Навье — Стокса уравнения для пограничного слоя

Уравнение (4-12) и соответствующие уравнения для направлений у и z называются общими уравнениями движения вязкой жидкости, или уравнениями Навье — Стокса. Уравнение движения пограничного слоя является частным случаем уравнений Навье — Стокса. [c.41]

Для динамического пограничного слоя, который представляет собой весьма малую по размерам пространственную область, удается значительно упростить уравнения Навье —Стокса (см. гл. 2). Полученные после упрощения уравнения называют уравнениями динамического пограничного слоя. [c.104]

Итак, разбивая исследуемый поток жидкости на две области (пограничный слой и внешний поток) и делая перечисленные выше допущения, получим возможность описать течение в каждой из областей более простыми уравнениями, чем уравнения Навье —Стокса. Решая уравнение Эйлера, для внешнего потока найдем распределение скорости Wy на внешней границе пограничного слоя. Отметим, что распределение давления вдоль пограничного слоя р =f(х) считается заданным-. Давление по толщине пограничного слоя, т. е. вдоль оси у, принимается постоянным и равным давлению на его внешней границе (обоснование дано ниже в 7.1). Результаты решения для внешнего потока принимаются за граничные условия на внешней кромке пограничного слоя. Эти граничные условия используются при решении уравнений динамического пограничного слоя. [c.104]

Представление о пограничном слое оказалось плодотворным по двум главным причинам. Во-первых, появилась возможность производить построение теории движения вязкой жидкости и газа на основе известных решений уравнений для идеальной жидкости и газа. Во-вторых, сложные уравнения Навье — Стокса в тонком пограничном слое оказалось возможным заменить более простыми уравнениями теории пограничного слоя. [c.254]

Для пограничного слоя при известных допущениях эллиптические уравнения Навье-Стокса переходят в параболические уравнения Прандтля. Поэтому, как показал Л. Прандтль [3], решения стационар- [c.284]

При этих условиях уравнения Навье—Стокса упрощаются и переходят в уравнение ламинарного пограничного слоя (6.27). Точно такие же упрощения справедливы для уравнений Рейнольдса (7.14). В правой части первого уравнения можно ввиду малости отбросить производные скоростей по л , и тогда получим [c.165]

Решение задачи связи для пограничных слоев гораздо важнее решения такой же задачи для начального слоя можно показать, что влияние пограничных слоев проявляется уже в первом порядке по 8, т. е. на уровне уравнений Навье — Стокса. Можно показать также, что экстраполированными граничными условиями (в 8-приближении) будут [c.137]

Итак, для достаточно больших б картина такова ядро потока, где превалируют представления сплошной среды (описываемые-уравнениями Навье — Стокса), окружено кинетическими пограничными слоями, возникающими из-за взаимодействия молекул со стенками. Однако с уменьшением 8 пренебрежение экспонентами становится недопустимым, т. е. кинетические слои сливаются с ядром, образуя поле течения, которое нельзя описать набором известных понятий. Наконец, когда б становится пренебрежимо малой величиной, (х, I) перестает зависеть от х, и молекулы сохраняют распределение, которое они имели сразу после их последнего взаимодействия с границей. [c.185]

После подстановки разложений (8.51) в уравнении Навье-Стокса и совершения предельного перехода е О, <С а <С е для первых членов разложений получаются уравнения несжимаемого пограничного слоя [c.390]

Закончив на этом описание основных физических явлений, возникающих при течениях с очень малой вязкостью, и изложив тем самым в самых кратких чертах теорию пограничного слоя, мы перейдем в следующих главах к построению рациональной теории этих явлений на основе уравнений движения вязкой жидкости. В настоящей части книги (в главе III) мы составим общие уравнения движения Навье — Стокса, а во второй части сначала выведем из уравнений Навье — Стокса путем упрощений, вытекающих из предположения о малой величине вязкости, уравнения Прандтля для пограничного слоя, а затем перейдем к интегрированию этих уравнений для ламинарного пограничного слоя. Далее, в третьей части книги, мы рассмотрим проблему возникновения турбулентности (переход от ламинарного течения к турбулентному) с точки зрений теории устойчивости ламинарного течения. Наконец, в четвертой части книги мы изложим теорию пограничного слоя для вполне развившегося турбулентного течения. Теорию ламинарного пограничного слоя можно построить чисто дедуктивным путем, исходя из дифференциальных уравнений Навье — Стокса для движения вязкой жидкости. Для теории турбулентного пограничного слоя такое дедуктивное построение до сегодняшнего дня невозможно, так как механизм турбулентного течения вследствие его большой сложности недоступен чисто теоретическому исследованию. В связи с этим при изучении турбулентных течений приходится в широкой мере опираться на экспериментальные результаты, и поэтому теория турбулентного пограничного слоя является, вообще говоря, полуэмпирической. [c.53]

Особый интерес представляет следующее обстоятельство. Только что полученное точное решение уравнений Навье — Стокса для течения около вращающегося диска, а также ранее полученные точные решения для течений в окрестности критической точки обладают свойствами, характерными для пограничного слоя (в смысле, поясненном в предыдущей главе). В самом деле, эти решения показывают, что в предельном случае очень малой вязкости область течения, на которую распространяется влияние трения, заключена в весьма тонком слое вблизи твердых стенок, в то время как во всем остальном пространстве течение происходит практически так же, как если бы трения не было, т. е. как если бы течение было потенциальным. Далее, рассмотренные примеры показывают, что толщина слоя, в котором [c.106]

Приведенный выше вывод уравнений пограничного слоя был с самого начала основан на физической предпосылке о существовании такого слоя жидкости, в котором основную роль играют силы трения. В противополож- ность этому была сделана попытка вывести уравнения Прандтля для пограничного слоя из уравнений Навье — Стокса чисто математическим путем, без привлечения физически наглядных представлений [ ]. [c.128]

Хотя уравнения пограничного слоя значительно проще уравнений Навье — Стокса, все же в математическом отношении они остаются настолько трудными, что ПО поводу их решений можно сделать только немного общих выводов. Необходимо прежде всего отметить, что уравнения Навье — Стокса являются относительно координат уравнениями эллиптического типа,, в то время как уравнения Прандтля для пограничного слоя принадлежат к параболическому типу. Упрощающие допущения, положенные в основу вывода уравнений пограничного слоя, привели к тому, что стало возможным принимать давление поперек пограничного слоя постоянным, а давление вдоль стенки считать совпадающим с давлением внешнего течения и поэтому рассматривать его как заданную функцию. Эти обстоятельства сделали ненужным уравнение движения в направлении, перпендикулярном к стенке,, что с физической точки зрения можно истолковать следующим образом частицы жидкости при своем движении поперек пограничного слоя не обладают массой и не испытывают замедления вследствие трения. Очевидно что при столь глубоком изменении уравнений движения следует ожидать что их решения могут иметь некоторые особые математические свойства,, и, наоборот, нельзя ожидать, чтобы результаты вычислений во всех случаях совпадали с результатами наблюдения действительных течений. [c.142]

Как уже было сказано в самом начале настоящей главы, во многих случаях из чисто наглядных соображений ясно, что температурное поле в окрестности обтекаемого нагретого тела обладает свойствами, характерными для пограничного слоя. Применяя такое выражение, мы имеем в виду следующее повышение температуры, вызываемое нагретым телом, распространяется в основном только на узкую зону в непосредственной близости от тела за пределами же этой зоны повышение температуры получается незначительным. Такое распределение температуры особенно резко выражено в тех случаях, когда коэффициент теплопроводности X мал, как это имеет место для жидкостей и газов. В этих случаях вблизи тела возникает резкий температурный градиент в направлении, перпендикулярном к стенке, и только в тонком, прилежащем к стенке слое теплопередача посредством теплопроводности по своей величине имеет одинаковый порядок с теплопередачей посредством конвекции. С другой стороны, можно предполагать, что при обтекании ненагретого тела повышение температуры вследствие трения получается при больших числах Рейнольдса более или менее значительным также только в тонком слое вблизи тела, так как только здесь трение вызывает заметное преобразование кинетической энергии в тепловую. Следовательно, и в этом случае можно ожидать, что в сочетании с динамическим пограничным слоем образуется температурный пограничный слой. Но тогда очевидно, что в уравнении энергии, дающем распределение температур, можно произвести такого же рода упрощения, какие были сделаны в уравнениях Навье — Стокса при выводе уравнений пограничного слоя ( 1 главы VII). [c.264]

В [101] обращается внимание на то обстоятельство, что стационарные асимптотические решения неклассических уравнений пограничного слоя со взаимодействием часто получаются в результате подавления неустойчивостей. Более того, поле течения около внезапно приведенного в движение цилиндра рассматривается в [101] как пример нестационарного асимптотического решения, построенного благодаря исключению быстро растущих неустойчивых мод (отсутствующих при классической формулировке задачи для пограничного слоя). Хотя данный подход на первый взгляд представляется неудовлетворительным, хорошее совпадение с полученными по уравнениям Навье-Стокса результатами при умеренных числах Рейнольдса служит аргументом в пользу асимптотической теории. [c.8]

В ранних работах [183, 184] развита формальная схема разложения решений уравнений Навье-Стокса в ряды, справедливая при достаточной близости к нейтральной кривой линейной теории. Позднее в [185] для чисел Рейнольдса, превышающих критическое значение на малую величину, методом многих масштабов выведено нелинейное амплитудное уравнение параболического типа, обобщающее уравнение из [183, 184] на случай пространственных вариаций амплитуд возмущений в течении Пуазейля и описывающее систему волн, распространяющихся с некоторой групповой скоростью. Цитированная выше работа [178] касается существенно более сложного вопроса о нелинейных возмущениях из окрестности нижней ветви нейтральной кривой для пограничного слоя с учетом нарастания его толщины (непараллельности основного потока). [c.13]

Иначе дело обстоит с решением вариационных задач газовой динамики и с точными решениями уравнений Навье—Стокса. Эти результаты своеобразно и тесно переплетены с численными и экспериментальными исследованиями. Решение краевых задач при оптимизации формы тел в сверхзвуковом потоке газа первоначально проводилось численно, итерационным путем. Обращение в нуль одной из рассчитываемых функций подсказало путь аналитического решения и открыло путь к исследованию необходимых условий минимума и к получению новых решений. При использовании этих результатов для практики в потоках внутри сопел рассчитывался пограничный слой, а результирующая сила тяги была проверена на специальной опытной установке. Расхождение между расчетной силой тяги и ее экспериментальной величиной не превысило 0,1%. [c.5]

В отличие от ламинарного течения, для которого связь между коэффициентом сопротивления (или перепадом давления) и расходом жидкости определяется теоретически из решения уравнений Навье — Стокса, при турбулентном режиме такая связь может быть найдена только в том случае, если профиль скорости известен из эксперимента. Как уже указывалось в 4, профиль скорости в пограничном слое на плоской пластине при Ri= 10 —10 (Ra=2- 10 —10 ) хорошо описывается степенной формулой с показателем 1/7, которая в выбранной системе координат имеет вид [c.351]

Первое из уравнений Навье-Стокса для стационарного движения жидкости в пограничном слое соответственно примет вид [c.371]

Для практики большой интерес представляет движение жидкости в цилиндрических трубах. Воспользовавшись уравнением Навье-Стокса в цилиндрических координатах и имея в виду, что при чисто поступательном движении жидкости по трубе компоненты скорости и ю, зависят от. т и г, но не от ф, а компонента скорости пИф отсутствует (т. е. пУф = 0), находим, что в пограничном слое д ы)х дх д т дх С так что урав- [c.372]

К сожалению, из-за сложности уравнения Навье-Стокса для движения вязкой жидкости даже в случае постоянных р, V и х расчет теплообмена сопряжен со значительными математическими трудностями. Поэтому часто прибегают к приближению пограничного слоя, заключающемуся, как это уже отмечалось ранее, в том, что в качестве исходных уравнений берут уравнения движения жидкости и переноса теплоты в пограничном слое, которые в стационарном случае имеют вид [c.439]

Потери напора на начальном участке строго не подчиняются формуле Пуазейля, ибо здесь не выполняется основная предпосылка о прямолинейности линий тока. Расчет этих потерь может быть выполнен методами непосредственного решения уравнений Навье—Стокса или методами теории пограничного слоя, излагаемой в гл. 8. Для ориентировочной оценки падения давления на начальном участке трубы можно в первом приближении принять, что потери на трение определяются формулой Пуазейля. Тогда уравнение Бернулли, составленное для сечений О—О и 2—2 (см. рис, 69), дает [c.167]

В диапазоне Хкр <х <х (рис. 7.3.5) справедливо уравнение (7.3.1). При л > х интегральные соотношения пограничного слоя неприемлемы и для получения более точного решения необходимо использовать уравнение Навье — Стокса. Как показывают исследования [19], величину х можно находить с помощью формулы [c.463]

Во внешнем потоке 2 (см. рис. 7.1) градиент скорости dW ldy в реальных условиях не равен нулю, но мал по сравнению с градиентом скорости dw ldy в пограничном слое 1 и поэтому касательные напряжения (1.15) также малы, и силами трения можно пренебречь. Здесь течение можно считать потенциальным (без вязкости) и для расчета такого течения пользоваться вместо сложных уравнений Навье — Стокса (2.29), (2.30) и (2.31) более прост>ши уравнениями Эйлера (2.32). [c.104]

Произведем упрощение уравнений Навье —Стокса (2.29, 2.30), имея в виду получить уравнения для исследования пограничного слоя. Сделаем это для простого случая плоского течения жидкости вдоль поверхности малой кривизны. Пусть контур тела совпадает с осью X, тогда система уравнений, описывающая движение жидкости, имеет вид [c.105]

Только при таком допущении пограничный слой имеет смысл очень малой области потока, для которой на этом основании можно упростить уравнения Навье—Стокса. [c.107]

Расчетные формулы, полученные аналитически для ламинарного пограничного слоя при свободной конвекции, не всегда точно совпадают с экспериментальными данными. Например, при малых значениях чисел Грасгофа (Gr < 10 ) результаты, полученные по формулам, не совпадают с экспериментальными данными, так как в этом случае толщина пограничного слоя слишком велика по отношению к размерам тела, и уравнения пограничного слоя оказываются непригодными для описания реальной физической обстановки. В этом случае необходимо решать полную систему дифференциальных уравнений Навье—Стокса, неразрывности и энергии без каких-либо упрощений. Эта задача весьма трудоемка. [c.180]

Трудно учесть влияние переменности физических констант жидкости на теплоотдачу. Для ламинарного пограничного слоя, в принципе, эта задача может быть решена при численном интегрировании системы дифференциальных уравнений пограничного слоя и даже полных уравнений Навье—Стокса, неразрывности и энергии. Однако эта задача весьма трудоемка. Отметим, что теплоотдача в условиях турбулентного пограничного слоя при Gr > 10 не может [c.180]

В качестве исходной системы уравнений здесь берут уравнения Навье — Стокса (VIII.1.1), (VIII.1.2), записав их для случая несжимаемой жидкости. С помощью простых оценок., уже проделанных выше, переходят к уравнениям для пограничного слоя [c.219]

В этой главе мы получим систему основных уравнений тепло- и массообмена для поля потока жидкости, обтекающего тело. Используя закон сохранения массы, получим дра уравнения — уравнение неразрывности в уравнение диффузии. С помощью теоремы имйульсов выведем уравнения движения пограничного слоя и уравнения Навье — Стокса. И, наконец, на основании закона сохранения энергии получим различные формы уравнения энергии пограничного слоя и общее уравнение энергии потока вязкой жидкости. [c.33]

IB этой области течения не решена в удовлетворительном виде до сих пор основная проблема — проблема формулирования соответствующих дифференциальных ура1внений и граничных условий, описывающих течение газа. Для некоторой части этой области, примыкающей к области континуума, в ряде работ предполагалось возможным использование уравнений Навье-Стокса (или их предельного случая — уравнений Л. Прандтля для пограничного слоя) в сочетании с граничными условиями, предполагающими скольжение газа (Л. 5—9]. Однако результаты появившихся в последнее В1ремя опытных исследований показали в большинстве случаев непригодность полученных таким путем решений. Аналитические решения различных авторов плохо согласуются друг с другом и с экспериментом. Такое положение в теории объясняется, в известной мере, отсутствием детальных опытных сведений об этой области течения. Имеющиеся экспериментальные данные весьма ограниченны и очень малочисленны. На графиках рис. 1 г оказаны диапазоны всех известных в настоящее время исследований сопротивления и теплообмена в промежуточной области, между континуумом и свободно молекулярным течением. [c.463]

Вне слоя Кнудсена справедливы уравнения Навье — Стокса и оценки пограничного слоя Прандтля. Если считать справедливым барнеттовское представление для тензора напряжений и вектора потока тепла, то [c.335]

Другой подход предложил Даррозе [38], рассматривавший степенные разложения типа Гильберта, но не по е, а по V В результате он обнаружил два пограничных слоя внешний слой толщины 0(e ), который можно отождествить с прандт-левским вязким пограничным слоем, и внутренний слой толщины 0(е), соответствующий кнудсеновскому, или кинетическому, пограничному слою. В прандтлевском слое функция распределения не относится к гильбертовскому классу, но сохраняет свойства функциональной связи с макропараметрами течения (как это известно из успешного применения метода Чепмена— Энскога на уровне Навье — Стокса). Однако при таком разло женин уравнения Навье — Стокса не появляются вместо них по лучаются уравнения Прандтля для пограничного слоя. [c.287]

Как и при обтекании коротких неровностей (см. раздел 8.1.2), здесь в области с характерными размерами Ах n j Ау n J 1 при е о решением уравнений Навье-Стокса в первом приближении является невозмущенный набегающий поток. Далее, согласно теории Прандтля, следует рассмотреть область с характерными размерами Ах 1 и Ау е — пограничный слой. Известное решение типа Блязиуса для пограничного слоя на пластине становится несправедливым, по крайней мере, в окрестности малой неровности, т. е. в области с характерными размерами Ах r j Ау r j f) r j (5 s. [c.388]

Полученные Г. Хамелем точные решения уравнений Навье — Стокса опять показывают, что такие решения обладают свойствами, характерными для пограничного слоя. [c.107]

Как правило, пограничный слой тем тоньше, -чем меньше вязкость или, в более общей формулировке, чем больше число Рейнольдса. В главе V мы выяснили на основании некоторых точных решений уравнений Навье — Стокса, что толщина пограничного слоя пропорциональна корню квадратному из кинематической вязкости, т. е. б У V. Долее, при упрощениях, которые несколько ниже будут сделаны в уравне1и . V Навье — Стокса с целью получения из них уравнений погранично о слоя, принимается, что толщина пограничного слоя очень мала по сравнеырш с некоторым характерным линейным размером Ь тела, т. е. б I/. О том, какой именно размер тела надо выбрать за характерный, будет сказано в следующем абзаце. Таким образом, решения уравнений пограничного слоя представляют собой по существу асимптотические решения для очень больших чисел Рейнольдса. [c.125]

Сравнительный характер настояшей работы требует неоднократного обрашения к физическим предпосылкам, уравнениям и условиям, относяшимся к этим различным наукам, которое выполняется на протяжении всей работы. Для проведения сравнительного анализа используются системы уравнений движения жидкости и твердого тела в напряжениях, системы уравнений Эйлера, Навье-Стокса и ламинарного пограничного слоя, а также некоторые их точные решения. [c.4]

По-видимому, одним из первых опытов упрощения уравнений Навье-Стокса является применение системы, содержащей все члены уравнений Эйлера, пограничного слоя, а также ряд других членов из полной системы, для исследования вязкого течения между телом и отошедшей ударной волной [56]. В настоящее время существует большое число пуб) икаций, посвященных этому вопросу, обзор которых не является целью этой к1шги. [c.174]

Приложения уравнений Барнетта начались с задачи о распространении звука [4, 5]. Важное значение этим уравнениям придавалось в основополагающей для динамики разреженного газа работе [6]. Позже такая позиция укрепилась тем фактом, что уравнения Навье - Стокса не являются, вообще говоря, строгим асимптотическим (при Кп 0) следствием кинетических уравнений в отличие от уравнений Эйлера или Прандтля. Оказалось [3], что для пограничного слоя отношение максимальных бар-неттовых и даже супербарнеттовых членов уравнений сохранения к слагаемым уравнений Прандтля порядка (5/L)2 Re Кп 1 (при числе Маха М = 0(1)), где 5-толщина слоя, L - размер тела. Re - число Рейнольдса. Такой же величины те слагаемые уравнений Навье - Стокса, которые не учитываются в уравнениях пограничного слоя первого (Прандтля) и второго порядков. [c.185]

Посвящённая этому вопросу так называемая теория исчезающей вязкости Осеена не является удовлетворительной, так как исходит из необоснованного упрощения уравнений Навье-Стокса. Теория же пограничного слоя Прандтля (см. 39) не даёт ответа на поставленный вопрос для всего объёма жидкости. [c.101]

Так как в пограничном слое отношение wJwx — 81х мало, то левая часть уравнения Навье-Стокса для много меньше левой части того же уравнения для но так как правая часть обоих уравнений одинакова по абсолют- [c.409]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...