Главные колебания координаты

Координаты 1, I2, In называются главными или нормальными координатами колебательной системы колебание, при котором изменяется лишь одна главная координата, а остальные все время равны нулю, называется главным колебанием. Мы говорим, что в главном колебании соответствующая главная координата возбуждена, а остальные координаты находятся в покое. Как видно из формулы (9.1.14), в г-ж главном колебании координата изменяется по гармоническому закону с периодом 2п рг- Всего имеется п таких периодов, не обязательно различных их называют собственными периодами или периодами свободных колебаний системы. Периоды свободных колебаний являются инвариантами системы и не зависят от лагранжевых координат, выбранных первоначально для описания системы. Главное колебание с наибольшим периодом и, стало быть, с наименьшей частотой, т. е. колебание с наименьшим р, называется основным колебанием. Поскольку q зависят от I линейно, любое колебание может быть представлено как суперпозиция главных колебаний. [c.142]

В главном колебании, скажем в первом главном колебании, координаты 2, 1з1 -I In все время равны нулю отсюда следует, что отношения qi [c.143]

Две одинаковые материальные точки А1, и М2 массы m каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от концов к натянутой нити, имеющей длину 2(a-j-b) натяжение нити равно р. Определить частоты главных колебании и найти главные координаты. [c.421]

Частоты изменения главных координат совпадают с частотами главных колебаний, т. е. [c.480]

Амплитуды суммируемых главных колебаний зависят от множителей Матрица преобразования (45) к главным координатам, составленная из этих множителей, [c.240]

Из общего решения следует, что каждая обобщенная координата системы совершает сложное колебательное движение, которое является наложением двух главных колебаний системы различных частот ki и 2. Этот результат называют принципом наложения малых колебаний. Так как в общем случае ki и fes несоизмеримы, то движение механической системы не будет периодическим. [c.214]

Заметим, что нахождение главных координат тем или иным методом — задачи одинаковой трудности. Зара ее указать главные координаты в конкретной задаче обычно не удается. Поэтому практическое значение их невелико. Однако введение главных обобщенных координат имеет существенное теоретическое значение, которое заключается в том, что при помощи них любые собственные колебания системы можно представить как независимые гармонические колебания каждой обобщенной координаты. [c.217]

Отношения амплитуд в главных колебаниях Рх и Р2 называют коэффициентами формы. Из (68) следует, что коэффициенты формы равны отношениям обобщенных координат в главных колебаниях [c.438]

Если за обобщенные координаты системы выбрать з р н д то главное колебание с частотой 1 будет содержаться только в одной обобщенной координате, а главное колебание с частотой к — в другой. Обобщенные координаты, которые содержат только по одному глав- [c.438]

Если за новые обобщенные координаты системы выбрать ц и то главное колебание с частотой ку будет характеризоваться только обобщенной координатой 171", а главное колебание с частотой к — координатой 7 Л . [c.462]

Из равенств (II. 189) или (И. 193) видно, что каждая нормальная координата определяет главное колебание. Поэтому нормальные координаты иногда называют главными. [c.245]

Из общего решения (26) следует, что каждая из координат совершает колебательное движение, которое является результатом наложения главных колебаний различных частот к и Аг. Так как ki п k , вообще говоря, несоизмеримы, движение это не будет периодическим. Введение главных колебаний допускает возможность представления движения системы в виде суммы простых гармонических движений — главных колебаний. [c.553]

Величины ki и 2 представляют собой частоты главных колебаний системы, которые выше были определены из характеристического уравнения (15). Это следует из того, что физические постоянные системы, в данном случае частоты ее главных колебаний, не могут зависеть от выбора координат, при помощи которых описывается движение можно это проверить также непосредственным вычислением ). [c.562]

Каждая из координат 6i и 02, называемых главными координатами, совершает колебание по гармоническому закону с частотой соответствующего главного колебания. Колебание каждой из главных координат происходит независимо от колебания другой координаты это следует из того, что задание начального значения координаты 0i и соответствующей обобщенной скорости 01 определяет константы i и ti в выражении [c.562]

Обращаясь к формулам (22) и (25), видим, что определенные здесь коэффициенты Pi и Рг не только по обозначению, но и по их механическому значению совпадают с коэффициентами форм главных колебаний. Отсюда следует, что для определения главных координат можно применить другой путь сначала решить характеристическое уравнение (15), а затем определить коэффициенты форм по формулам (19) и (24). Любая задача [c.563]

Координаты I, т], отсчитываемые вдоль осей семейства эллипсов (61), являются, таким образом, главными k и представляют собой частоты главных колебаний. Определение коэффициентов линейного преобразования (62) и квадратов частот проводится с помощью того же процесса вычисления, который был применен при определении главных осей эллипсоида инерции в 140. Частоты представляют собой корни уравнения [c.566]

Движение системы с двумя степенями свободы можно по (60) интерпретировать как движение точки единичной массы в плоскости qu Яь Из соотношений (64) следует, что в этой плоскости имеются два взаимно перпендикулярных направления, таких, что при отклонении точки из положения равновесия по одному из них возникает восстанавливающая сила, имеющая направление, прямо противоположное отклонению. В этих направлениях производится отсчет главных координат и по ним же происходят главные колебания заменяющей систему точки. [c.566]

Координаты I и т) являются главными, и частоты главных колебаний равны- [c.567]

Задача сводится к интегрированию двух не зависящих дру. от друга дифференциальных уравнений, отнесенных к главным координатам. Здесь ограничимся напоминанием основного результата явление резонанса имеет место при совпадении одной из частот главных колебаний k или k2 с частотой одной из гармонических составляющих возмущающей силы [c.586]

Совокупность равенств (113) характеризует первое главное колебание системы. Это означает, что если система с п степенями свободы совершает первое главное колебание, то все обобщенные координаты ее колеблются с одной и той же частотой ki, причем в одинаковых фазах ai и с амплитудами j kX)l n k ), зависящими только от структуры системы, т. е. от инерционных и квазиупругих коэффициентов и номера (час-тоты) главного колебания, но не от начальных условий, определяющих постоянные С и ai (изохронность малых колебаний). [c.594]

Величины и Цз. представляющие собой отношение обобщенных координат или амплитуд колебаний в каждом из главных колебаний, характеризуют формы главных колебаний и их называют коэффициентами распределения. Из выражений (19.4) следует, что формы главных колебаний системы не зависят от начальных условий и, так же как и частоты колебаний, определяются только параметрами системы. [c.84]

Обозначив значения обобщенных координат и амплитуд колебаний, соответствующих первому главному колебанию, индексом (1), имеем [c.84]

Если система совершает одно из главных колебаний, то обе обобщенные координаты системы изменяются по гармоническому закону одинаковой частоты и фазы колебаний. Это означает, что обе координаты изменяются синхронно, одновременно имея нулевое значение и одновременно достигая максимума. [c.84]

Величины кх и к представляют собой те же частоты главных колебаний системы, которые определены из уравнения частот. Это объясняется тем, что физические постоянные системы какими являются частоты ее колебаний, не зависят от выбора координат, при помощи которых описывается движение системы. [c.99]

Таким образом, установлено, что каждая главная координата t]i и т]2 изменяется по гармоническому закону с частотой, соответствующей одной из частот главных колебаний рассматриваемой системы. [c.99]

Обычно при решении конкретных задач трудно предварительно определить параметры, являющиеся главными координатами системы. Поэтому, выбрав за обобщенные координаты величины, определяющие положение системы наиболее просто, вычисляют частоты главных колебаний кх и к при помощи уравнения (19.3), а затем по формулам (19.4) находят коэффициенты распределения pi и ра-Так как [c.99]

Шарнирные фермы как пространственные, так и плоские представляют собой системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Положение этих систем при колебании определяется бесконечно большим числом обобщенных координат, а следовательно, число главных колебаний и частот ферм бесконечно велико. Для определения низших частот и соответствующих им форм главных колебаний можно ферму заменить системой с конечным числом степеней свободы. Весьма точные результаты можно получить при замене фермы системой материальных точек, расположенных в узлах фермы. [c.163]

Обобщенные координаты, каждая из которых представлясг юлько одрю главное колебание, называются главными координатами сисгемы. Произвольные обобщенные координагы через главные в соогветствии с (71) должны выражагься их линейными комбинациями [c.479]

Колебания, определяемые уравнениями (150) и (151), называются главными колебаниями, а их частоты й, и — собственными частотами системы. При этои, колебание с частотой ft, (всегда меньшей) называют первым главным колебатаем, а с частотой /г — вторым главным колебанием. Числа /ij и rjj, определяющие отношения амплитуд (или самих координат, т. е. q-ilqi) в каждом из этих колебаний, называют коаф4шциентами формы. [c.395]

Главному колебанию соответствуют две обобщенные координаты, которые меняются но гармоническому закону, имея одинаковые фазы и частоты. Амплитуды колебаний обеих обобщенных координат при этом различны и определяются ачальными условиями. Однако отношение их постоянно и не зависит от начальных условий. [c.214]

Обобщенные координаты, каждая из которых представляет только одно главное колебание, называются главными координатами системы. Произвольные обобш.енные координаты через главные в соответствии с (71) должны выражаться их линейными комбинациями [c.462]

Эти формулы определяют первое главное колебание. Если система совершает первое главное колебание, то обе координаты ее колеблются по гармоническому закону, имея одинаковые частоты и одинаковые или прямо противоположные фазы, т. е. одновременно приходя в положение равновесия, одновременно достигая максимальных отклонений от него и т. д. амплитуды колебаний той и другой координаты находятся при этом в определенном отношении Рь не зависяи ем от начальных условий. [c.552]

E5, 8(54.18), Два одинаковы материальные точки Mj и ЛЬ массы т каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от концов к натянутой инти, имеощей длину 2(а- - ) натяжение нити равно р. Определить частоты главных колебаний и найти главные координаты. [c.421]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...