Продольные Уравнения частотные

Частотное уравнение. Частотное уравнение составляется так же, как и в задачах о продольных колебаниях. [c.119]

Явление геометрической дисперсии хорошо изучено для случая вытянутых тел, таких, как стержни или слои. Пример распространения гармонической волны в слое рассматривается в приложении Б. Частотное уравнение Рэлея — Ламба для слоя показывает, что можно получить из элементарных теорий, а именно что при малых значениях волнового числа фазовая скорость продольных гармонических волн (симметричных) с изменением этого числа меняется очень мало, в то время как фазовая скорость поперечных гармонических волн (антисимметричных) зависит от волнового числа линейным образом. На малых расстояниях направленно армированный композит в основном работает как система волноводов, и поэтому можно ожидать, что распространение в нем гармонических волн, в особенности поперечных (по отношению к направлению армирующих элементов), сопровождается дисперсией. [c.357]

Определенный интерес представляют некоторые предельные случаи волнового уравнения. В частности, при j,( = fXm, Pf = Pm, т. e. для случая однородной изотропной среды, частотное уравнение упрощается и решениями его являются известные частоты продольных и поперечных волн в неограниченной изотропной среде. При стремлении к нулю, т. е. для волн бесконечной длины, левая часть частотного уравнения распадается на два [c.367]

Следующий пример — линейная система, представляющая собой тонкий прямолинейный стержень. Входом у него является произвольная точка, например, имеющая координату хо = О, в которой задана внешняя случайная сила f(t), выходом —смещение u(t) в другой точке х. В тонком стержне могут возбуждаться три типа волн — продольные, крутильные и изгибные (см. главу 5). Два первых типа (продольные и крутильные) описываются сходными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка. Частотная характеристика для них имеет следующий вид [c.104]

В частных случаях общее уравнение МГЭ (2.23) упрощается путем отбрасывания соответствующих блоков и отдельных уравнений. В качестве примера рассмотрим вывод частотных уравнений МГЭ для поперечных и продольных колебаний отдельных стержней. [c.129]

Рассмотрим формирование частотного уравнения для стержневой системы при продольных колебаниях (рисунок 3.1) [c.130]

В каждом конкретном случае для заданных параметров пружины (г з, с, К, [X и др.) решение можно реализовать с помощью ЦВМ. Наиболее просто такое решение получается для условного шарнирного опирания концов, когда поворот концов разрешен только относительно нормали. На рис. 8 показаны графики частотного уравнения для этого случая [9]. При решении уравнения не учтены инерция поворота сечений проволоки, сжатие и срез проволоки, т. е. параметры, практически не оказывающие заметного влияния на частоту. Две сплошные кривые 1 на рисунке соответствуют двум сериям частот винтового пространственного стержня при г з = 5° две прямые линии 2 и 3 в левой части рисунка соответствуют частотам продольных и крутильных колебаний эквивалентного бруса в правой части штриховыми линиями 4 ц 5 показаны две серии поперечных частот эквивалентного бруса две кривые (ij) = 0) соответствуют частотам кольца в продольном направлении и в собственной плоскости. [c.58]

Колебания составных стержней. При получении частотного уравнения системы, состоящей из нескольких стержней и совершающей продольные колебания, может быть использован метод начальных параметров Коши. Решение (5) для каждого из участков составного стержня можно переписать так [c.192]

В этой главе будем рассматривать пространственное движение идеального тела вращения при спуске в атмосфере. Малая инерционно-массовая и аэродинамическая асимметрии отсутствуют, и на тело действуют только медленно меняющиеся во времени восстанавливающий момент, малые демпфирующие моменты, а также малые моменты иной природы, на которые можно наложить лишь одно ограничение независимость от углов собственного вращения и прецессии (например, малый момент, действующий относительно продольной оси симметрии). Скоростной напор, определяющий частотные характеристики движения, в процессе спуска изменяется на несколько порядков. На большей части траектории спускаемый аппарат совершает высокочастотные колебания, а система уравнений, описывающая его движение, представляет собой одночастотную систему с медленно меняющимися параметрами. Будем считать, что критерий применимости асимптотических методов выполняется на всей траектории спуска. [c.90]

Частотный анализ динамической модели позволяет выявить ее собственные свойства (см. подразд. 2.5). Для этого записываются линеаризованные уравнения свободных колебаний без учета диссипации энергии для подсистем, воспроизводящих как продольные колебания дисков ФС, так и угловые колебания трансмиссии, связанные с колебаниями системы подрессоривания машины. В матричной форме эти уравнения имеют вид [c.324]

Решив исходные уравнения (11) и (12), получим корни к1 частотных уравнений при распространении волн продольных и крутильных (кривые I, 4,5 на рис. 4) [c.22]

Это соотношение представляет частотное уравнение для рассматриваемого случая, откуда можно найти частоты собственных форм продольных колебаний стержня с незакрепленными концами. Уравнение будет удовлетворяться, если положить [c.325]

Как указывалось выше, автоматическая система посадки на авианосец при работе в замкнутом контуре обеспечивает полностью автоматический заход на посадку от момента входа в луч РЛС до приземления посредством управления по углам тангажа и крена самолета в зависимости от отклонений от глиссады и курса как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскости. Изменения угла тангажа и крена осуществляются системой автоматического управления, а управление воздушной скоростью во время маневрирования — автоматом тяги. Поэтому необходимы достаточно удовлетворительные собственные частотные характеристики самолета при наличии системы автоматического управления для получения удовлетворительных частотных характеристик при работе в замкнутом контуре с реализацией уравнений управления автоматической системы посадки. Собственные частоты продольных и поперечных колебаний самолета и коэффициенты демпфирования при разомкнутом контуре определяются путем измерения реакции самолета на ступенчатые команды по тангажу и крену и синусоидальные команды при различных частотах. Потребное демпфирование представляет собой компромисс между плохими вертикальными частотными характеристиками на глиссаде, которые дает система со слишком высокой степенью демпфирования, и плохими вертикальными частотными характеристиками на глиссаде, которые дает система со слабой степенью демпфирования. Эти характеристики замкнутого контура определяются у самолета, управляемого автоматической системой посадки, таким же образом, как и характеристики в незамкнутом контуре. [c.270]

В случае прямолинейного берега продольное волновое число т в размерной форме имеет сомножителем аг, его безразмерная форма обозначалась символом п. В настоящем случае соответствующим параметром служит азимутальное волновое число п/г. На краю шельфа оно равно /г/аг, и в частотном уравнении (3.115) порядок п функции Ханкеля Нп определяется азимутальным волновым числом, причем параметр п принимает только целые значения. [c.137]

Как указано в гл. 2, коэффициент Пуассона входит в качестве параметра в решение частотного уравнения для продольных и изгибных нормальных волн. Большинство металлов имеет коэффициент Пуассона о, лежащий в пределах от 0,25 до 0,40. Некоторые стекла имеют коэффициент Пуассона о = 0,2, а для плавленого кварца о = 0,17. Б пределах этой области максимальный наклон в самой нижней точке перегиба изменяется в 4 раза. [c.538]

Рассмотрим в том же приближении несжимаемой жидкости такое крепление топливоподающего тракта, при котором продольные деформации воспринимаются верхним сильфоном. Полагая в уравнениях (1.7.34) и (1.7.36) Х1 = Х2, получим для Н выражение, совпадающее с формулой (1.4.35) . Если помимо этого пренебречь, как это делалось в четвертом разделе, эффектами, обусловленными сжатием верхнего сильфона (последнее всегда возможно, если л(Х1—Хо) мало), то Р 0 и мы получим использовавшуюся в четвертом разделе частотную характеристику. Если же функция Q в силу тех или иных причин не мала (отметим, что подобная ситу- [c.86]

Гармонический характер колебаний некоторой группы переменных указывает на то, что в системе существует звено или несколь- 0 звеньев, выделяющих из сложного спектра частот, возникающих при прохождении возмущений через нелинейные звенья, одну единственную гармонику. В подобного рода ситуациях принято говорить, что линейная часть рассматриваемой системы содержит элементы, обладающие свойством фильтра, не пропускающего высокие частоты [79]. Поскольку частотная характеристика осциллятора при малых декрементах затухания имеет высокие коэффициенты усиления только вблизи собственной частоты колебаний , в рассматриваемой задаче роль фильтра играет звено, описывающее продольные колебания корпуса [см. уравнение (1.4.26)]. [c.141]

Это—частотное уравнение для рассматриваемого случая, позволяющее вычислить собственные частоты продольных колебаний стержня [c.291]

Это уравнение совпадает с полученным выше уравнением (88) дли Продольных колебаний, и результаты предыдущих выкладок можно использовать в различных частных случаях. Например, в случае вала со свободными концами частотное уравнение идентично уравнению (90) и общее решение будет (см. уравнение (93)) [c.310]

Уравнения внутри каждой группы связаны между собой упругими параметрами, в то время как между группами упругая связь отсутствует. Обе группы уравнений можно решать отдельно. Остановимся на первой группе уравнений. Из уравнений в соответствии с работой [19] выведем выражение для частотного спектра узких пластин, в которых используются продольные колебания, а в соответствии с работой [28] получим выражение для частотного спектра узких пластин с изгибными колебаниями. [c.104]

Выражение (3.165) представляет собой частотное уравнение рассматриваемых колебаний (продольных, изгибных и сдвиговых по ширине). Нормированные частоты П, которые удовлетворяют этому уравнению, а также дисперсионному уравнению (3.152), назовем нормированными резонансными частотами. [c.109]

На рис. 3.13 показаны расчетные нормированные резонансные частоты fio в зависимости от отношения длины и ширины пластины при рассмотрении решений уравнений движения в виде (3.149). На рис. 3.14 приведены аналогичные зависимости для пластины, для которой решение уравнений движения предполагалось в виде (3.150). При этом символы F к Е обозначают соответственно изгибные и продольные колебания. Расчетный и измеренный частотные спектры резонансных частот пластины с ориентацией XY, предназначенной для реализации изгибных колебаний, приведены на рис. 3.15. Частотный спектр изображен как зависимость частотной кон- [c.109]

Для симметричных (продольных) волн, распространяющихся в направлении слоев, развернутая форма частотного уравнения приведена в статье Ахенбаха и Геррмана [5]. [c.367]

В частном случае независящего от частоты коэффициента потерь т)((о) = onst вместо частотно зависимого вязкого демпфирования в некоторых отношениях удобнее непосредственно использовать комплексные жесткости (7.8) или соответствующие комплексные модули упругости, которые в данном случае не зависят от частоты. Подставляя их в волновые уравнения тина (5.7) н (5.33), можно получить легко решаемые уравнения с постоянными комплексными коэффициентами. Панример, уравнение продольных колебаний стержня с частотно независимыми потерями записывается в виде [c.216]

Известно [1], что в силовых гидравлических системах в результате действия демпфирующих сил резонансные максимумы частотных характеристик при продольных колебаниях рабочей жидкости в магистралях существенно уменьшаются, начиная со второго. Рассмотрим одночастотный режим колебаний для случая основного разонанса, пренебрегая в первом приближении влиянием малых гармоник. Пользуясь решением (5) уравнения (4), а также имея в виду малость параметра е, будем считать, что формы колебаний для решения уравнения возмущенного движения с достаточной точностью определяются функциями sin Поэтому решение уравнения (2) с учетом равенств (6) будем искать в виде [c.292]

Анализ уравнений и эксперименты показывают [25], что сила N увеличивает или уменьшает частоту свободных колебаний в зависимости от значений Hq/D и т. Следовательно, одна и та же пружина может иметь амплитудно-частотные характеристики, соответствующие жесткой и мягкой нелинейным системам соударение витков в процессе продольных колебаний предшествует развитию больших перемещений (5 0,2 Н), поэтому нелинейные срывы амплитуд не успевают развиться при достаточном отдалении от ш,,. Одно из колебаний под действием другого делается параметрическим и описывается уравнением Хилла. [c.53]

В волоконно-оптических системах связи, работающих на длине волны 1.55 мкм. чтобы уменьшить действие ДГС, можно идти двумя путями. Во-первых, использовать световоды со смещенной дисперсией (см. разд. 1.2.3), в которых длина волны минимальной дисперсии совпадает с длиной волны минимальных потерь. И, во-вторых, использовать полупроводниковые лазеры, работающие преимущественно на одной продольной моде, так чтобы спектральная ширина источника в непрерывной генерации была ниже 100 МГц [21]. Для таких лазеров в уравнении (3.4.2) под W понимается уже ширина спектра импульса. Если гауссовский импульс не имеет частотной модуляции, то В. Тогда из уравнения (3.4.2) следует, что при L=50km ДГС некритична вплоть до скоростей передачи 10 Гбит/с. [c.74]

Di), где /,, /г — компоненты смещения твердой фазы по радиусу по оси л цилиндра. Функции / , 1% выражаются через функции Бесселя /о (/г,г), i = 1,2, JI (h r), где vi hg — константы, определяемые волновым числом и скоростями распространения соответственно продольных волн I и II рода и поперечных волн. При этом условия обращения в нуль нормальной и касательной нагрузок, а также порового давления, приложенных к боковой поверхности цилиндра, определяют дисперсионное уравнение, которое при незначительном влиянии жидкости в поровом пространстве сводится к известному частотному уравнению Похгаммера [101]. Полное дисперсионное уравнение весьма сложно, в связи с чем подробно исследуются частные случаи низкочастотные и высокочастотные волны в тонких стержнях. [c.142]

Значения к, которые удовлетворяют написанному выше уравнению, дают частоты продольных мод резонатора (послед]гие обозначаются посредством величин р). Из выражений (7.3Р ) и (7.3 ) для и ясно, что вторые два члена в левой части (7.35) из зависят от к, в связи с чем частотный интервал между соседними продольными модами (основная частота биений) зависит только от расстожшя между зеркалами и определяется по форлгуле [c.175]

Изложенный в этом параграфе подход может быть распространен и на более сложный случай, когда массы и пружины прикрепляют к обоим концам стержня. В этом случае, как следует из выражения (г), нормальные функции будут содержать оба ненулевых слагаемых, поэтому частотное уравнение будет иметь больше членов. Кроме того, соотношения ортогональности и нормированности будут содержать члены с массами и жесткостями пружин, прикрепленными к обоим концам стержня, но при этом начальные условия, записанные в нормальных координатах, можно представить в виде, когда они будут определяться только влиянием прикрепленных на концах стержня масс. В качестве упражнения предлагаем читателю получить эти более сложные (но и более общие) выражения, описывающие продольные колебания призматических стержней. Аналогичный с точки зрения математической формулировки случай вала с закрепленными на концах дисками будет обсужден в п. 5.7, а случай предварительно растянутой нити с дополнительными пружинами, препятствующими поперечным перемещениям, будет рассмотрен в п. 5.8. [c.352]

В статьях Л. Е. Огеепзроп а [3.95—3.98] (1958) в постановке трехмерной теории упругости исследуются изгибные неосесимметричные колебания цилиндрической оболочки конечной длины при следующих граничных условиях на торцах О22 = иг=ие=0 и на внешней и внутренней поверхностях Ог0=аг0=0г2 = Р. Такие условия соответствуют случаю, когда края свободны для продольных перемещений и шарнирно закреплены относительно изгибных перемещений. Решения по 0 и 2 выбираются в виде произведения тригонометрических функций так, чтобы граничные условия на торцах удовлетворялись. Условия же на поверхностях приводят к частотному уравнению. Показано, что с увеличением относительной толщины область применимости классической теории смещается все дальше и дальше в сторону длинных волн. Теория типа Тимошенко редуцируется к точным решениям по частотам соответствующим выбором коэффициента сдвига. Необходимо отметить, что наличие коэффициента сдвига является недостатком теории, так как лишает возможности сделать какие-либо оценки. Кроме того, по фазовым скоростям нельзя судить об аппроксимации деформированного и напряженного состояния. Например, в работе [3.96] для толстой оболочки /г// =0.7 построено распределение перемещений и напряжений по толщине. Видно сильное отклонение от предположений теории оболочек о линейном распределении перемещений и напряжений и сггг=0- [c.203]

А. Kalnins [3.1171 (1961) уточнил соотношения, полученные в своей предыдущей работе, применительно к исследованию неосесимметричных колебаний упругих сферических пологих оболочек введением продольной и поперечной инерции, а также поперечного сдвига, с целью расширения пределов применимости теории по частотам и толщинам по сравнению с классической теорией оболочек. Задача приведена к трем независимым дифференциальным уравнениям относительно прогиба и двух функций, определяющих перемещения вдоль линий кривизны. Приведено решение этой системы и рассмотрены свободные колебания оболочки, защемленной по краю. Частотный спектр пологой оболочки подразделяется на три части, которые соответствуют трем доминирующим формам колебаний сдвиговая по толщине, продольная, поперечная. [c.208]

Для целой исследования линий задержки решения частотных уравнений Похгаммера — Хри удобно представить в форме графиков безразмерной задержки Fo/i/ в зависимости от безразмерной частоты (i//Fo, где (, = УЕ р — стержневая скорость, и — групповая скорость, с1 — диаметр и / — частота. График зависимости задергкки от частоты для коэффициента Пуассона а = 0,33, полученный Меем [7, 46], показан на фиг. 181, Поскольку при возбуждении продольных колебаний появляются также изгибные колебания, которые нежелательны, при исследовании линий задержки необходимо рассмотреть оба этих семейства упругих волн. [c.522]

Теория распространения продольных волн в бесконечном круглом цилиндре, приводящая к частотному уравнению Похгаммера — Хри, применима для случая прямой проволоки. Так как длина реальных линий задержки обычно составляет несколько метров, чтобы создать конструкцию приемлемых размеров, приходится свивать проволоку в плоскую или пространственную [c.532]

Нетрудно видеть, что полученная совокупность уравнений имеет ту же структуру, что и система уравнений (1.7.57), а их число равно числу дополнительных переменных. Это позволяет так же, как и в предыдущем случае, вычислять частотную характеристику, связывающую колебания, приложенные к узлам крепления с продольными колебаниями корпуса, используя расщиренную систему уравнений (1.7.57). [c.101]

Следует отметить, что решению задач, связанных с динамикой ЖРД, например таких, как определение амплитудно-фазовых частотных характеристик (АФЧХ) двигателя, исследование устойчивости рабочих процессов в ЖРД, исследование продольных колебаний корпуса ракеты и т. п., также предшествует составление нелинейной системы уравнений двигателя, которая затем линеаризуется относительно какого-либо интересующего нас установившегося режима. Кроме того, от нелинейной системы уравнений легко перейти к статической системе уравнений, с помощью которой производится энергетическая увязка параметров, настройка двигателя и т, д. [c.33]

Черлинский [475] также дает решение характеристического уравнения для бесконечно длинных щ1линдров, полученное из общего уравнения колебаний. Для области длин волн порядка диаметра цилиндра (проволоки) Черлинский установил, что с повышением частоты скорость распространения должна уменьшаться. Он экспериментально измерил ход дисперсии для тонких проволок из различных материалов, не обнаружив при этом наличия мертвой зоны . Частотную зависимость скорости распространения продольных волн для металлических стержней прямоугольного сечения исследовал Морз [c.385]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...