Движение волчка вращения

Решение. Гироскоп (волчок) имеет ось симметрии . Согласно условию задачи главный момент количеств движения волчка направлен по оси симметрии. Если бы ось была неподвижной, то такое направление кинетического момента являлось бы очевидным. Но основным свойством всякого гироскопа является его способность быстро вращаться вокруг оси при одновременном поворачивании оси вращения. Если угловая скорость со гироскопа вокруг оси очень велика, а угловая скорость tOi, с которой поворачивается ось гироскопа, невелика, то с достаточной точностью можно допустить, что главный момент количеств движения гироскопа относительно точки опоры О направлен по оси симметрии и равен произведению угловой скорости на момент инерции гироскопа относительно оси симметрии [c.229]

Из этого выражения следует, что для составления левых частей уравнений вращения снаряда относительно его центра тяжести. достаточно в уравнениях движения волчка заменить d на d — х-Что касается правых частей, то роль силы тяжести, направлен- ной противоположно оси 0 , в уравнениях движения волчка переходит к силе сопротивления воздуха, направленной противоположно скорости центра тяжести т. е. противоположно вектору т, причем расстояние I от точки опоры до центра тяжести волчка заменяется расстоянием СК = h между центром тяжести и центром сопротивления снаряда. Поэтому момент силы сопротивления D относительно центра тяжести снаряда выражается, как в случае волчка, формулой [c.628]

Примеры. 1 . Приложение к движению волчка по горизонтальной плоскости. Эта задача была решена в п. 407 как пример движения однородного тяжелого тела вращения, скользящего по горизонтальной плоскости. Пользуясь обозначениями пп. 407 и 408, мы видим, что положение системы зависит от пяти параметров i, т , <р, центра тяжести связана с 0 соотношением i = I os 0. Для сокращения письма мы предположим, что масса волчка принята равной единице (М = 1). Тогда кинетическая энергия будет [c.369]

Предыдущие условия являются идеальными. В действительности волчок опирается на плоскость не острием, а поверхностью вращения, более или менее заостренной, так что точка касания ее с плоскостью вообще не лежит на оси волчка и перемещается по поверхности. Кроме того, неподвижная плоскость не абсолютно гладкая. Эти два обстоятельства изменяют характер движения волчка по плоскости. [c.209]

Если сила Г не зависит от угловой скорости, а момент М — от скорости поступательного движения, то уравнения (25.1) и (25.2) можно рассматривать независимо друг от друга. В баллистике, например, это не имеет места. В случае же, когда такое раздельное рассмотрение этих двух уравнений допустимо, уравнение (25.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (25.2) — задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или, короче, задаче о движении волчка. [c.178]

Рассмотренную только что форму движения симметричного волчка можно было бы описать короче (хотя, быть может, менее наглядно). Для этого через конец вектора N момента импульса проводим перпендикулярно к нему неизменяемую плоскость i (ср. стр. 99) и строим эллипсоид кинетической энергии с центром в начале вектора N, подобный эллипсоиду инерции и касающийся плоскости Е. Точка касания является концом вектора угловой скорости вращения и). Мгновенное движение волчка состоит во вращении этого эллипсоида вокруг и). При этом эллипсоид катится без скольжения по плоскости . Если эллипсоид обладает симметрией вращения, то кривая качения будет окружностью, описанной вокруг вектора N поэтому конус, описанный вектором о , равно как и конус, описанный осью фигуры, будет круговым конусом. Таким образом, мы снова пришли к регулярной прецессии симметричного волчка. [c.181]

Указанные только что перманентные вращения обладают одним замечательным свойством в то время как для угловых скоростей, недостаточно больших (т. е. для значений X, меньших некоторого критического значения X ), эти движения неустойчивы, они становятся устойчивыми по отношению к р, q, г, S-, как только угловая скорость достигнет критического значения X, и в особенности, когда она превзойдет это значение (т. е. при Х >Х ). В этом и заключается явление, известное под названием гироскопической стабилизации. Заметим теперь же, что особенно отчетливо оно осуществляется в движении волчка. Волчок, опирающийся на пол концом оси, направленной вертикально вверх, неустойчив в состоянии покоя и остается неустойчивым, если ему сообщить небольшую угловую скорость около оси симметрии. Достаточно, однако, сообщить волчку значительную угловую скорость, для того чтобы он, несмотря на неизбежные возмущения, происходящие, например, от колебаний воздуха и пола, держался долгое время прямо при этом всякому, кто смотрит на него издали, он будет казаться неподвижным (спящий волчок). [c.141]

Это замечание дает теоретическое объяснение одному факту, который легко установить экспериментальным путем. Если, приведя волчок в очень быстрое вращательное движение вокруг оси симметрии, мы закрепим одну точку этой оси (например, поместим конец оси волчка на подходящую опору в виде чашечки) и затем предоставим волчок самому себе в каком-нибудь начальном положении, в котором ось симметрии образует с вертикалью какой-нибудь угол 9, то движение, которое получит волчок, будет иметь все признаки регулярной прецессии (с медленным прецессионным вращением), хотя начальные условия движения не удовлетворяют строго характеристическому условию (74 ) регулярной прецессии. Действительно, гироскопическая скорость 11 (по предположению, очень большая) и угол нутации 6 заданы произвольно а так как в начале движения волчок предоставлен самому себе, то начальные постоянные рд, обе равны нулю или, точнее (если мы хотим учесть бесчисленные физические обстоятельства, которые, ускользая от нашего прямого контроля, неизбежно влияют на опыт), обе очень малы, но не зависят от произвольного выбора и 0. Такой же будет вначале и угловая скорость v, и нет решительно никакого основания, чтобы эта угловая скорость, очень малая, если не прямо равная нулю, и зависящая от случайных причин, была такой, чтобы при произвольных значениях [i и 9 удовлетворять условию (74 ). [c.148]

Волчок на абсолютно гладкой плоскости. Пусть эллипсоид инерции твердого тела для его центра масс представляет собой эллипсоид вращения. Задача о движении волчка по плоскости состоит в исследовании движения этого тела в поле тяжести в предположении, что одна из точек тела, лежащая на оси динамической симметрии, движется по горизонтальной плоскости. Будем считать, что волчок имеет настолько острый конец, что его можно принять за острие, оканчивающееся точкой D. При движении волчка его точка D все время остается на неподвижной горизонтальной плоскости (рис. 116). [c.223]

Влияние трения на движение волчка. В действительности неподвижная плоскость, на которую опирается волчок, не является абсолютно гладкой, а волчок заканчивается не острием, а поверхностью вращения, более или менее заостренной, так что точка касания D волчка и плоскости не лежит на оси симметрии. По этим причинам движение волчка будет иным, нежели то движение, которое описано в п. 111. [c.226]

Четвертый прием передачи глубины основан на движении объектов относительно наблюдателя. Самым эффективным из движений является вращение вокруг вертикальной оси линии, близкие к наблюдателю, движутся быстрее, чем удаленные линии на противоположных сторонах объекта движутся в противоположных направлениях подобно волчку. Посмотрите на рис. 12.10 отогнув часть страниц книги и отпуская их по одной, вы можете наблюдать вращение куба. Внезапно прекратив перелистывание, вы увидите, что пространственное восприятие мгновенно исчезает и изображение вновь становится неопределенным. [c.248]

Поэтому человек, не имеющий достаточного опыта, выделяет только движение волчка, связанное с перемещением в пространстве его оси симметрии, и не учитывает его собственное вращение вокруг этой оси. Аналогично мы в механических явлениях не учитываем тепловое движение частиц. [c.67]

В свете вышесказанного целесообразно рассмотреть движение волчка, как сумму двух движений, — движения, связанного с перемещением оси волчка в пространстве, и собственного вращения его вокруг оси симметрии. [c.67]

Качественное исследование движения волчка Горячева-Чаплыгина начато Л. Н. Сретенским в работе [67]. В ней подробно изучается случай, когда тело приведено в быстрое вращение относительно горизонтально расположенной главной оси эллипсоида инерции, на которой лежит центр тяжести. Нетрудно показать, что в этом случае справедливо неравенство Iiu 4/ , т.е. ось динамической симметрии может занимать вертикальные положения. Л. Н. Сретенский вводит в уравнения движения малый параметр, соответствующий быстрым вращениям тела, и в первом приближении по этому параметру получает формулы [c.170]

В качестве еще одного примера рассмотрим возмущенное движение волчка Лагранжа (см. 5, гл. II). Более точно, речь пойдет о вращении тяжелого динамически симметричного твердого тела 1 = /г), У которого центр масс слегка смещен относительно оси динамической симметрии. Пусть Г1,гг,гз—координаты центра масс относительно осей инерции. Фиксируя значение гз ф О, [c.189]

З"". Канонические уравнения движения волчка, несущего вращающийся маховик. Предполагается, что подшипники оси маховика расположены на оси симметрии волчка. Обозначая через / угол поворота маховика (чтобы сохранить обозначение ср для угла чистого вращения волчка), имеем в формуле (4.12.3) [c.511]

Необходимо отметить, что поверхность волчков, да и сама опорная плоскость не вполне ровные. Это приводит к тому, что быстрое вращение волчка сопровождается кратковременными нарушениями контакта с плоскостью, которые легко регистрируются по характерному звуку ( дребезг ). Это ставит под сомнение правомерность использования любой простой модели трения в обсуждаемой задаче (не только модели кулонова трения). В этих условиях трудно надеяться на построение точной и надежной модели для силы трения. И математическое обоснование существования множества квазистационарных движений в условиях неопределенности модели — тоже далеко не простая задача. Однако экспериментальное подтверждение теоретических выводов служит достаточным оправданием методики квазистационарных движений в рассмотренной задаче. К тому же довольно трудно указать какой-либо другой метод анализа, который позволил бы с такой же легкостью и наглядностью получить столь подробную информацию о свойствах движения волчка. [c.360]

Симметричный волчок с одной закрепленной точкой и центром масс, находящимся от нее на расстоянии /, движется в однородном поле тяжести. Найти закон движения волчка, если в начальный момент времени его кинетическая энергия вращения вокруг оси симметрии велика по сравнению с потенциальной энергией. [c.372]

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки (движение волчка). Движение твердого тела с одной неподвижной точкой (сферическое движение) разбиралось с точки зрения чистой теории движения на стр. 289. Тело, подвешенное таким образом, имеет три степени свободы вращения. Моменты инерции тела относительно осей, проходящих через неподвижную точку, даются так называемым эллипсоидом инерции (стр. 267), центр которого совпадает с неподвижной точкой тела. [c.316]

В действительности количество вращения В тяжелого волчка не совпадает точно с осью фигуры, так как, кроме вращения вокруг оси фигуры, совершается также и движение прецессии вокруг оси прецессии. Поэтому движение волчка только приближается к регулярной прецессии, а Фактически к ней прибавляется еще движение, называемое нута- [c.319]

При боковой качке судна, которая состоит из вращения вокруг продольной оси судна (проекция этой оси есть точка S), быстро вращающийся волчок вследствие присущих ему степеней свободы может производить род прецессионного движения 1). Торможением (на практике — масляным тормозом) составляющей этого движения соответствующей вращению вокруг оси рамы АС, одновременно тормозится и другая составляющая Фиг. ш. [c.321]

Азимутальное движение оси волчка называется прецессией. Окончательное движение волчка состоит из вращения вокруг собственной оси, нутации и прецессии. Каждое из трех движений имеет свою частоту. Если частоты несоизмеримы, то волчок никогда не возвращается в начальное состояние, хотя и подходит к нему сколь угодно близко. [c.136]

Движение апекса волчка Лагранжа в абсолютном пространстве (рис. 21) может быть получено из канонических уравнений движения волчка в углах Эйлера после редукции Рауса по углу собственного вращения ip. [c.105]

L) как некоторое твердое тело. Геометрическим местом мгновенных осей вращения волчка относительно неподвижной системы отсчета Ко является круговой конус с осью Z, а геометрическим местом lex же осей вращения относительно подвижной системы координат К, жестко связанной с волчком, будет аналогичный конус с осью Сг (рис. 52.4). Поэтому движение волчка можно наглядно [c.299]

Пример 2. Пусть сопротивление воздуха при движении волчка представляется парой сил, ось которой совпадает с мгновенной осью вращения. Показать, что эта мгновенная ось будет приближаться к оси волчка ОС нли удаляться от нее в зависимости от того, будет лн момент инерции С больше или меньше, чем А (см. п. 183, пример 3). [c.178]

Примером может служить волчок с неподвижной точкой О (рис. 133), совершающий так называемую регулярную прецессию (волчок вращается вокруг своей оси Oz, а эта ось обращается в свою очередь вокруг вертикали Ос так, что zOh, = onst). При этом движении мгновенная ось вращения волчка ОР, лежащая между осями 2 и t,, описывает относительно неподвижного пространства неподвижный конус /, а в самом теле— подвижный конус 2 при движении волчка около точки О подвижный конус (аксоид) будет катиться без скольжения по неподвижному. [c.134]

Тогда w.2 — Gal(jM ]. Следовательно, скорость иг прецессии при движении волчка остается иостоянной и будет тем меньше, чем больше скорость oi собственного вращения. Таким образом, быстро вращ.ающ ийся волчок обладает устойчивостью по отношению к опрокидывающему моменту сил тяжести. Это одна из важнейших особенностей гироскопических явлений. [c.196]

Протон, нейтрон, а также большинство атомных ядер обладают не равным нулю спином, т. е. внутренним моментом количества движения. Подчеркнем существенное отличие микрочастиц с ненулевым спином от вращающихся макроскопических волчков. Вращение макроволчка можно ускорить, замедлить и даже остановить. У спина же микрочастицы можно лишь изменять направление, не меняя его абсолютного значения. В частности, спиновое вращение нуклона или легкого ядра нельзя остановить . Однако в средних и тяжелых ядрах, как мы увидим в 7, п. 2, уже начинают проявляться свойства макроскопических волчков. [c.45]

В 5.6 вычислялась прецессия оси вращения Земли вокруг полюса в предположении, что на Землю не действуют никакие моменты. С другой стороны, предыдущая задача показывает, что Земля подвергается вынужденной прецессии под действием гравитационных моментов Солнца и Луны. Можно, одиако, показать, что движение оси вращения Земли вокруг ее оси симметрии выглядит как нутация Земли и ее вынужденной прецессии. Для доказательства этого достаточно вычислить функции 6(/) и ф(/) для тяжелого симметричного волчка, у которого начальная скорость фо велика по сравнению со скоростью регулярной прецессии р/2а, но мала по сравнению с <02. При этих условиях граничные окрун<ности апекса будут близки друг к другу, но орбита апекса будет выглядеть так, как показано на рис. 58,6, т. е. будет иметь большие петли, медленно поворачивающиеся вокруг вертикали. Покажите, что равенство (5.64) будет в этом случае справедливым, [c.203]

В некоторых задачах принцип Даламбера оказывается даже более гибким, чем более развитый принцип наименьшего действия. Дифференциальные уравнения движения, определяющие ускорения движущейся системы, являются уравнениями второго порядка. Ускорение qi — это вторые производные координат qi или первые производные скоростей qi. Может, однако, оказаться более удобным — и такая ситуация встречается, в частности, в динамике твердого тела — характеризовать движение при помощи некоторых скоростей, не являющихся производными действительных координат. Такие величины называют кинематическими переменными . Хорошим примером является вращение волчка вокруг оси симметрии. Его можно охарактеризовать угловой скоростью вращения со = defi it, где d p — просто бесконечно малый угол поворота, а не дифференциал от какого-либо угла ф, так как такой угол ф существует лишь в случае, если ось симметрии закреплена. Тем не менее и при незакрепленной оси удобно использовать d(f/dt как величину, характеризующую движение волчка. В принципе наименьшего действия нельзя использовать кинематические переменные, а в принципе Даламбера можно. [c.117]

Далее ясно, что всякая сила, которая стремится ускорить или замедлить прецессионное движение волчка, т. е. увеличить или уменьшить -а, будет соответственно поднимать или опускать ось волчка. Это свойство известно под названием закона Кельвина, который применил его для объяснения известного явления, спящего" волчка, когда ось волчка постепенно принимает вертикальное положение. На фиг. 47 вращение предполагается правым относительно оси ОС, так что точка касания Р острия волчка с землей удаляется от читателя. Следовательно, в этой точке имеется сила трения, действующая на волчок в направлении к читателю. Вводя пару сил с моментом F GP мы можем перенести эту силу в центр тяжести О. Рассматривая прецессионное движение, мы должны принимать во внимание только составляющую момента, расположенную в плоскости чертежа и нормальную к оси ОС. Эта составляющая стремится ускорить прецессию вокруг гсртикали, проходящей через О и, следовательно, поднять волчок. [c.136]

Далее следует заметить, что члены в (17), линейные относительно q , q.2,. . ., меняют свой знак вместе с dt, а остальные члены знака не меняют. Следовательно, движение гироскопической системы необратимо до тех пор, пока мы действительно не обратим циклические движения так же, как скорости q , q ,, .,, q, , относяихиеся к позиционным координатам. Например, как уже было замечено, прецессионное движение волчка необратимо, если не изменить направление его вращения. [c.210]

Пример 3. В самом общем случае движения волчка предполагают, что небольшая импульсивная пара, производящая вращение около вертикали, по истечении промежутка времени -с изменяет угол наклона оси на 50. Доказанная теорема утверждает, что при обращенном движении ) одинаковая импульсивная пара сил, приложенных в плоскости 0, изменит азимут оси на угол об разный углу 00. Конечно, подразумевается, что пары не имеют никаких других составляющих (в обобщенном умысле), кроме составляющих указанных типов, например, пара может состоять в каждом из этих случаев из силы, приложенной к волчку в точке его оси, и на соответствующей реакции, приложенной к осгрию волчр.. [c.281]

Несмотря на это, мы, имеем здесь согласие между теоретическим предвидением и опытом, поскольку случайное значение v, сколь бы мало оно ни было, близко к угловой скорости V прецессии (с медленным прецессионным вращением) поэтому на основании изложенных выше соображений действительное движение волчка не может заметно отличаться от этой регулярной прецессии. Мы имеем здесь, таким образом, псевдорегулярную прецессию (см. п. 34). [c.148]

Волчок на горизонтальной плоскости. Вопрос о движении волчка по горизонтальной плоскости представляет собой задачу о движении весомого твёрдого тела, являющегося телом вращения в динамическом смысле ( 252), в том предположении, что одна из точек тела, лежащ 1х на оса симметрии, движется по горизонтальной плоскости., Пусть эта плоскость взята за плоскость Оху, а ось Oz направлена вертикально кверху (фиг. И9) динамическую ось симметрии примем за ось ОС на ней по условию лежит центр масс С тела. Тогда, если расстояние от центра масс С до точки опоры К волчка на плоскости Оху мы назовём /, а угол между направлениями осей Oz и ОС попреж-нему обозначим 9, то уравнением связи, наложенной на движущееся тело, будет [c.583]

Пример 97. Рассмотрим движение волчка по шероховатой плоскости (при наличии трения), предполагая, что ось волчка заканчивается маленьким юлушаром, а угловая скорость м вращения волчка вокруг своей оси достаточно велика. [c.337]

Волчок. Как пример применения общих уравнений (6) рассмотрим задачу о влиянии вращения Земли на движение волчка. Положение его оси симметрии Ог определим углами а, р, описанными в примере 2° п. 7.18, и применим ту же, что в указанном примере, систему полусвязанных с волчком осей я, я, /3 через ср, [c.460]

Симметричное заряженное тело с, покоящимся центром масс и одинаковыми удельными зарядами его точек ei/nii = onst) вра- Щается в однородном постоянном магнитном поле напряженности Ж, Определить закон движения волчка, если в начальный момент времени угловая скорость вращения вокруг оси симметрии тела велика по сравнению с частотой Лармора. [c.376]

Обшее движение твердого тела. С точки зрения теории движения (стр. 289) самое общее движение твердого тела может рассматриваться, как сдвижение относительно произвольной начальной точки и вращение вокруг этой точки. Если начальной точкой будет избран центр тяжести, то движение центра тяжести можно определить на основании заксна центра тяжести (стр. 311) остается только движение вокруг центра тяжести, которое происходит таким образом, как-будто сам центр тяжести находится в покое в этом случае для вращательного движения вокруг центра тяжести можно применить законы движения волчка. [c.322]

В качестве примера с тремя степенями свободы рассмотрим лагранжев тяжелый симметричный волчок, закрепленный в точке на оси. Здесь сразу видны три первых интеграла Н, М , М . Легко проверить, что интегралы и Мд находятся в инволюции. Далее, многообразие Н = кв фазовом пространстве компактно. Поэтому мы без всяких вычислений сразу можем сказать, что при большинстве начальных условий ) движение волчка условнопериодично фазовые траектории заполняют трехмерные торы Н = Сг, М = Са, М = Сд. Соответствующие три частоты называются частотами собственного вращения, прецессии и нутации- [c.239]

Движения волчка в общем случае. Из примеров движения волчка, приведенных в п. 202, видно, как видоизменяется эффект действия сил на тело от вращения этого тела. Если волчок с неподвижной точкой О был первоначально в состоянии покоя, то сила тяжести заставит его повернуться вокруг оси ОВ и упасть вниз. Когда же волчок быстро вращается вокруг своей оси ОС, сила тяжести не изменяет ош,утимо наклона этой оси к вертикали, а заставляет эту ось описывать прямой круговой конус вокруг вертикали. Для того чтобы лучше понять причину этого различия, полезно изучить движение с другой точки зрения. Рассмотрим геометрическую интерпретацию Пуансо движения твердого тела по инерции и попытаемся проследить, как она будет изменяться при учете действия силы тяжести. Предположим, что тело движется произвольно и мгновенная ось вращения 01 описывает полодию с параметром р (п. 143). Пусть на тело действует пара сил с моментом Q. Если ось пары совпадает с неизменяемой прямой 0L, ее влияние выражается лишь в изменении существующего момента количеств движения G. Траектории всех точек тела в пространстве остаются неизменными, но описываются уже с другими скоростями (п. 146). Таким образом, полодия остается неизменной. Если ось пары перпендикулярна к 0L, величина мо.мента количеств движения за время dt не изменится + (Q dt) = G), хотя сама неизменяемая пря- [c.176]

Теперь рассмотрим, как неизменяемая прямая 0L движется в пространстве под действием приложенной к телу пары сил с моментом Q. Существующий момент количеств движения волчка эквивалентен некоторой паре снл с моменто.м G, ось которой совпадает с прямой 0L. Момент количеств движения, возникающий за вре.мя dt от приложенной к телу пары сил с моментом Q, равен Q dt. Складывая эти пары, видим, что положительная полуось 0L всегда движется к положительной полуоси приложенной пары сил с моментом Q. Помимо этого перманентного движения трех осей, будут происходить и малые колебания, обусловленные движением мгновенной оси вращения вдоль полодии. [c.177]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...