Фурье-преобразование умножения

Таким образом, фурье-преобразование интересующего нас трехчлена получается из фурье-преобразований координаты просто умножением на те самые множители dj (ii2), которые фигурировали выше при построении частотных характеристик. Поэтому в результате преобразования Фурье система дифференциальных уравнений (55) в случае Qi(t) = Q (i), Q/(i) = 0, (j = = 2,. .., n) переходит в систему линейных алгебраических уравнений относительно фурье-преобразований [c.254]

Рассмотрим теперь, к чему приводит фурье-преобразование выражения (12). Члены в квадратных скобках дадут комплексное пропускание объекта, умноженное на комплексный фазовый множитель. Экспоненциальный член справа приведет к сдвигу восстановленного изображения на величину, пропорциональную — смещению опорного пучка. При наблюдении изображения глазом комплексный фазовый множитель исчезнет и останется только интенсивность исходного объекта. Таким образом, выражение (12) описывает фурье-преобразование объекта, за исключением лишь того, что при восстановлении появляется фазовый множитель. Вот почему голограмма, записанная по схеме на рис. 1, называется безлинзовой голограммой Фурье. Свойства таких голограмм мы обсудим в разд. 4.3.4. [c.182]

Отметим, что при работе с фурье-спектрометром у нас появляется достаточно много возможностей для произвольной модификации формы И1(х). В самом деле, интерферограмма при измерениях может быть получена без аподизации и зафиксирована в памяти ЭВМ. Умножение ее яа весовую функцию мэж-но произвести на следующем этапе — перед выполнением фурье-преобразования. Можно поступить и иначе, найдя спектр без аподизации, затем осуществить свертку его с подходящей по форме аппаратной функцией. [c.100]

Фиг. 2.5. Цуг волн, ограниченный умножением на функцию щели, и era фурье-преобразование уравнение (2.48).

Если принять, что функция моды и (г) для поля не меняется в результате возмущения, то полную пространственно-временную зависимость корреляционной функции первого порядка можно найти умножением выражения (15.65) на произведение вида и (г) и (г ). Согласно равенству (СЮ.17), которое является квантовомеханической формой теоремы Винера — Хинчина, энергетический спектр поля пропорционален фурье-преобразованию корреляционной функции (15.65). Выполняя это преобразование, находим [c.168]

Фурье-образы гриновских функций, входящих в уравнения (60.9), (60.12) и (60.13), также зависят только от разностей, поэтому удобно провести фурье-преобразование этих уравнений по пространственным переменным п. Это преобразование осуществляется умножением уравнений на ехр [/ft (т —/ )] и суммированием по (т—р). Таким образо.м, получаем систему уравнений [c.524]

В задачах 23.14—23.17 мы получим важный результат, касающийся функций реакции физических систем. Этот результат будет использован и в следующей главе. Реакцию линейной системы можно определить, зная выходной сигнал / ), вызванный б-образным сигналом на входе. Применяя фурье-преобразования к сигналам на выходе и входе, когда входной сигнал есть б (), показать, что функция реакции А (со) (передаточная функция) системы равна фурье-образу функции / ( ), умноженному на 2п. Фурье-образ Р ( ю) функции / t) задается соотношением [c.547]

Пример 8. Пусть Н—оператор умножения на> х в Н = L2(M) Ф L2(M) —> Ь2(Н)—преобразование Фурье Г —умножение на индикатор Х полуоси р > о. Рассмотрим два отождествления J = Ф Г 1/2(Н) —> 2(М). Тогда [c.135]

Как видно из (3), возмущение инвариантно относительно преобразования Фурье, т.е. оператор ФУ вновь задается соотношением (2) . В то же время при преобразовании Фурье оператор умножения на переходит в оператор (—А) где Д—оператор Лапласа. Отсюда следует, что теоремы 1 и 2 сохраняют силу, если в них Ноо = [c.269]

Вычисление ОПФ оптической системы по ее техническим данным производится несколькими методами. В одном из них для учета вклада аберраций предусматривается расчет прохождения большого числа лучей через систему от единичной точки объекта. При равномерном разнесении лучей по апертуре линзы, распределение плотности точек, получившихся в плоскости изображения, дает распределение интенсивностей, соответствующее функции рассеяния точки. Затем преобразование Фурье определяет геометрическую ОПФ системы. Если система свободна от аберраций, геометрическая ОПФ равна единице для всех частот каждая точка объекта будет изображаться точкой. Поправка за дифракцию вносится умножением этой геометрической передаточной функции на передаточную функцию для эквивалентной дифракционно-ограниченной системы, т. е. идеальной системы, свободной от всех недостатков. [c.90]

Устройства оптической обработки выполняют все необходимые вычислительные операции (свертка функций, дифференцирование, интегрирование и т. д.) на основе двух базовых — комплексного умножения и преобразования Фурье. В основе комплексного умножения лежит модуляция световой волны, проходящей через объект в виде транспаранта с заданным амплитудным коэффициентом пропускания. (Напомним, что именно на основе представления об амплитудном коэффициенте пропускания в гл. 1 был развит волновой подход в теории ДОЭ.) Операцию преобразования Фурье выполняет оптический фурье-анализатор, состоящий в простейшем случае из транспаранта с входным изображением и линзы (объектива) с положительной оптической силой [24]. Если транспарант освещает плоская монохроматическая волна, то его фурье-об-раз (спектр пространственных частот) формируется в дальней зоне в результате дифракции света на структуре транспаранта. Линза переносит спектр из бесконечности в свою фокальную плоскость, где он представляется в виде комплексной амплитуды волнового поля. [c.150]

Наиболее трудоемкими, т. е. требующими больших затрат времени, арифметическими операциями в алгоритмах БПФ являются обычно операции умножения. В сокращении числа этих операций заключается значительный резерв экономии времени, необходимого для выполнения дискретного преобразования Фурье. [c.38]

Если произведем обратное преобразование Фурье в трехмерном пространстве, то получим, что 7[. и p f связаны с и соотношениями Навье — Стокса — Фурье (П.8.27) dvf /dxk = 0 Для X О, как следует из интегрирования умноженного на /о уравнения (11.21)). [c.249]

Так как оператор Л(1) инвариантен относительно сдвига, то его преобразование Фурье A(l) = M(l)f есть оператор умножения на функцию. Легко вычислить [c.316]

Вычисление выражения (2,84) предусматривает выполнение преобразования Фурье от д х), чтобы получить С и)] расчет С и) по формуле (2.82) его комплексное сопряжение выполнение обратного преобразования Фурье и скалярное умножение результата т% дд х)/др. [c.69]

Разработки в сфере оптических вычислений производят очень сильное впечатление, особенно с точки зрения предоставляемых ими особых возможностей для выполнения параллельной обработки с высокой скоростью, аналогового умножения, свертки, операций над матрицами и преобразования Фурье [1, 2, 3]. Однако довольно парадоксальной выглядит проблема обеспечения простой реализации в оптике функционально полного набора логических связок [4]. Тем не менее развитие электрооптических методов модуляции интенсивности света подготовило путь для появления двоичной пороговой логики [5, 6]. Известно, что двоичная пороговая логика является функционально полной и имеет дополнительную привлекательную черту—программируемость изменение весовых коэффициентов может осуществляться в реальном времени для того, чтобы изменить передаточную функцию порогового устройства. [c.162]

Итак, согласно (7)—(10) вся индивидуальность образца заключена в иерархической последовательности матриц которые являются фурье-образами функций корреляции для дипольных моментов ф("р), усеченных с помощью 0-функций. Это усечение обеспечивает причинную последовательность взаимодействий во времени и формально эквивалентно замене преобразования Фурье на преобразование Лапласа. В спектральном представлении умножению на 0-функцию соответствует свертка с 0 (ш) (см. 2.4.7а). Для краткости эту операцию будем называть преобразованием Гильберта (хотя последнему отвечает лишь 1-е слагаемое в (2.4.7а)). При и > 3 в (10) имеется п — 0-функций, чему соответствует многомерное преобразование Гильберта (случай п = 3 см. в [152]). В результате моменты поля (т. е. его спектральные функции) оказываются пропорциональными гильберт-образам спектральных функций молекул, что и приводит к превращению дискретного спектра молекул в сплошной спектр многофотонного спонтанного излучения. [c.154]

Сведение линейного уравнения в частных производных к обыкновенному производится умножением всех его членов на ядро преобразования и последующим интегрированием в соответствующих пределах. Собственно преобразование Фурье применяется к уравнениям с постоянными коэффициентами для устранения производных по пространственным координатам, изменяющимся в бесконечных пределах, когда в тех же пределах определена исследуемая упругая система. [c.85]

В этой главе рассматривается разложение периодических функций в ряды Фурье, ведущее к более общему представлению преобразования Фурье-функций. Обсуждаются основные операции, необходимые при системном анализе (умножение, свертка, дифференцирование и интегрирование) как во временной, так и частотной областях. С помощью вводимых понятий и системы обозначений формируется теорема о выборке. И, наконец, обсуждается аналитический сигнал в связи с комплексным представлением вещественных сигналов и понятием огибающей. [c.133]

При анализе систем необходимы многие основные операции над функциями, например сложение, умножение, интегрирование, дифференцирование и т. д. Рассмотрим, как эти операции влияют на преобразования Фурье-функций. [c.154]

Отсюда вновь следует, что потенциал отраженной волны суть импульс, распространяющийся вдоль положительных направлений лиг, имеющий ту же форму, что и потенциал падающей волны и умноженный на коэффициент отражения /Сь Такой же анализ отраженного поперечного потенциала, определяемого уравнением (2.30), показал бы, что он представлен импульсом, распространяющимся со скоростью поперечной волны, имеющим ту же форму умноженным на коэффициент /Сг. Полностью аналогичные рассуждения можно применить к потенциалу падающей поперечной волны, описываемому уравнением (2.31). Однако, как будет показано ниже, при больших углах падения в преобразовании Фурье потенциалов появляются дополнительные члены. [c.35]

Вернемся теперь к дифференциальным трехчленам, которые содержатся в интересуюш,их нас уравнениях линейного приближения (55). Фурье-преобразование такого трехчлена находится его умножением на и последующим интегрированием по Й от [c.254]

Таким образом, частотная характеристика, введенная ранее, выступает теперь в новой роли -фурье-преобразование функции i]i в случае представимой интегралом Фурье силы Qf (t) получается умножением фурье-преобразования этой сил111 на соответствующую частотную характеристику системы (/Q). В случае гар ионического воздействия частотная характеристика связывает комплексные амплитуды воздействия и возникающего вынужденного движения, а в случае непериодического воздействия эта же частотная характеристика таким же образом связывает комплексные спектры воздействия и возникающего в результате движения. [c.255]

Обычно в Ф.-с. образец размещается в исследуемом световом пучке до или после интерферометра, исследуетси отражённый или пропущенный образцом световой пучок. Однако образец может быть размещён и в одном из плеч интерферометра. В этом случае после обратного комплексного фурье-преобразования зарегистрированной интерфб j рограммы получают комплексно-сопряжённую амплитуду отражения (пропускания) образца, умноженную на спектр источника излучения. Такой Ф.-с. наз. амплитудно-фазовым, он применяется для точного определения спектров оптич. постоянных веществ. [c.390]

Теорема. Преобразование Фурье функции d fldx равно преобразованию Фурье функции f x), умноженному на (—i ) если при л - оо ( = 0, т—1), т. е. [c.162]

Таком образом, для выполнения алгоритма (55) требуются два прямых и одно обратное преобразование Ф/рье, а также прямое умножение матрицы на матрицу. Если в качестве дижретного преобразования Фурье использовать алгоритм БПФ, число опера дай сложения составит 2N og2 , а число операций умножения -. [c.63]

Выражение (66) можно получить непосредственно из дифференциального уравнения (63). Выполнив преобра ювание Фурье для выражения (бЗ) и учитывая, что преобразование Фурье от производной некоторой функции ы(г) равно Фурье-образу этой функции, умноженному на jliw при нулевых начальных условиях, получим [c.73]

Подставим в уравнение (67) выражгние (68) и после несложных преобразований получим формулу (66), каторая играет важнейшую роль при анализе линейных звеньев. Важность того соотношения заключается в том, что оно дает довольно простой спо( об нахождения реакции на выходе стационарных звеньев при любом вхсдном воздействии, не прибегая к решению системы дифференциальных у](авнений, описывающей работу устройства. С вычислительной точки зрения это означает, что при известной передаточной функции задача анализа сводится к нахождению преобразования Фурье от функции, о шсывающей входное воздействие, умножению его на передаточную функцию и вычислению обратного преобразования Фурье от полученного произведения. Применение для вычисления БПФ позволяет выполнить эти операции П])и использовании сравнительно небольших ресурсов ЭВМ и малых затратах машинного времени. [c.73]

В цепях универсальности алгоритма расчета и упрощения анализа принимают, что сигнал задан в интериале (- 7>/2, 7V/2), а не в интервале (О, Г,). Тогда формулу (74), определяющую преобразование Фурье на конечном интервале, можно рассматривать как преобразование Фурье на бесконечном интервале задания сигнала и ( ), умноженное на прямоугольную функцию re t( /r,), не равную нулю только на интервале [c.84]

Предполагая здесь и в дальнейшем, что оператор преобразования Фурье коммутативен с оператором дифференцирования д/дРо, после умножения всех членов уравнений (4-1-Q)— (4-1-3) на os и интегрирования по X от О до 1, 1исходную систему дифференциальных уравнений в частных производных с учетом (5-2-4)—(5-2-5) можно преобразовать к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений [c.157]

Для ряда длиной N = 2 , повторяя эту процедуру k раз. приходим к ряду, имеющему один член, тогда преобразование Фурье этого члена совпадает с ним-В результате вместо 2N операций умножения, требуемых для процедуры обычного ДПФ, необходимо 2N log j N операций перемножения при БПФ. Например, при N = 1024 выигрыш в числа операций и во времени составит N/2 logj Л 50 раз. [c.288]

Алгоритм вычислений содержит следующие операции вычисление величин 0= = 2я Л при различных значениях и а вычисление os 0 а и sin б вычисление выражений Ug Oib и U jSmQ суммирование этих выражений. Этот алгоритм требует примерно операций сложения и умножения. Объем вычислений можно уменьшить, используя идею быстрого преобразования Фурье [4]. [c.25]

При вычислении правых частей в этих формулах многократно используются различные комбинации произведений чисел j, и на экспоненциальные функции. Если N — составное число, т. е. может быгь представлено в виде произведения целых чисел М = г -г2 Гр, то многократного повторения операций можно избежать. Количество операций сложения и умножения имеет при этом порядок N (ri + Гз + +. .. Гр)- Обычно берется N = 2Р, что приводит к уменьшению объема вычислений примерно в N/2p раз. Один из вариантов быстрого преобразования Фурье известен под названием метода Кули и Тьюки [6]. [c.25]

Рис. 5.1. Функция рассеяния и передаточная функция. Схема функциональных связей при некогерентном освещении. (Т-преобразование Фурье ФРИ-функция распределения интенсивности ЧСРИ-частотный спектр распределения интенсивности ФРТ-функция рассеяния точки ОПФ-оптическая передаточная функция -свертка х -умножение.)

Матрица FOURjv дискретного преобразования Фурье при 7V = 2 может быть представлена как послойно-кронекеровская , если ввести понятие матрицы двоичной инверсии М ", т. е. матрицы, которая, будучи умноженной на произвольную квадратную матрицу размера N = 2", производит перестановку ее строк в соответствии с двоично-инвертированными значениями их номеров. Для этого матрица М п° содержит единицы в каждой строке в таком столбце, номер которого равен двоично-инвертированному номеру этой строки. Так, матрица двоичной инверсии размера iV = 2 имеет вид [c.33]

Операции умножения в алгоритмах БПФ можно, как это видно из графов на рис. 2.1 и 2.2, заменить менее трудоемкими операциями двоичного сдвига или операциями сложения, если про-квантовать значения синусов и косинусов — мнимой и действительной частей комплексной экспоненты — на небольшое число уровней. Так мы приходим к преобразованию, которое является квантованным дискретным преобразованием Фурье (КДПФ) . [c.38]

Для вычисления п значений корреляционной функции требуется выполнить порядка niV умножений и сложений. При больших п и N это число может быть достаточно большим. Поэтому в этом случае, как и для вычисления цифровой свертки, рекомендуется сначала с помощью алгоритмов БПФ вычислить спектры Фурье анализируемых сигналов (или только один спектр, если вычисляется функция автокоррелиции сигнала), затем эти спектры перемножить, причем один из спектров заменяется своим комплексносопряженным, и выполнить обратное преобразование Фурье. Поскольку этот способ основан на теореме о циклической свертке теории дискретного преобразования Фурье, применяя его, необходимо позаботиться о правильном доопределении недостающих отсчетов анализируемых последовательностей. Один из лучших и наиболее естественных способов доопределения состоит в четном продолжении последовательностей по правилу [c.195]

Аналоговое оптическое вычислительное устройство выполняет требуемую математическую операцию над сформированным когерентным оптическим сигналом. Обычно оно содержит одну или несколько оптически связанных между собой линз (объективов) и оптические фильтры в виде амплитудных или фазовых масок либо голограмм, установленных в определенных плоскостях оптической системы. С помощью масок и голограмм требуемым образом осуществляют пространственную модуляцию обрабатываемого когерентного оптического сигнала или его спектра. Методы когерентной оптики и голографии позволяют относительно просто выполнять целый ряд математических операций и интегральных преобразований над двумерными комплекснозначными функциями (изображениями). Это прежде всего операции двумерного преобразования Фурье, взаимной корреляции и свертки, а также операции умножения и деления, сложения и вычитания, интегрирования и дифференцирования, преобразования Гильберта, Френеля и др. Легко реализуются также различные алгоритмы пространственной фильтрации изображений, в том числе согласованной, инверсной и оптимальной по среднеквадратичному критерию и критерию максимума отношения сигйал/шум. Следует отметить, что часто одну и ту же операцию можно реализовать с помощью разных оптических схем и различными способами. Запоминающее устройство (оптическое или голографическое) служит Для хранения набора эталонных масок или голограмм, [c.201]

Преобразование Френеля тесно связано с преобразованием Фурье. Разложением ядра преобразования Френеля можно показать, что функции (x)exp(—/nsA V ) и f y) exp jnsy lX) связаны друг с другом преобразованием Фурье. Наоборот, если f y) и g(x) — пары преобразования Фурье, то можно показать, что пара g (х) ехр(/язл /Х) и /(г/) ехр(—jnsy lK) связана преобразованием Френеля. В этих выражениях умножение на квадратичный фазовый множитель аналогично виду преобразования, осуществляемого тонкой линзой над комплексной амплитудой падающего на нее светового поля [14, гл. 5]. То, что распространение электромагнитного поля между линзами можно описать, с помощью преобразования Френеля (или свертки с фазовым множителем), позволяет изучать свойства когерентных оптических процессоров, в которых основными операциями являются умножение и свертка [7], на основе алгебраических соотношений. Преобразование Френеля применяется также при исследовании голограмм Френеля и анализе систем воспроизведения с апертурами, кодированными зонной пластинкой. [c.34]

Если исключить краевые задачи и проблемы нелинейной оптики, в основе которых лежит электромагнитная теория, а также исследования по физике излучения, где используется квантовая теория и статистическая физика, то можно сказать, что главные разделы радиооптики базируются на операционном методе решения задач с помощью преобразования Фурье. Метод преобразования Фурье применяли уже Релей и Майкельсон на рубеже нашего века. Однако только современная теория распределений, или обобщенных функций, основанная на трудах Л. Шварца (1950—1951 гг.), может рассматриваться как универсальный инструмент, пригодный не только для анализа более или менее классических задач в теории образования изображения и в теории связи, но и для синтеза новых устройств и систем. Матричная формулировка образования изображения с помощью линз и зеркал существенно упростила математи еские методы расчета линз, особенно при использовании электронной вычислительной машины. Оптические аналоговые корреляторы и вычислительные устройства, созданные на основе новых математических обобщений, начинают дополнять превосходящие их нередко по сложности электронные вычислительные машины. В гл. 5 на нескольких примерах показано, как, пользуясь оптическими методами, можно осуществлять операции умножения и [c.16]

Сумма правой части (226) представляет собой дискретный Фурье-образ от функции р. Поскольку функция Пг имеет 2/V+1 дискретных значений, вычисления по формуле (226) требуют порядка (2Л - -1) операций умножения (с учетом того, что экспоненты могут быть вычислены заранее и храниться в памяти ЭВМ). Существует гораздо более эффективный способ вычислений по формуле (226), называемый быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Он основан на принципе одновременного вычисления для нескольких групп с последующими комбинациями результатов и требует порядка log2 операций умножения. В данном случае (Л =512) прямое вычисление по формуле (226) требует около 10 операций умножения, а вычисление по алгоритму БПФ — порядка 5 10 умножения. Поэтому использование БПФ дает выигрыш в скорости вычислений примерно в 200 раз. Подробные методы реализации алгоритмов приведены в работе [285]. [c.237]

Таким образом, дифракционный интеграл эквивалентен фурье-образу поля в опорной плоскости z = onst < z, умноженному на соответствующий фазовый множитель. Практическая ценность этого результата состоит в том, что он позволяет выполнить численный расчет поля с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Выражение (4.10.2) представляет собой одну из возможных записей дифракционной формулы Френеля. [c.277]

Указанййя трудность может возникнуть только для векторов, не вме-щающихся в гильбертово пространство и неограниченных операторов, например для векторов и операторов, представляемых бесконечно-рядными матрицами (с неубывающими по мере роста номера элементами ) — тогда есть и естественное определение произведения по правилу матричного умножения. Ср. замечание в книге Бремермана, Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье , Мир , 1968, дополнение. [c.338]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...