Движение волчка твердых тел

Прошло уже 110 лет с тех пор, как С. В. Ковалевская открыла новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (1888 г.). Однако до сих пор о качественных свойствах движения тела в этом случае известно очень мало. Все параметры движения выражены через время при помощи квадратур, однако они настолько громоздки, что не позволяют непосредственно изучить вращение твердого тела. Были даже поставлены эксперименты с волчком Ковалевской (проф. Мерцалов, см. [30]), но при этом результаты получились очень запутанными и не привели к выявлению существенных закономерностей движения. Запутанность движения оси динамической симметрии в этих экспериментах объясняет, по-видимому, тот факт, что в общем случае множество D ( 4) на неподвижной единичной сфере является двумерной областью, и траектория точки р ( 4) заполняет эту область всюду плотно. [c.224]

В такой форме система (12), (13) с точностью до формальной замены ю на —ю совпадает с уравнениями Эйлера —Пуассона движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в системе координат, жестко связанной с телом (см., например, [74] или [8, Добавление 5]). Напомним, что для механического волчка означает массу тела, —радиус-вектор центра инерции, V—единичный вектор в направлении силы тяжести. [c.32]

Уравнения движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Если твердое тело движется таким образом, что какая-нибудь одна его точка остается неподвижной, то такое движение называется движением твердого тела вокруг неподвижной точки или сферическим движением. При этом неподвижная точка может или принадлежать телу, или находиться вне тела, но тогда следует представлять себе, ЧТО она каким-нибудь образом неизменно связана с телом, например при помощи стержня. Примером твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, может служить волчок, заостренный конец ножки которого упирается в гнездо, сделанное в подставке, так что этот конец ножки при вращении волчка остается неподвижным. [c.375]

Пример. Детский волчок представляет собой тяжелое твердое тело, имеюш ее форму тела вращения, причем центр масс С лежит на оси вращения волчка достаточно высоко от относительно тонкого опорного острия А (рис. 118). Обычно при достаточной угловой скорости вращения детский волчок, запущенный на шероховатой горизонтальной новерхности, встает в вертикальное положение. Чтобы использовать общие теоремы об относительных движениях для объяснения отмеченного явления, реакции шероховатой опорной горизонтальной площадки, т. е. нормальную реакцию N и силу трения Т, присоединим к данным [c.159]

Исследуем движение твердого тела, одна точка которого в процессе движения остается неподвижной. Примером такого движе-айя служит волчек, у которого остается неподвижной точка опоры. [c.72]

В исключительных случаях может оказаться, что тело А заканчивается острием т, которым оно скользит по телу В наподобие волчка, скользящего по плоскости. В этом случае тело А всегда касается тела В одной и той же точкой т, и если относительная скорость точки т по отношению к В становится равной нулю и такой остается, то в этом случае применимы законы трения скольжения в состоянии покоя, и движение тела А относительно тела В есть движение твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.107]

Частный случай. Рассмотрим волчок, движущийся вокруг закрепленной точки О своей оси. Удерживая конец z оси волчка рукой, расположим ось так, чтобы она образовала с вертикалью угол 6д, отличный от О и от тс. После этого сообщим волчку при помощи, например, навернутой на него нити очень большую угловую скорость Го вокруг оси Oz.. Пока конец z оси волчка удерживается рукой, волчок представляет собой твердое тело, вращающееся вокруг своей главной оси Ог угловая скорость Го сохраняется, и давления в точке О и на пальцы будут такими же, как если бы волчок не вращался (п. 360, частный случай). Что произойдет, если отпустить конец а Волчок будет тогда двигаться вокруг точки О, и движение будет происходить согласно предыдущим законам. В рассматриваемом случае волчок вращается сначала вокруг оси Ог следовательно, начальные значения и величин р п q равны нулю. [c.181]

Хотя мы не рекомендуем эту книгу для систематического изучения динамики твердого тела, тем не менее, в ней содержится много материала, который нелегко найти в других источниках. В частности, в главе VII этой книги содержится полное и подробное описание движения Пуансо, а также движения тяжелого симметричного волчка, причем получены точные решения, выраженные через эллиптические функции. Кроме того, заслуживает внимания глава, посвященная некоторым сложным задачам, связанным с качением твердых тел. [c.205]

Основанный на элементарных принципах, этот учебник содержит все же подробное описание движения Пуансо и движения тяжелого симметричного волчка. Кроме того, в этой книге имеются некоторые точные формулы, описывающие движение волчка с помощью эллиптических функций. Некоторые небольшие разделы этой книги посвящены качению твердых тел и техническим применениям гироскопов (главным образом гирокомпасу). [c.205]

Если сила Г не зависит от угловой скорости, а момент М — от скорости поступательного движения, то уравнения (25.1) и (25.2) можно рассматривать независимо друг от друга. В баллистике, например, это не имеет места. В случае же, когда такое раздельное рассмотрение этих двух уравнений допустимо, уравнение (25.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (25.2) — задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или, короче, задаче о движении волчка. [c.178]

Вращение волчка является примером движения твердого тела. Твердое тело представляет собой одну из систем, для которых голономные, не зависящие от времени связи уменьшают число степеней свободы до шести в рассматриваемом случае это число уменьшается до трех за счет требования, чтобы ножка волчка находилась в соприкосновении с землей в некоторой закрепленной точке. Если пренебречь силами трения, которые могут [c.44]

Волчок на абсолютно гладкой плоскости. Пусть эллипсоид инерции твердого тела для его центра масс представляет собой эллипсоид вращения. Задача о движении волчка по плоскости состоит в исследовании движения этого тела в поле тяжести в предположении, что одна из точек тела, лежащая на оси динамической симметрии, движется по горизонтальной плоскости. Будем считать, что волчок имеет настолько острый конец, что его можно принять за острие, оканчивающееся точкой D. При движении волчка его точка D все время остается на неподвижной горизонтальной плоскости (рис. 116). [c.223]

Вращающийся волчок. Обратимся теперь к задачам о движении твердого тела, имеющего ось симметрии. Начнем с известной задачи о вращающемся волчке, рассматривавшейся нами в 8.6 — 8.10 на основе метода Лагранжа. До сих пор уравнения Гиббса — Аппеля мы использовали только в неголономных системах, где наиболее ярко проявляются их преимущества. Разумеется, их можно применить и к голономным системам, в частности к задаче о волчке. Помещая начало координат О в острие волчка и направляя [c.230]

Волчок симметричный и несимметричный, много чертежей. Относительное движение твердого тела на врап ающейся Земле. Системы твердых тел. Гироскопическая устойчивость. [c.443]

До сих пор мы рассматривали внешнее трение как результат взаимного скольжения двух соприкасающихся твердых тел. Может ли быть трение в тех случаях, когда при движении соприкасающихся тел отсутствует скольжение соприкасающихся участков их поверхностей Первый пример, 1 оторый как будто позволяет дать положительный ответ на этот вопрос, — это трение верчения, например трение о пол опоры вертящегося волчка или трение стрелки компаса, вращающейся вокруг острия, служащего его точкой опоры. [c.223]

Метод Четаева был применен для получения функции Ляпунова и при исследовании других случаев движения твердого тела. Для теории гироскопов имеет значение проведенное этим методом самим Четаевым исследование устойчивости вертикального волчка с учетом массы колец его карданова подвеса при вертикальной оси внешнего кольца. В. В. Румянцев исследовал устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг вертикальной оси при различных допущениях, в том числе и для волчка Ковалевской. На основе метода Четаева дано новое доказательство устойчивости регулярной прецессии волчка Лагранжа. Тем же методом пользовались при исследовании устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне. [c.135]

Ж. Лагранж нашел общее решение уравнения Эйлера для твердого тела, у которого равны моменты инерции относительно двух главных осей, а центр масс смещен относительно точки опоры вдоль третьей главной оси. При этом предполагалось, что на тело действуют лишь силы равномерного поля тяготения. Несмотря на это строгое ограничение, случай Лагранжа описывает движение волчка с фиксированной точкой опоры, если игнорировать силы сопротивления, возможные неправильности формы волчка и подобные факторы. [c.138]

Эти явления легко объяснить, исходя из основного закона движения твердого тела, закрепленного в точке. Так как моменты сил трения в подшипниках ничтожно малы и момент силы тяжести относительно точки закрепления равен нулю, то при движении прибора на вращающийся диск не действуют моменты внешних сил следовательно, вектор момента количества движения будет сохранять постоянное значение и неизменное направление в пространстве. Ось гироскопа вначале совпадала по направлению с моментом количества движения, и далее она будет совпадать с ним и сохранять неизменное направление в пространстве. По той же самой причине сохраняет направление своей оси и летящий волчок (см. рис. 182). Во время полета волчок свободен, момент силы тяжести относительно центра масс равен нулю, одна сила тяжести не может изменить вращение тела. Поэтому волчок в полете сохраняет постоянным момент количества движения по величине и направлению. [c.241]

Особенные случаи движения твердого тела. Спящий волчок. [c.425]

В качестве еще одного примера рассмотрим возмущенное движение волчка Лагранжа (см. 5, гл. II). Более точно, речь пойдет о вращении тяжелого динамически симметричного твердого тела 1 = /г), У которого центр масс слегка смещен относительно оси динамической симметрии. Пусть Г1,гг,гз—координаты центра масс относительно осей инерции. Фиксируя значение гз ф О, [c.189]

Отдельного описания заслуживают эксперименты с волчком, содержащим жидкость. Уже при первой же попытке эксперимента с полостью довольно малого объема (отношение веса жидкости к весу тела 0,1) было обнаружено заметное сокращение длительности второй фазы движения волчка по сравнению с твердыми волчками ( в 5 раз). Однако получить траектории, выходящие из области Г 21 (рис. 17а) не удалось. Наверное, величина момента сил вязкости была слишком малой. [c.360]

Волчок. Рассматривается движение тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку О на оси Oz, являющейся осью симметрии эллипсоида инерции тела в точке О. Вводим полуподвижную систему осей /г, /г, о которой говорилось в разделе 4° п. 2.10, [c.357]

Рассмотрим движение по отношению к системе отсчета OxiijiZi твердого тела, закрепленного так, что одна его точка О остается во все время движения неподвижной. Такое движение совершает, например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры о пло-скость или любое другое тело, закрепленное в точке О шаровым шарниром. [c.147]

Примером сферического движения твердого тела может служить ЛБиже)1ие волчка, имеющего неподвижную точку О (рис. 361). [c.274]

Блестящих результатов в самых различных отделах механики достиг гениальный ученый Николай Егорович Жуковский (1847—1921), основоположник авиационных наук экспериментальной аэродинамики, динамики самолета (устойчивость и управляемость), расчета самолета на прочность и т. д. Его работы обогатили теоретическую механику и очень многие разделы техники. Движение маятника теория волчка экспериментальное определение моментов инерции вычисление пла нетных орбит, теория кометных хвостов теория подпочвенных вод теория дифференциальных уравнений истечение жидкостей сколь жение ремня на шкивах качание морских судов на волнах океана движение полюсов Земли упругая ось турбины Лаваля ветряные мельницы механизм плоских рассевов, применяемых в мукомольном деле движение твердого тела, имеющего полости, наполненные жидкостью гидравлический таран трение между шипом и подшипником прочность велосипедного колеса колебания паровоза на рессорах строительная механика динамика автомобиля — все интересовало профессора Жуковского и находило блестящее разрешение в его работах. Колоссальная научная эрудиция, совершенство и виртуозность во владении математическими методами, умение пренебречь несущественным и выделить главное, исключительная быстрота в ре-щении конкретных задач и необычайная отзывчивость к людям, к их интересам — все это сделало Николая Егоровича тем центром, вокруг которого в течение 50 лет группировались русские инженеры. Разрешая различные теоретические вопросы механики, Жуковский являлся в то же время непревзойденным в деле применения теоретической механики к решению самых различных инженерных проблем. [c.16]

Вращательные уровни энергии — это уровни, связанные с вращательным движением молекулы как целого. Вращение молекул приближенно рассматривают как свободное вращение твердого тела с тремя моментами инерции вокруг трех взаимно перпендикулярных осей. При этом возможны три случая 1) сферический волчок (все три момента инерции одинаковы) 2) симметричный волчок (два момента инерции одинаковы, третий отличен от них) 3) асимметричный волчок (все три момента инерции различны). Разности энергий соседних вращательных уровней составляют от сотых долей электрон-вольта для самых легких молекул до стотысячных долей электрон-вольта для наиболее тяжелых молекул. Вращательные переходы непосредственно изучаются методами инфракрасной спектроскопии и комбинационного рассеяния света, а также методами радиоспектроскопии. Колебательно-вращательные спектры получаются в ре-дультате того, что изменение колебательной энергии сопровождается одновременными изменениями вращательной энергии. Такие изменения происходят и при электронно-колебательных переходах, что и обусловливает вращательную структуру электронно-колебательных спектров. [c.228]

Угол ф изменяется в этом случае монотонно, и поэтому можно сказать, что ось волчка прецессирует около вертикальной оси. Однако это движение не является регулярной прецессией, встречавшейся нам в случае свободного движения твердого тела, так как в данном случае ось волчка не только вращается вокруг вертикали, но и колеблется вверх и вниз между граничными углами 0i и 02. Таким образом, рассматриваемый волчок нутирует во время прецессии. [c.190]

По динамике твердых тел имеется весьма обширная литература, представленная не только книгами, специально посвященными этому вопросу, но и общими курсами механики. Большинство таких книг относится к концу прошлого столетия или близко к этому времени, и авторы их следуют традиционному изложению динамики твердого тела, развитой к тому времени. Одной из лучших книг этих лет является рекомендуемый общий курс Вебстера (первое издание вышло в 1904 г.). По сравнению с учебником Уиттекера книга Вебстера охватывает больший круг вопросов (она содержит теорию потенциала, теорию упругости и гидродинамику), но общий уровень ее является более элементарным. Тем не менее, в ней затрагиваются многие современные вопросы. Изложение ее является логически последовательным и в меньшей степени формальным, чем у Уиттекера, а также более физическим и более изящным. Векторным аппаратом автор не пользуется, так как в то время, когда писалась эта книга, векторное исчисление практически только зарождалось. Вторая часть этой книги посвящена динамике твердого тела и содержит подробное исследование движения симметричного волчка при отсутствии сил. Движение тяжелого волчка исследуется здесь методом, подобным изложенному в настоящей главе, но более длинно. [c.205]

В некоторых задачах принцип Даламбера оказывается даже более гибким, чем более развитый принцип наименьшего действия. Дифференциальные уравнения движения, определяющие ускорения движущейся системы, являются уравнениями второго порядка. Ускорение qi — это вторые производные координат qi или первые производные скоростей qi. Может, однако, оказаться более удобным — и такая ситуация встречается, в частности, в динамике твердого тела — характеризовать движение при помощи некоторых скоростей, не являющихся производными действительных координат. Такие величины называют кинематическими переменными . Хорошим примером является вращение волчка вокруг оси симметрии. Его можно охарактеризовать угловой скоростью вращения со = defi it, где d p — просто бесконечно малый угол поворота, а не дифференциал от какого-либо угла ф, так как такой угол ф существует лишь в случае, если ось симметрии закреплена. Тем не менее и при незакрепленной оси удобно использовать d(f/dt как величину, характеризующую движение волчка. В принципе наименьшего действия нельзя использовать кинематические переменные, а в принципе Даламбера можно. [c.117]

Так как мы допустили, что точка соприкосновения ножки волчка с плоскостью не лежит на оси (OgS O) и что, с другой стороны, движение твердого тела мало отличается от простого вращения с значительной угловой скоростью около оси Gz, то очевидно, что трение, действуя в любой момент в направлении, прямо противоположном скорости точки волчка, приходящей в соприкосновение с плоскостью, стремится уменьшить величину л угловой скорости вращения. Если предположим для определенности г > О, то будем иметь Дг < О и потому на основании соотношения (44 ) будет [c.216]

Уравнения (279) имеют точно форму уравнений Лагранжа, но Н теперь содержит также члены первой степени относительно скоростей. Движения не могут происходить точно в обратном порядке. Маятник, с которым соединен вращающийся волчок, имеет (как мы это уже видели в 22) для колебаний, при которых его центр тяжести движется по кругу, разные периоды колебаний для одного и для другого направлении обращения, в то время как волчок вращается в одну и ту же сторону. Совершенно аналогично этому потенциал электрических токов, если имеются постоянные магниты, содержит члены, линейные относительно сил тока или скоростей. От этого обстоятельства зависит электромагнитное вращение плоскости поляризации света. Эта поразительная аналогия, разумеется, не служит доказательством того, что при только что упомянутых физических явлениях действительно играют роль скрытые вращательные движения. Но эта аналогия может быть самым естественным образом объяснена этой гипотезой и указывает во всяком случае на то, что сравнительное изучение обоих родов явлений обещает объяснение дальнейших фактов. Движение твердого тела, рассматриваемое в описанном примере, является, между прочим, чистым моноциклом, если силы 9I и имеют как раз такие значения, что А иС меняются очень медленно в сравнении с В, в противном случае это — смешанный моноцикл. [c.495]

После введения углов Эйлера выводятся два уравнения движения твердого тела одно —описывающее его поступательное движение, другое — его вращательное движение. Получено выражение для кинетической энергии твердого тела, записанное через его моменты инерции и угловые скорости, отнесенные к главным осям тела. Выведены уравиенпя Эйлера и прилагаются к рассмотре-н по твердых тел, на которые не действуют внешние силы, и к рассмотрению тяжелого симметричного волчка. Обсуждается прецессия и нутация земной оси, обусловленная солнечными и лунными силами тяготения. В последнем параграфе рассматриваются силы Кориолиса и их влияние на свободное падение тел и движение сферического маятника (маятник Фуко). [c.98]

Как известно, еще в 1758 г. Л. Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела вокруг неподвижно точки (полюса), когда центр тяжести совпадает с полюсом, а вое силы сводятся к равнодействующей, проходящей через эту неподвижную точку. В 1834 г. Л. Пуансо дал геометрическую интерпретацию этого случая. В 1788 г. Лагранж (и независимо от него в 1815 г. С. Пуассон) рассмотрел случай, когда тело имеет ось сиАГметрии, проходящую через неподвижную точку, и движется под действием только силы тяжести, точка приложения которой лежит на оси симметрии и не совпадает с полюсом (симметрический тяжелый гироскоп — волчок). Обе задачи сводятся в общем случае к квадратурам, и их решения выражаются через эллиптические функции. [c.246]

Далее. Как мы зиаем, закон инерции устанавливает эквивалентность относительного покоя и равномерного прямолинейного движения — движения по инерции. Ибо нельзя никаким механическим опытом установить, покоится ли данное тело или движется равномерно и прямолинейно. Во вращательном движении это не так. Например, совсем не безразлично, покоится ли волчок или вращается равномерно, с постоянной угловой скоростью. Как отмечает академик А. Ю. Ишлинский, угловая скорость твердого тела является величиной, характеризующей его физическое состояниеУгловая скорость может быть определена (например, с помощью гироскопа или измерением центростремительных сил) без какой-либо информации о положении тела по отношению к абсолютной системе координат. Поэтому термин абсолютная угловая скорость тела в отличие от абсолютной скорости точки должен употребляться в прямом смысле (без кавычек). [c.32]

Пусть имеем твердое тело с одной неподвижно закрепленной точкой, вокруг которой это тело может как угодно поворачиваться. С таким случаем мы встречаемся, например, при движении тела, закрепленного при помощи сферического шарнира, или при движении волчка, когда заостренный конец ножки волчка опирается на подставку (или на горизонтальную новерхностьстола) и остается неподвижным. Будем называть движение такого тела с одной неподвижной точкой движением вокруг этой неподвижной точки. [c.330]

В одной из работ Н. Е. Жуковского [31] предложено локальное геометрическое представление вращения волчка Ковалевской. Из него, правда, трудно сделать конкретные выводы о движении твердого тела в целом. Дело в том, что фигурирующие в интерпретации И. Е. Жуковского некоторые вспомогательные конические поверхности в общем случае не являются замкнутыми (в действительности они всюду плотно замощают целые области трехмерного пространства). [c.224]

В широком смысле слова гиро скоп представляет однородное твердое тело, имеющее ось симметрии и способное вращаться с большой угловой скоростью около мгновенной оси вращения, проходящей через закрепленную точку, лежащую на оси симметрии гироскопа. В технике гироскопом называют массивный маховик, смонтированный таким образом, что при быстром вращении маховика его ось может перемеи аться в пространстве около одной из неподвижных точек оси симметрии маховика (фиг. 209), ГТримером гироскопа является игрушечный волчок, у которого острие оси вращения помещено в небольшое углубление на плоскости. Неподвижной точкой волчка и будет точ-ка соприкосновения его оси с плоскостью (фиг. 210). Впервые задача о движении симме- Фиг. 210 [c.461]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...