Коши задача (задача с начальными

Корни алгебраических уравнений 27 Косвенной оптимизации методы 193 Коши задача (задача с начальными условиями) 72, 73 Краевые задачи 72, 93 [c.231]

В теории течения газов фундаментальную роль играют характеристические поверхности соответствующих уравнений, смысл которых заключен в следующем. Поставим, например, в случае стационарного течения для системы (3.1.1) — (3.1.5) с тремя независимыми переменными задачу Коши, или задачу с начальными данными, т. е. на некоторой начальной поверхности [c.78]

Ри Pl- Газы могут быть различными по термодинамическим свойствам, а значения их параметров вполне произвольны. Требуется определить движение газа, возникающее при / > 0. Сформулированная таким образом задача Коши называется задачей с начальным разрывом или задачей о распаде произвольного разрыва. Последнее название связано с тем, что, как показано ниже, начальный разрыв приводит к движению с несколькими распространяющимися по газу в разные стороны волнами—один разрыв распадается на несколько сильных и слабых разрывов. [c.207]

Определение решения системы дифференциальных уравнений движения (52) при заданных начальных значениях координат и скоростей (55) представляет собой пример так называемой задачи Коши. Эта задача, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, при весьма общих ограничениях, накладываемых на правые части дифференциальных уравнений, имеет решение и притом единственное. В теоретической механике могут ставиться задачи и другого тша —краевые задачи. Так, например, можно задать положения точки, соответствуюш,ие двум различным моментам времени t = to и t = t[ при этом система (53) также приведет к шести уравнениям с шестью неизвестными, но, в отличие от задачи Коши, такого рода краевая задача может и не иметь решения, а если будет иметь, то это решение может оказаться не единственным. [c.33]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Проще всего численно решаются задачи с начальными условиями (задача Коши), к которым относятся, например, многие задачи динамики систем с конечным числом степеней свободы. Зная начальные условия — смещения и скорости всех точек в начальный момент времени, а также законы изменения возмущающих сил, можно определить и законы движения системы. [c.446]

Имеется большое количество разнообразных численных методов решения уравнений типа (9.2) [6, 13 и др.], из которых для реализации на ЭЦВМ наиболее удобен метод Рунге—Кутта. Отметим, что для распространенных ЭЦВМ обычно имеются стандартные программы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым уравнение (9.2) приводится обычным приемом [90]. Однако предварительно рассматриваемую краевую задачу необходимо свести к задаче с начальными условиями (задаче Коши). Этот во- [c.66]

Задача с начальными данными для обыкновенных дифференциальных уравнений в данном случае имеет единственное решение. Поэтому анализ корректности задачи Коши (1.1) и (1.2) сводится к изучению того, как зависящее от х возмущение начальных данных (1.2) отражается на решении при любом конечном времени. Взяв его за t рассмотрим поведение возмущений при О < < 1. Начальное возмущение любого параметра (р зададим в виде мелкой ряби [c.486]

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. В задаче Коши дополнитель- [c.72]

Известно (см., например, [12]), что для уравнений теории упругости, определенных во всем пространстве, существуют фундаментальные решения. С помощью последних можно записать решение задачи с начальными условиями (задачи Коши). Таким образом, вопрос о существовании решения может возникнуть лишь применительно к задаче с граничными условиями, причем этот вопрос сводится к следующему правильно ли поставлены граничные условия, т. е. не противоречивы ли они, нет ли среди них несовместных [c.155]

Уравнение (1.11) называется конечно-разностным уравнением, или конечноразностной схемой, или разностной схемой. Разностная задача (1.11)-(1.12) называется разностной задачей с начальными данными, или разностной задачей Коши. [c.7]

Этот вывод подтверждался численным интегрированием системы (9), которое проводилось следующим образом. Решалась задача Коши при у = 0. Инвариантность величин Е п О. контролировалась в процессе счета. Отметим, что наличие в системе регулярных сил приводит к постоянному увеличению частот возникающих колебаний мод соответствующих уровней. Поэтому при интегрировании методом Рунге —Кутта с заданной точностью (автоматический выбор шага) это приводит к очень большому времени вычислений, чего удается избежать при решении задачи с начальными условиями.Можно также задать внешние силы случайными, например, выбрав их распределения вероятности в виде белого шума. [c.215]

Решение задачи Коши для уравнений (1.20) с начальными данными на линии, ас (рис. 3.44) позволяет найти течение в области о/с и, в частности, характеристику первого семейства /с. Решением задачи Гурса для тех же уравнений при известных характеристиках /с и 6с определяется течение в области 6с/. [c.163]

Найти решение задачи Коши для уравнения Г—Я с начальными условиями 5(х, 0)=So(x). [c.272]

Полученное уравнение (8.104) является дифференциальным уравнением второго порядка (исходное уравнение (8.99) было третьего порядка). Для его решения достаточно иметь два условия (следовательно, условие при 2 = сж может быть опущено). Тогда отыскание функции фо сводится к задаче Коши, уравнение (8.104) решается с начальными условиями при [c.300]

Полученная таким способом линейная сеточная краевая задача с постоянными коэффициентами обычно не допускает еще строгого исследования, поэтому производят дальнейшие упрощения, которые приводят к редуцированным краевым задачам, учитывающим лишь некоторые из краевых условий. Далее будем рассматривать простейшую из них — задачу Коши. Таким образом, в вопросе исследования корректности разностной схемы мы ограничимся изучением устойчивости ее относительно возмущений начальных данных. Исследование, проведенное на уровне задачи Коши, позволяет отсеивать многие неустойчивые схемы. Окончательный вывод об устойчивости схемы можно сделать только после ее испытания. [c.85]

Функции Дз (X), (X) и 12 (X) определим как решение задачи Коши для аналогичной системы уравнений с соответственна изменёнными свободными членами и с начальными данными [c.268]

Из выражения (4.19) следует, что если Ра выбрать таким пЛ-разом, чтобы все его элементы, кроме i-ro, были равны нулю, а i-й —единице, то i-й столбец матрицы F равен столбцу Рс. Следовательно, задача отыскания коэффициентов фундаментальной, матрицы фактически сводится к решению 2п задач Коши для системы (4.19) с начальными условиями [c.56]

Уу(х) — результат решения задачи Коши для однородной системы с начальными условиями [c.118]

Задача Коши. Задача Коши (задача о начальных значениях) является наиболее важной. В плоскости х, у задана гладкая дуга АВ (фиг. 71), x — x(s), y=y( s), где s — некоторый параметр, нигде не совпадающая с характеристическими направлениями [c.150]

У( ) = Уо( ) + 1> ( с) рГ>, где Уо (х) — решение задачи Коши для системы неоднородных дифференциальных уравнений (9.34) с начальными условиями Уо ( ) = У ( ) — решения задачи Коши для системы однородных дифференциальных уравнений (9.35) с начальными условиями yj (х) = [c.151]

Заполнение матрицы фундаментальных решений о можно представить так. На участке (S(d, S(2)) одномерной системы решается задача Коши при Hi = H2 = 0 (1.107) при начальных условиях, когда только j-я компонента вектора состояния в первом сечении [X(d , X(n F равна единице, остальные компоненты— нули. В результате интегрирования (1.107) в сечении s = =5(2) получим определенный вектор состояния. Этот вектор заносится как /-Й столбец в матрицу о). Получив решения всех 2п задач с единичными условиями, полностью заполним матрицу фундаментальных решений. Вектор частного решения получается после интегрирования неоднородного уравнения (1.107) при нулевых начальных условиях. [c.33]

Касымов К, А, Асимптотическое поведение решений задачи Коши с начальным скачком для системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производной,— В кн, Уравнения математической физики и функциональный анализ, Алма-Ата Наука, 1966, с, 16—24. [c.252]

И из условий (2.17) для уравнения (2.19) ставится обычная задача Коши с начальными данными [c.52]

Условия Гюгонио дают связь между величинами Д, /2, /з= , /4 и /5 по обе стороны ударной волны, позволяющую поставить две задачи Коши для системы (1.4) с начальными данными на плоскости ударной волны. [c.166]

Пример. На ЭВМ проведен расчет задач Коши для системы (1.4) по обе стороны от I/ = О — плоскости ударной волны с начальными условиями [c.166]

Задача Коши для уравнения (1.1) решалась с помощью сведения уравнения (1.1) к эквивалентной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с независимой переменной t и численного интегрирования для этой системы серии задач Коши с начальными данными, определенными в соответствии с (1.13). Скорость звука в покоящемся газе (7 = 1.4) полагалась равной единице, функция С 2 (р) выражается через W((f) [1] следующим образом [c.325]

Мы воспользовались некоторыми теоремами теории аналитических функций, чтобы наиболее просто обосновать это утверждение, но, в сущности, в этом не было необходимости. При построении комплексных функций напряжений и перемещений должна быть дважды рещена задача с начальными условиями Коши. Вблизи рассматриваемого контура решение задачи Коши, как известно, всегда существует, но его не всегда можно продолжить достаточно далеко вглубь области. Поэтому высказанное выше утверждение относится к любым оболочкам положительной кривизны, независимо от того, можно ли для них решать безмоментную задачу при помощи аналитических функций. [c.268]

Рассмотренный подход к задаче о примыкании установившего ся течения в канале к не стационарному течению в канале с подвижными стенками, разумеется, не будет единственным. В данном подходе имеются следующие возможности можно произвольно задавать форму линий АС и BD в физической плоскости и в плоскости годографа и комбинацию функций в, 6i и 02 вдоль нее, а также распределение скоростей вдоль подвижных стенок канала. Этот произвол позволяет, в частности, рассмотреть вопрос о получении неустановившего ся течения с заданными свойствами (например, можно максимально ускорить стационарный вначале поток в областях АСR, BRD и затем определить соответствующий закон движения подвижных стенок канала). В принципе можно было бы задавать какие-либо дополнительные условия на линиях подвижных стенок канала АР и BQ, решать задачу Коши в областях АРЕ и BFQ и, найдя характеристики АЕ и BF, решать задачу с начальными данными на двух характеристиках в областях AE R и BRDF. [c.68]

Исследуем задачу Коши при z = О для уравнений (1.20), (1.21). Вообще говоря, задача с начальными данными на линии параболичности не корректна ни в гиперболическом, ни в эллиптическом случаях [1Г [c.91]

Для решения задачи Коши для системы (5.7) с начальными условиями, определяемыми из систем (5.8) — (5.9) существует много методов, доведенных до стандартных программ отметим, что экономичные методы решения данной задачи строятся по аналогии со способами, применяемыми в различных вариантах метода сеток. Формулировку метода для параболических уравнений можно найти в книге Стрэнга и Фикса [33]. [c.214]

Задачи (4.16), (4.17) и (4.18) показывают, что применительно к уравнению Лапласа ставятся краевые задачи. Задачу Коши для уравнения Лапласа избегают ставить, поскольку она может оказаться неустойчивой [34]. Задачей Коши применительно к процессам или состояниям, не зависящим от времени, называют з- дачу, в которой на некоторой незамкнутой поверхности S задаются значения искомой функции и ее производных по нормали к поверхности S. Это согласуется с геометрической интерпретацией нестационарной зздачи Коши, областью определения которой является полупространство / > О, а задание начальных условий [c.127]

Расчет нестационарного теплового режима по моделям с сосредо-ш киными параметрами сводится к решению систем уравнений теплового баланса вида (1.2), (1.3) с начальными условиями (1.6), 7, е. к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференци-a.ibiu.ix уравнений первого порядка. В случае линейных уравнений решение удается представить в аналитическом виде при числе уравнений /V < 4. Для нелинейных задач и в случае /V > 4 точное решение в аналитическом виде получить не удается, за исключением некоторых частных случаев. Поэтому при расчетах нестационарных тепловых режимов систем тел широко применяют численные методы, которые мы сначала рассмотрим применительно к одному уравнению вида [c.27]

При расчете методом начальных параметров двухточечная краевая задача для элемента или конструкции из последовательно сопряженных элементов сводится к задаче Коши [2]. Начальные данные для нее определяются из системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком исходной системы дифференциальных уравнений и не зависит от числа элементов в конструкции. Хотя при относительно большой длине оболочек здесь также накапливается погрешность, однако структура метода начальных параметров позволяет, во-первых, анализировать скорость ее накопления и, во-вторых, указать удобный способ снижения этой погрешности до требуемой величины. Анализ численной процедуры метода показьшает, что начальный вектор для задачи Коши всегда получается с машинной точностью. Решение задачи Коши проводится путем последовательного перемножения матриц перехода для элементов конструкции на начальный вектор с получением нового начального вектора. Накопление погрешности происходит на этом этапе расчета конструкции при большой ее длине. Для сохранения требуемой точности расчет конструкции проводится последовательными участками, частично налегающими друг на друга. Длина каждого участка должна не более чем вдвое превышать длину, при которой в мантиссе машинного числа сохраняется достаточное число верных значащих цифр. Расчеты, выполненные на ЭВМ с различной разрядностью чисел, показьшают, что эта длина более чем на порядок превышает интервал которым оценивается качественное различие между короткой и длинной оболочками. При расчете каждого последующего участка используются начальные данные, полученные в расчете предьщущего участка. [c.46]

Решение основной задачи с уравнением вида (1.1) может быть выражено через функцию Грина в квадратурах [59, 60]. Так, в случае задачи Коши для уравнения (1.18) с l = onst и нулевыми начальными условиями решение t x, г) представляется с помощью соответствующей функции Грина (л —л о, т—то) следующим образом [c.20]

Метод матриц перехода. Весьма эффективный численный метод, приспособленный для ЭВМ [14], основан непосредственно на общей теории. Этот метод состоит в вычислении матрицы перехода (монодромии) R и исследовании мультипликаторов как собственных значений этой матрицы. Первая часть алгоритма — построение матрицанта X (/) непосредственным численным интегрированием уравнения (3), например, по методу Рунге — Кутта для этого нужно решить 2га задач Коши с начальными условиями, следующими из (7). Матрица перехода R находится как значение матрицанта в конце первого периода. Другая существенная часть алгоритма — [c.130]

Если решать численно задачу Коши и в качестве начального условия взять распределение параметров в стационарной волне, а в качестве условия на бесконечности за волной — условие отсутствия отражения возмущений, идущих туда вдоль характеристик, то для случаев, когда согласно линейной теории стационарная волна устойчива, волна продолжает распространяться в стационарном режиме. Малые отклонения от принятых начальных данных быстро затухают. Если же проводить расчет для линейно-неустойчивой волны, то вычислительные ошибки используемых конечно-разностных методов служат источником малых возмущений и очень быстро приводят к колебательному режиму распространения волны детонации. На рис. 20 приведен пример такого расчета для модели с одной реакцией первого порядка аррениусовского типа. В этом примере согласно линейной теории имеется лишь одна неустойчивая частота. Численный расчет [c.136]

Наибольшее распространение при решении задач Коши (9.54), (9.55) получили различные варианты метода Рунге—Кутта. Здесь для интегрирования систем вида (9.54) с начальными условиями вида (9.55) используем модификацию Мерсона метода Рунге — Кутта. Решение в точке х h выразим через решение в точке X по формуле [c.155]

После решения смешанных задач в областях A R и BRD находится решение задачи Коши в областях АЕС и BDF, ограниченных характеристиками АЕ, ЕС и BF, FD с начальными данными на линиях АС и BD. В области R OD решается задача с начальными данными на двух характеристиках R и RD. [c.68]

Форма характеристик СS и Si определяется после решения задачи Гурса и построения простых волн в областях S Dd и Si iDidi посредством решения задачи Коши для обыкновенного уравнения (2.6) с начальными данными Oi = О2 = О2 соответственно в точках С и i. [c.104]

ПО Видимому, в случае, когда функции (2.1) аналитические, доказательство сходимо сти ряда (1.10) и рядов для производных можно свести к какому-то аналогу теоремы Коши—Ковалевской. Однако, поскольку мы имеем дело не с обычной задачей Коши для уравнения (1.4), а с задачей, когда начальные данные заданы на характеристичен ской поверхности - = О и дополнительные условия заданы на некоторой нехаракте ристической поверхности в пространстве (р. О, т = (3 t) (р = /3, t) [c.308]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...