Коши задача (задача с начальными условиями)

Корни алгебраических уравнений 27 Косвенной оптимизации методы 193 Коши задача (задача с начальными условиями) 72, 73 Краевые задачи 72, 93 [c.231]

Проще всего численно решаются задачи с начальными условиями (задача Коши), к которым относятся, например, многие задачи динамики систем с конечным числом степеней свободы. Зная начальные условия — смещения и скорости всех точек в начальный момент времени, а также законы изменения возмущающих сил, можно определить и законы движения системы. [c.446]

Имеется большое количество разнообразных численных методов решения уравнений типа (9.2) [6, 13 и др.], из которых для реализации на ЭЦВМ наиболее удобен метод Рунге—Кутта. Отметим, что для распространенных ЭЦВМ обычно имеются стандартные программы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым уравнение (9.2) приводится обычным приемом [90]. Однако предварительно рассматриваемую краевую задачу необходимо свести к задаче с начальными условиями (задаче Коши). Этот во- [c.66]

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Если же условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. В задаче Коши дополнитель- [c.72]

Известно (см., например, [12]), что для уравнений теории упругости, определенных во всем пространстве, существуют фундаментальные решения. С помощью последних можно записать решение задачи с начальными условиями (задачи Коши). Таким образом, вопрос о существовании решения может возникнуть лишь применительно к задаче с граничными условиями, причем этот вопрос сводится к следующему правильно ли поставлены граничные условия, т. е. не противоречивы ли они, нет ли среди них несовместных [c.155]

Этот вывод подтверждался численным интегрированием системы (9), которое проводилось следующим образом. Решалась задача Коши при у = 0. Инвариантность величин Е п О. контролировалась в процессе счета. Отметим, что наличие в системе регулярных сил приводит к постоянному увеличению частот возникающих колебаний мод соответствующих уровней. Поэтому при интегрировании методом Рунге —Кутта с заданной точностью (автоматический выбор шага) это приводит к очень большому времени вычислений, чего удается избежать при решении задачи с начальными условиями.Можно также задать внешние силы случайными, например, выбрав их распределения вероятности в виде белого шума. [c.215]

Найти решение задачи Коши для уравнения Г—Я с начальными условиями 5(х, 0)=So(x). [c.272]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Полученное уравнение (8.104) является дифференциальным уравнением второго порядка (исходное уравнение (8.99) было третьего порядка). Для его решения достаточно иметь два условия (следовательно, условие при 2 = сж может быть опущено). Тогда отыскание функции фо сводится к задаче Коши, уравнение (8.104) решается с начальными условиями при [c.300]

Из выражения (4.19) следует, что если Ра выбрать таким пЛ-разом, чтобы все его элементы, кроме i-ro, были равны нулю, а i-й —единице, то i-й столбец матрицы F равен столбцу Рс. Следовательно, задача отыскания коэффициентов фундаментальной, матрицы фактически сводится к решению 2п задач Коши для системы (4.19) с начальными условиями [c.56]

Уу(х) — результат решения задачи Коши для однородной системы с начальными условиями [c.118]

У( ) = Уо( ) + 1> ( с) рГ>, где Уо (х) — решение задачи Коши для системы неоднородных дифференциальных уравнений (9.34) с начальными условиями Уо ( ) = У ( ) — решения задачи Коши для системы однородных дифференциальных уравнений (9.35) с начальными условиями yj (х) = [c.151]

Пример. На ЭВМ проведен расчет задач Коши для системы (1.4) по обе стороны от I/ = О — плоскости ударной волны с начальными условиями [c.166]

Решение системы с переменными коэффициентами. Представим решение системы (4.5.8) в виде суммы линейно независимых решений задачи Коши с начальными условиями уг k ( i, 2, 0) = [c.75]

При VrQ 7 O К набору начальных данных (4.84) надо добавить параметр Al- Эти все начальные значения составят задачу Коши для системы дифференциальных уравнений (4.78). При = О имеем особую начальную точку, в которой выполняется соотношение (4.82). Отсюда, решая уравнение (4.82), найдем значение параметра Ai. В этом случае задача Коши ставится для уравнений (4.83) с начальными условиями (4.84), дополненными заданием еще одного начального условия a (0) = a o- [c.133]

Задачу (20.12) — (20.14) можно непосредственно решить численным путем, например, интегрируя задачу Коши для уравнения (20.12) с начальными условиями Х (0)=0, х (0)=1- Если потенциал имеет конечный радиус действия, т. е. и (г) = О при г > Ь, то общее решение уравнения (20.12) во внешней области известно и собственное значение Хг определяется из требования непрерывности и х<- У на границе потенциала. Если же действие потенциала распространяется до бесконечности, то собственное значение можно вычислить из предельного соотношения [c.222]

Решая задачу Коши для уравнения (22) с начальным условием г/(0) = 0, распорядимся величиной параметра С так, чтобы у х ) = = — Ке. Тогда в силу (26) условие у х,) = у, будет выполнено автоматически. Таким образом, имеется двухпараметрический класс решений, определенный параметрами Ке, у, или согласно (26) Ке, С. В силу того, что у" (0) = Ке С, при С О и Ке > О жидкость растекается от оси во всей области течения, а при С > О, Ке > О около стенки сугцествует зона возвратного движения, в которой жидкость течет около плоскости к началу координат. С ростом С эта зона расширяется и в пределе охватывает всю область течения. Вблизи конуса формируется сильная струя, которая, несмотря на наличие источников на поверхности конуса, служит стоком для внешнего течения. [c.110]

Задача Коши для уравнения углового движения с начальным условием / (0) = О имеет решение [c.108]

Система (8.43) совместно с начальными условиями и соответствующими зависимостями представляет из себя стандартную задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Ее решение можно получить с помощью численных методов. Основная идея таких методов состоит в разбиении всей длины на участки длиной А1 и последующем численном интегрировании (8.45) на каждом таком участке. Для реализации такого подхода необходимо производить достаточно большое число вычислений, поэтому для инженерных целей в большинстве случаев возможно получение приближенного решения аналогичным способом, но без разбиения L на участки, т.е. при длине участков разбиения А1 = Ь. Для этого представим (8.45) в виде [c.344]

Здесь ги 1) — решение задачи Коши для уравнения (2.19) с начальным условием г )(0) = гио- [c.252]

Таким образом, если мы знаем решение уравнения (7.6) и, следовательно, величину Вь, то можно переформулировать задачу (7.3), (7.4) как задачу Коши, описываемую системой уравнений (7.3) с начальными условиями а (0) = 1, Ь(0) = Вь- Однако решение ее уже не удовлетворяет условию причинности, так как комплексная величина Вь является функционалом ноля ё х) во всей области [c.232]

Рассмотрим задачу Коши для системы (1) при наличии дисперсии частиц по размерам с начальными условиями [c.148]

Рассмотрим задачу Коши для системы (1) в случае дисперсии частиц по скоростям с начальным условием [c.151]

Задачей Коши—Пуассона называют задачу о поверхностных волнах с начальными условиями. Классическая задача, как она описана Ламбом [5], относится к одномерным стоячим волнам в океане бесконечной глубины. Классическая задача едва ли пригодна для изучения цунами, но она проста и может быть использована для ознакомления с основными понятиями. Рассмотрим два различных начальных состояния начальное смещение свободной поверхности при нулевых скоростях и начальное распределение потенциала скорости при горизонтальной поверхности. [c.26]

Подбор ЭТИХ десяти величин осуществлялся автоматически по методу Ньютона. Построение матрицы производных производили путем многократного решения задачи Коши для системы (1.29) с начальными условиями при 7 = 0. Пусть есть значение / при выбранных начальных значениях Разлагая каждую из величин/, в ряд Тейлора относительно точки и оставляя только линейные члены этого ряда, получаем систему уравнений для поправок [c.15]

Мы воспользовались некоторыми теоремами теории аналитических функций, чтобы наиболее просто обосновать это утверждение, но, в сущности, в этом не было необходимости. При построении комплексных функций напряжений и перемещений должна быть дважды рещена задача с начальными условиями Коши. Вблизи рассматриваемого контура решение задачи Коши, как известно, всегда существует, но его не всегда можно продолжить достаточно далеко вглубь области. Поэтому высказанное выше утверждение относится к любым оболочкам положительной кривизны, независимо от того, можно ли для них решать безмоментную задачу при помощи аналитических функций. [c.268]

Для решения задачи Коши для системы (5.7) с начальными условиями, определяемыми из систем (5.8) — (5.9) существует много методов, доведенных до стандартных программ отметим, что экономичные методы решения данной задачи строятся по аналогии со способами, применяемыми в различных вариантах метода сеток. Формулировку метода для параболических уравнений можно найти в книге Стрэнга и Фикса [33]. [c.214]

Расчет нестационарного теплового режима по моделям с сосредо-ш киными параметрами сводится к решению систем уравнений теплового баланса вида (1.2), (1.3) с начальными условиями (1.6), 7, е. к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференци-a.ibiu.ix уравнений первого порядка. В случае линейных уравнений решение удается представить в аналитическом виде при числе уравнений /V < 4. Для нелинейных задач и в случае /V > 4 точное решение в аналитическом виде получить не удается, за исключением некоторых частных случаев. Поэтому при расчетах нестационарных тепловых режимов систем тел широко применяют численные методы, которые мы сначала рассмотрим применительно к одному уравнению вида [c.27]

Метод матриц перехода. Весьма эффективный численный метод, приспособленный для ЭВМ [14], основан непосредственно на общей теории. Этот метод состоит в вычислении матрицы перехода (монодромии) R и исследовании мультипликаторов как собственных значений этой матрицы. Первая часть алгоритма — построение матрицанта X (/) непосредственным численным интегрированием уравнения (3), например, по методу Рунге — Кутта для этого нужно решить 2га задач Коши с начальными условиями, следующими из (7). Матрица перехода R находится как значение матрицанта в конце первого периода. Другая существенная часть алгоритма — [c.130]

Если решать численно задачу Коши и в качестве начального условия взять распределение параметров в стационарной волне, а в качестве условия на бесконечности за волной — условие отсутствия отражения возмущений, идущих туда вдоль характеристик, то для случаев, когда согласно линейной теории стационарная волна устойчива, волна продолжает распространяться в стационарном режиме. Малые отклонения от принятых начальных данных быстро затухают. Если же проводить расчет для линейно-неустойчивой волны, то вычислительные ошибки используемых конечно-разностных методов служат источником малых возмущений и очень быстро приводят к колебательному режиму распространения волны детонации. На рис. 20 приведен пример такого расчета для модели с одной реакцией первого порядка аррениусовского типа. В этом примере согласно линейной теории имеется лишь одна неустойчивая частота. Численный расчет [c.136]

Наибольшее распространение при решении задач Коши (9.54), (9.55) получили различные варианты метода Рунге—Кутта. Здесь для интегрирования систем вида (9.54) с начальными условиями вида (9.55) используем модификацию Мерсона метода Рунге — Кутта. Решение в точке х h выразим через решение в точке X по формуле [c.155]

Рассмотренный подход к задаче о примыкании установившего ся течения в канале к не стационарному течению в канале с подвижными стенками, разумеется, не будет единственным. В данном подходе имеются следующие возможности можно произвольно задавать форму линий АС и BD в физической плоскости и в плоскости годографа и комбинацию функций в, 6i и 02 вдоль нее, а также распределение скоростей вдоль подвижных стенок канала. Этот произвол позволяет, в частности, рассмотреть вопрос о получении неустановившего ся течения с заданными свойствами (например, можно максимально ускорить стационарный вначале поток в областях АСR, BRD и затем определить соответствующий закон движения подвижных стенок канала). В принципе можно было бы задавать какие-либо дополнительные условия на линиях подвижных стенок канала АР и BQ, решать задачу Коши в областях АРЕ и BFQ и, найдя характеристики АЕ и BF, решать задачу с начальными данными на двух характеристиках в областях AE R и BRDF. [c.68]

Rjk — алгебраические дополнения элементов rjk матрицы (4.5.18), ук (жз) — лршейно независимые решения задачи Коши (4.5.8) с начальными условиями yik ( I, 012, 0) = 5гк- Коэффициенты fij являются элементами матрицы (4.5.17). [c.93]

Веяичины (0 ( I = I, 2, 3) удовлетворяют уравнениям относительного движения рассматриваемого объекте по отношению к системе осей Охуг Численное значение этих величмн в момент может быть определено, исходя из знания ориентации системы осей Ох у г при t [o,tJ. При t=tp векторы 5,// также известны. Поэтому задача интегрирования системы уравнениями (5.17) совместно с уравнениями движения заключается в решении задачи Коши с начальными условиями при Решение этой задачи существует при С [о,т]и определяет единственным образом вектор 5( , который совместно с вектором Н дает возможность однозначно определить ориентацию на основании формул (Х.16) - (1.18). [c.81]

Франкль Ф. И., loe. it. См. также Франкль Ф. И., О задачах Коши для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа с начальными условиями на переходной линии. Изв. АН СССР, серия матем., 8, 1944. [c.190]

Наиболее известные из имеющихся результатов отйосятся к изучению бесконечного пространства с начальными условиями (задача Коши), краевых задач для полупространства и некоторых специальных областей, допускающих разделение переменных. [c.312]

Для численного интегрирования дифференциальных уравнений используем представление решения в виде спдайна [17]. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием (задача Коши) [c.424]

Таким образом, решение уравнения переноса энергии сводится к поиску решения системы дифференциальных равнений относительно неизвестных функций д ), которые совместно с начальными условиями образуют задачу Коши. При этом необходимо учесть граничные условия для г. Для решения такой системы уравнений необходимо осуществить выбор базисных функций с учетом требуемой точности расчетов и особеннос- [c.553]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...