Краевые задачи для пластины

Это название объясняется тем, что краевые задачи для уравнения (2.241) могут иметь нетривиальные решения даже при нулевых внешних воздействиях. Физически это объясняется тем, что пластина, сжатая силами, параллельными ее срединной плоскости, может иметь изогнутую форму равновесия переход от неизогнутой формы равновесия w = 0) к изогнутой называется потерей устойчивости. [c.85]

Эти методы можно разделить па две группы. Первая составляет методы приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, к которым сводятся те или иные задачи прикладной теории упругости. Из числа этих методов прежде всего рассмотрим метод конечных разностей (МКР) и особенности его применения в плоской задаче и в задачах изгиба пластин. Далее излагаются метод Бубнова — Галеркина и метод Канторовича — Власова. [c.228]

Этот метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений называют также методом сеток. Он состоит в следующем. Вся область рассматриваемого тела (область решения краевой задачи) — ось балки, плош адь пластины, поверхность оболочки и т. д.— покрывается сеткой линий, точки пересечения которых называют узлами. За неизвестные принимаются значения разыскиваемых функций в узлах сетки. Для этого строятся приближенные формулы для производных от функций, выраженные через узловые ординаты этих [c.229]

Расчет изотропных пластин на изгиб сводится к решению краевой задачи для дифференциального уравнения равновесия (6.12) относительно функции прогибов и> х, у) [c.241]

Многие рассмотренные в этой книге задачи статики тонкостенных конструкций приводят к необходимости решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В. частности, к краевым. задачам для таких уравнений приводит расчет круглых пластин переменной толщины и расчет оболочек вращения. [c.446]

Прежде чем перейти к формулировке соответствующей краевой задачи для системы (1.5), оценим порядок величины членов, содержащих Е. Если обозначить через Ь расстояние между пластинами конденсатора, а через (ро — разность потенциала электрического поля между ними, то член, квадратичный по полю, будет иметь порядок ( 1 а член, линейный по полю, — порядок г(ро Ь . [c.430]

Рассмотрим сначала задачу для пластины неограниченных размеров. Допустим, что нагрузка q и коэффициент постели с представляют собой однородные изотропные случайные поля. Пренебрегая влиянием краевых эффектов, случайную функцию прогиба W ( 1, дга) также будем предполагать однородной. Введем спектральные представления [c.190]

Введение. Полагая равной нулю нагрузку в любом из приведенных в 5.2 решений в рядах по функциям нагружения, получим точные решения в явной форме для пластин со свободными от нагрузки поверхностями, которые можно использовать для удовлетворения краевых условий для пластин. Подобные решения, разумеется, полезны для задач, где задана только приложенная к краю нагрузка (такие задачи о плоском напряженном состоянии рассматривались в 3.2, где для них были полу-, чены только приближенные общие решения), а также для соот-, ветствующих задач изгиба с учетом антисимметричной краевой нагрузки. [c.345]

Задача о контакте гибкой круглой пластины с жесткой плоской плитой решена в [175] итеративным сопряжением решений краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в зоне контакта и вне ее. Деформация поперечного обжатия не принята во внимание, поэтому поперечная сила на границе зоны контакта терпит разрыв. [c.14]

Таким образом, рассматриваемый случай приводится к двум связанным и последовательно решаемым задачам классической плоской теории упругости однородного изотропного поля. Поэтому многие краевые задачи для системы уравнений (5.13) при помощи предложенного подхода можно решить в квадратурах. Рассмотрим плосконапряженное состояние пластин кусочно-постоянной толщины. [c.263]

Следует добавить, что дифференциальные уравнения, описывающие процессы изгиба и выпучивания длинной прямоугольной пластинки по цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна длинной стороне пластинки, лишь значениями некоторых коэффициентов (см. ниже) отличаются от соответствующих уравнений изгиба и устойчивости слоистых балок и стержней. Точно также уравнения, описывающие процессы изгиба и выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности, аналогичны соответствующим уравнениям изгиба и устойчивости арки. Так возникают пары близких между собой систем дифференциальных уравнений, характеризующих механическое поведение существенно различных элементов конструкций. Ясно, что методы исследования краевых задач для этих близких систем уравнений одинаковы, а результаты, полученные при решении одной из них, сохраняют свое значение и для другой. Поэтому сформулированные ниже выводы о характере и степени влияния поперечных сдвигов, обжатия нормали, вида краевых условий на характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости слоистых длинных пластин и панелей остаются справедливыми для балок, стержней и арок. [c.94]

На рис. 7.17 приведен простой пример краевой задачи для неоднородного тела. Рассматриваемая область состоит из кольца а < < г с Ь с упругими постоянными Vi и Gi внутри круглого отверстия радиуса г = Ь в большой пластине с упругими постоянными Vj и Ог- Внутренняя поверхность кольца находится под действием нормальных напряжений = —р, а пластина свободна от напряжений на бесконечности. Решение этой задачи, удовлетворяющее условию непрерывности радиальных напряжений и смещений на поверхности контакта г = Ь, можно получить по стандартным формулам для толстостенных цилиндров (см., например, 127, стр. 125—126]) М. Радиальные и тангенциальные напряжения определяются формулами I [c.177]

При численном исследовании аналитических решений краевых задач для трехслойных элементов конструкций, находящихся в тепловых потоках, часто необходимо знать распределение температуры по их толщине. В связи с этим получим приближенное решение соответствующей задачи теплопроводности для трехслойной пластины. [c.81]

В силу линейности связи деформаций с перемещениями в слоях пластины (6.7), уравнений равновесия (6.59) и граничных условий (6.9) подобные соотношения будут справедливы и для всех величин, отмеченных звездочками (б.61). В этом случае краевая задача (6.61) (6.63) совпадает с краевой задачей для некоторой фиктивной трехслойной упругопластической пластины, которая испытывает изотермическое нагружение из естествен- [c.339]

Для решения краевой задачи, сформулированной в разделе 5.1.3, в работе [Королев Г.Л., 1980] был предложен метод установления с использованием неявной аппроксимации условия взаимодействия, в котором распределение толщины вытеснения и давление удовлетворяли условию взаимодействия на каждой итерации. С помощью предлагаемого метода получено решение краевой задачи для тонкой пластины, имеющей форму в плане г = на режиме слабого взаимодействия в широком диапазоне параметров подобия. В указанной работе вместо переменных (5.8) введены следующие переменные [c.194]

При заметном упрочнении положение является менее определенным. Рассмотрение краевых задач для упрочняющегося тела в большинстве случаев основывается на простейшей модели изотропного упрочнения. Ограниченное значение этой схемы отмечалось уже выше ее улучшение за счет добавления жесткого переноса поверхности нагружения не устраняет всех расхождений с экспериментами, существенно усложняя в то же время исходные соотношения. По этим причинам задачи для упрочняющейся среды целесообразно рассматривать лишь при несложных условиях нагружения, когда характер внешних воздействий позволяет надеяться, что элементы тела испытывают нагружение, в определенном смысле близкое к простому. Большинство важных для приложений одномерных задач (осесимметричные задачи для труб, дисков, пластин и т. п.) обычно удовлетворяет указанному условию. K aк это ни парадоксально, но математические трудности здесь играют известную положительную роль, заставляя ограничиваться анализом лишь важнейших и в то же время достаточно простых (по условиям нагружения) задач. [c.97]

Назовем родом явлений такую, выделенную из данного класса совокупность явлений, которая определяется качественно единообразной постановкой краевой задачи. Для непосредственного разъяснения термина укажем, например, на номограммы на рис. 3-5 и 3-7. Они охватывают род явлений теплопроводности в плоских изотропных неограниченных пластинах, имевших в начальный момент времени равномерно распределенную температуру и внезапно внесенных в среду с другой, постоянной во времени температурой. При этом физические константы материала пластины и коэффициент теплоотдачи приняты за постоянные. [c.59]

Таким образом определение напряженного состояния в пластине сводится к некоторой краевой задаче для аналитических в области пластины функций ф(г) и tp(z). Эта краевая задача называется первой основной задачей, если на всем контуре пластины заданы усилия, второй основной задачей, если на [c.38]

Рассмотрение пластин и мембран с такими свойствами, как линейное изменение напряжений по толщине, ортогональность внешних сил к поверхности и др., приводит (в результате интегрирования уравнения (1.47) по толщине) к краевым задачам для уравнений четвертого порядка с двумя пространственными переменными. Некоторые иэ них рассмотрены в следующих разделах. [c.32]

Функция W должна, кроме того, удовлетворять граничным условиям на кромках пластины. Если в упругой пластине краевые условия не зависят от модуля упругости, то решение задачи для вязко-упругой пластины с помощью принципа Вольтерры легко может быть найдено из решения для упругой пластины. Ограничимся рассмотрением пластинки, кромки которой жестко защемлены либо свободно (шарнирно) оперты. [c.361]

Использование теории слоистых конструкций (пластин или оболочек) в исследовании композитов служит двоякой цели. Кроме приближенных уравнений полей, которые используются при решении конкретных краевых задач, получаются определяющие соотношения для самого слоистого материала. Иначе го- [c.17]

С математической точки зрения задачи нестационарной теплопроводности и термопластичности относятся к классу краевых задач. Их аналитические решения получены лишь дня некоторых элементов конструкций (оболочек, пластин, стержней). При решении этих задач для элементов со сложной геометрией необходимо привлекать численные методы, ориентированные на использование ЭВМ. [c.15]

При решении краевых задач о напряженно-деформированном состоянии несущих элементов в соответствии с нормами [5, 8] используются аналитические методы теории пластин и оболочек, многочисленные справочные данные о концентрации напряжений в типовых элементах реакторов (отверстия, патрубки, переходы жесткостей, пазы, резьбы и т. д.). Для сложных узлов (наклон- [c.41]

Краевые задачи для пластины. Помимо условий Дирихле [c.33]

Чтобы краевая задача для уравнения четвертого порядка имела определенное решение, на контуре должны быть заданы два граничных условия. Рассмотрим, например, границу пластины X = onst. [c.57]

Рассматриваемая задача представляет собой задачу о внутренней трещине, находящейся в сравнительно тонкостенном конструкционном элементе, для исследования которого применяют теорию пластин или оболочек. В обычной системе обозначений, принятой ниже и отнесенной к локальной системе координат, представленной на рис. 1, ui, U2 и Uz — компоненты вектора перемещений, Pi и Р2 — углы поворота нормали к нейтральной поверхности в плоскостях Х1Х3 и Х2Х3, Nij, Мц и Vi (i, j = 1,2) — результирующие мембранных усилий, момента и усилий поперечного сдвига. Принимаем также, что задача о сквозной трещине в пластине или оболочке поставлена и сведена к системе интегральных уравнений. В [11—16] принято, что неизвестными функциями интегральных уравнений являются производные перемещений поверхности трещины и углов поворота нормалей к нейтральной поверхности. Это является естественным следствием постановки задачи для пластины пли оболочки со смешанными краевыми условиями. В случае симметричной задачи о сквозной трещине в области —а <. Х <. а (расположенной в одной из главных плоскостей кривизны) пластины или оболоч- [c.245]

Если же используются неортогональные ряды, то выражение энергии деформации будет додержать, кроме квадратов, еще и произведения неизвестных, и уравнения возможной работы будут в общем случае содержать все, или по крайней мере более одной, низвестные, и тогда требуется решать систему уравнений. Это значительно увеличивает трудности и ограничивает число членов, которое практически Можно использовать. При использовании подобных методов S задачах для пластин и оболочек, особенно в случае, когда краевые условия отличаются от условий свободног,о опирания или прогибы не малы по сравнению с толщиной и поэтому должна использоваться нелинейная теория, уравнения, вытекающие из принципа возможной работы (которые часто представляют единственный, практический путь получения какого-либо решения вообще), могут, оказаться настолько трудными для решения, что на практике используются, если позволяют время и средства, один член (метод Релея) или в лучшем случае несколько членов, и при этом может оказаться трудным указать, насколько точная аппроксимация при этом достигается. Близость аппроксимации в этом случае зависит, конечйо, от того, насколько точно с помощью одной или нескольких выбранных функций можно представить истинную форму, которая в свою очередь может быть только грубо определена из экспериментов. Хотя в случае задач о балках такие случаи либо встречаются редко, ли- j6o Имеют другие, более приемлемые решения, эти вопросы можно в сильной степени прояснить путем Простых иллюстраций на задачах о балках. [c.102]

Оценка краевых эффектов для пластин и оболочек на основе соответствующих решений для балок. Поля локальных напряжений, подобные описываемым выражениями (3.39) и (3.40) и только что рассмотренному случаю, используются для уточнения концевйх условий для балок путем наложения этих полей на решения, которые удовлетворяют только интегральным краевым условиям, и по крайней мере приближенно у овлетворяют действительным краевым условиям. в каждой точке на концах. В -тео )ии пластин и оболочек имеют место те же проблемы, состоящие в том, что получаемые решения удовлетворяют только интегральным краевым условиям и указанное выше распределение напряжений, соответствующее задаче теории упругости для плоского деформированного состояния и аналогичное описанным выше уточнениям по теории плоского напряженного состояния для концов балки, может быть наложено на такие же решения для пластин и оболочек, записанные для отдельных участков краев, так, чтобы десйтвитрльно удовлетворить краевым условиям в каждой точке. [c.188]

Функция Грина может быть найдена аналитически для многих случаев (цилиндрическая, сферическая, пологая оболочки плоские пластины различной формы в плане и др.). В этих случаях при помощи принципа суперпозиции решение исходной краевой задачи для оболочки переменной толщины записывается в форгу е четырехкратных (в более простых случаях двухкратных) интегралов. [c.262]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Рекуррентное решение краевой задачи для величин со звездочками следует из решения (6.55), в котором необходимо произвести соответствующие замены функций нелинейности, нагрузок и коэффициентов щ. При численном исследовании считалось, что несущие слои пластины выполнены из сплава Д16Т, заполнитель — политетрафторэтилен. Все необходимые материальные функции и параметры этих материалов приведены в таблицах 1.1, 1.3. Интегральный поток 1 принимался таким, что это вызывало увеличение предела текучести на 20%. [c.343]

В работе [49] показано, что краевая задача для течения на пластине при % = оо инвариантна относительно некоторой однопараметрической группы афинных преобразований переменных (кроме условия на задней кромке). Это позволяет свести всю совокупность неавтомодельных решений задачи к двум стандартным решениям, соответствующим течениям сжатия и разрежения. [c.262]

В силу линейности связи деформаций с перемегцепиями в слоях пластины (6.49), уравнений равновесия (8.40) и граничных условий (6.56), подобные соотногпения будут справедливы и для величин со звездочками (8.41). В этом случае краевая задача для величии со звездочками (8.41) (8.43) совпадает с краевой задачей для некоторой фиктивной трехслойной упругопластической пластины, которая испытывает изотермическое нагружение из [c.208]

В строгой постановке расчет на прочность перфорированной конструкции основывается на решении соответствующей краевой задачи для перфорированной пластины или оболочки, т. е. сводится к рассмотрению сложных кра-евых задач для многосвязных областей. [c.6]

Рассмотрим теперь задачу о несимметричном изгибе предварительно напряженных кольцевых пластин, которую поставили Альцхаймер и Дэвис [1968] и которая обсуждалась в п. 2.2.4. Эта задача приводит к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка (2.2.28) с краевыми условиями (2.2.29), (2.2.30). При е—+0 уравнение (2.2.28) при- [c.142]

При переходе к пластинам ограниченных размеров, при других условиях нагружения и других формах трещины в выражения (2.8) вводят поправочные функции fih, fiih, huk. Их значения получают на основании решения соответствующих краевых задач. Они для ряда случаев представлены в табл. 2.1 с соответствующими схемами нагружения, показанными на рис. 2.3. [c.27]

На основе развития теорий течения с остаточными микронапряжениями (с целью отразить эффект Баушингера, свойственный циклическим процессам, релаксацию при выдержках и анизотропию упрочнения) и использования метода конечного элемента осуществляются вычислительные решения краевых задач при циклическом нагружении в изотермической и неизотермической постановке. Примером осуществления такого решения в Горьковском физико-техническом институте под руководством А. Г. Угодчи-кова является задача о концентрации деформации и напряжений в пластине из стали Х18Н9Т с круглым поперечным отверстием при пульсирующем малоцикловом растяжении, сопровождающемся синфазным циклическим изменением температуры. На рис. 18 представлена схема двух следующих друг за другом циклов нагружения с указанием последовательных стадий (обозначены цифрами), для которых производился расчет полей методом конечного [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...