Неприводимые представления прямого произведения групп

Неприводимые представления прямого произведения групп [c.50]

Введем понятие прямого произведения групп и исследуем неприводимые представления прямого произведения. [c.49]

При определении коэффициентов приведения методом полной группы следует предварительно построить таблицы характеров полной группы. Таким образом, мы будем располагать характерами ( Фр р ) каждого элемента пространственной группы для любого неприводимого представления. Тогда разложение прямого произведения двух неприводимых представлений полной пространственной группы на неприводимые составляющие можно выполнить так же, как для любой конечной группы. Коэффициенты приведения для полной группы можно получить прямо из соотношений (55.4) или [c.167]

Таким образом, точечная группа пространственной группы, содержащей инверсию, является прямым произведением группы более низкого порядка на группу четности С,-. Следовательно, неприводимые представления группы делятся на четные и нечетные [c.39]

Принимая BO внимание изоморфизм группы, представляемой парой, первому компоненту пары и правило получения представлений групп, имеющих структуру прямого произведения, можно заключить, что для построения неприводимых представлений всех точечных групп фактически достаточно знание неприводимых представлений только собственных точечных групп. [c.78]

Очевидно также, что она является абелевой. Поскольку трансляционная решетка бесконечна, трансляционная группа имеет бесконечный порядок. Однако введением циклических граничных условий (Борна—Кармана) ее можно преобразовать в группу конечного порядка, но с достаточно большим порядком — Л/1Л/2Л/3 Неприводимые представления группы Т (п) записываются в виде прямого произведения неприводимых представлений групп T( j3j) являющихся циклическими с порядком Nj. Для них [c.150]

Теперь рассмотрим классификацию электронных спиновых функций по неприводимым представлениям пространственной группы К(П). Пара спиновых функций (а, р) электрона с квантовым числом спинового углового момента S = /2 преобразуется по двумерному представлению )( W пространственной группы К (П). [Группа К (П) является спиновой двойной группой для группы К(П), а введение этой расширенной группы К (П) требуется для классификации состояний с полуцелым значением углового момента. Этот вопрос рассматривается более подробно в гл. 10.] Произведения 2" спиновых функций п-электронной системы преобразуются по прямому произведению (g) [c.116]

Прямые произведения неприводимых представлений группы 0,8 >) [c.256]

Прямые произведении неприводимых, представлений длн всех наиболее важных точечных групп [c.578]

Для достижения этих целей необходимо ясно представлять общий план, которому мы будем следовать. Сначала мы кратко изложим общую теорию кристаллических пространственных групп. Далее мы проанализируем следствия симметрии пространственных групп. Эти следствия в большой мере вытекают из предположения о существенном характере вырождения, которое основано на том, что физические состояния системы образуют базис для неприводимых представлений группы симметрии. Поэтому нам потребуется изложить теорию неприводимых представлений групп симметрии, а также теорию функций, образующих базис представлений. Вследствие тесной связи между состояниями системы и представлениями большое внимание уделяется развитию теории неприводимых представлений пространственных групп излагается целый ряд методов, применявшихся в последнее время для нахождения неприводимых представлений. Непосредственным и естественным обобщением этого рассмотрения является получение правил отбора для переходов между состояниями. Для этого необходимо выполнить разложение прямого произведения двух неприводимых представлений на неприводимые составляющие. [c.15]

В нескольких последующих параграфах ( 20—25) рассматриваются неприводимые представления группы трансляций кристалла Обсуждаются основные понятия волновой вектор к, блоховский вектор ф(й), зона Бриллюэна, соотношение полноты и ортонормированности для неприводимых представлений, а также прямое произведение неприводимых представлений группы 5 . Так как является абелевой группой (точнее, прямым произведением трех более простых абелевых групп), математическая теория здесь очень проста. Однако для обсуждения представлений пространственной группы необходимо изложить этот материал в удобной для нас форме. [c.69]

В гл. 6 и 7 анализируется математическая задача определения представлений, содержащихся в приводимом представлении и имеющих вид прямого произведения двух неприводимых представлений. Следовательно, математическая задача в точности совпадает с задачей, рассмотренной в общем виде для конечных групп в 17. Название метод полной группы просто отражает то обстоятельство, что на всех стадиях рассматриваются неприводимые представления полной группы и, соот- [c.134]

Для определенности рассмотрим коэффициенты приведения из (55.4), а именно ( 1 т к т к"т"). Эти коэффициенты возникают при разложении обычного прямого произведения двух различных неприводимых представлений пространственной группы. Рассмотрим пространство (53.5). Типичная функция пространства (53.5) имеет вид [c.142]

Коэффициенты к к к") при 1т = 1т —1 определяют полную размерность всех неприводимых представлений со звездами к" пространственной группы, входящих в разложение прямого произведения неприводимых представлений со звездами к и к (независимо от т и т ). [c.143]

Так как выражение (62.15) дает полную систему характеров для прямой суммы допустимых неприводимых представлений группы к ), то, согласно теореме Машке, эта система характеров приводима. Чтобы подчеркнуть отличие этого случая от рассматривавшихся ранее случаев разложения прямого произведения полных представлений, мы введем специальное обозначение + й, тт I к"т") для коэффициентов приведения для подгрупп. Их определение следует из (62.15) [c.164]

Выполнение расчета методом полной группы включает построение по формулам (37.3) или (49.3) набора таблиц характеров полной группы. Это предполагает, что выполнено приведение в каждой группе к) канонического вектора к каждой звезды. После того как построены таблицы и выполнено разложение, мы получим все неприводимые представления, содержащиеся в прямом произведении 0 < > В общем случае конечный результат содержит полные представления, относящиеся к нескольким разным звездам. [c.168]

Поэтому группа Oh имеет 48 элементов и 10 неприводимых представлений. Пять из них являются прямым произведением матриц неприводимых представлений группы О на матрицы тождественного представления группы I. Эти представления, симметричные по отношению к инверсии, обозначают через А A2 e или Г,-, г = I, 2,..., 5. Остальные пять представлений получаем, умножая представления группы О на антисимметричное представление группы I. Эти антисимметричные по отношению к инверсии представления обозначают через или через Г -, г = 1, 2,..., 5. [c.78]

Этот закон преобразования определяет представление группы вращений, которое является прямым произведением п неприводимых представлений Такое представление мы будем называть спи- [c.145]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

Разумеется, в этом случае группа 91 является прямым произведением группы 91р и факторгруппы 91а/91р. Далее, если для системы матриц неприводимого представления оказывается, что D / (x) принадлежит ядру представления, то [c.129]

До сих пор метод полной группы успешно применялся для получения полного набора коэффициентов для ряда различных симморфных и несимморфных групп. Следует отметить, лто он использовался также для анализа значительно более сложных случаев, чем те, к которым применялся метод подгруппы. Чтобы понимать в равной степени и теорию конечных групп, и общую теорию пространственных групп в целом, необходимо полностью разобраться в методе полной группы, и только тогда применять в специальных случаях метод подгруппы, соблюдая во избежание ошибок известную осторожность. В 53—60 обсуждается структура представлений прямого произведения, полученных вычислением обычного и симметризованного прямого произведения неприводимых представлений пространственной группы. Затем излагается основной принцип построения правил отбора для волновых векторов и звезд. Используя эти правила, можно определить все коэффициенты приведения и тем самым осуществить приведение. [c.134]

Согласно теореме Машке [50], любое представление конечной группы, заданное над полем комплексных чисел, либо неприводимо, либо разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. Это утверждение можно применить к представлениям произведений, рассмотренным в 53 и 54. Нам требуется разложить представление прямого произведения на неприводимые составляющие. Определим коэффициенты полного приведения кт к пг к"т") из основного уравнения, аналогичного (17.4) [c.140]

Напр., в квантовых системах с группой симметрии в собств. ф-ции ф гамильтониана можно классифицировать по неприводимымП. г 6. Теория П. г. позволяет в этом случае установить т. н. правила отбора при рассмотрении процессов перехода из одного состояния в другое. Если процесс перехода задаётся оператором 0 , соответствующим неприводимому П. г. В С, 7,), то переход из яек-рого состояния соответствующего неприводимому П. г. В)(6, 7 ), может осуществляться лишь в те конечные состояния ф.,, представление к-рых Ву содержится в разложении прямого произведения = 2 гПуВу. [c.102]

Такое же вырождение встречается при разложении произведения двух неприводимых представлений в сумму по неприводимым представлениям (ряд Клеб-ша — Гордана, см. Клебша — Гордана коэффициенты). Это разложение в группе 51/(3) может содержать одно и то же представление неск. раз, тогда как для группы 51/(2) ряд Клебша — Гордана содержит каждое представление не более одного раза. Простым примером является прямое произведение двух октетов, в разложении к-рого октетное представление появляется дважды. [c.518]

Неприводимые представления группы К(П) обзначаются через /)( ) (полносимметричное представление), D< >, и т. д. и в общем случае через D<> Матрица операции вращения [а, р, у] в представлении записывается как D( >( [а, Р, v]) и имеет размерность (2/ +1). Строки и столбцы матрицы D< )([a, р, ]) нумеруют по значениям числа /п/ — —/,—/ 4-1,. .., Прямое произведение двух представлений группы К(П) удовлетворяет следующему правилу [c.107]

Тип симметрии группы К (П) для спиновых функций молекулы AaBft Dd... определяется построением прямого произведения с самим собой а раз для ядер А, Ь раз для ядер В и т. д. Тип симметрии полной ядерпой спиновой функции молекулы получается путем перемножения всех этих произведений. Данная ядерная спиновая функция Фпз преобразуется по неприводимому представлению где I — квантовое число полного ядерного спинового углового момента данного состояния. [c.118]

Предполагается, что после прочтения глав 1 и 2 читатель без труда определит элементы группы полной перестановочно-инверсионной группы ядер (ППИЯ) молекулы. Эта группа является прямым произведением полной перестановочной группы ядер (ППЯ) [см. (1.55)] и группы инверсии S = Е, Е . ППИЯ-группа может быть построена для любой молекулы, если известна ее химическая формула. Как было показано в гл. 6, гамильтониан изолированной молекулы при отсутствии внешнего поля инвариантен относительно операций ППИЯ-группы, и в принципе можно классифицировать ровибронные волновые функции и энергетические уровни по неприводимым представлениям этой группы. Однако часто в этом нет необходимости. [c.221]

Рассмотрим образование нелинейной молекулы ХУ2 (точечная группа С ) из атомов X, У и г. Чтобы установить, какие типы молекулярных состояний могут быть получены таким способом, необходимо прежде всего разложить неприводимые представления точечных груни атомов X, и 2 на неприводимые представления точечной группы (Л, используя табл. 58 (приложение IV). Например, если исходные состояния атомов и Рд, как это имеет место в молекуле HNO, то получаются представления М, М" и А Н " -К А" соответственно. Согласно правилам для прямого произведения (табл. 57 приложения III), результирующие молекулярные состояния будут следующих типов А", А и А. Мультиплетность, как и для линейных молекул, получается при векторном сложении векторов >5 [уравнение (111,2)], что в настоящем случае приводит к результирующим значениям спинового квантового числа 3, 2, 2, 1, 1, 0. Таким образом, получаются следующие молекулярные состояпия Ы (2), А",. М (4), М" (2), (4), - А" (2), (2), М". [c.290]

При образовании нелинейной молекулы Х г (точечная группа Сг,) из X и 2 необходимо рассматривать два атома совместно, как двухатомную молекулу, а затем полученные неприводимые представления точечной группы JJ h разложить на иредставления группы Сг и > памятуя о том, что ось второго порядка группы Сги перпендикулярна оси С , группы 7>оо/(. В качестве примера рассмотрим случай, когда атомы находятся в состоянии, а атом X — в зр -состоянии, как это имеет место при образовании молекулы НзО (или нелинейной формы молекулы СНг) из атомов в их основных состояниях. Два атома , согласно правилам Вигнера — Витмера,. дают состояния 2 , и молекулы г, которые при разложении по неприводимым представлениям С гв, согласно табл. 59, дают состояния и 4 2- Рд-Состояние атома X дает при раз.пожении (табл. 58) - - -г Комбинируя состояния молекулы г и атома X (т. е. образуя прямое произведение представлений), получим [c.290]

Если молекула XYZg должна быть построена из атома X и грунны атомов ) YZ2 приближением атома X вдоль оси симметрии YZ2, то необходимо только разложить неприводимое представление состояния атома X на неприводимые представления точечной групны 2v< а затем умножить эти представления на неприводимые представления, которым принадлежат состояния YZ2. Например, если YZ2 есть СНг в ее нижнем синглетном состоянии Ml и X — атом О в основном состоянии Pg, то, как известно (табл. 58), неприводимое представление последнего состояния раскладывается на представления Мг + + "-Sa, прямое произведение которых с представлением Mi группы СНг приводит к трем состояниям молекулы НгСО тина Mg, и (Полученный результат, в частности, показы- [c.294]

Конфигурации с эквивалентными и неэквивалентными электронами. Если в системе имеются как эквивалентные, так и неэквивалентные электроны, то результирующие состояния находятся следующим образом сначала нужно нолучить результирующие состояния для каждой группы эквивалентных электронов, а затем — составить прямое произведение неприводимых представлений, которым отвечают по своим свойствам симметрии полученные состояния. ]1ри определении результирующих состояний можно полностью пренебречь замкнутыми обо.точками, так как они всегда приводят к нолносимметричному синглетному состоянию. [c.341]

Обратимся теперь к содержанию последующих глав 4 и 5. Каждая пространственная группа содержит нормальную подгруппу трансляций Поскольку группа X абелева (в действительности является прямым произведением трех циклических групп), ее неприводимые представления и неприводимые линейные векторные пространства одномерны. Неприводимые представления характеризуются волновым вектором к и бло-ховским вектором [21]. Набор допустимых значений к заполняет первую зону Бриллюэна кристалла и характеризует все неприводимые представления группы 3 . [c.49]

Сравнивая (13.15) с (12.23), мы видим, что в рассматриваемом случае составляющие оператора полного момента количества движения совпадает (с точностью до множителя) с инфинитезимальными операторами прямого произведения представлений и. Поэтому наша задача просто сводится к разложению прямого произведения двух неприводимых представлений группы вращений на неприводимые представления. Применяя правило Клебша—Гордана, мы получаем, что квантовое число Ь может принимать значения /1+ 21 Л + 2 - 1, , 1 1 Собственные функции операторов и согласно (12.28) имеют вид [c.153]

Найти разложение на неприводимне представления симметричной второй и третьей степеней неприводимых представлений группы О. Результаты сравнить с разложением прямых произведений соответствующих представлений. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...