Первый интеграл частный

При р = A l (первый резонанс) частный интеграл первого дифференциального уравнения системы (15) имеет вид [c.351]

В частном случае, если функция F явно не зависит от х, то уравнение Эйлера дает первый интеграл. Действительно, умножая обе части уравнения (47) на z, получим [c.418]

Отсюда просто доказывается известная теорема Пуассона. Если Ф = а и Oi = ai — два первых интеграла канонических уравнений движения, то будут существовать частные решения уравнений в вариациях Пуанкаре [c.236]

Интеграл живой силы, — Интегралом живой силы называют первый интеграл уравнений движения, получающийся в том частном случае, когда точка движется в силовом поле и равнодействующая сил, приложенных к точке, имеет силовую функцию элементарная работа выражается в виде d s, а полная работа равна разности значений силовой функции в крайних положениях движущейся точки. Поэтому интеграл в правой части уравнения (2) непосредственно вычисляется. Уравнение (2) принимает вид [c.158]

Здесь имеется частный случай, когда один этот первый интеграл достаточен для полного определения движения, — это случай, когда эллипсоид инерции относительно неподвижной точки О сводится к шару (А = В = С), благодаря чему уравнения (4) оказываются равносильными одному векторному уравнению [c.83]

Дифференциальные уравнения ДВИЖЕНИЯ, Мы будем рассматривать здесь один из тех случаев, когда благодаря некоторым частным предположениям (которые можно оправдать на основании физических соображений) удается указать для уравнений движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, существование еще одного первого интеграла и, следовательно, на основании теоремы Лиувилля, упомянутой в п. 24, привести задачу к квадратурам. [c.111]

Обращение в нуль G происходит тогда, когда существует интеграл Якоби или вообще какой-нибудь однозначный пространственный интеграл. Пусть / (xi, Х2, Хп, fi) есть такой интеграл. Частную производную df/dXr обозначим через /г- Предположим, что ас = а не является стационарной точкой функции / (зс 0), т. е. не все производные (а 0) равны нулю. Тогда в силу (21.1.9) и (30.7.13) т — i первых производных /г (а 0) не могут все равняться нулю, и, расположив переменные в определенном порядке, мы всегда мон<ем считать, что [c.615]

Лагранжа, вот принцип наименьшего действия. Я его изложу иначе, а именно так 1°. я буду пользоваться любыми координатами, 2°. (что существенно) условия минимума и максимума я заменю условиями интегрируемости. Вам, конечно, известно, что условия интегрируемости играют очень большую роль в механике, например в гидростатике и гидродинамике. Я утверждаю, что вся механика есть вопрос интегрируемости, это условие содержит в себе первое как частный случай оно требует только, чтобы вариация была интегрируемой, тогда как условие максимума требует не только, чтобы эта вариация была интегрируемой, но и того, чтобы ее интеграл обращался в нуль. [c.772]

Весь процесс интегрирования требует, таким образом, прежде всего нахождения величины ру из данного уравнения в частных производных. Как только это сделано, то разыскиваем, во-первых, интеграл системы 2(п — 1) дш )ференциальных уравнений [c.265]

При некоторых частных законах связи между термодинамическими переменными, описывающими газ, можно найти первый интеграл уравнения (1.1), который имеет вид зависимости между переменными v, р, /з, выполняющейся в любой точке стационарного потока. Рассмотрим два частных случая [c.7]

Функции, принадлежащие к классу допустимых в нашей вариационной задаче, должны, кроме выполнения граничных условий, иметь непрерывные частные производные первого порядка частные же производные второго порядка, если они и не будут конечными, должны быть таковы, чтобы интеграл работы деформации (5) имел конечное значение. [c.152]

В выражении (18) первый интеграл представляет собой общее решение однородной системы уравнений, соответствующей (15), второй интеграл-частное решение системы (15) при нулевых начальных условиях. Таким образом, решение системы дифференциальных уравнений (15) на fe-M шаге итерационного процесса получено в виде [c.314]

Задача 2. Ее формулировка подобна формулировке задачи 1 с той лишь разницей, что вместо частного интеграла отыскивается первый интеграл уравнения (10.2.41). [c.826]

Эти уравнения вместе с (3.1) представляют собой замкнутую систему, описывающую движение кругового цилиндра единичного радиуса и N точечных вихрей. Частный случай этих уравнений (Г = Г, = 1) разобран в [6], там же указан первый интеграл этих уравнений. Дополнительный первый интеграл получен в [5], и тем самым интегрируемость в случае = 1 доказана. [c.319]

Качественное исследование показывает, что решение требуемого вида существует. В частном случае Я,/ p = Vз(д,, что является хорошим приближением для воздуха, существует первый интеграл и решение находится в явном виде. (Величина (д,СрД представляет собой число Прандтля и равняется 0,71 для воздуха при обычных температурах.) Для такого значения Я,/ср уравнение (6.131) можно переписать так [c.188]

Из теории дифференциальных уравнений известно, что (5.34) есть необходимое и достаточное условие существования первого интеграла системы дифференциальных уравнений (5.32) ). Поэтому на (5.34) мы можем смотреть как на линейное уравнение в частных производных первого порядка, п независимых решений которого представляют собой совокупность независимых первых интегралов системы (5.32). Обозначим какой-нибудь из этих интегралов через [c.290]

Обозначим через f(q, р t) первый интеграл системы (5.24). Очевидно, что теперь уравнение (5.34) в частных производных первого порядка будет иметь вид [c.291]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Найден полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка. В него входят постоянные интегрирования а, р, Л и аддитивная постоянная С. [c.376]

Такое соотношение, поскольку оно в отличие от интеграла не содержит произвольных постоянных, определяет некоторое свойство, принадлежащее только части решений системы, т. е. решениям, начальные значения которых подчиняются тому же соотношению. Очень простой пример инвариантного соотношения представляет собой всякий интеграл /= onst, в котором произвольной постоянной приписывается какое-нибудь частное значение поэтому, как и в аналогичном случае систем дифференщ1альных уравнений второго порядка (гл. VIII, п. 58), инвариантные соотношения называются также частными интегралами. Если мы обратимся к представлению в пространстве X, t графиков движения, то из самого определения увидим, что всякое инвариантное соотношение (47) определяет в нем гиперповерхность, образованную оо"- графиков движения (или интегральных кривых) системы (36) но в данном случае мы имеем отдельную гиперповерхность, в то время как первый интеграл определял оо таких гиперповерхностей, заполняющих все пространство п- - измерений. [c.278]

Здесь естественно отметить, что хотя речь идет об определении для этого последнего уравнения только интеграла частного типа, однако этот метод с теоретической точки зрения не представляет собой шага вперед, так как он заменяет задачу, относящуюся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, более сложной с точки зрения анализа задачей, относящейся к уравнению с частными производными. Все же надо отметить, что метод Гамильтона—Якоби имеет большое значение, в частности, в приложениях к небесной механике, благодаря той форме, в которой получается общее решение канонической системц а с другой стороны, устанавливая совершенную эквивалентность между указанными выше задачами анализа, он дает возможность решить обратную задачу привести интегрирование какого-нибудь уравнения с частными производными первого порядка к интегрированию соответствующей канонической системы. [c.297]

При таком постепенном приведении присоединяющееся каждый раз интегральное уравнение применяется для исключения одной из переменных. Например первый интеграл — а применяется для того, чтобы выразить через X, х ,. .. и и полученное значение подставить в А, Xj,. .. При этом, хотя мы до сих пор рассматривали как произвольную постоянную, однако легко видеть, что в рассуждении ничто не изменится, если вместо подставить определенное значение Только в этом случа-е приведенная система не будет более равнозначаща с данной, а будет соответствовать только частному случаю, когда в интегральном уравнении = а произвольная постоянная а имеет частное значение а . Хотя таким образом в течение интегрирования можно дать произвольной постоянной некоторое частное значение н этим путем ввести в выкладки некоторый частный интеграл данной системы, но веб же надо знать полный интеграл fn = определения множителя из М необходимо знание / . Таким образом недостаточно знать частный интеграл х = Ф(х, х ,. .. без произвольной постоянной, но надо знать, как произошел частный интеграл из полного интеграла = и какое. значение дано произвольной постоянной. В этом заключается распространение принципа носледнего множителя, которое можно высказать следующим образом [c.102]

В связи с тем, что в случаях Лиувилля и Штеккеля возможность решения задачи в квадратурах связана с существованием квадратичного относительно обобщенных скоростей первого интеграла, были предприняты исследования условий, при которых динамические уравнения движения системы допускают подобные интегралы. В этом направлении в конце XIX в. ряд результатов получили Г. Пирро, П. Пенлеве, Т. Леви-Чивита Ж. Адамар 103 и П. Бургатти нашли новые случаи интегрируемости уравнений движения материальной системы (при наличии квадратичных относительно обобщенных скоростей первых интегралов), из которых ранее известные вытекают как частные случаи. Однако до настоящего времени не доказано, что эти случаи интегрируемости явля10тся самыми общими. Работы на эту тему появлялись [c.103]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Если невозмущенная система с функцией Гамильтона 5 о 1) невырождена, и вековое множество полной системы имеет предельные точки внутри интервала (/, I"), то согласно теореме 2 пониженная система канонических уравнений с гамильтонианом (3.8) не имеет аналитического и аналитически зависящего от параметра /х первого интеграла, 2тг-пе-риодического по переменным <р, t. Другими словами, в этом случае исходная автономная система с функцией Гамильтона (1.1) не имеет частного аналитического интеграла при фиксированном значении постоянной энергии h. Невырожденность невозмущенной системы d S o/dP 0) означает геометрически, что линия уровня 7 G С Жо 1) = h не есть прямая. [c.29]

Различные законы сохранения (импульса, момента и т. д.) являются частными случаяьш одной общей теоремы всякой однопараметрической группе диффеоморфизмов конфигурационного многообразия лагранжевой системы, сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл уравнений движения. [c.81]

Дополнительный мероморфный в окрестности точки М= =0 частный (при Н=0] первый интеграл системы уравнений Кирхгофа при с, = Оз за исклкэчением случаев Кирхгофа, Кпебшо и частного случая интегрируемости Чаплыгина [c.26]

Если учтено (как составляющая определения энергии) уравнение состояния в частной форме (2.11) с нулевой копстатпой в правой часги или в общем строгом виде (2.15), то энергия в задачах механики определена строго. Поэтому набор (2/- 1) первых интегралов уравнений Гамильтона существует. Недостаёт только того первого интеграла, который замыкает систему уравнений Га.мильтона, определяя единицу измерения времени. [c.125]

При этом вместо w-мерного вектора x t) появляется бесконечно-мерный вектор. В уравнениях с частными производными бесконеч-но-мерному вектору соответствует функция. При этом компоненты вектора нумеруются пространственными координатами. Функция Ляпунова переходит в функционал, а производные в (П.2.2) — в вариационные производные. Условие (П.2.2) вьшолняется, в частности, e nji L -первый интеграл системы. Из него ввиду гладкости L следует [c.187]

Подынтегральное выражение первого интеграла заменим, воспользовавшись уравнением адиабаты pv - onst. Прологарифмируем, а затем продифференцируем это уравнение, определяя тем самым связь между соответствующими частными дифференциалами [c.26]

Метод Остроградского — Якобн позволяет свести задачу об отыскании 2s первых интегралов дифференциальных уравнений кано-иической системы (132.5) к задаче определения полного интеграла некоторого уравнения с частных производных первого порядка. [c.382]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

Метод получения полного интеграла уравнений в частных производных первого порядка, состоящий в последовательном применении теоремы 9.4.3, называется методом Имшенецкого разделения переменных. Рассмотрим несколько примеров на применение этого метода. [c.651]

Полным интегралом уравнения в частных производных первого порядка называется функция, которая удовлетворяет этому уравнению и имеет в своем еоставе такое количество независимых постоянных интегрирования, которое равно количеству независимых переменных, от которых зависит искомая функция. Полный интеграл уравнения (11.350) имеет следующий вид [c.356]

Характеристическая функция 5 удовлетворяет уравнению с частными производными первого порядка. Это уравнение можно составить на основании соотношений (II. 373) и интеграла энергии (а) или уравнений (11.367) и (И.371Ь). Получим [c.374]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...