протон и нейтрон можно рассматривать как два состояния некоторой частицы нуклона с значениями изотопического спина V2 и —Va- Изотопический спин, являющийся обобщением понятия заряд частицы , можно рассматривать как инвариант представления группы вращений в трехмерном пространстве изотопического спина. [c.912]

Среда является анизотропной некоторого класса, если определяющие соотношения (1.1) и (1.2) инвариантны относительно преобразований, связанных с этим классом анизотропии. В частности, если определяющие соотношения инвариантны относительно полной группы вращения в трехмерном евьслидовом пространстве, то среда называется изотропной. [c.10]

Кроме точечных групп, к молекулам применяются только три группы вращения D2, Doo и К. Группа К используется двояко либо как молекулярная трехмерная группа чистых вращений, которую мы обозначим К(М), или как пространственная трехмерная группа чистых вращений К(П). Группа К(М) состоит нз прап1ений молекулы вокруг всех осей, проходящих через центр масс молекулы и фиксированных в молекуле, а группа К(П) состоит из вращений молекулы вокруг всех осей, проходящих через центр масс молекулы и фиксированных в пространстве. Эти две группы различаются и используются различными способами для классификации состояний молекулы. [c.45]

Все три типа групп, которые мы рассмотрели, — группа молекулярной симметрии, молекулярная точечная группа и молекулярная группа вращений — очень важны для понимания строения молекул и внутримолекулярной динамики. Обсуждая точечные группы, группы вращений, группы перестановок и инверсионную ( ) симметрию, мы отмечали, что они представляют различные виды симметрии. Точечные группы и группы вращения являются группами симметрии макроскопических трехмерных тел эти тела имеют определенную геометрическую (или структурную) симметрию, проявляющуюся в наличии осей вращения и плоскостей отражения. Применение этих двух групп к молекулам основывается на том важном факте, что ядра атомов в молекуле обычно образуют жесткий каркас, который можно представить себе как классическую структуру. Мы можем говорить о равновесной структуре ядер в молекуле H3F как о пирамидальной и можем сказать, что она относится к [c.46]

К имеет неопределенный знак характер является двузначным. Казалось бы, что нельзя составить представления для полу-целого /, пользуясь этими D -i так как имеет место пе D[Pi] D[P2 = D[Pi2], а лишь D[Pi] D[P2] = D[Pi2] [ m. (5.155)]. Такое положение можно устранить, если ввести фиктив-. иую операцию R, которая представляет вращение на 2я, но предполагается, что она не является тождественной. В результате число операций в группе К удваивается. Эту группу обозначим си.мволом и назовем спиновой двойной группой трехмерной группы вращений. В этой группе вращение на угол е + 2я предполагается отличным от вращения на угол е и соотношение (10.61) больше не приводит к неоднозначности в знаке, так как вращения на углы е и е -f- 2л рассматриваются как различные операции. Знак характера матрицы представления с полу-целым / для вращения па угол е -f- 2л противоположен знаку характера этого представления для вращения на угол е это представление является однозначным представлением спиновой двойной группы или так называемым двузначным представлением группы К. Представление D i для целочисленных / имеет одинаковый характер для вращения на углы е и е + 2л и представляет собой однозначное представление (т. е. истинное представление) группы К. В группе вращение на угол е + 4я эквивалентно вращению вокруг той же оси на угол е, а является тождественной операцией. [c.279]

Настоящее приложение состоит из четырех типов таблиц корреляций. Разложение представлений —D спиновой двойной группы трехмерной молекулярной группы вращений К(М) на неприБОднмые представления молекулярных точечных групп Dm и dI дано в табл. Б. 1. Вращательные состояния молекулы типа сферического волчка можно классифицировать по представлениям группы К(М) , соответствующим различным значениям J. Вращательным состояниям молекулы типа симметричного волчка можно приписать типы симметрии S+ (или 2 ), П, Д,. .. группы dL, соответствующие значениям К = 0 при четном J (или К = 0 при нечетном J), /(=1, К = 2,. .. соответственно, а вращательным состояниям молекулы типа асимметричного волчка можно приписать типы симметрии А, Ва, Вь, Вс группы D2, соответствующие значениям КаКс различной четности ее, ео, оо, ое (о — нечетное, е — четное). Рассматриваемое приведение выполнено с использованием табл. 11.1 и 11.2. [c.437]

Множество всех матриц третьего порядка есть девятимерное пространство R . Шесть условий ортогональности выделяют два трехмерных связных многообразия матриц с определителем +1 и —1. Вращения трехмерного пространства (определитель +1) образуют группу, которая обозначается 80(3). [c.74]

Гамильтонпап свободного атома инвариантен по отношению кр всем вращениям и отражениям в пространстве, которые оставляют неизменным положение атомного ядра. Группа оператора Гамильтона представляет собой (бесконечную) трехмерную группу вращений. Вырождения энергетических уровней свободного атома определяются неприводимыми представлениями этой группы. Если атом помещен в узел кристаллической решетки, точечная группа решетки определяет вырождения, индуцированные симметрией энергетических уровней атома. Наиболее важным эффектом, который приходится рассматривать, является, таким образом, расщепление атомных термов во внутрикристаллическом поле. [c.78]

Для нас основным примером будет группа 80(3) — группа поворотов трехмерного евклидова пространства. Она состоит из ортогональных матриц третьего порядка с определителем, равным единице. Произвольная 3 х 3-матрица задается девятью произвольными параметрами. Шесть независимых условий ортогональности выделяют в девятимерном пространстве гладкую регулярную трехмерную поверхность — многообразие 50(3). С топологической точки зрения — это трехмерная сфера, у которой отождествлены антиподальные точки. Легко проверить, что операция умножения матриц будет гладким преобразованием этой поверхности. Как уже отмечалось ( 5 главы I), группа 50(3) — конфигурационное пространство в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.149]

Мы ввели оператор момента чисто абстрактным образом, как совокупноеть (деленных на —г А) генераторов группы вращений обычного трехмерного пространства. Не менее абстрактной была и найденная в предыдущем параграфе реализация этих операторов — операторы рождения и уничтожения а+, р+ и а, р не имели никакой связи с динамическими переменными физической системы, к которой относится рассматриваемый момент. Возникает естественный вопрос о существовании физических реализаций этого оператора, т. е. вопрос о том, можно ли построить операторы со свойствами (91) из основных динамических переменных физической системы, скажем из ее координат и импульсов со свойствами (51). [c.437]

Элементами точечных групп являются некоторые вращения трехмерного пространства, а также вращения, сопровождаемые инверсией. Мы знаем (см. упр. 1.1), что любой элемент группы вращений можно представить как поворот на некоторый угол р вокруг определенной оси. Если грухше принадлежит поворот на угол то ей принадлежит и поворот на угол к<р, где к — произвольное целое положительное или отрицательное число. Поэтому в конечной группе угол <р должен быть рациональной частью 2тг. Если наименьший угол поворота вокруг некоторой оси равен то такую ось называют осью п-го порядка. Преобразование поворота на угол обозначают через С или Ск ( ), где к — единичный вектор, направленный вдоль оси. Ясно, что если группа содержит поворот С , то она содержит также повороты С1, на углы [c.67]

Матрица (11.38) унитарна, и, кроме того, ее определитель равен 1. Легко проверить, что в таком виде можно представить любую унитарную унимодулярную матрицу второго порядка. Отсюда можно сделать вывод, что всякой унитарной матрице второго порядка с определителем, равным единице, соответствует вращение в трехмерном пространстве. Наоборот, всякому вращению трехмерного хфостранства соответствуют две матрицы, элементы которых отличаются знаками. Таким образом, группа вращений 0 (3) гомоморфна группе Зи 2) унитарных унимодулярных матриц второго порядка. [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...