Период главных колебаний системы

Координаты 1, I2, In называются главными или нормальными координатами колебательной системы колебание, при котором изменяется лишь одна главная координата, а остальные все время равны нулю, называется главным колебанием. Мы говорим, что в главном колебании соответствующая главная координата возбуждена, а остальные координаты находятся в покое. Как видно из формулы (9.1.14), в г-ж главном колебании координата изменяется по гармоническому закону с периодом 2п рг- Всего имеется п таких периодов, не обязательно различных их называют собственными периодами или периодами свободных колебаний системы. Периоды свободных колебаний являются инвариантами системы и не зависят от лагранжевых координат, выбранных первоначально для описания системы. Главное колебание с наибольшим периодом и, стало быть, с наименьшей частотой, т. е. колебание с наименьшим р, называется основным колебанием. Поскольку q зависят от I линейно, любое колебание может быть представлено как суперпозиция главных колебаний. [c.142]

Периоды главных колебаний равны 2п/п и 2я/2и , поскольку первый из них в два раза больше второго, любое движение системы является периодическим с периодом 2п/п. [c.148]

Если один из коэффициентов Aj. равен нулю, то соответствующая координата остается главной и период главного колебания не изменяется. Если два периода исходной системы одинаковы, то их общее значение является одновременно и периодом несвободной системы. [c.158]

Из ЭТОЙ таблицы мы видим, что для коротких пролетов, на которых располагаются лишь спаренные оси паровозов, дополнительные прогибы, обусловленные центробежной силой избыточных противовесов, могут достигать 20—30% от статических изгибов. Для пролетов, на которых помещается весь паровоз, возрастание прогибов при скоростях 80,5 клс/час достигает 15%. При испытании мостов со сквозными фермами (пролеты от 30,5 до 61 м) выяснилось, что главную роль играют колебания, вызываемые избыточными противовесами при условии явления резонанса. Это явление замечалось при изменении скорости движения в довольно значительных пределах, что объясняется изменением периода собственных колебаний системы при изменении подвижной нагрузки. По мере движения нагрузки период колебаний становится все более длинным. Таким образом мы получим довольно широкую область скоростей, для которых становится возможным значительное нарастание колебаний. Опытами отмечено также явление нарастания амплитуды колебаний при прохождении по мосту длинных однообразно загруженных товарных поездов. [c.403]

Каждое такое уравнение представляет собой простое гармоническое колебание [ 33], которому соответствует изменение лишь одной из главных координат. При этом колебании все точки колеблющейся системы будут в каждый момент находиться в одной фазе. В один и тот же момент все они будут проходить через свое среднее положение и также одновременно будут достигать наибольших отклонений. Колебания эти будем называть главными или нормальными. Из них, как мы видим, складывается самое общее колебание системы. Периоды главных колебаний определяются величинами коэффициентов. .. [c.320]

Корни этого трансцендентного уравнения позволяют вычислить значения периодов главных колебаний описываемой системы. Основному типу колебаний будет соответствовать наименьший корень уравнения. Некоторые значения этого корня для различных а приведены в табл. 20. [c.326]

Собственные частоты Xj и к определяются как корни уравнения частот (3). Отсюда следует, что собственные частоты системы не зависят от начальных условий. То же можно сказать про периоды главных колебаний и Xj, где [c.431]

Удар в упругой системе. Рассмотренные колебательные процессы имели установившийся, стационарный характер. При резком изменении нагрузки или при переходе механизма от одной установившейся скорости к другой в упругой системе протекает некоторый переходный процесс, который характеризуется изменением параметров колебаний. Если общее время протекания переходного процесса много меньше периодов главных нормальных форм, то процесс имеет ударный характер. [c.231]

Таким образом, в первом приближении I) маль е диссипативные силы не изменяют частот консервативной системы 2) при этих силах колебания затухают при t— oo 3) в j-м главном колебании все координаты малы по сравнению с ]-й координатой и отличаются от нее по фазе на четверть периода и = . ....п). [c.267]

Если правую часть этого равенства рассматривать как функцию от aj, 2,. . 711 то нетрудно убедиться, что эта функция приобретает стационарное значение, если все а, кроме одной, равны нулю. Таким образом, получаем следующую теорему период колебаний несвободной системы, рассматриваемый как функция от связей, имеет стационарное значение, если исходная система вынуждена совершать одно из своих главных колебаний. Эта теорема составляет содержание принципа Релея. [c.159]

Так как обе функции, и и 5, содержат h п а, то, казалось бы, естественно ожидать, что путем выбора начальных условий всегда можно получить как периодические, так и апериодические движения. Такая гипотеза, однако, оказывается несостоятельной. Мы знаем, что существуют системы, которые всегда совершают периодические движения, и системы, которые никогда не движутся периодически. Оба типа систем встречаются в теории малых колебаний. Если отношение периодов есть число рациональное, то траектория системы всегда периодична, каковы бы ни были начальные условия если же это отношение есть число иррациональное, то траектория никогда не является периодической (исключая, разумеется, тот случай, когда система совершает главные колебания). Другой достаточно ясный пример — это ньютоновская орбита, которая всегда периодична, каковы бы ни были величина и направление начальной скорости планеты (если, конечно, начальная скорость не превышает того значения, которое она имела бы при движении из бесконечности в начальную точку под действием притяжения к центру). В 18.8 мы вернемся к этому вопросу и выясним причину встречаюш ейся здесь особенности. [c.308]

Пренебрегая массой рельса, мы приводим задачу об определении динамических напряжений, вызываемых катящимся колесом, к исследованию колебаний системы с одной степенью свободы. Приходится различать два рода динамических напряжений а) напряжения, вызываемые неровностями по окружности колеса или поверхности рельса, и б) напряжения, вызываемые избыточными противовесами и несовпадением центра тяжести колеса с осью вращения. Динамические напряжения первого рода зависят от глубины впадин и их формы, но не зависят от скорости движения (конечно, пока мы пренебрегаем массой рельса), так как в окончательные формулы войдет лишь время, потребное для пробега впадины. Меняя длину впадины пропорционально скорости движения, мы можем получить один и тот же динамический эффект при различных скоростях. Динамические напряжения, вызываемые избыточными противовесами, возрастают с увеличением скорости движения, и это возрастание идет быстрее квадрата скорости. Особенно большое значение динамический коэффициент может получить для сил инерции движущихся взад и вперед частей, так как период этих сил вдвое меньше времени полного оборота колеса. При выяснении вопроса о возможности увеличения скорости движения в связи с прочностью пути приходится иметь в виду главным образом динамические напряжения второго рода. [c.357]

В зависимости от типа привода и способа его управления движущая (тормозная) сила может прикладываться как мгновенно, так и постепенно. Характер нарастания движущей (тормозной) силы мало влияет на динамическую нагрузку, которая определяется главным образом соотношением времени нарастания силы от нуля до максимальной величины, продолжительностью ее действия и периодом колебания системы (см. п. 1.8). В двухмассовых схемах динамическая нагрузка при мгновенном приложении сил не зависит от жесткости упругой, связи (табл. 1.4.2). Влияние действительных характеристик привода на динамические нагрузки приведено в работах [0.31, 0.35, 0.68]. [c.128]

При зарезонансной настройке упругой системы общий коэффициент ее жесткости невысокий, пусковые усилия снижаются, но повышается расход энергии при установившейся работе конвейера возможна длительная устойчивая работа машины при различных изменениях нагрузки. Основной недостаток зарезонансной настройки — возможность значительного увеличения напряжений в упругих элементах из-за кратковременного увеличения амплитуды колебаний при проходе системы через область резонанса при пуске и главным образом при остановке конвейера (в периоды нарастания и снижения частоты возмущающей силы и ее совпадения с частотой собственных колебаний системы). Для ликвидации этого недостатка разработан ряд специальных устройств. Кроме того, малая жесткость упругих элементов вызывает их значительные деформации (осадку) от собственного веса. Поэтому зарезонансную настройку применяют главным образом для подвесных конструкций и опорных конвейеров сравнительно легкого типа. Дорезонансная настройка имеет малое распространение. [c.377]

Все периоды колебания могут иметь наименьшее общее кратное. В этом случае, каким бы ни было сообщаемое системе малое начальное возмущение, начальное состояние будет повторяться много раз через интервал времени, равный наименьшему общему кратному. С другой стороны, если никакие два периода колебания не являются соизмеримыми, то начальное состояние может повторяться только тогда, когда система совершает главное колебание. Таким образом, существуют два типа колебательных дви- [c.407]

Главные колебания. Если начальные условия таковы, что каждая из координат представляется тригонометрическим членом с одним и тем же периодом, то говорят, что система совершает главное или гармоническое колебание. Таким образом, каждый тригонометрический член соответствует главному колебанию, [c.95]

Следовательно, траекторией изображающей точки является плоское сечение гюверхности второго порядка. Отсюда заключаем, что если система совершает главное колебание около состояния стационарного движения, то изображающая точка описывает эллипс. Эллипс описывается с ускорением, направленным к его центру и изменяющимся пропорционально расстоянию от него. Период движения по эллипсу по определению такой же, с которым система совершает ее главное колебание. [c.101]

Пример 3. Две струны ЛВ, ВС иэ разных материалов прикреплены в точке В к частице массой М, тогда как их другие концы Л н закреплены в пространстве. Частицы системы совершают колебания вдоль отрезка прямой ЛС. Доказать, что период р произвольного главного колебания является корнем уравнения [c.492]

При исследовании колеблющихся объектов широкое распространение получили также метод голографической интерферометрии с усреднением во времени [223] и стробоголографический метод [133, 215, 256 ]. Согласно первому из этих методов голограмма колеблющегося объекта записывается непрерывно в течение многих периодов колебания. Вследствие того что при установившемся колебательном движении объект значительную долю периода находится в крайних и близких к ним положениях, на голограмме регистрируются главным образом волновые фронты, соответствующие этим положениям. В результате при восстановлении голограммы на изображении поверхности объекта наблюдается система полос, соответствующая распределению амплитуд колеба- [c.211]

При этом следует иметь в виду, что с возрастанием номера гармоники амплитуды М обычно быстро уменьщаются и главное значение имеют вынужденные колебания, вызываемые первой гармоникой, имеющей период, равный периоду возмущающего момента. Однако не следует забывать о возможности появления резонансов и в других гармониках, которые возникают при условии, когда собственная частота системы окажется в целое число раз больше частоты возмущающего момента. Высшие гармоники возмущающего момента могут особенно сильно проявляться в тех случаях, когда на протяжении периода колебаний возмущающий момент изменяется очень неравномерно. [c.178]

Если Б (56) подставлять последовательно значения и, равные 1, 2,. .то функция Р(и) будет принимать поочередно положительные и отрицательные значения. Следовательно, корни уравнения лежат между значениями 2,. . з+ь Применяя эти рассуждения к уравнению (54), мы можем утверждать, что это уравнение имеет корпи для меньшие, чем рЬ рЬ р1 соответственно (значение р5+1=0). Таким образом, увеличение массы в какой-либо части системы, совершающей малые колебания, приводит к уменьшению главных частот колебаний, а следовательно, к увеличению главных периодов колебаний. [c.510]

Таким образом, увеличение потенциальной энергии системы, совершающей малые колебания, приводит к увеличению главных частот колебаний, а следовательно, к уменьшению главных периодов колебаний. [c.511]

Равные корни векового уравнения. Когда некоторые из корней уравнения, служащего для определения равны, то из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что или 1) в выражениях для 0, ф,. .. появляются члены вида At - --f В) sin pt, или 2) в этих выражениях имеется неопределенность в коэффициентах М, N,. .., определяемых на основе п. 455. Относя систему к главным координатам, принимающим нулевые значения в положении равновесия, на основе результатов п. 460 видим, что, вообще говоря, первое предположение исключается. Если два значения равны, скажем Ьц и >22. то тригонометрические выражения для и т] имеют равные периоды, однако они не включают членов, содержащих i в качестве множителя. Физическая особенность этого случая состоит в том, что система имеет более одной совокупности главных или гармонических колебаний. Так, очевидно, что, не вводя в выражения для Г или U каких-либо членов, содержащих произведения координат, можно заменить I, r на какие-либо другие координаты t]i, для которых -f т 2 = r J, При этом остальные координаты. .. остаются без изменения. Например, можно положить = х os а -f т х sin а и I1 = Il sin а — 1 1 os а, где а имеет любое желаемое значение. Очевидно, что эти новые координаты х. > 1х, являются главными координатами в соответствии с определением в п. 459. [c.409]

Это уравнение приближенно определяет измененный тип колебания. Мы видим, что, поскольку главная часть р — мнимая, координаты срд находятся приблизительно в одинаковой фазе, но эта фаза отличается на четверть периода от фазы <ру. Отсюда следует, что, когда функция Р не приводится к сумме квадратов, характер элементарных видов колебаний будет менее простым, чем в противоположном случае, и различные части системы при этом уже не будут находиться одновременно в одной и той же фазе. [c.160]

Имеются, однако, случаи, когда нормальные типы колебаний остаются неопределенными, что получается тогда, когда выражение (12) не зависит от а. Это случай, когда Ьг постоянно или пропорционально os vO. Так, например, если 8г пропорционально os 20 или, другими словами, если граница является слегка эллиптической, то система узлов, соответствующая п 2 (состоящая из пары перпендикулярных диаметров), будет иметь произвольное положение, по крайней мере при взятом порядке приближения. Но единственный диаметр, соответствующий п=, должен совпадать с одной из главных осей эллипса, а периоды будут различны для обеих осей. [c.359]

Прп )авыивая нулю определитель этой системы, получаем уравнение, служащее для нахождения периодов главных колебаний оно приводится к виду [c.582]

Свойства этого уравнения были исследованы в п. ()4. Мы опдим, чго число главных колебаний системы будет на единицу меньше, чем прежде, и периоды этих главных колебаний будут лежать между периодами первоначальных колебаний. [c.72]

Так, на рис. 119 показано, что при М (t) = onst колебательный процесс совершается с постоянной частотой и, если не учитывать затухания вследствие внутреннего трения, максимум каждой волны одинаковый по своей величине. При М (i) изменяющейся по наклонной прямой, происходит смещение оси колебаний по закону изменения М (i) (рис. 120). При малых периодах колебаний системы значения М в первой волне для всех значений Л1 (t) почти одинаковы. На основании этого можно сделать вывод, что динамические нагрузки, воспринимаемые механизмом обгона высокочастотных систем, почти не зависят от характера изменения избыточного пускового момента, а следовательно, и от типа привода и определяется главным образом начальным значением пускового момента Мо- [c.215]

Простейшая система. На рис. 3.1 показана поворотно-симметричная система S идентичных прямых стержней, которые на периферии. недеформируемого жестко закрепленного диска равномерно расположены но окружности с шагом = 2я/5. Стержни ориентированы радиально на их свободных концах размещены 5 масс Af, центры которых совмещены с точками крепления к стержням. Главные моменты инерции масс относительно радиальных направлений —/ = = ЛГгу, 1 де Г] — радиус инерции. Между соседними массами установлены упругие связи, сочлененные с ними шарнирно и имеющие продольную жесткость с . Точки крепления связен отстоят от центров масс в направлении оси системы на расстояниях а и Ь. Предполагается, что каждая масса имеет две степени свободы — возможность перемещения по окружности системы и поворота относительно радиального иаправлен ия Период такой системы имеет две степени свободы, а вся система 2S степеней свободы и соответственно 25 собственных частот, т. е. каждой, из т групп принадлежат две собственные частоты. При свободных колебаниях системы из условий равновесия /г-й массы, если нзгибная жесткость стержня с , а крутильная — Скр, следует [c.40]

Движение системы не будет периодическим с периодом i, если опо ие является главным колебанием. Предположим, что движение представляется суммой нескольких главных колебаний или. в более общем случае, пусть движеиие имеет вид, называемый в главе о живой силе в т. I стационарным движением. Если теперь средние берутся для очень большого интервала времени i, то приведенные уравнения еще справедливы. Для того чтобы показать это, вернемся к формуле Гамильтона (1). После деления па t= i последний член правой части становится очень малым, потому что движение таково, что коордннаты q в этом члене не растут бесконечно со временем. Следовательно, имеем 26 (iTm)/i = ЬЕ, и доказательство заканчивается так же, как и ранее. [c.354]

При этом особое внимание следует обратить на то, что многие явления в системах с несколькими степенями свободы могут быть описаны с помощью рассмотренных в предыдущих главах методов. Даже при наличии нескольких степеней свободы большую роль играют колебательные процессы с одинаковым периодом, т. е. имеющие единственную частоту. В дальнейшем мы покажем, что в общем случае весьма сложные связанные колебания часто удается исследовать и рассчитать, представляя движение как суперпозицию однопериодических главных колебаний. Тем самым оправдывается принятая в этой книге система изложения, при которой прежде всего рассматриваются простые осцилляторы с одной степенью свободы. [c.255]

Каждое ур-ие представляет простое гармонич. колебание в зависимости от одной из главных координат наложение их друг на друга характеризует колебания системы с числом п степеней свободы. Колебание с самым длинным периодом называется основным (также низким). Реигенио задачи сводится почти всегда к нахождению периода или частоты основного колебания. Вырагкения для нормальных координа-по Релею выбирают в виде тригонометрич. строк с таким расчетом, чтобы были удовлетворены пограничные условия, чаще в виде суммы или произведения 81П-ов и соз-ов. При Ф = Фа=. .. = О колебания свободные, при Ф Ф О, Ф. фO,. ..—вынуягденные. Общее решение ур-ий [c.219]

Решение системы уравнений (3.71) в переходном режиме для определения дисперсии Х (1) сопряжено с преодолением больших вычислительных трудностей и имее-г только теоретическое значение, главным образом для того, чтобы проследить развитие колебания системы в начальный период. На рис. 3.47 для некоторых значений параметров системы показаны графики (t) коэффициентов динамичности в переходном режиме, который равен [c.75]

Допустим, что время т значительно меньше, чем период колебания 7 = 2я/со. Это значит, что за время т фаза колебаний практически не изменится. Пусть свойства среды таковы, что фаза ускорения частиц совпадает с фазой вынуждающей силы, тогда система ведет себя в колебаниях как масса, а упругими свойствами ее можно пренебречь. Если окажется, что смещение совпадает по фазе с вынуждающей силой, то система ведет себя как идеальная упругость, влияние массы на характер вынужденных колебаний незначительно. В связи с этим для изучения поведения системы на низких частотах ее можно условно разделить по характеру колебаний на отдельные части. В одних частях колебания управляются массЬй, а в других— упругостью. Главным условием возможности такого разделения является то, что линейные размеры отдельных частей системы во много раз меньше длины упругой волны. [c.93]

Необходимо прибавить, что определение главных координат 204 зависит от первоначального вида и V — и поэтому нахо> дится в зависимости от значения w, которое входит как множитель в Tq. Система данных там уравнений не особенно подходит к раз решению вопроса о том, как зависят характер и частоты соответствующих нормальных колебаний от значения о). Пункт, достойный быть отмеченным, который там был пропущен, заключается в том, что некоторые циркуляшюнные движения, которые при отсутствии вращения имели бы бесконечно длинные периоды, благодаря всякому хотя и малому вращению, превращаются в колебательные движения периоды которых сравнимы с периодами вращения ср. 212, 223 [c.397]

Из классических работ по небесной механике известно, что при движении твердого тела по круговой орбите существуют устойчивые положения относительного равновесия. Эти положения устойчивого равновесия соответствуют некоторым относительным ориентациям твердого тела (например, искусственного спутника), когда его главные центральные оси инерции совпадают с осями орбитальной системы координат (радиус-вектор центра масс, трансверсаль и бинормаль к орбите). Если искусственньш спутник Земли сориентировать около положения устойчивого (относительного) равновесия, то это положение может сохраняться сколь угодно долго. Моменты от центрального поля гравитационных сил будут в этом случае стабилизирующими моментами, и мы приходим к идее ориентации спутника без расходования энергии и рабочего тела. Для эллиптических орбит с малыми эксцентриситетами относительное устойчийое равновесие тела почти всегда переходит в устойчивое колебательное движение с малой амплитудой и периодом, равным периоду обращения по орбите. Эти колебания можно рассматривать как погрешности ориентации, которые могут быть рассчитаны и учтены. Это представляет весьма важную задачу современной механики (18. [c.12]

Примеры. Пример 1. Две независимые системы, главными координатами (п. 56) которых соответственно являются (О, ф) и ( , т]), совершают колебания с разиыми периодами. Показать, что если эти системы соединить посредством наложения геометрической связи, которая может быть задана соотношением [c.72]

МЕТОД ГАЛЕРКИНА. Метод Галеркина в применении к консерч вативным системам можно трактовать, подобно методу Ритц как один из способов прямого решения задачи на экстрему функционала S (8.5). В самом деле, рассматривая значения S ва совокупности главных свободных поперечных колебаний одного и того же периода, различающихся только формой колебание, мы получим для вариации S [c.328]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...