Эллипсоид кинетической энерги

Рассмотренную только что форму движения симметричного волчка можно было бы описать короче (хотя, быть может, менее наглядно). Для этого через конец вектора N момента импульса проводим перпендикулярно к нему неизменяемую плоскость i (ср. стр. 99) и строим эллипсоид кинетической энергии с центром в начале вектора N, подобный эллипсоиду инерции и касающийся плоскости Е. Точка касания является концом вектора угловой скорости вращения и). Мгновенное движение волчка состоит во вращении этого эллипсоида вокруг и). При этом эллипсоид катится без скольжения по плоскости . Если эллипсоид обладает симметрией вращения, то кривая качения будет окружностью, описанной вокруг вектора N поэтому конус, описанный вектором о , равно как и конус, описанный осью фигуры, будет круговым конусом. Таким образом, мы снова пришли к регулярной прецессии симметричного волчка. [c.181]

Направления главных осей эллипсоида кинетической энергии называются главными направлениями движения для данного тела. Таким образом К , К , Я з суть объемы присоединенной массы при движении те.-ш по главным [c.325]

В случае, когда эллипсоид кинетической энергии трехосный (т. е. когда движущееся в среде тело имеет меньше, нежели две плоскости симметрии), одно из главных направлений движения таково, что кинетическая энергия при движении вдоль этого направления будет максимальной или минимальной лишь относительно. Вектор присоединенной массы для этого направления является малой полуосью для эллипса, который получаете я [c.327]

Фиг. 133. Случай, когда эллипсоид кинетической энергии трехосный.

Для тела с таким распределением массы, при котором эллипсоид инерции для неподвижной точки есть эллипсоид вращения, т. е. при у X = у у, выражение кинетической энергии принимает вид [c.451]

Теорема III. Расстояние от неподвижной точки до плоскости, касательной к эллипсоиду инерции в полюсе, равно квадратному корню из удвоенной кинетической энергии, деленной на главный момент количеств движения. [c.161]

Что касается движения центра тяжести С, то это —движение тяжелой точки по поверхности вращения, параллельной заданному эллипсоиду (п. 276). На основании теоремы кинетической энергии и теоремы моментов относительно оси Oz получим два первых интеграла, определяющих движение (Пен леве, там же, стр. 31). [c.229]

Сильвестр заметил, что если бы эллипсоид (13.14.1) представлял собой однородное твердое тело, свободно закрепленное в точке G, и катился бы по плоскости (О без воздействия на него сил (кроме реакций в точках G ж Р), то это качение происходило бы точно так же, как происходит качение эллипсоида, связанного со свободно движущимся телом (если, конечно, в обоих случаях одна и та же начальная угловая скорость). Система имеет только одну степень свободы, и нам остается показать, что когда твердый эллипсоид, закрепленный в центре, катится по шероховатой плоскости, со пропорционально г. Если массу эллипсоида обозначить через М, а полуоси его — через а. Ъ. с, то кинетическая энергия будет иметь следующее выражение [c.240]

Действительно, это — эллипсоид вследствие положительной определенности кинетической энергии.) Если в ОДС рассматривается одна частица, движущаяся в пространстве, то является поверхностью вращения, а Su — сферой. [c.234]

Наконец, если все три главных центральных момента инерции тела равны между собой, т. е. центральным эллипсоидом инерции служит шар, тогда кинетическая энергия содержит лишь две постоянных и имеет вид [c.496]

Направим оси OS и On по осям эллипса, который. получается от пересечения эллипсоида инерции плоскостью, проходящей через неподвижную точку О и перпендикулярной к оси ОС, тогда кинетическая энергия Т тела представится так [c.594]

Заметим также, что направления главных осей эллипсоида инерции можно определять, рассматривая стационарные точки кинетической энергии на сфере векторов момента фиксированной длины. [c.294]

Семейства эллипсоидов в евклидовом пространстве встречались нам несколько раз в этом курсе. Например, при изучении зависимости собственных частот малых колебаний от параметров мы встречались с зависящим от жесткости системы эллипсоидом уровня потенциальной энергии в евклидовом пространстве (метрика пространства определяется кинетической энергией). Другой пример — эллипсоид инерции твердого тела (параметры здесь — форма твердого тела и распределение масс в нем). [c.393]

Рассмотрим, например, систему из трех одинаковых масс в вершинах равностороннего треугольника, соединенных одинаковыми пружинами друг с другом и с центром треугольника и способных двигаться в плоскости треугольника. Система имеет поворотную симметрию третьего порядка. Следовательно, в конфигурационном пространстве (размерность коего равна 6) действует линейный оператор куб которого равен 1, и который оставляет неизменной как евклидову структуру конфигурационного пространства (заданную кинетической энергией), так и эллипсоид в конфигурационном пространстве, задающий потенциальную энергию. [c.400]

В главных осях инерции уравнение эллипсоида инерции имеет вид Ах + Ву + Сг =1. Эллипсоид инерции есть геометрическое место концов векторов угловых скоростей , при которых кинетическая энергия тела равна 1/2. При этом нормаль к поверхности эллипсоида совпадает с вектором момента количеств движения g, так как n = V (7io, ) = 2Ло = 2g. . - [c.121]

Здесь О - кинетическая энергия движений всех частиц жидкости, W - потенциальная энергия гравитационных сил эллипсоида. Из соотнощений, характеризующих несжимаемость и сохранение формы. 2 a а = -с/с, функцию Q (1.9) можно представить в виде выражений от с, с или а, в частности, имеем [c.154]

Элементы орбиты кеплеровские 204 Эллипсоид инерции 121 Энергия кинетическая 128 [c.414]

Проследим характер траекторий вектора К на рассматриваемом эллипсоиде. Начнем с критического случая К = 2ТВ. В этом случае траектория является плоской. Действительно, умножив интеграл энергии на В и вычтя его из интеграла кинетического момента, получим [c.86]

Эйлера формула в теории турбин 197 Эллипсоид инерции 125, 331 Энергия кинетическая 2t2 [c.360]

А. А. Буров и А. В. Карапетян [37] применили теорему 1 и результаты п. 3 3 к задаче о полной интегрируемости уравнений скольжения тяжелого эллипсоида по горизонтальной плоскости. Предполагалось, что эллипсоид близок к шару, и его моменты инерции различны. Рассматриваемая система имеет пять степеней свободы и четыре интеграла сохраняются полная энергия, импульсы тела в горизонтальных направлениях и кинетический момент относительно вертикали. Следовательно, для полной интегрируемости недостает всего одного интеграла. В [37] получены необходимые условия интегрируемости [c.287]

Эллипсоид инерции 124, 394 Энергия кинетическая 21, 47, 78 [c.472]

Как и для сфероидов, потенциальная энергия непрерывно возрастает по мере удлинения эллипсоида при увеличивающемся угловом моменте. Кинетическая же энергия достигает максимума 0,1010 для эллипсоида, несколько более удлиненного, чем конфигурация с а Ь с = = 3,129 0,588 0,543. [c.74]

В, С, и являются поэтому объемами присоединеиной массы при движении тела вдоль осей симметрии эллипсоида. Этот эллипсоид, поверхность которого является геометрическим местом концов вектора присоединенной массы, называется эллипсоидом кинетическо энергии для данного тела. Он вполне аналогичен эллипсоиду инерции, который рассматривается в общей механике. [c.325]

Главные направления движения, кроме того, обладают еще весьма интересными механическими свойствами. Вспомним, что главные нанравления движения суть оси симметрии (главные оси) эллипсоида кинетической энергии поэтому вектор присоединенной массы для каждого из этих направлений имеет значение максимальное или минимальное но сравнению с ею значениями для иных направлений (фиг. 131). Следовательно, нри движении тела вдоль этих направлений величина присоединенной массы, а вместе с ней и величина кинетической энергии будут также иметь соответственно минимальное пли максимальное значения. Поэтому для главных нанравлепий [c.326]

В случае, если телом, движущимся в жидкости, является удобообтекае мое тело вращения, кинетическая энергия жидкости будет минимальной при движении вдоль оси. Ось вращения тела является, следовательно, одним из главных направлений движения, и эллипсоид кинетической энергии располагается в этом случае так, что его большая ось совпадает с осью вращения тела. Согласно общей теории, при движении вдоль этой оси тело должно находиться в равновесии под действием аэродинамических сил. Это равновесие, однако, не является устойчивым при всяком изменении направления движения момент аэродинамической пары будет стремиться увеличить это изменение и повернуть тело так, чтобы его движение было устойчивым. Для удобообтекаемого тела вращения это будет направление, перпендикулярное к его оси. [c.328]

Если кинетическая энергия абсолютно твердого тела сохраняет постоянную величину, то конец вектора мгновенной угловой скорости с началом в неподвижной точке движется по поверхности эллипсоида, определенного уравнением (I. 106Ь). Этот эллин- [c.90]

Но кинетическая энергия Т и кинетический момент L являются некоторыми константами рассматриваемого движения, и, следовательно, касательная плоскость будет отстоять от центра эллипсоида инерции на постоянном расстоянии. Однако так как нормаль к этой плоскости направлена вдоль L и, следовательно, имеет неизменное направление, то эта плоскость является неподвижной. Поэтому рассматриваемое движение можно реализовать посредством качения эллипсоида инерции по некоторой неподвижной плоскости центр эллипсоида инерции находится при этом в фиксированной точке прострайства. Это качение происходит без скольжения, так как точка касания эллипсоида инерции с неподвижной плоскостью определяется вектором р, который направлен по мгновенной оси вращения, т. е. по той пря- [c.182]

Рис. 48. Геометрический смысл нормальных колебаний они направлены в точки касания эллипсоида q-Aq= (Л — матрица коэффициентов кинетической энергии) с эллипсоидами из семейства q-Bq = onst (В — матрица Гесса потенциальной энергии). Изображен весьма часто встречающийся случай с двумя степенями свободы в первом из нормальных колебаний обе определяющие координаты растут и убывают одновременно, во втором — изменяются в противоположные стороны

В случае отсутствия внешних моментов твердое тело будет устойчиво вращаться вокруг оси максимального или минимального момента инерции. Вращение вокруг промежуточной оси представляет собой состояние неустойчивого равновесия. При вращении твердого тела ось вращения меняет свое положение в теле. Геометрическое место пересечений мгновенных осей вращения с эллипсоидом инерции называется полодией. Согласно геометрической интерпретации Пуансо, неподвижная точка эллипсоида находится выше некоторой фиксированной плоскости на расстоянии, пропорциональном квадратному корню из кинетической энергии, и сама плоскость перпендикулярна вектору кинетического момента. Вектор угловой скорости, а следовательно, и ось вращения направлены из неподвижной точки в точку касания фиксированной плоскости сэллипсоидом инерции. Вид полодий (рис. 25) показывает, что вращение в окрестности промежуточных осей, где полодии расходятся, будет неустойчивым. Это можно легко продемонстрировать, если бросить книгу в воздух, одновременно придав ей вращательное движение (неустойчивость вращения будет более заметна, если книга не перевязана лентой). [c.219]

Фиг. 131. Эллипсоид кинети- ""Хждое"Гемое в правой части есть ческой энергии. Главные на- кинетическая энергия жидкости для со-нравления движения. ставляющего движения тела вдоль соот-

Примеры. Рассмотрим теперь два частных примера. Прежде всего заметим, что формулы сильно упрощаются в том частном случае, когда поверхность 5 имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии (например, есть поверхность эллипсоида). Направляя осн подвижной системы координат по осям симметрии поверхности 5, нетрудно убедиться, что все коэффициенты с разными индексами бращаются в этом случае в нуль, и выражение для кинетической энергии принимает простой вид [c.387]

Кинетическая энергия жидкости (при поступательном движении эллипсоида со скоростью = /) равна Т = 4г з кинети- [c.31]

Если сделать обоснованное предположение, что у1ловая скорость данных компонентов является такой же, как и у критического эллипсоида, а отдельные части имеют форму сфероидов Маклорена, то интерполяцией из таблицы I (стр. 71) легко находим, что при е = 0,71 потенциальная и кинетическая энергии массы тМ даются выражениями [c.217]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...