Задача Коши начальная характеристическая

Построение решений дифференциальных уравнений для напряжений сводится к решению ряда граничных задач (задача Коши, начальная характеристическая задача, смешанная задача и т. д.). Из решения задачи Коши вытекает, что поле напряжений у границы, свободной от [c.77]

При р=0 мнимые части характеристических показателей совпадают с собственными частотами пластины, которым соответствуют формы колебаний с одной полуволной в направлении оси у. Результаты решения задач Коши с такими начальными условиями показаны на рис. 7.4.2, 6. Первый характеристический показатель обращается в нуль при р =64. Этому Значению параметра нагрузки отвечает статический тип потери устойчивости (дивергенция). Однако при [c.489]

З ача Римана. Это начальная характеристическая задача, в которой в отличие от задачи Коши рассматриваются решения уравнений гиперболического типа у границ, совпадающих с характеристиками (линии скольжения BF и BD на рис. 125, б). В связи с этим в задаче Римана [c.288]

В сетке линий скольжения, полученной решением задачи Коши, находили а-линию, пересекающую прямую ОК под прямым углом. Начиная с этой точки (точки N на рис. 42) в области С ЫОВ решали начальную характеристическую задачу. Напряжения опре- [c.97]

Задача Коши. Задача Коши (задача о начальных значениях) является наиболее важной. В плоскости х, у задана гладкая дуга АВ (фиг. 71), x — x(s), y=y( s), где s — некоторый параметр, нигде не совпадающая с характеристическими направлениями [c.150]

Решение рассмотренных выше краевых задач может быть достигнуто различными способами. В частности, для линеаризованных уравнений (35.2) решения задач Коши и начальной характеристической могут быть представлены в замкнутом виде при помощи функции Римана Однако использование этих решений связано [c.154]

Соотношения (1.6) можно трактовать как начальные данные задачи Коши для уравне ния (1.1) вдоль линии (f ui U2) = 0. Поскольку уравнению (1.1) удовлетворяет функция в, определенная из интеграла Бернулли (1.5), то чтобы получить нестационарное движе ние, необходимо линию ( 1, 2) = О считать характеристикой уравнений (1.1) и (1.2). Запишем уравнения характеристических полосок (см. [8, гл. III]) для (1.1) и (1.2) в виде [c.65]

В теории течения газов фундаментальную роль играют характеристические поверхности соответствующих уравнений, смысл которых заключен в следующем. Поставим, например, в случае стационарного течения для системы (3.1.1) — (3.1.5) с тремя независимыми переменными задачу Коши, или задачу с начальными данными, т. е. на некоторой начальной поверхности [c.78]

При начальном значении = О известна функция б о(х) = 3 х, 0). Необходимо найти 3 х,Ь), 0. Характеристическая система (27.5) тх = = р, р = — и эквивалентна уравнению тх = —V[7. Интегрируя (27.5), находим X = х(х, р, 1), р = р(х, р, ). Решение задачи Коши на траектории частицы 5(х(х, р, ), ) = f t, х, р ) имеет вид [c.288]

В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55 в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [c.21]

Найти характеристическую форму уравнений акустики (5) в случае одномерных движений с плоски.ми волнами. Использовать ее для решения задачи Коши с произвольными начальными данными при I = 0. [c.131]

Итак, в осесимметричном и плоском случаях обратную задачу теории сопла, сводящуюся к задаче Коши, удается разрешить при задании данных Коши на линии тока благодаря наличию двух дополнительных уравнений несмотря на то, что эта линия является характеристикой. Однако в плоском и осесимметричном безвихревом течениях линия тока является вырожденной характеристикой, что и позволяет решить задачу Коши. Иная ситуация имеет место в пространственном течении. В этом случае задание начальных данных только на поверхности тока не позволяет уже разрешить задачу Коши, поскольку поверхность тока является характеристической, а двух дополнительных уравнений и 3-ЬЛ 4-Р уравнений совместности недостаточно для определения параметров течения на следующем слое (следующей поверхности тока), так как на этом слое приходится решать систему уравнений в частных производных [c.34]

Решение этой общей задачи достигается применением преобразования Лапласа к характеристической функции течения. Новая функция комплексного переменного, полученная с помощью этого преобразования, представляется в виде суммы двух функций. Первая функция дает решение задачи Коши — Пуассона по начальному состоянию жидкости, не стесненной пластинами. [c.335]

Задача Коши. Задача Коши (задача о начальных значениях) является наиболее важной. В плоскости х, у задана гладкая дуга АВ (рис. 84), л = л (5), у=у(8), где 5 —некоторый параметр, нигде не совпадающая с характеристическими направлениями и пересекаемая каждой характеристикой только один раз ). На дуге АВ известны функции а = а(5), 9 = 9(5), непрерывные вместе с первыми и вторыми производными. Требуется построить решение уравнений [c.153]

Таким образом, для данного режима построение решения сводится к рассмотрению ряда краевых задач (Коши, начальной характеристической и т. д.). Решение может быть получено применением конечноразностного метода Массо (аналогично задачам плоской деформации, гл. V). Необходимо учитывать возможные разрывы поляТнапряжений. [c.267]

При решении конкретных задач пластического плоского деформированного состояния необходимо, чтобы полученные решения гиперболических уравнений (6.12) удовлотворяли граничным условиям. В связи с этим приходится решать ряд краевых за-дач или задач, сводящихся к краевым. Обычно решают такие краевые задачи 1) начальную характеристическую задачу(за-дача Римана) 2) задачу начальных значений (задача Коши) 3) смешанную задачу. [c.167]

При изучении газодинамических задач важную роль играют характеристические поверхности. Обшая теория позволяет получить характеристические уравнения для систем, описывающих пространственные течения при неравновесных физико-химиче-ских процессах и многофазных течениях. Ниже рассмотрены такого рода течения лишь для случая двух независимых переменных, поэтому остановимся подробнее на этом случае. При этда будем использовать подход, основанный на определении характеристик как линий, на которых нельзя задавать начальные данные при решении задачи Коши. [c.43]

Рассмотрим характеристическую поверхность, касательную к оси г. Все производные по г будут для нее внутренними и в случае постановки на ней начальной задачи Коши, известными. Выводящая из этой поверхности производная от скорости т при этом также определяется (так как из (3.7.3) известна дш[дх), а для производных по л и г/ от давления р и скорости V будем иметь ту же систему уравнений (3.7.2), (3.7.4) (с другой лишь Т1равой частью), что и для плоского течения в плоскости х, у), а следовательно, и те же характеристики = (М —1) Эти -Характеристики будут образующими характеристического ко- [c.107]

НЫ R х ) (задача Коши для гиперболических уравнений на не-характеристической кривой, см. 3.2 и 11.4). Для определения ударной волны в качестве замыкающего условия используем интегральное уравнение энергии (т. е. продольного импульса) (11.6.3а), которое учитывает не только влияние начальных при л = 0 условий, но и граничное условие на теле через работу расширения поршня (сопротивление тела). Это уравнение содержит лишь параметры /С, у и Moot, так как интегралы /к одинаковы для подобных в ударном слое течений. Что касается уравнения (11.6.36), то, если пренебречь в нем величиной /о (па причинам, изложенным в 11.5), оно будет следствием уравнений движения в ударном слое, так как высокоэнтропийный слой почти не дает вклада в поперечный импульс газа вследствие малой плотности в нем. [c.282]

Выше характеристические направления были определены как направления, приводящие уравнения в частных производных к квазиобыкновенным уравнениям каждое уравнение системы содержит производные только по одному из направлений. Отсюда легко вывести другое, весьма распространенное определение характеристических линий это линии, на которых нельзя ставить задачу Коши. Действительно, для получения решения задачи Коши для системы п уравнений в окрестности линии начальных данных необходимо уметь вычислить п выводящих с этой линии производных. Но если линия начальных данных — характеристика, то можно определить лишь п — 1 выводящих производных так как уравнение, содержащее производные вдоль линии начальных данных, использовать нельзя, остается всего п — 1 уравнение. [c.60]

Если на контуре существует прямолинейный отрезок, то его образ в плоскости Л/3 лежит на прямой /3 = /Зо или является точкой. Первое невозможно, потому что при Хф1 с//3/с/Л tga/Л > 0. Предположим второе. Тогда вдоль всего прямолинейного отрезка имеет место /3 = /Зо и Л = Ло. Решая задачу Коши с этими начальными данными, убеждаемся, что течение внутри построенного характеристического треугольника имеет прямолинейные линии тока, параллельные прямолинейному отрезку контура, вдоль которых скорость постоянна, т.е. Л = Х ф), причем Х ф) — [c.239]

Пусть теперь вир заданы на дуге АВ некоторой кривой, которая ни в одной точке не имеет характеристического направления, и нужно определить решение в окрестности АВ (задача Коши). Выберем на АВ ряд точек Л, а, Ь,...,с, СВ (рис. 1.2, а) и проведем через каждую из них характеристики обоих семейств. В точках их пересечения й, е,каким-либо численным методом (см. 3.4) можно вычислить искомые функции. Зная решение в этих точках, можно продвинуться еще на один слой и т. д., пока пе вычислим решение в точке С. Таким образом находится решение, одновременно строится характеристическая сетка. Аналогично определяется решение и в характеристическом треугольнике АВО. Такая процедура возможна лишь при условии существования в области АСВО непрерывного решения. Известно, что существование непрерывного решения квазилинейной системы можно гарантировать лишь в малой окрестности линии начальных данных. Даже при сколь угодно гладких начальных данных в области влияния дуги АВ (область АСВО) могут возникать разрывы. Расчет методом характеристик в этом случае существенно усложняется (см. разд. 3.4). [c.36]

Вторая из математических задач Коши (если бы вектор п однозначно определялся на граничной поверхности) ставилась бы, как это следует из условия п ь = О, на характеристической поверхности и, следовательно, ее формулировка былы бы некорректной решения такой задачи либо вообш,е бы не суш,ествовало, либо если бы решение суш,ествовало, то оно было бы заведомо неединственным. Однако физическое краевое условие не определяет однозначно вектор п, устанавливая лишь только то, что вектор п ориентирован произвольно в касательной к граничной поверхности плоскости. Подобная неопределенность ориентации вектора п на граничной поверхности часто позволяет использовать начальное условие именно второго типа при решении краевых задач математической теории пластичности. Подробное исследование этой ситуации имеется в [ ], с. 242, 243. Однако даже в этом случае, если удается построить поле напряжений, соответствуюгцее ребру призмы Треска, то, как следует из результатов раздела, поле напряжений необходимо будет расслоенным, правда, сама граничная поверхность уже не будет слоем поля п. [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...