Уравнения движения в независимых координатах

Метод Рауса заключается в одновременном исключении циклических координат из уравнений Лагранжа второго рода, при этом число уравнений движения в независимых координатах понижается на число исключенных циклических координат. Предположим сначала, что все обобщенные координаты позиционные. Тогда функция Лагранжа будет функцией всех обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени /, т. е. [c.110]

Частица движется по поверхности в потенциальном поле U = U x). Найти лагранжиан и уравнение движения в независимых координатах. [c.80]

Положим, что данная материальная система голономная, т. е. не имеет неинтегрируемых связей ( 166), и что, следовательно, все её связи можно считать конечными. Допустим, кроме того, что активные силы, приложенные к системе, имеют силовую функцию U (которая может содержать явно время). Тогда за уравнения движения рассматриваемой системы можно принять уравнения движения в независимых координатах в форме (32.48) на стр. 332 [c.360]

Структура уравнений движения в независимых координатах и функция Лагранжа [c.229]

Уравнения (10) удобнее уравнений движения в декартовых координатах, потому что они позволяют решить задачи об определении закона движения точки и реакции связи независимо друг от друга. В самом деле, первое из уравнений (10) не содержит неизвестной реакции и позволяет определить путем интегрирования скорость точки и закон движения этой точки вдоль заданной кривой, т. е. 5 как функцию от I, а два другие служат для определения составляюш,их и N , неизвестной реакции связи и, следовательно, самой реакции связи. Однако уравнения в декартовых координатах могут быть получены и без предположения о стационарности связи, а поэтому они являются более общими. [c.483]

Приложение теории последнего множителя Якоби к уравнениям динамики в независимых координатах. Применим полученные результаты к уравнениям движения. Положим, что все связи рассматриваемой материальной системы конечны ( 161), а приложенные к ней силы не зависят явно от скоростей тогда гамильтоновы уравнения движения будут следующие [формула (33.21) на стр. 346] [c.434]

Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа с реакциями-связей дают возможность найти и положение точек системы, и реакции связей как функции времени. Однако на практике часто не нужна столь подробная информация о механической системе, а требуется найти лишь закон движения точек по связям. Для разрешения таких задач необходимы уравнения движения, которые в качестве неизвестных содержат только независимые координаты. С другой стороны, эти уравнения должны полностью учитывать влияние связей на систему. Такие уравнения существуют и называются уравнениями Лагранжа в независимых координатах (или уравнениями Лагранжа второго рода). Значение этих уравнений не исчерпывается применением к указанному типу задач. Если требуется определить реакции связей, зачастую проще с помощью уравнений Лагранжа второго рода определить закон движения системы, а затем с помощью уравнений Лагранжа первого рода найти реакции связей. Уравнения Лагранжа второго рода имеют большое значение и для свободных систем. В этом случае они [c.214]

Строгое преобразование от уравнений движения в произвольных независимых координатах к уравнениям движения в главных координатах 0 см. в приложении 6.2. [c.275]

Лагранжева формулировка уравнений движения полезна для описания континуальных консервативных систем в той же мере, что и для систем сосредоточенных масс, в особенности для уравнений движения в криволинейных координатах. Для системы частиц с п степенями свободы уравнения Лагранжа представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых время является независимой переменной. Функция Лагранжа в общем случае зависит от п обобщенных координат и от их производных по времени (обобщенных скоростей). Для континуальной консервативной системы, частным случаем которой является упругое тело, уравнения Лагранжа представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных по времени и по трем пространственным координатам в большинстве случаев все три уравнения независимы. Функция Лагранжа в них зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей и от производных от обобщенных координат по пространственным переменным. Конкретная форма уравнений зависит от системы координат, к которой отнесены пространственные производные. Простейшая форма имеет место в том случае, когда применяется декартова система координат [c.87]

Используя теорему 7.1.1, можно построить систему дифференциальных уравнений движения, в которой искомыми переменными будут лагранжевы координаты и которые будут учитывать действие дополнительных дифференциальных связей. Эти связи мы будем предполагать независимыми, так что после очевидных преобразований и соответствующей перенумерации переменных уравнения связей можно представить в виде [c.526]

Приступая к выводу дифференциальных уравнений движения голономной системы в независимых координатах i,... мы будем исходить из общего уравнения динамики [c.47]

Причина неодинакового значения обоих принципов состоит в том, что принцип сохранения энергии, примененный к конкретному случаю, дает одно-единственное уравнение, тогда как для полного изучения движения необходимо столько уравнений, сколько имеется независимых координат, следовательно, для движения свободной точки три, а для движения сферического маятника два уравнения. Принцип же наименьшего действия в каждом случае дает как раз столько уравнений, сколько имеется независимых координат. Принцип наименьшего действия способен охватить большое количество уравнений в одном-единственном положении, потому что он в противоположность принципу сохранения энергии является вариационным принципом. Из бесчисленного количества движений, возможных в рамках наложенных условий, принцип наименьшего действия с помощью простого отличительного признака выхватывает совершенно определенное движение и характеризует его как действительно имеющее место в природе. Этот признак заключается в том, что при переходе от действительного движения к любому бесконечно близкому возможному движению, точнее, при каждой, совместимой с наложенными условиями, бесконечно малой вариации действительного движения, характерная для вариации определенная величина обращается в нуль. Из этого условия следует, как и при всякой проблеме максимума или минимума, особое уравнение для каждой независимой координаты. [c.581]

Уравнения движения системы в независимых координатах (уравнения Лагранжа второго рода). Если неинтегрируемые дифференциальные связи отсутствуют и координаты q независимы, т. е. Ь [c.331]

Приложение теорий последнего множителя к уравнениям несвободного движения, содержащим множители связей. Задача интегрирования уравнений несвободного движения, содержащих множители связей, значительно сложнее подобной же задачи, относящейся к уравнениям в независимых координатах тем не менее, теория последнего множителя Якоби может и здесь оказать свою помощь. По предыдущему, для того чтобы упомянутая теория могла быть приложена с пользою, нужно знать наперёд, до окончания интеграции, хотя одно значение множителя данной системы. Во избежание длинных выкладок- мы ограничимся [c.436]

В предыдущей главе мы видели, что интегрирование системы уравнений в независимых координатах может быть заменено интегрированием одного уравнения в частных производных. Естественно возникает вопрос, нельзя ли и для уравнений движения с множителями установить подобную же связь с некоторым уравнением в частных производных при этом можно, конечно, заранее ожидать, что, с одной стороны, интеграция этого уравнения в частных производных введёт лишние постоянные, а с другой — даст что-либо имеющее отношение к реакциям связей. Решением поставленного вопроса мы и займёмся в настоящей главе. [c.462]

Дискретные динамические уравнения движения для каждого узла i в проекциях на неподвижную систему координат следуют из (4.4.5) с помощью выделения независимых вариаций бу , путем использования конкретных формул для выражений (eas)e, через i . Запись дискретного вариационного принципа (4.4.5) автоматически обеспечивает диагональный вид матрицы масс в форме матричной записи системы уравнений движения. В МКЭ прп решении динамических задач также применяется упрощенная процедура счета с диагональной матрицей масс [37, 208]. Однако в общем случае необходима специальная подпрограмма обращения и хранения согласованной матрицы масс, которая в МКЭ диагональной не является. [c.97]

Проинтегрировав уравнения движения, получим выражения координат ж, у, Z в зависимости от а, Ъ, сж а, Ъ, с, В силу этого мы можем а, Ь, с, входящие в выражение функции V, заменить их выражениями через а, Ь, с ш конечные значения координат х, у, ги считать, таким образом, что V есть функция независимых переменных, t, h, а, Ь, с, х, у, z. Установив такой взгляд на функцию V, получаем из равенства (7) следующие формулы для ка/кдой точки движущейся системы [c.10]

Для определения траектории движения в полярных координатах перейдем в этом уравнении от независимой переменной I к полярному углу ф. [c.103]

Уравнения (1.15) вместе с уравнениями (1.4) образуют совместную систему /с + п дифференциальных уравнений движения первого порядка каждое с таким же числом неизвестных 771,..., 77/ , xi,..., Отметим, что уравнения (1.15) в избыточных координатах не содержат реакций связей (1.1) и имеют один и тот же внешний вид как в независимых координатах (п = /с), так и в зависимых координатах (77, > к). [c.10]

Ввиду большой общности этих уравнений выведем сначала дифференциальное уравнение, которому подчинена независимая координата какой-либо простейшей системы, например математического маятника. Так называется тело достаточно малых размеров, подвешенное на стержне (или нити) исчезающе малой массы и постоянной длины I и совершающее движение в вертикальной плоскости (в точке подвеса трением пренебрегается). [c.215]

Три точки одинаковой массы т жестко скреплены с прямым стержнем исчезающей массы и длины I первая и третья на концах стержня, а вторая — посередине (рис. 8.3). Все точки обладают одинаковым по величине электрическим зарядом первая и третья — положительным, а вторая — отрицательным. Эта молекула движется в неподвижной плоскости, параллельной напряженности < постоянного однородного электрического поля. Найти уравнение движения молекулы в независимых координатах и реакции стержня. [c.345]

Таким образом, уравнениями плоскопараллельного движения тела являются уравнения (8.50) и (8.52). Что касается уравнений в независимых координатах, то они будут определяться функцией Лагранжа вида [c.359]

Полученные уравнения являются уравнениями движения в плоскости годографа скорости (в полярных координатах и и 0). Эти уравнения линейны, так как коэффициенты при производных являются функциями только независимых переменных. Таким образом, исключительная важность метода С. А. Чаплыгина заключается в том, что преобразование уравнений движения к плоскости годографа скорости точно линеаризует нелинейные уравнения движения газа в физической плоскости течения. [c.404]

Подчеркнем отличительные особенности предложенного описания. Уравнения движения составляются независимо от вида расчетной схемы по общепринятой методике аналогично тому, как это делается для линейных рядных многомассовых систем. При моделировании системы с зазорами может учитываться величина контактной жесткости соударяющихся тел. Так как в качестве независимых координат принимаются только перемещения соседних масс, точность решения задачи повышается, поскольку исключается вычисление малой разности больших величин. Это особенно важно при определении динамических нагрузок [c.129]

Ввиду того, что обобщенные силы не зависят от положения тела в пространстве, координаты (Хо,> о,7о,0, 1/,ф) являются циклическими. Это позволяет рассматривать динамическую часть уравнений движения в качестве независимой подсистемы [102, 118, 163, 174]. [c.239]

При исследовании движения связанных механических систем, как об этом указывалось в 25, наиболее широко используются дифференциальные уравнения движения в обобщённых (или независимых) координатах, получившие название уравнений Лагранжа второго рода (в дальнейшем мы будем называть их просто уравнениями Лагранжа). Эти уравнения замечательны тем, что не содержат явно неизвестные силы реакций связей, что существенно упрощает решение основной динамической задачи, связанной с движением несвободной системы, — отыскание и исследование законов ее движения. Большое значение уравнения Лагранжа имеют также и для динамики свободных систем, по отношению к которым они являются уравнениями движения в произвольных криволинейных координатах. [c.159]

XXXII. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В НЕЗАВИСИМЫХ КООРДИНАТАХ (УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [c.320]

Уравнения Лагранжа (14) образуют систему из я обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с п неизвестными функциями qi от независимого переменного t. Порядок этой системы равен 2я. Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голоном-ной системы с я степенями свободы, не может иметь порядок, меньший 2я, так как в силу произвольности начальных значений величин qi и 9 (г=1, я) решение системы должно содержать, по крайней мере, 2я произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагранжа в независимых координатах имеет наименьший возможный порядок. [c.50]

Эти уравнения известны под названием уравнений Лагранжа второго рода. Они представляют собой систему 5 обыкновенных уравненйй второго порядка с 5 неизвестными функциями времени q ,. ..,q . Все 2 произвольных постоянных, которые введутся при интегрировании этих уравнений, будут согласно формуле (32.41) независимы друг от друга. Интегрирование уравнений Лагранжа в независимых координатах представляет собой кратчайший путь для решения вопроса о движении рассматриваемой [c.331]

Различные типы уравнений движения свободного твёрдого тела. Подобно тому, как кинетическая энергия свободного твёрдого тела может быть пре дставлена в той или другой форме, точно так же и уравнения движения могут принимать различный вид. Главных тигюв уравнений движения три, соответствен числу форм кинетической энергии, изложенных выше уравнения движения, отнесённые к неподвижным осям,-уравнения движения, отнесённые к осям, неизменно связанным с телом, и урав 1ения движения в независимых координатах (уравнения Лагранжа второго рода). Твёрдое тело, не стеснённое никакими связями, имеет Qie Tb степеней свободы (см. примеры 76 на стр. 273 и 97 на стр. 324) [c.500]

Однако, если для голономных систем теорема Гамильтона — Якоби в неголономных координатах доказывается совершенно гладко, то в применении к системам с неголономными связями встречается затруднение, состоящее в том, что в канонических уравнениях движения в неголономных координатах число членов с коэффициентами Риччи — Гамеля уменьшается. Вследствие такой неполноты доказательство теоремы Гамильтона непосредственно не проходит. Мы попытались обойти данное затруднение, применяя все исследование к системам типа Чаплыгина с циклическими координатами для независимости же результатов от порядка преобразований, о чем говорилось выше, кинетическая энергия пересчитывалась в нормальных координатах. При всех перечисленных условиях теорема Гамильтона — Якоби доказывается. Однако следует помнить, что даже классическая теорема Гамильтона — Якоби в голономных координатах для голономных же систем далеко не всегда приводит к решению задачи о нахождении всех интегралов уравнений движения, в силу затруднительности интегрирования самого уравнения в частных производных Г амильто а — Якоби. [c.8]

Итак, уравнения Лагранжа в независимых координатах не содержат реакций связей в качестве неизвестных функций, хотя полностью учитывают влйяние связей на движение механической системы. Неизвестными в этих уравнениях являются обобщенные [c.221]

Уже из механики системы материальных точек мы знаем способ простого описания их сложного колебательного состояния. Для системы с 5 степенями свободы вводится 5 новых обобщенных координат (нормальные координаты) так, чтобы функция Гамильтона, которая при малых колебаниях есть определенно положительная квадратичная функция, диагонализировалась.. Это означает, что уравнения движения в нормальных координатах распадаются на 5 уравнений для независимых осцилляторов. При таком (формальном) способе описания возбужденное состояние, лежащее близко к основному состоянию, описывается как возбуждение небольшого числа этих независимых осцилляторов. [c.14]

Таким образом, матрица податливостей в нормальных координатах превращается в матрицу собственных значений к, которая также равна (р ) "-. Отсюда заключаем, что уравнение (4.43) принимает форму уравнений движения в нормальных координатах, независимо от способа получения уравнения в исходных координатах. В качестве примера использования нормальных координат в уравнениях, записанных через перемещения, вновь рассмотрим задачу о трех массах, закрепленных на предварительно растянутой нити (см. рис. 4.2, а). Для этой системы матрица податливостей имеет вид [c.264]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

Полученное равенство часто называют принципом Даламбвра ). Таким образом, мы достигли нашей цели реакции связи более не входят в наши уравнения, и индекс (а) теперь можно опустить, не боясь недоразумений. Однако мы еще не получили уравнений движения в достаточно удобной форме. Для этого нам нужно привести уравнение (1.42) к такому виду, при котором оно будет содержать виртуальные вариации Sqt независимых обобщенных координат t/i (для голономных связей). Тогда каждый из коэффициентов при dqt мы сможем приравнять нулю и получить таким путем уравнения движения. [c.28]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

В 7.4 идеология лагранжевой и гамильтоновой механики обобщается на случай гинердвижения тела неременной массы. Получены уравнения движения в обобщенных независимых координатах нри наличии идеальных голономных связей. Вторая часть параграфа отведена гамильтоновой форме записи уравнений гинердвижения тела переменной массы (в канонических переменных). [c.207]

Из сказанного следует, что второй способ доопределения соответствует точке зрения Суслова и др., когда считается, что переместимость операций и б имеет место лишь для независимых координат. Отсюда также следует, что, кроме этих способов, возможны и другие, которые приведут к новым формам записи уравнений движения. В качестве примера рассмотрим один из таких случаев, соответствуюш,ий (на языке прежних взглядов) некоторой промежуточной точке зрения на перестановочные соотношения. Пусть при наличии уравнений кинематических связей вида (6.6) в окрестности кривой движения ( ) введена криволи- [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...