Момент количества движения волчка

Решение. Гироскоп (волчок) имеет ось симметрии . Согласно условию задачи главный момент количеств движения волчка направлен по оси симметрии. Если бы ось была неподвижной, то такое направление кинетического момента являлось бы очевидным. Но основным свойством всякого гироскопа является его способность быстро вращаться вокруг оси при одновременном поворачивании оси вращения. Если угловая скорость со гироскопа вокруг оси очень велика, а угловая скорость tOi, с которой поворачивается ось гироскопа, невелика, то с достаточной точностью можно допустить, что главный момент количеств движения гироскопа относительно точки опоры О направлен по оси симметрии и равен произведению угловой скорости на момент инерции гироскопа относительно оси симметрии [c.229]

Обозначая далее через ji постоянный момент количеств движения волчка относительно вертикали, проходящей через точку опоры, мы получим согласно равенству (7) 33 следующее уравнение [c.137]

Начальный момент количества движения волчка изобразим по величине и по направлению вектором О/И (фиг. 136) так как внешних сил вовсе нет, то момент количеств движения не будет изменяться, следовательно, полюс Ж неподвижен. [c.218]

Величина G sin ZOL равиа проекции момента количеств движения волчка на горизонтальную прямую, лежащую в плоскости ZO . Пусть п — проекция угловой скорости (О на ось ОС. Тогда, так как проекции момента количеств движения на оси ОС и ОА равны соответственно Сп и —Лео sin ОС, непосредственным разложением на составляющие получим [c.178]

Момент количеств движения волчка 176 [c.543]

Диск насажен на ось длины 20 см, расположенную вдоль оси симметрии волчка. Определить угловую скорость регулярной прецессии волчка, полагая, что его главный момент количеств движения равен 1(1). [c.311]

При достаточно большой угловой скорости вращения волчка вокруг его оси направление момента количеств движения будет мало отличаться от направления оси волчка. Скорость [СА, N] горизонтальна, скорость же [СА, Т] будет иметь вертикальную составляющую, и какое бы вращение волчку ни было дано, из-за этой последней составляющей ручка китайского волчка будет двигаться вниз. Волчок перевернется и встанет на ручку. [c.160]

Аналитическое исследование движения волчка основывается обыкновенно на законах энергии и момента количеств движения. Первый зако согласно равенству (6) 33, дает уравнение [c.137]

Уравнение (8.6.4) выражает постоянство момента количеств движения относительно оси Oz (величина его обозначена через 2А к), а уравнение (8.6.5) — постоянство спина, т. е. составляющей угловой скорости вдоль оси волчка (величина его обозначена через п). Мьс будем считать, что и > 0 в большей части случаев, представляющих практический интерес, это число довольно велико. [c.129]

Вращающийся волчок другое решение. Получим теперь результаты предыдущего параграфа другим способом. Будем предполагать, что спин сохраняет постоянное значение п. Тогда, если через и обозначить единичный вектор вдоль оси ОС, то вектор момента количеств движения относительно точки О будет равен [c.130]

Всем известна детская игрушка волчок (юла). Сообщив волчку быстрое вращение вокруг оси, каждый еще в детстве наблюдал необычную устойчивость волчка, стоящего па остром конце своей оси Запустив волчок на лист картона, мы можем подбросить волчок. Волчок во время полета сохраняет направление своей оси и, падая острием на картон, продолжает устойчиво стоять, пока он обладает достаточной скоростью вращения вокруг своей оси (рис. 182). Все эти явления объясняются законами изменения момента количества движения (формула (65.8)), о чем мы скажем Ниже, анализируя законы движения гироскопов. Гироскопом называется симметричное относительно оси вращения тело (обычно диск), совершающее быстрое движение вокруг своей оси. Для выяснения основных законов вращения гироскопа желательно закрепить его [c.239]

Эти явления легко объяснить, исходя из основного закона движения твердого тела, закрепленного в точке. Так как моменты сил трения в подшипниках ничтожно малы и момент силы тяжести относительно точки закрепления равен нулю, то при движении прибора на вращающийся диск не действуют моменты внешних сил следовательно, вектор момента количества движения будет сохранять постоянное значение и неизменное направление в пространстве. Ось гироскопа вначале совпадала по направлению с моментом количества движения, и далее она будет совпадать с ним и сохранять неизменное направление в пространстве. По той же самой причине сохраняет направление своей оси и летящий волчок (см. рис. 182). Во время полета волчок свободен, момент силы тяжести относительно центра масс равен нулю, одна сила тяжести не может изменить вращение тела. Поэтому волчок в полете сохраняет постоянным момент количества движения по величине и направлению. [c.241]

Ось волчка совершает прецессионное движение так, что она остается на поверхности конуса с вершиной в точке А, и вместе с ней совершает движение и вектор момента количества движения 1). [c.246]

Пусть вектор мгновенной угловой скорости вращения волчка направлен по осп симметрии волчка. Вектор момента количества движения К относительно центра масс волчка определяется распределением скоростей и масс точек системы. В случае симметричного волчка вектор К оказывается направленным по оси симметрии волчка. Точка контакта S, расположенная на ножке волчка, проскальзывает по плоскости. Этому проскальзыванию препятствует сила трения, направленная в сторону, противоположную скорости точки S (рис. 199). На основании теоремы об изменении момента количества движения, момент силы трения Ртр относительно центра тяжести поднимает ось волчка. Этот факт хорошо всем известен из наблюдений. Как бы ни был запущен волчок, при достаточно большой скорости вращения его ось стремится принять вертикальное положение. [c.338]

В приложениях мы почти всегда имеем дело с телами вращения, имеющими определенную геометрическую ось фигуры. Мгновенная ось может заметно отличаться от осп фигуры, а также н от оси моментов количеств движения. Вообще говоря, это три совершенно различные прямые, проходящие через неподвижную точку тела их не следует смешивать между собою. Поводом к смешению служит то, что все эти трп линии носят название ось , и случаи такой путаницы довольно многочисленны. Ф. Клейн, который в своей замечательной Теории волчка посвящает одну главу изложению существующей популярной литературы по вопросу о волчках и гироскопах, приводит много примеров такого смешения понятий. Иногда авторы популярных объяснений в начале своих рассуждений под словом ось подразумевают ось фигуры, а в конце уже говорят о мгновенной оси, не замечая этой перемены. Такое смешение понятий отнимает всякую ценность получаемого вывода. [c.209]

Пусть ОА изображает положение оси фигуры волчка для любого мгновения. Разложим угловую скорость вращения и момент количества движения на два направления по оси фигуры ОА и по линии ОМ, к ней перпендикулярной составляющие угловой скорости назовем р, д составляющие моменты будут последние изображены на чертеже отрезками [c.218]

Гироскоп Фуко и доказательство вращения Земли. Рассмотрим движение гироскопа, которому сообщено вращение около оси его фигуры со значительной скоростью. При такой подвеске гироскопа, как на фиг. 134, 135 (а также и для волчка Максвелла, фиг. 133), на гироскоп не могут передаваться никакие силы, кроме незначительного трения и сопротивления воздуха. Гироскоп можно считать движущимся по инерции около подпертого своего центра тяжести, который увлекается Землею при ее вращении. Оставим в стороне поступательное движение гироскопа, одинаковое с движением его центра тяжести, и будем говорить только о вращении гироскопа около центра тяжести. Единственное возможное движение его оси фигуры есть, как доказано в 95, регулярная прецессия около оси моментов количеств движения, которая неизменна. Если в начале движения, при сообщении гироскопу быстрого вращения, ось фигуры не получит никакого бокового толчка, то мы имеем только вращение гироскопа около оси фигуры - тогда эта ось совпадет с осью моментов количеств [c.219]

Более 40 лет назад было установлено, что ядра водорода - протоны имеют собственный спин - момент количества движения, вызванный их вращением. Каждое ядро можно уподобить гироскопу - маленькому волчку, который безостановочно вертится вокруг своей оси. Так как протон обладает электрическим зарядом, то его вращение порождает магнитное поле, т.е. протон - это крошечный магнит со своим магнитным моментом. Когда ядер много, их оси направлены в разные стороны, но стоит только приложить достаточно сильное постоянное магнитное поле, как магнитные моменты протонов устанавливаются параллельно магнитным силовым линиям внешнего поля. Если теперь приложить возбуждающее поперечное электромагнитное поле определенной частоты, магнитные моменты ядер отклонятся подобно тому, как отклоняются оси волчков, если на них надавить пальцем. Вращение при этом не прекратится, только магнитный момент сам начнет вращаться относительно [c.193]

Классическое движение. В сферическом волчке, в отличие от симметричного волчка, мгновенная ось вращения всегда совпадает с направлением полного момента количества движения ). Иначе говоря, молекула совершает простое вращение вокруг неподвижной оси, которая может иметь любую ориентацию по отношению к молекуле. Любая ось, связанная с молекулой, может рассматриваться как ось волчка, и она совершает простое вращение вокруг вектора Р. Составляющая вектора Р по любой оси, закрепленной в молекуле, имеет постоянную величину. Согласно (1,19) частота вращения вокруг такой оси волчка равняется нулю. Неподвижный конус, который рассматривался при изучении движения симметричного волчка (фиг. 7), вырождается в прямую. [c.51]

Классическое движение. Как всегда, полный момент количества движения Р системы при вращательном движении остается постоянным по величине и направлению. Однако в этом случае в молекуле уже нет более такого направления, вдоль которого составляющая вектора Р имела бы постоянное зна- чение (как это имеет место для симметричного волчка). Иначе говоря, в общем 4 лучае не существует связанной, с молекулой оси, которая совершала би [c.55]

Как мы видели ранее, если для перпендикулярного колебания (тип симметрии П) Б линейной молекуле возбужден один квант, то в качестве двух составляющих движения мы можем выбрать либо а) колебания в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, либо б) круговые колебания по часовой стрелке и против часовой стрелки вокруг оси симметрии (см. фиг. 27, а) с моментами количества движения 1== . Если в первом случае молекула вращается, то при колебании в плоскости aJ, параллельной оси вращения, не будет происходить изменения момента инерции молекулы, пока колебания являются гармоническими, так как ядра движутся параллельно оси вращения. Однако для колебания, совершающегося в плоскости а -, перпендикулярной оси вращения, момент инерции относительно оси будет изменяться, так как он слагается из начального момента инерции и момента инерции относительно оси симметрии молекулы (который для смещенной конфигурации молекулы не равен нулю). Таким образом, для двух составляющих колебаний следует ожидать несколько отличающихся между собой эффективных значений постоянной В. Если применять схему б), то при колебании атомов вокруг оси симметрии мы получим по существу такую же картину, как и для молекулы со слегка изогнутой равновесной конфигурацией, т. е. мы получим слегка асимметричный волчок, для которого снято вырождение уровней с характерное для соответствующего симметричного волчка, причем расщепление этих уровней увеличивается с увеличением вращательного квантового числа J (см. фиг. 18). В данном случае К идентично I. Таким образом, согласно любой из схем, а) или б), мы должны ожидать удвоения на основании того, что при смещении атомов молекула становится слегка асимметричным волчком. [c.406]

Фиг. 116, и S показывает, что для каждого составляющего уровня вырожденного колебания имеется колебательный момент количества движения вокруг оси симметрии (независимый от вращения молекулы) и расщепление, возникающее с увеличением числа К, мы можем также рассматривать как следствие взаимодействия момента, обусловленного колебанием с моментом, обусловленным обычным вращением вокруг оси волчка. [c.430]

Согласно квантовой механике, составляющая полного момента количества движения по оси любого симметричного волчка равняется целому (или, при нечетном числе электронов, полуцелому) кратному величины Л/2тг. Так как колебательный момент С,- в общем случае не равен целому кратному Л/2тг, то отсюда следует, что и чисто вращательный момент относительно оси волчка также не равен целому кратному /г/2тг однако сумма обоих моментов имеет целочисленное значение (=Л Л/2тс). [c.431]

В рассмат1)ивасмом случае мо кно, так i o как и и первых днух примерах, не составляя дифференциальных уравнений возмущенного движения, найти три интеграла. Два интеграла определяются сразу — это интеграл энергии и интеграл, соответствующий циклической координате ф (второй интеграл — интеграл моментов количеств движения волчка относительно оси z) [c.63]

Рассмотрим острие волчка, у которого N направлено вверх по оси, в увеличенном виде (рнс. 191). Точка В соприкосновения острия с поверхностью не лежит на оси волчка, поэтому сила трения, приложенная к острию, направленная к нам из плоскости чертежа, дает момент М р относительно центра масс волчка. Момент М р лежит в плоскости чертежа и направлен к вертикали, следовательно, приращение момента количества движения волчка йЛ =Л1 рС также направлено к вертикали и ось волчка стремится стать перпендикулярно к пло- Гочт [c.247]

Теперь рассмотрим, как неизменяемая прямая 0L движется в пространстве под действием приложенной к телу пары сил с моментом Q. Существующий момент количеств движения волчка эквивалентен некоторой паре снл с моменто.м G, ось которой совпадает с прямой 0L. Момент количеств движения, возникающий за вре.мя dt от приложенной к телу пары сил с моментом Q, равен Q dt. Складывая эти пары, видим, что положительная полуось 0L всегда движется к положительной полуоси приложенной пары сил с моментом Q. Помимо этого перманентного движения трех осей, будут происходить и малые колебания, обусловленные движением мгновенной оси вращения вдоль полодии. [c.177]

Для объяснения тонкой структуры Гоудсмит и Юленбек в 1925 г. высказали гипотезу, согласно которой электрон надо представлять себе в некотором смысле похожим на заряженный волчок, вращающийся вокруг собственной оси. Благодаря этому вращению электрон будет обладать собственным моментом количества движения (спином) и магнитным моментом. Если предположить, что проекция спина может принимать только два значения, то тонкую структуру оптических линий можно объяснить как результат взаимодействия магнитного поля, создаваемого орбитальным движением электронов, с магнитным моментом, обусловленным наличием спина. Это взаимодействие несколько различно при разных направлениях спина, благодаря чему происходит расщепление терма на два близких подтерма. При этом количественное согласие с опытом получается в том случае, если [c.59]

Чтобы качественно объяснить движение китайского волчка, используем теорему о моменте количеств движения отнооитель-но центра масс с этой целью присоединим к заданным силам реакции шероховатой горизонтальной поверхности — нормальную реакцию N и силу трения Т и будем мыслить волчок свободным. Относительные движения волчка составляют прецессионные движения, вызванные реакциями N и Т. Скорость конца момента количеств относительного движения поэтому будет [c.160]

Протон, нейтрон, а также большинство атомных ядер обладают не равным нулю спином, т. е. внутренним моментом количества движения. Подчеркнем существенное отличие микрочастиц с ненулевым спином от вращающихся макроскопических волчков. Вращение макроволчка можно ускорить, замедлить и даже остановить. У спина же микрочастицы можно лишь изменять направление, не меняя его абсолютного значения. В частности, спиновое вращение нуклона или легкого ядра нельзя остановить . Однако в средних и тяжелых ядрах, как мы увидим в 7, п. 2, уже начинают проявляться свойства макроскопических волчков. [c.45]

Связи допускают поступательное перемещение волчка в любом горизонтальном направлении. Проекции внешних активных сил на любое горизонтальное направление равны нулю. При этих условиях из теоремы о движении центра масс следует, что центр масс в горизонтальном направлении будет двигаться равномерно и прямолинейно. Не нарушая общности, можно всегда предполагать, что горизонтальная скорость центра масс равна нулю. Освободим систему от связи, введя реакцию N (рис. 198). Тогда из теоремы об изменении момента количества движения системы относительно осей Кёнига получим [c.337]

Первый циклический интеграл (15), который мы получили при пользовании эйлеровыми углами, выражает постоянство проекции на вертикаль ОС главного момента количеств движения—внешними силами, действующими на волчок, являются сила веса и реакция неподвижной точки О, а их моменты относительно упомянутой неподвижной оси равны нулю. При выборе в качестве обобщенных координат углов аир этот интеграл моментов непосредственно (т. е. по выражениям Т и П) не обнаруживается. Учитывая, что проекции главного момента количеств движения на оси полусвязанного триэдра п, п /3 равны [c.359]

Явление диамагнетизма характеризуется отрицательным магнитным моментом. Это можно объяснить наличием орбитального движения электрона и прецессии Лар.мора. Если приложить усилие к оси волчка с целью отклонить указанную ось на некоторый угол от вертикали, волчок, продолжая вращение вокруг своей оси, начнет прецессировать относительно вертикали. Подобное двилсение, которое совершает электрон в атоме, называют прецессией Лармора. Если учесть, что орбитальный момент количества движения электрона Р вызывает магнитный момент, и,ть то в соответствии с формулой (3-2-9) можно написать [c.171]

ПРЕЦЕССИЯ, вращение той из главных осей инерции тела, имеющего одну неподвижную точку О (волчка), к-рая совпадает с осью вращения эллипсоида инерции тела относительно точки О в том случае, если этот эллипсоид представляет поверхность вращения причем если центр тяжести тела лежит на этой оси и если помимо силы тяжести и реакции точки О никакие другие внешние силы к телу не приложены, то вращение оси происходит около вертикальной прямой, проходящей через О если же центр тяжести тела совпадает с О, то вращение оси происходит около прямой, проходящей через главный момент количества движения тела относительно точки О. Пусть имеется твердое тело, к-рое может перемещаться около одной своей неподвижной точки О. Для определения положения рассматриваемого тела в пространстве возьмем две прямоугольные системы осей координат, имеющие одно общее начало в точке О, причем пусть одна пз них ( 1, 2/i, i) будет неподвижной в пространстве, а другая (x,y,z)—подвижной, но неподвижно связанной с перемещающимся телом. Положение последней системы относительно первой, а вместе с тем и положение тела определяются 9 os углов, образован- пях осями х,уу0с осями 1,2/1, Zl, к-рые, как [c.327]

Т акую П. при произвольных начальных условиях совершает закрепленное в центре тяжести симметричное тело (гироскоп), на к-рое никакие силы, создающие момент относительно закрепленной точки, не действуют осью П. в этом случае является неизменное направление кинетич. момента тела (см. Момент количества движения). Симметричное тело, закренленное в произвольной точке его оси симметрии и находящееся под действием силы тяжести (тяжелый гироскоп или волчок), совершает нри произвольных начальных условиях П. вокруг вертикальной оса. [c.196]

Ось волчка (т. е. мектор Р-) вращается (прецессирует) вокруг направления Р, которое остается неподвижным в пространстве. Частота этой прецессии равняется Р / 2тг/н и совпадает с частото вращении двухатомной молекулы, имеющей момент инерции и момент количества движения Р J (см. Моле- [c.35]

Уровни энергии. Квантованные уровни эииргии симметричного волчка выражаются той же формулой, что и уровни энергии двухатомной молекулы (Молекулярные спектры I). Единственное отличие состоит в замене квантового числа Л квантовым числом К, определяющим составляющую момента количества движения по оси волчка ). Таким образом, для термов получаются значения [c.36]

Мы при этом предполагаем, что момент количества движения электронов по оси волчка равен нулю. В отличие от случая двухатомных молекул, теперь постоянная А — величина одного и того же порядка, что и В, так как оба момента инерции /д и 1в обусловлсн1.1 тяжелыми ядрами. Далее, для заданного электронного состояния второ1 член I пыражении (1,20) не является постоянным, а может принимать различные значения, соответствующие различным значениям квантового числа Л. Однако, так как Р, -К является составляющей Р Л, квантовое число К не можег 61,пь больше квантового числа J, иначе говоря, [c.37]

Уровни энергии Согласно квантовой механике, уровни энергии асимметричного волчка не могут быть представлены в явном виде формулой, аналогичной формуле для симметричного во.1чка (1,20). Поэтому мы попытаемся дать сперва качественное представление о схеме уровней энергии. Полный момент количества движения J для заданного уровня энергии, как всегда, имеет постоянную величину и направление. Момент количества движения является квантованной величиной, а именно, может принимать значения, равные [c.57]

В классической механике движения, соответствуюп1,ие одному и тому же значению полного момента количества движения, получаются из движения, изображенного на ф1П. 16, а, если одновременно сдвигать неподвижную плоскость и менять размеры эллипсоида энергии так, чтобы величина 2Г/ ( = Р оставалась постоянной. Согласно квантовой механике из бесконечного числа таких движений может происходить лишь 2У-1-1 соответственно 2У-1-1 положениям неподвижной плоскости и 2У- -1 размерам эллипсоида энергии. При наинизшем положении плоскости (наибольшем расстоянии (1) и наибольшем значении энергии (наибольшем значении 2Т) наибольшая ось эллипсоида энергии перпендикулярна плоскости, т. е. мы имеем простое вращение вокруг оси, которой соответствует наименьший момент инерции. Хотя самый высокий квантовый уровень = 4-У и пе обладает в точности наибольшим классическим значением энергии, мы можем заключить, что этот уровень приближенно соответствует вращению вокруг оси, для которой получается наименьший момент инерции (в предельном случае симметричного волчка, для которого эта ось является осью волчка этот уровень соответствует и изображен в правой части фиг. 17). Точно так же мы видим, что самый низкий уровень -г = — У приближенно соответствует простому вращению вокруг оси, для которой получается наибольший момент инерции К=3 в предельном случае симметричного волчка, у которого эта ось является осью волчка, что изображено -В левой части фиг. 17). [c.58]

Если молекула находится в вырожденном колебательном состоянии (П, А,...), то имеется колебательный момент количества движения 1 к12т ) (/=1, 2,...) относительно оси молекулы, и в этом случае, точно так же как и в случае двухатомных молекул (см. Молекулярные спектры I, гл. III, 2), необходимо применять формулу для энергии симметричного волчка. Следовательно, с точностью до постоянного слагаемого мы имеем формулу [c.399]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...