Закон движения центра площадей

Закон движения центра тяжести и интеграл площадей являются частными случаями циклических интегралов. 23 [c.167]

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА (ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ) [c.95]

Между законом движения центра тяжести и законом площадей существует глубокое различие. Мы разберем его на частном случае системы, на которую не действуют внешние силы. [c.101]

Механическая система называется замкнутой, если она не подвержена воздействию внешних сил и в ней действуют только внутренние силы . Закон движения центра тяжести и закон площадей становятся в этом случае законами сохранения импульса и момента импульса. Первый из этих законов содержит 2-3, второй 3 постоянных интегрирования. Далее, имеет место закон сохранения энергии, содержащий одну постоянную. Таким образом, всего имеется [c.107]

Основным принципом, на котором основано рассмотрение условий равновесия твердого тела так же, как и всех других вопросов теории равновесия, является принцип виртуальной работы. Он является частным случаем принципа Даламбера, из которого его можно получить, отбрасывая силы инерции. В связи с этим рассуждения, приводимые в настоящем параграфе, являются непосредственным следствием закона движения центра тяжести и закона площадей, разобранных в 13. Следует также отметить, что рассмотренные там виртуальные перемещения (параллельный перенос и поворот), очевидно, не противоречат неизменяемости формы твердого тела и соответствуют рассмотренным в предыдущем параграфе поступательному движению и вращению — двум составным частям произвольного движения твердого тела. [c.167]

Сперва рассмотрим тело, свободно движущееся в пространстве. Поместим начало отсчета в центр тяжести тела и приведем к нему приложенные к телу силы согласно указанию, сделанному в 23. Тогда вся система сил, действующих на тело, сведется к равнодействующей силе Гик результирующему (главному) моменту М. Согласно 13, уравнения движения твердого тела примут форму закона движения центра тяжести и закона площадей [c.178]

Однако действие этой компоненты W сопротивления воздуха не исчерпывается тем, что она дает момент М, влияющий на момент импульса снаряда (согласно закону момента импульса или закону площадей) эта сила оказывает и непосредственное влияние на форму траектории снаряда (в соответствии с законом импульса или законом движения центра тяжести). Отсюда (принимая во внимание направление силы W) мы делаем следующее заключение правое вращение снаряда приводит к отклонению его траектории вправо (так называемая деривация), а левое вращение — к отклонению траектории влево. Назовем вертикальной проекцией проекцию траектории на вертикальную плоскость, проходящую через начальное направление полета снаряда, а горизонтальной проекцией траектории — проекцию на горизонтальную плоскость. [c.210]

Запишем выражения закона площадей и закона движения центра тяжести для нашего случая (в приближенной форме) первое из этих уравнений относится к вертикальной проекции траектории, а второе — к ее горизонтальной проекции. [c.210]

Мы сможем считать еще одним подтверждением нащих собственных общих интегральных уравнений доказательство того, что они заключают в себе не только известный закон живой силы, но также шесть других известных интегралов первого порядка закон движения центра тяжести и закон площадей. Для этой цели необходимо только отметить, что из концепции нашей характеристической функции V с очевидностью следует, что эта функция зависит от начальных и конечных положений притягивающихся или отталкивающихся точек системы, не как отнесенных к какому-либо внешнему стандарту, а только как сравниваемых друг с другом следовательно, эта функция не будет меняться, если мы, не делая никаких реальных изменений ни в начальной, ни в конечной конфигурации, ни в их отношении друг к другу, сразу изменим все начальные и все конечные положения точек системы при помощи какого-нибудь общего движения, будь то перенос или вращение р]. Теперь, рассматривая три координатных переноса, мы получим три следующих уравнения в частных производных первого порядка, которым должна удовлетворять функция V [c.184]

Одно из преимуществ, которое получается при использовании формулы, о которой идет речь, заключается в том, что она непосредственно приводит к общим уравнениям, в которых содержатся принципы или теоремы, известные под названием принципов сохранения живых сил, сохранения движения центра тяжести, сохранения моментов вращения, или принципа площадей, и принципа наименьшего действия. Однако все эти принципы следует рассматривать скорее как общие выводы из законов динамики, чем как первоначальные принципы этой науки, но так как при разрешении задач их зачастую все-таки принимают в качестве основных положений, то мы считаем необходимым здесь на них остановиться и указать, в чем они заключаются и каким авторам они обязаны своим происхождением, дабы не допустить существенного пробела в настоящем предварительном изложении принципов динамики. [c.314]

Пусть орбита точки, притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона, будет параболической. Определить закон движения, принимая во внимание, что орбита описывается согласно закону площадей с полюсом в фокусе. [c.213]

Если сравнить принцип наименьшего действия, принцип живых сил, принцип сохранения движения центра тяжести и закон площадей, то увидим, что первый принцип — это только правило для составления дифференциальных уравнений движения, теперь уже бесполезное, поскольку мы можем получить эти уравнения способом более непосредственным и более общим по формуле (1) из 531 между тем другие принципы, помимо [c.173]

Одно из преимуществ, которое получается при использовании этой формулы, заключается в том, что она непосредственно приводит к общим уравнениям, в которы х содержатся принципы или теоремы, известные под названием принципов сохранения живых сил, сохранения движения центра тяжести, сохранения моментов вращения или принципа площадей и принципа наименьшего действия В этом же месте Лагранж подчеркивает Однако все эти принципы следует рассматривать скорее как общие выводы из законов динамики, чем как первоначальные принципы этой науки . [c.227]

Циклические интегралы являются некоторым обобщением основных теорем динамики системы (закона о сохранении движения центра масс и теоремы площадей). Рассматривая теорему с движении центра масс, заметим, что она имеет место, когда связи допускают поступательное перемещение всей системы. Пусть среди возможных перемещений системы имеется такое поступательное перемещение вдоль неподвижной оси х. Соответствующую этом> перемещению лагранжеву координату обозначим через Определяя возможные перемещения через независимые координаты Лагранжа, будем иметь [c.352]

Секториальная скорость - площадь, заметаемая радиусом-век-тором в единицу времени.) Именно опираясь на законы Кеплера, Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Мы знаем, что если предположить, что Солнце и все планеты являются шарами со сферически-симметричным распределением плотности, то движение центров масс планет описывается систе- [c.279]

Цилиндрическая труба сечения 5 и массы шо (см. рисунок) лежит на гладкой горизонтальной направляющей Ох. Нод действием сжатых пружин поршень А выталкивает жидкость плотности р через отверстие В площади б о- Найти положение центра инерции частиц жидкости, вылетевших из трубы к моменту времени в зависимости от закона движения поршня I = 1 1) и закона движения трубы х = = ж( ), считая, что вылетевшие частицы сохраняют ту горизонтальную составляющую скорости, которую они имели в момент вылета. [c.84]

В этом виде интегралы (66), (67) и (68) выражают постоянство моментов количества движения относительно трех координатных осей. С другой стороны, можно подчеркнуть, что эти интегралы имеют место в произвольной системе координат, в которой справедливы ньютоновы законы движения. Читателю предоставляется рассмотреть постоянные с, Со, Сз в системе координат с началом в центре масс, а также сравнить интегралы, относящиеся к этому случаю, с интегралами площадей (19), полученными в проблеме относительного движения. [c.34]

ПЛОЩАДЕЙ ЗАКОН, закон движения материальной точки (или центра масс тела) под действием центр, силы, согласно к-рому а) траекторией точки явл. плоская кривая, лежащая в плоскости, проходящей через центр силы [c.550]

По закону площадей (см. 86) при движении под действием центра льной силы момент вектора скорости v относительно центра О (или удвоенная секторная скорость точки) будет величиной постоянной. Следовательно, mQ(v)= . Но из чертежа видно, что если разложить вектор V на радиальную и поперечную р<р составляющие (см. 47), то [c.251]

Возьмем за плоскость движения плоскость Оху, и пусть О будет центр сил (рис. 328). Так как сила — центральная, то будет иметь место закон площадей, т. е. момент количества движения или момент скорости относительно центра О есть величина постоянная следовательно, [c.350]

Отсюда следует, что траектория точки, движущейся под действием центральной силы, есть плоская кривая, а движение точки происходит по закону площадей, т. е. с постоянной секторной скоростью или, иначе говоря, так, что радиус-вектор точки, проведенный из центра силы, в любые равные промежутки времени описывает равные площади (см. 33, п. 2). [c.384]

Из этих законов Ньютон вывел закон притяжения. Если траектории плоские и движение совершается по закону площадей относительно Солнца, то силы суть центральные и Солнце является центром сил. [c.105]

Т. е. при движении материальной точки в центральном силовом иоле ее секториальная скорость постоянна. Из этого следует, что радиус-вектор, проведенный из центра поля к движущейся материальной точке, в равные промежутки времени описывает равные площади. Это утверждение известно как второй закон Кеплера , который, по существу, является следствием закона сохранения момента импульса. [c.117]

Движение планет солнечной системы, как установил И. Кеплер, с кинематической стороны полностью характеризуется тремя законами 1) орбиты всех планет — эллипсы, в одном из фокусов которых (общим для всех орбит) находится Солнце 2) каждая планета движется так, что радиус-вектор, проведенный из центра Солнца к планете, в равные промежутки времени описывает равные площади 3) квадраты времен обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей эллипсов. [c.117]

Обычно при решении практических задач полный напор Я и расход Q бывают заданы или могут быть определены из известных величин в одном из сечений рассматриваемого потока. Высотное положение центра тяжести сечения г, а также площадь его со, как правило, известны. Таким образом, в этих уравнениях остаются три неизвестных о, р, hw Для их определения необходимо составить третье уравнение, связывающее между собой неизвестные величины. Это уравнение может быть получено как теоретически, например с помощью закона количества движения [c.148]

Центральная еила. Если точка, выходящая из Мд, находится под действием силы, направление которой все время проходит через неподвижный центр- О, и если начальная скорость 1 0 равна нулю или направлена по прямой ОМд, то точка останется на прямой ОМ. Этот результат также очевиден из соображений симметрии. Его можно получить аналитически, приняв О за начало и заметив, что на основании теоремы, изложенной в п. 203 для проекций движения на все три координатные плоскости, имеет место закон площадей. Имеем, например, [c.280]

Точка описывает плоскую траекторию по закону площадей относительно некоторого неподвижного центра. Найти силу, вызывающую это движение. [c.333]

Тяжелая изменяемая система. Если произвольную тяжелую систему бросить в пустоте, то ее центр тяжести будет описывать параболу. Если через этот центр О провести оси постоянного направления, то суммы моментов внешних сил относительно этих осей будут равны нулю. Поэтому сумма моментов количеств относительного движения будет оставаться постоянной относительно любой оси, проведенной через (3, и закон площадей будет применим относительно точки О для проекции относительного движения на любую плоскость с постоянным направлением, проведенную через О. Вектор Оа будет постоянным по величине и по направлению. [c.61]

Закон площадей [или свойство, относящееся к вращению, которое было выражено уравнениями в частных производных (Р)], также всегда может быть выражен в относительных координатах он поможет нам раскрыть форму характеристической функции V,, показав, что эта функция включает только такие внутренние координаты (числом бл — 9), которые не меняются при любом общем вращении всех конечных и начальных точек вокруг центра тяжести или вокруг любого другого внутреннего начала, при условии, что при определении эффектов такого вращения это начало рассматривается как неподвижное, а величина Н, как постоянная. Таким образом, общая задача динамики, касающаяся движений свободной системы п точек, притягивающих или отталкивающих друг друга, сводится в конце концов при использовании метода, изложенного в данной работе, к отысканию и дифференцированию функции V,, зависящей от бл — 9 внутренних или относительных координат [ ] и от величины Н, и удовлетворяющей двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени. При интегрировании этих уравнений мы должны проследить за тем, чтобы в принятом начале движения, а именно в момент, когда t = О, конечные или переменные координаты были равны их начальным значениям, причем ду, гг [c.199]

М. к. д. материальной точки относительно центра О равен векторному произведению радиуса-вектора г точки, проведённого из центра О, на её кол-во движения mv, т. е. ко = [гтв] или в др. обозначениях ко = г X mv. М. к. д. материальной точки относительно оси г, проходящей через центр О, равен проекции вектора ко на эту ось. Для вычисления М. к. д. точки справедливы все ф-лы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F (или его проекции) вектором mv (или его проекциями). Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента mo(F) приложенной силы. Характер этого изменения определяется ур-нием dk/dt = wio(F), являющимся следствием оси. закона динамики. Когда iBo(f) о, что, напр., имеет место для центр, сил. Mi к. д. точки относительно центра О остаётся величиной постоянной точка движется при этом по плоской кривой и её радиус-вектор в любые равные промежутки времени описывает равные площади. Этот результат важен для небесной механики (см. Кеплера законы), а также для теории движения космич. летат. аппаратов, ИСЗ и др. [c.207]

Прежде всего полезно рассмотреть частный случай, когда постоянная площадей с равна нулю. Если исключим не имеющее интереса предположение о состоянии покоя точки Р в центре силы (г = 0), то будем иметь 6 = 0, т. е. 6 = onst, так что в данном случае речь идет о прямолинейном движении (вдоль прямой, проходящей через центр), и исследование закона движения, т. е. определение г в функции от t, сведется к изучению уравнения живых сил, которое принимает вид [c.86]

ПЛОЩАДЕЙ 3AKOH — закон движения материальной точки (или центра масс тела) под действием центральной силы, согласно к-рому а) траекторией точки является плоская кривая, лежащая в плоскости, проходящей через центр силы б) площадь, заметаемая радиусом-вектором точки, проведённым из центра силы, растёт пропорц. времени, т. е. точка движется с пост, секторной скоростью. П. а. и.чеет место при движении планет (см. Кеплера за кони), ИСЗ, космич. летательных аппаратов и т. п. [c.639]

Процесс развития и применения рассматриваемых методов со времён Мопертюи и до наших дней сопровождается критическими высказываниями в их адрес. По поводу принципа наименьшего действия Пуассон (S.D. Poisson, 1838) писал Если сравнить принцип наименьшего действия с законом живых сил, с законом сохранения центра тяжести и законом площадей, то мы увидим, что принцип наименьшего действия является лишь правилом для составления дифференциальных уравнений, являющимся ныне бесполезным... [87] (курсив наш). Ответ на критику Пуассона дала история, показав, что метод переменного действия даёт правило составления уравнений процессов и вне классической механики. Известны критические высказывания Герца, ошибка Линделёфа в составлении с помощью принципа Гамильтона модели движения системы при наличии дифференциальных связей. В последнее время критике подверглись некоторые математические модели механических систем с дифференциальными связями (модели, получаемые с помощью принципа Гамильтона) [126]. В частности, неприемлемость некоторых новых моделей механики в некоторой мере обусловлена неприятием представлений о реализации связи . Здесь мы также изучим модели с различными способами реализации связи и заметим, что этот термин входит в состав гипотезы о реализации допустимых связей в формулировке достаточности принципа [c.11]

Следовательно, секторная скорость в полярных координатах равна половине произведения квадрата радиуса, следящего за движущейся точкой, на его угловую скорость. Понятие секторной скорости оказывается особенно полезным в задачах небесной механики. Впервые его ввел Кеплер при выводе второго закона движения планет вокруг Солнца. Согласно этому закону радиусы-векторы планет, проведенные из центра Солнца, описывают в равные времена равные площади, т. е. секторная скорость планет есть величина постоянная. Секторная скорость характеризует быстроту изменения площади, ометаемой радиусом-вектором движущейся точки. Секторная скорость движущейся точки может обращаться в нуль в данный момент времени только в трех случаях 1) если точка М проходит через начало полярных координат, т. е. г = 0, 2) если точка М имеет [c.95]

Как следует из обобщенной теоремы площадей Чаплыгина (см. 1 гл. II), вектор момента количеств движения системы относительно точки опоры А постоянен. Убедимся в этом непосредственно. Обозначим через вектор длиною Срсо, направленный по оси гироскопа, и через Ьх, Ьуу — его проекции на оси координат. Пусть X и У — проекции на оси Ах и Ау силы трения (реакции идеальной неголономной связи), развивающейся в точке А опоры гироскопического шара о плоскость. Напишем уравнения движения центра масс и закон изменения момента количеств движения системы относительно центра масс в проекциях на оси координат Ахуг [c.69]

Притягиваются по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния между ними. Найти движение. Найти, в частности, кривую, описываемую центром тяжести обеих точек (коническое сечение с фокусом О, описываемое по закону площадей) (Лицеициатская, Париж). [c.80]

Мы уже многократно рассматривали как примеры для объяснения общих понятий и законов механики те движения, причиной которых считают силу тяжести, рассмотрим эти движения подробнее и вначале разъясним, как измеряется сила тяжести. Для этого нам послужит наблюдение колебаний тяжелого тела, которое способно вращаться вокруг горизонтальной оси. Такое приспособление называют маятником, а именно сложным маятником — в противоположность простому маятнику, о котором мы уже говорили. Допустим, что сила тяжести — постоянная ускоряющая сила. Рассмотрим маятник как твердое тело и пренебрежем влиянием воздуха, движением Земли и трением оси вращения тогда мы сможем очень легко вычислить движение такого маятника. Положение последнего в некоторый момент определено одной переменной выберем в качестве ее угол образованный плоскостью, проходящей через ось вращения и центр тяжести маятника, и вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения. Согласно 5 четвертой лекции, имеем теорему площадей относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения, так как связи точек маятника допускают вращение вокруг нее эта теорема дает дифференциальное уравнение для такого угла. Обозначим величину силы тяжести — g, массу маятника—т, расстояние от его центра тяжести до оси вращения—s, момент инерции маятника относительно этой оси — к, таким образом получим дифференциа ное уравнение [c.69]

Исключая возможный случай постоянного совпадения точки Р с центром силы 5 (т. е. случай, когда г все время равно 0), найдем на основании закона площадей 0 = 0, или же 6 = onst, так 410 движение будет происходить по прямой, проходящей через 5, и закон изменения радиуса т как функции времени на этой прямой определяется интегралом живых сил, который здесь сводится к уравнению [c.175]

Легко видеть, что в этом случае движение точки, притягиваемой центром 5 с силон, обратно пропорциональной квадрату расстояния, является кеплеровым движением, т. е. движением, удовлетворяю щим первым двум законам Кеплера (см. п. 1). Действительно, движение является центральным по отношению к 5, такой же, по предположению, будет и сила. Далее, орбита является эллипсом, имеющим фокус в б" и, наконец, как и во всяком движении под действием центральной силы, справедлив закон площадей по отношению к притягивающему центру. [c.180]

Так как для кеплерова движения имеет место закон площадей, то можно также сказать, что эта линейная плотность пропорциональна площадям секторов, имеющих вершину в центре притяжения. [c.362]

Интеграл площадей. Второй закон Кеплера. Дифференциальное уравнение (1) описывает движение точки Р в подвижной системе координат Oxyz. Это уравнение можно (а для дальнейшего очень удобно) интерпретировать как дифференциальное уравнение движения точки Р относительно неподвижного притягивающего центра О под действием центральной силы, равной —ткг/г . [c.235]

В третьем отделе Ньютон рассматривает движение тел по эксцентричным коническим сечениям под действием центростремительной силы, направленной к фокусу кривой. Отдельно для эллршса (предложение И), гиперболы (предложение 12) и параболы (предложение 13) доказывается, что величина силы обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра силы. Отсюда выводится основа второго и третьего законов Кеплера, а именно Если несколько тел обращаются около общего центра сил, причем центростремительные силы обратно пропорциональны квадрату расстояния до центра, то главные параметры орбит пропорциональны квадратам площадей, описываемых проведенными к телам радиусами в одно и то же время . И в следующем предложении При тех же предположениях утверждаю, что времена оборотов по эллипсам относятся меяеду собою, как большие полуоси в степени 2 . [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...