Перманентное вращение устойчивое

Для определения характера экстремума W при = нужно вычислить вторую производную Wi анализ которой показывает, что функция W не имеет минимума лишь при o i = 0, u = v, и <4АР и, следовательно, лишь это стационарное движение неустойчиво. Все остальные стационарные движения, и прецессии и перманентные вращения, устойчивы. [c.67]

Вопрос об устойчивости перманентных вращений будет рассмотрен в гл. VI, [c.200]

В гл. V было показано, что коэффициенты А, В и С представляют собой моменты инерции относительно осей т], соответственно. Отсюда сразу следует, что при движении тела с неподвижной точкой перманентное вращение вокруг тех главных осей, относительно которых момент инерции наименьший и наибольший, будет устойчивым. Применяя теорему Четаева о неустойчивости, можно показать, что перманентное вращение вокруг третьей оси (момент инерции относительно которой — средний по величине) неустойчиво. [c.235]

Мы предполагаем здесь исследовать на основе критериев, установленных в 4 гл. IV, устойчивость или неустойчивость перманентных вращений, которые, как мы видели в предыдущем параграфе, возможны для всякого твердого тела, закрепленного в одной из своих точек О, относительно которой результирующий момент внешних активных сил постоянно равен нулю заметим также, что все, что мы скажем в этом случае, можно будет непосредственно повторить и в применении к перманентным вращениям относительно осей, проходящих через центр тяжести свободного твердого тела, находящегося под действием внешних сил, результирующий момент которых относительно центра тяжести постоянно равен нулю. [c.94]

Покажем теперь, что вращения Oj, а , т. е. перманентные вращения вокруг наибольшей оси х и наименьшей оси z эллипсоида инерции, будут устойчивыми, а перманентные вращения вокруг средней оси у, т е. вращения Од, будут неустойчивыми. [c.94]

Устойчивые перманентные вращения. Мы будем исходить в нашем исследовании из интеграла моментов количеств движения и интеграла живых сил [c.95]

Аналогично доказывается и устойчивость любого решения <3д, т. е. устойчивость всякого перманентного вращения вокруг наименьшей оси эллипсоида инерции (фиг. 15). [c.96]

Легко убедиться, что предположение об устойчивости решения Og приводит к противоречию. В самом деле, предположим, что в некотором решении а, вначале близком к решению ад, величина q даже при беспредельном возрастании времени остается близкой K.q — угловой скорости этого перманентного вращения. В этом предположении q сохраняет сколь угодно долго знак q, что же касается абсолютной величины q, то ее всегда можно считать большей q /2. Тогда, имея из уравнений (5 ) [c.96]

Случай тела с гироскопической структурой. Предыдущие результаты получены в предположении, что три главных момента инерции относительно точки О неравны между собой поэтому нужно отдельно рассмотреть случай, когда некоторые из моментов инерции совпадают. Однако бесполезно останавливаться на предположении Л = В = С (эллипсоид инерции, сводящийся к шару), при котором, как мы знаем, все возможные движения твердого тела сводятся к перманентным вращениям, так что устойчивость каждого из них очевидна. [c.97]

Остается, следовательно, гироскопический случай, характеризуемый равенством А = В (С может быть, безразлично, больше или меньше общего значения величин А и В). В этом предположении возможны, как мы видели, перманентные вращения (с постоянной произвольной угловой скоростью) вокруг бесконечного множества осей гироскопической оси г и всех экваториальных осей. Мы покажем здесь, что устойчивыми будут перманентные вращения вокруг гироскопической оси, и неустойчивыми — все остальные. [c.97]

Обращаясь теперь к любому перманентному вращению а г = г, p = q = Q) вокруг гироскопической оси, мы увидим, что для любой регулярной прецессии а, вначале близкой к а, т. е. такой, что и близки к нулю, изображающая точка для р, q движется сколь угодно долго по окружности с весьма малым радиусом (21"), а потому ряд остаются всегда близкими к нулю, и устойчивость вращения а, таким образом, доказана. [c.98]

В этом именно смысле мы и будем рассматривать сначала устойчивость перманентных вращений гироскопа вокруг гироскопической оси (расположенной вертикально), а затем устойчивость других перманентных вращений и регулярных прецессий. [c.140]

Переходя к явлениям движения, мы видим прежде всего, что устойчивость перманентных вращений (с произвольной угловой скоростью) вокруг гироскопической оси, направленной вниз (s=l, [c.141]

Указанные только что перманентные вращения обладают одним замечательным свойством в то время как для угловых скоростей, недостаточно больших (т. е. для значений X, меньших некоторого критического значения X ), эти движения неустойчивы, они становятся устойчивыми по отношению к р, q, г, S-, как только угловая скорость достигнет критического значения X, и в особенности, когда она превзойдет это значение (т. е. при Х >Х ). В этом и заключается явление, известное под названием гироскопической стабилизации. Заметим теперь же, что особенно отчетливо оно осуществляется в движении волчка. Волчок, опирающийся на пол концом оси, направленной вертикально вверх, неустойчив в состоянии покоя и остается неустойчивым, если ему сообщить небольшую угловую скорость около оси симметрии. Достаточно, однако, сообщить волчку значительную угловую скорость, для того чтобы он, несмотря на неизбежные возмущения, происходящие, например, от колебаний воздуха и пола, держался долгое время прямо при этом всякому, кто смотрит на него издали, он будет казаться неподвижным (спящий волчок). [c.141]

Итак, мы видим, что для рассматриваемых здесь перманентных вращений приведенная устойчивость по отношению к величинам S, р, q (и г) не отличается от устойчивости, приведенной к одной величине s. [c.142]

В этом случае, предполагая, как обычно, что Х , h , достаточно малы по абсолютной величине, найдем, что число s, близкое к S, будет также лежать вне интервала (—1, +1), а два других нуля будут необходимо очень близки к —1. Таким же, следовательно, будет и наибольший из них, который мы обозначим через Так как при S > 2 имеем / (s) < О, то мы можем быть уверены, что во всяком действительном решении о (будет ли s действительно изменяться вместе с t или оставаться постоянным) число s не превзойдет уже и останется, следовательно, сколь угодно близким к —1. Поэтому заключаем, что всякое перманентное вращение о, угловая скорость которого удовлетворяет неравенству (79), будет устойчивым. [c.143]

Метод Четаева был применен для получения функции Ляпунова и при исследовании других случаев движения твердого тела. Для теории гироскопов имеет значение проведенное этим методом самим Четаевым исследование устойчивости вертикального волчка с учетом массы колец его карданова подвеса при вертикальной оси внешнего кольца. В. В. Румянцев исследовал устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг вертикальной оси при различных допущениях, в том числе и для волчка Ковалевской. На основе метода Четаева дано новое доказательство устойчивости регулярной прецессии волчка Лагранжа. Тем же методом пользовались при исследовании устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне. [c.135]

Заметим, что возникновение асимптотической устойчивости по части переменных характерно и для твердых тел с полостями, содержащими сильно вязкую жидкость [Румянцев, 1967]. Кроме того, асимптотическая устойчивость по части переменных при отсутствии активных внешних диссипативных сил является существенной особенностью задачи устойчивости перманентных вращений твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости [Карапетян, 1981 Марке-ев, 1992] см. раздел 1.1.4. [c.22]

В частности, показано [Карапетян, 1981], что в задаче устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали кельтских камней, движущихся на абсолютно шероховатой поверхности, возникает интересное явление частичной асимптотической устойчивости несмотря на отсутствие активных диссипативных сил имеет место не только устойчивость по Ляпунову, но и асимптотическая устойчивость по части переменных. Асимптотически устойчивые переменные являются основными для данной задачи и характеризуют отклонение оси вращения тела от вертикали. Подобного явления не возникает при движении на абсолютно гладкой поверхности. [c.27]

Если 7з = +1, то центр масс шара занимает наинизшее положение. Соответствующие перманентные вращения будут устойчивы (неустойчивы) при выполнении условия [c.439]

Очевидно, что данное неравенство выполнено при любом значении i константы интеграла (26). Таким образом, перманентные вращения шара с наинизшим расположением центра масс всегда устойчивы. [c.439]

Неравенство (35) представляет собой условие устойчивости перманентных вращений шара с наивысшим расположением центра масс. [c.439]

Прямая, полученная в этом сечении, соответствует перманентным вращениям шара вокруг оси динамической симметрии при наивысшем расположении центра масс. Видно, как от этой прямой ответвляются устойчивые регулярные прецессии шара. [c.441]

Таким образом, согласно критерию Гурвица, перманентные вращения (72) с о О устойчивы при выполнении условий [26, 30, 31 [c.452]

Устойчивость перманентных вращений около главных осей эллипсоида инерции, [c.453]

Устойчивость перманентного вращения около оси Ог дока-зывается аналогичным приемом. Полученные теоретически результаты об устойчивости перманентных вращений около главных осей Ох и Ог и неустойчивости около оси Оу легко проверить экспериментально . [c.456]

Исследована орбитальная устойчивость периодических движений в некоторых механических системах с соударениями. Подробная библиография работ приведена в статье [92]. В задаче об устойчивости перманентного вращения тела вокруг вертикали при наличии его соударений с абсолютно гладкой горизонтальной плоскостью обнару- [c.125]

Доказать устойчивость перманентных вращений твердого тела в случае Эйлера около наибольшей и наименьшей осей эллипсоида инерции [А < В <С). [c.285]

Рис. 5. Фазовый портрет задачи Эйлера. Устойчивые неподвижные точки и прямые Ь = О соответствуют устойчивым перманентным вращениям относительно большой и малой осей, неустойчивые точки — вращениям вокруг средней оси инерции, сепаратрисы образуются двоякоасимптотическими траекториями, связывающими неустойчивые перманентные вращения.

Рис. 14. Полодии (аз < аг < ах). В общем случае представляют собой пространственные алгебраические кривые четвертого порядка. В двух особых случаях они представляют собой пересекающиеся эллипсы — сепаратрисы, которые заполнены двоякоасимптотическими движениями к неустойчивым перманентным движениям вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующих точкам пересечения эллипсов. Полодии вырождаются в точки для перманентных вращений вокруг малой и большой оси эллипсоида инерции, которые являются устойчивыми.

Устойчивость по Ляпунову рассматриваемого движения тела была исследована В. В. Румянцевым (Румянцев В. В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела.—ПММ, 1956, т. XX, вып. 1, с. 51—56). (Прим. перев.) [c.192]

Вступительное замечание. Должно заметить, что как перманентные вращения, устойчивость которых, вообще говоря,, может быть исследована [35], так и маятникообразные движения, оставляя неподвижной не одну точку тела, а целую прямую, мало характерны для собственно гироскопов. Поэтому мне представлялось пебез-интересным проследить область распространения следующей по сложности, но зато более характерной для гироскопов и тоже довольно наглядной группы простейших движений, ограничиваясь, однако, только кинетически симметричными тяжелыми гироскопами. Эха груш1а устанавливается, по-моему, движением кинетически сим- [c.133]

Пример. В качестве примера решения задачи об устойчивости движения путем надлежащего выбора функции Ляпунова V рассмотрим задачу об устойчивости перманентных вращений твердого тела, движущегося по инерции относительно неподвижной точки. В гл. V было показано, что уравргения движения по инерции тела с неподвижной точкой можно записать так [c.234]

Легко видеть, что эта функция непрерывна, обращается в нуль в начале координат и положительна в остальных точках вблизи него. Следовательно, функция V удовлетворяет условиям, при которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dVidt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция V и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1 устойчиво. [c.235]

Имея в виду исследование устойчивости, которым мы будем заниматься в ближайшем параграфе ( 7), возьмем снова уравнение (48), чтобы посмотреть, каким условиям должны удовлетворять постоянные интегрирования X, h, k, для того чтобы движение гироскопа сводилось к перманентному вращению BOKpvr гироскопической оси, расположенной вертикально. [c.132]

Отметим еще, что можно найти оси перманентных вращений тела и исследовать их устойчивость. Это сделано Г. К. Пожарицким в работе [62 [c.386]

П о ж а р и ц к и й Г. К., Об устойчивости перманентных вращений твердого тела с закрепленной точкой, находящегося в ньютоновском центральном поле сил. Прикладная математика и механика, 1959, т. ХХП1, вып. 4, 722—793. [c.414]

При общих предположениях о характере аэродинамического воздействия в работах Б. Я. Локшина [107-110] были исследованы вопросы существования и устойчивости стационарных режимов движения в среде. Интересна также задача об устойчивости перманентного вращения тела в потоке среды (режима авторотации [141], см. также [19] и работы В. А, Привалова и В. А. Самсонова [112-114, 131]). Специальная конструкция поверхности тела и гипотеза о квазистатиче-ском воздействии среды позволили сформулировать полную схему сил, в которую входят массовые, геометрические и аэродинамические характеристики. Исследованы режим авторотации и его устойчивость. Смоделирован эффект Магнуса, неконсервативный характер которого оказывает заметное влияние на свойство устойчивости вращения тел в среде. [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...