Точная нижняя грань

Она является непрерывной функцией постоянных и должна иметь точную нижнюю грань = inf Д, так как ограничена [c.111]

Покажем, что поставленная задача имеет лишь одно решение. Поскольку функционал M(a,f,u) ограничен снизу, то он имеет точную нижнюю грань. Выберем некоторую минимизирующую последовательность и (г = О, 1,. ..), взяв ее в упорядоченной форме, тогда [c.191]

О < < Рассмотрим окрестность, задаваемую неравенствами (2). Граница этой окрестности является замкнутым множеством точек, и непрерывная функция Е достигает на ней своей точной нижней грани а. Так как, кроме того, на границе окрестности (2) все значения Е [c.491]

Примеры инвариантных областей. Рассмотрим систему, для которой функция Гамильтона ограничена снизу в фазовом пространстве. Можно считать, что точная нижняя грань функции Гамильтона равна нулю этого всегда можно добиться, если прибавить к этой функции надлежащим образом выбранную постоянную (что не изменяет уравнения движения) или изменить произвольную постоянную в функции V. Будем предполагать также, что поверхность Н = h (Л > 0) является замкнутой. Но функция Н представляет собой интеграл уравнений Гамильтона, гак что поверхность // = А (А > 0) является инвариантной областью. Замкнутая область, ограниченная двумя такими поверхностями (т. е. множество точек х, для которых hi Н (ж) Аг), также представляет собой инвариантную область. [c.441]

Некоторые свойства определенно-положительных функций вытекают непосредственно из их определения. Обозначим через R = R if) наименьшее значение г для точек на поверхности / (у) = к пусть О < Л х. Выберем число а, удовлетворяющее неравенству ОСа / , и обозначим через та if) и Ма (/) соответственно точную нижнюю грань и точную верхнюю грань функции / (у) на сфере г = а. Тогда [c.473]

Обозначим через "к точную нижнюю грань определенно-положительной функции Н у) в замкнутой области, определяемой условием (23.7.15). Тогда можем написать [c.475]

Рассмотрим, далее, значения функционала I на простых замкнутых кривых Г семейства и, расположенных внутри кольца, ограниченного кривыми Си/). Предположим, что это кольцо не содержит особых точек функции V. Мы видели, что значения I убывают при перемеш,ении кривой Г наружу от кривой С или внутрь от кривой D. Предполагая, что значения / на кривых семейства у. ограничены и что точная нижняя грань этих значений т достигается на некоторой кривой семейства, приходим к выводу, что существует по крайней мере одна кривая Го, для которой / (Го) = т. На этой кривой функционал / достигает минимального значения. Очевидно, что кривая Го не может совпадать как с кривой С, так и с кривой D ни целиком, ни какой-либо частью. Таким образом, если на кривой С W < О, а ка кри-тй D W > Q, то в кольцевой области, ограниченной этими кривыми, существует по крайней мере одна периодическая траектория. [c.551]

Доказательство (а) следует из определения расстояния между двумя точками и свойств точной нижней грани. [c.173]

Таким образом, условие (4.16), а следовательно, и условие 5 = 0, приводит к истинному полю перемещений Aw. Но последнее условие — это условие экстремума для коэффициента k, которое, естественно, выполняется в точной нижней грани функционала (4.17), так что [c.116]

Все имеющиеся экспериментальные данные свидетельствуют о том, что каков бы ни был масштаб используемого термометра, существует температура, ниже которой никакая термодинамическая система не может быть охлаждена, т. е. температура ограничена снизу. Если точная нижняя грань принята за нуль, то температуру называют абсолютной и при любом масштабе [c.74]

Пусть р е Р н д еО- Расстоянием р р, д) между точками р и д назовем точную нижнюю грань длин кусочно-гладких кривых с началом ври концом в д. Расстоянием р Р, (5) между Р и (5 назовем точную нижнюю грань расстояний между любыми точками из Р и (5. Так как р р, д) непрерывна на Р X (5 и множества Р и (5 компактны, то на Р и (5 существуют точки Ро и до, расстояние между которыми равно р Р, (5). [c.142]

Определим теперь в замкнутой области Г функцию Р = Р (М) следующим образом если через точку М проходит замкнутая траектория Ь, то мы положим, что Р (М) равна площад области, заключенной внутри Ь] если же через М проходит незамкнутая траектория, то мы будем считать, что Р (М) равна площади /о облает , заключенной внутри Ьо (т. е. площади самой области Г). Так как по предположению внутри Ь(, пот состояний равновесия, то функция Р (М) определена во всех точках области Г. Наибольшее значение ее равно 1о- По определению Р М) >- О, поэтому значения функции Р в области Г имеют точную нижнюю грань, которую [c.116]

Рассмотрим траекторию Ь, проходящую через точку М. Эта траектория не может быть незамкнутой. В самом деле, если Ь не замкнута, то в силу леммы 7 существует такая окрестность точки М, что все пересекающие эту окрестность траектории пе замкнуты. Но тогда значение функции Р (М) в любой точке этой окрестности равно /о, и точная нижняя грань этих значений не может быть равна т < /о, что противоречит указанному выше свойству точки М. Следовательно, траектория Ь замкнута. Пусть — замкнутая траектория, лен ащая внутри Ь, а Ьг — замкнутая траектория, лежащая внутри 1 (рис. 69) (такие траектории, как мы знаем, существуют). [c.117]

Точную нижнюю грань функции / (М) обозначим через ро- Из определения точной нижней грани и из компактности окружности следует, как легко [c.118]

Вместо точной верхней грани мы могли взять любую другую внутреннюю характеристику последовательности а(п,х), например точную нижнюю грань, верхний или нижний предел, любую их линейную комбинацию или даже более сложное выражение типа центра масс , которое чувствительно не только к набору значений, но и к их распределению. [c.114]

Перейдем теперь к обсуждению вопроса о существовании поля скоростей, минимизирующего функционал (3.1). Основная цель здесь — получение аналога известной теоремы анализа о том, что всякая непрерывная функция, определенная на ограниченном замкнутом множестве, достигает на нем своей точной нижней грани. [c.47]

Всякая непрерывная, возрастающая на бесконечности функция, определенная на замкнутом множестве X в Л", достигает на X своей точной нижней грани. [c.47]

Легко видеть, что в этом случае существует элемент во из М, на котором J (е) достигает своей точной нижней грани на М. [c.49]

Для решения этого вопроса существенным является получение оценок снизу значения точной нижней грани рассматриваемого функционала. Такие оценки можно получать, используя теорию двойственности в экстремальных задачах. [c.87]

Таким образом, определение точной нижней грани вспомогательного функционала сводится к алгебраической задаче об исследовании экстремума функции конечного числа переменных. [c.88]

Подчеркнем, что для получения оценок снизу точной нижней грани исходного функционала по общей теории двойственности требуется нахождение достаточно большого запаса полей напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия (аннуляторы кинематически допусти- [c.88]

Таким образом, для получения оценки снизу точной нижней грани функционала (7.4) можно взять 5, удовлетворяющее (7.2), и подставить в функционал J ( ) [c.90]

Ниже этот вопрос будет подробно рассмотрен для двухсвязных областей в связи со вторым методом оценок снизу точной нижней грани исходного функционала. [c.93]

Дадим теперь геометрическую интерпретацию изложенных выше двух подходов к получению оценки снизу точной нижней грани исходного функционала. [c.94]

Итак, из (9.16), используя равенство (9.17) и вычис ляя точную нижнюю грань по в (9.17), находим [c.124]

Символ inf означает точную нижнюю грань . [c.196]

II Л L — точная нижняя грань т (Л, 2), то Л = sup (ф А) [c.72]

При достаточно малых значениях с поверхность У(ж1, Ж2,... Хт) = с, где V — знакоопределенная функция, является замкнутой поверхностью, содержащей внутри себя начало координат. Для доказательства примем для определенности, что V определенно-положительна, и обозначим а точную нижнюю грань функции V на [c.517]

Обозначим через d у, С) расстояние точки у от положительной полухарактеристики С (иными словами, d — точная нижняя грань расстояний точки у от точки у на кривой С). Характеристика С, составленная из точек ф (i а) для f О, устойчива, если для всякого заданного е > О можно указать такое положительное х, что d (ф (f а -Ь б). С) < е для всех положительных значений t, если 6 < и. [c.478]

Т. e. что истинный параметр нагружения, отвечающий первому моменту бифуркации, является точной нижней гранью множества параметров k, вычисленных на кинематичё ски допустимых полях с условием (4.11). [c.52]

Обозначим через 1 и площади областей, ограниченных соответственно траекторпями 1 и 2- Очевидно, /г С 1 . Пусть 1] (М) — достаточно малая окрестность точки М. Всякая траектория, проходящая через точки этой окрестности, лпбо не замкнута, либо замкнута и содержит, в силу леммы 6, траекторию 1 внутри себя. Поэтому в точках окрестности (М) значения функции Р М) > /<, а следовательно, точная нижняя грань этих значений пГ Р М) > /, > /г. С другой стороны, эта нижняя грань равна т. Отсюда следует, что т > /2. Но это противоречит определению числа т как нижней грани значении Р (М) в ооластп Г. [c.117]

То1 да б -1- 0 (5, 5 ) > е ( Л ) > / (Мо) = бо + у, следовательно, / (М) = бо > бо -г V — 0) (. , 6 ) > Q - -у 12. А зто противоречит условию, что точная нижняя грань значений функции (М) в любой окрестиости точки Мо равна Qo. [c.119]

Таким образом, / (Мо) = Оо, и, следовательно, >о > 0. Но этого не может быть. В самом деле, пусть Р — произвольная точка, лежащая в UQ г (О), Ь — проходящая через нее траектория, М — первая при убывании I точка траектории Ь, лежащая па окру кности а. Тогда, очевидно, / (М ) <С 9о 2, что противоречит оиределению (>о как точной нижней грани значений функции / (М) на окружности а. Полученное противоречие доказывает, что существует полутраектория , целиком лежащая в 11. Так как по предположению в и ист ни одной замкнутой траектории, то предельное множество полутраектории либо состоит из точки О, либо из точки О и траектори1т, стремящихся к О. В обоих случаях теорема доказана. [c.119]

Один из возможных путей решения этого вопроса такой. Предположим, что имеется оценка отличия точной нижней грани функционала от значения функционала на приближенном решении. Тогда, в случае сильной выпуклости функционала из формулы (6.2), следует энергетическая оценка различия между мипимизируюищм полем и приближенным решениедт. Далее, из соотношений типа [c.87]

Другой, предлагаел1ый авторами, подход к получению оценок снизу точной нижней грани функционала состоит в следующем. Строится последовательность вспомогательных вариационных задач, для которых известно, что их точпые нижпие грани образуют возрастаюи ую числовую последовательность. Каждый член этой последовательности не превосходит точной нижней грани исходного функционала. При этом структура вспомогательных функционалов существенно более проста по сравнению со структурой исходного функционала. [c.88]

Из теоремы 7.3 следует, что А оценивают снизу точную нижнюю грань на К функционала / (е). Как известно [118], числа An вычисляются с помощью множител)9я Лагранжа по формуле [c.94]

Выбирая полные системы функций X (х) и v (х) и И пользуя соотношения (7.24), (7.25), находим, что множ( ство Ер можно задать как подпространство нулей счетно системы линейных функционалов Ti (е), и следовательш далее можно воспользоваться теоремой 7.3 для получс ния оценок точной нижней грани функционала (7.21 Остановимся в заключение на применении принципе двойственности к оценке снизу коэффициента предельно нагрузки для жесткопластических тел. [c.100]

Задача о кручении жесткопластического стержня Я1 ляется одной из простейгпих задач теории дластичност В этом параграфе будет изложено решение задачи о крз чении на основе метода получения двусторонних оцено точной нижней грани соответствующего ей функционалг Изложение следует работе [124]. [c.102]

Покажем, что эта оценка дает точную нижнюю грань [14]. Будем выбирать знак бинормального ускорения из условия [c.359]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...