Уравнения движения ограниченной задачи трех тел

Метод изменения произвольных постоянных Лагранжа позволяет теперь представить общий интеграл уравнений (14.111), т. е. уравнений движения ограниченной задачи трех тел, теми же самыми формулами (14.102), (14.102 ), в которых только величины аи и Рл [к=, 2, 3) уже не являются постоянными, а суть некоторые функции времени, определяемые следующей канонической системой [c.785]

В части V добавлены уравнения движения ограниченной задачи трех тел в эллипсоидальных и эллиптических переменных, уравнение Гамильтона — Якоби в этих переменных, изложен метод понижения порядка системы. [c.17]

Глава 1 является вводной. Здесь выводятся уравнения движения ограниченной задачи трех тел, во вращающейся системе координат находятся точки либрации (1 = 1, 2,. . ., 5) и проводится анализ их устойчивости в линейном приближении. Изложение этих вопросов мало отличается от традиционного. В этой же главе даны таблицы, определяющие положение точек либрации в Солнечной системе, и приведены графики некоторых величин, характеризующих положение точек либрации при произвольных значениях параметра [х (О < [г = тп тп1 4- Тоа) < 1/2). [c.11]

Уравнения движения ограниченной задачи трех тел [c.17]

Пренебрегая в уравнениях движения общей задачи трех тел теми членами, которые имеют множителем малую массу, мы получим некоторые приближенные уравнения, описывающие движение нулевой массы под действием притяжения двух конечных масс и придем, таким образом, к задаче, которая, по предложению Пуанкаре, называется ограниченной задачей трех тел . [c.752]

Ограниченная задача трех тел (К. Г. Якоби, 1835 г.). Вектор I (см. задачу 3.3.7) описывает окружность (рис. 2.9а>. Найти ограниченное решение уравнений движения в окрестности треугольных точек Лагранжа [56, 65]. [c.142]

Приложение к ограниченной задаче трех тел. Предположим, что величины а 4- Р и Z фиксированы, следовательно, фиксировано и значение (О = 7 (а -Ь Р)/Р. Выберем ц, равным р/(а -f Р). Случай fx = О соответствует движению в ноле ньютоновского притяжения к неподвижному центру. Для этого случая уравнения движения в обозначениях 28.2 имеют вид [c.616]

Рассмотрим еще один вариант ограниченной задачи трех тел, в котором две точки одинаковой массы описывают эллиптические орбиты в плоскости х,у, симметричные относительно оси г, а третья точка нулевой массы все время остается на оси. 2 (пылинка в поле двойной звезды, рис. 5). Движение последней описывается дифференциальным уравнением [c.49]

Г1 и Г2 в одной плоскости вокруг обш,его центра масс. Угловая скорость враш,ения прямой, соединяюш,ей тела, постоянна и равна со. Со- f Р(ж, 2/, г)ставить в форме Лагранжа уравнения движения космического аппарата Р массы т относительно этих небесных тел, считая, что влияние аппарата на движение тел пренебрежимо мало. Массы тел равны тх и Ш2 (шх ш, гп2 гп). (Ограниченная задача трех тел.) [c.132]

Мы предпочитаем трактовать ограниченную задачу трех тел как частный случай общей задачи, а поэтому поставим сначала общую задачу трех материальных точек и выпишем соответствующие уравнения движения. [c.210]

Эти уравнения, в которых координаты точки М н их производные определяются уравнениями (5.5) и поэтому должны рассматриваться как известные функции времени, и являются уравнениями общей (или обобщенной) ограниченной задачи трех тел (трех материальных точек). Отметим при этом, что масса пассивной точки М2 не входит в эти уравнения и может быть какой угодно. Просто эта масса не оказывает никакого действия на две другие массы. Можно считать, так же как это делается часто в математических классических ис-следова-ниях, что /П2 равна нулю, и в результате такого предположения мы получим те же самые уравнения (5.6). В астрономических задачах масса тг оказывается чрезвычайно малой по сравнению с массами то и т. Поэтому действие малой массы по закону Ньютона достаточно мало и этим малым действием в ряде случаев можно, оказывается, пренебречь, так что в задаче масса тг как бы не существует или как бы не действует. Таким образом, к ограниченной задаче можно подойти двумя путями или считая, что точка М2 имеет массу, равную нулю (ее часто так и называют нулевая масса ), или считая, как это делаем мы, что масса шг не равна нулю, но не действует на две другие, что и отмечается здесь в ее названии — пассивно действующая, или просто пассивная масса. Математическая задача, т. е. задача об исследовании и решении уравнений (5.6), не зависит от ее астрономической постановки, но, с одной стороны, странно говорить о движении нулевой массы, т. е. о движении чего-то, что в действительности не существует, а, с другой стороны, может показаться нереальным предположение о том, что конечная масса никак себя не обнаруживает, хотя ее движение может быть наблюдаемо (например, движение космической ракеты ). Все дело в том, что и в том, и в другом случае задача является приближенной, и систе.ма трех материальных точек, и в случае общей задачи и в случае ограниченной, представляет собой только абстрактную модель действительно существующих в природе систем небесных тел. [c.214]

Исследование уравнений движения в ограниченной задаче трех тел делается более удобным, если перейти от системы осей неизменного направления к вращающейся системе координат, совершенно так же, как это и производится всегда в классическом случае. [c.217]

В общей ограниченной задаче трех тел (материальных точек) уравнения движения пассивно действующей точки Мг могут быть преобразованы к виду (5.20), и эти уравнения, как было показано в предыдущем параграфе, могут допускать при из- [c.240]

Дифференциальные уравнения движения точки ЛЬ в задаче двух неподвижных центров получатся из обших уравнений ограниченной задачи трех тел (14.35 ), если координаты о, 11о и 1, т]1 двух конечных масс Л1о н М рассматривать как величины постоянные, или, если положить в уравнениях (14.39) ==0, е = 0. [c.774]

Ограниченная задача трех тел представляет собой предельный вариант неограниченной задачи трех тел, поэтому дифференциальные уравнения движения в различных системах координат могут быть получены из уравнений [c.533]

Первые найденные в небесной механике периодические решения— это эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. И, 2.01) и лагранжевы решения в задаче трех тел (см. ч. V, 1.02, 2.03). После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. 1.01) и на его основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело имеет массу то, значительно большую масс т = а1 А, Ш2 — 0,211 планет Р, и Рг, также отличных от нуля, а > О, К2 > О, — малый положительный параметр). Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, 2.05). [c.792]

Итак, при использовании канонических единиц уравнения движения точки тъ в пространственной круговой ограниченной задаче трех тел имеют такой вид [c.218]

Если положить в уравнениях (6.2.6) z = 0, то получим уравнения движения точки тз в плоской круговой ограниченной задаче трех тел. [c.218]

Можно прийти к весьма простому для рассмотрения предельному случаю названной задачи, если исходить вместо общей задачи трех тел из так называемой ограниченной задачи трех тел. Последняя есть частный случай плоской задачи трех тел, в которой масса точки Р3 равна пулю, а точки Рх, Р2 описывают окружности . Чтобы получить дифференциальные уравнения движения для точки Р3, введем в заданной плоскости вращающуюся систему осей с началом в центре инерции точек Р1 и Р2, так что точки Рх и Р2 относительно повой системы координат будут неподвижными. Без ограничения общности можно принять, что угловая скорость и = 1 в силу уравнений (12 5) для прямоугольных координат Х2к-1, Х2к точки Рк к = 1, 2, 3) во вращающейся системе координат получаются следующие дифференциальные уравнения [c.168]

Как пример рассмотрим ограниченную задачу трех тел. Пусть точки Pi, Р2, Рз имеют опять массы ц, 1 — i, О при О < // < 1 пусть материальные точки Pi, Р2 обращаются с угловой скоростью, равной 1, около их общего центра инерции и пусть координаты трех материальных точек в соответствующей системе вращающихся координат будут равны (1 —/LI, 0), (—/LI, 0), х, Х2)- Уравнения движения (19 28) легко можно записать в канонической форме, если ввести вместо жз, х переменные [c.231]

Исследование устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче трех тел началось очень давно. А. М. Ляпунов в 1889 году исследовал устойчивость (в первом приближении) треугольных точек либрации для случая пространственной неограниченной задачи трех тел [48]. Признаком устойчивости А. М. Ляпунов считал бесконечно малое отличие формы и размеров треугольника, образованного тремя телами, в возмущенном и невозмущенном движениях. Результаты А. М. Ляпунова нельзя непосредственно перенести на ограниченную задачу трех тел, где признаком устойчивости считается бесконечно малое отличие длин сторон треугольника, образованного телами, от тех длин, которые им соответствовали в невозмущенном движении в тот же момент времени. Однако при внимательном рассмотрений уравнений движения, исследованных А. М. Ляпуновым в его постановке задачи, можно весьма просто получить следующие выводы об устойчивости (в первом приближении) точек либрации и для случая ограниченной задачи трех тел 1) при достаточно малых значениях треугольные точки либрации устойчивы, 2) при достаточно малых значениях эксцентриситета е треугольные точки либрации устойчивы, если [c.147]

Рассмотрим круговую ограниченную задачу трех тел Земля — Луна — КА. Линеаризованные в окрестности уравнения движения КА запишутся в системе координат L xyz в таком виде (см. главу 1) [c.266]

Нетрудно проверить, что при сделанных выше двух предположениях уравнения (3.64) и (3.67) удовлетворяются решениями х О, а HS 0. Таким образом, мы приходим к задаче о движении тела пренебрежимо малой массы вблизи коллинеарной точки либрации Lz эллиптической ограниченной задачи трех тел. Эта задача описывается функцией Гамильтона (3.36), в которой надо положить [c.282]

Движение КА определяется решением точной системы уравнений ограниченной задачи трех тел (Земля — Луна — КА). Движение Луны эллиптическое. [c.294]

Одновременно и независимо от работ Копенгагенской обсерватории численные методы для разыскания периодических решений в ограниченной задаче трех тел были применены Дарвиным (1845—1912). Для соотношения масс Дарвин принял т. = . 0. Вначале Дарвин пытался интегрировать дифференциальные уравнения движения при помощи гармонических рядов. Однако чрезвычайно медленная сходимость разложений заставила отказаться от этого пути. [c.138]

Ограниченная задача. Уравнения движения. Органиченная задача трех тел заключается в следующем. Частица А массы а и частица В массы р движутся под действием сил взаимного притяжения. Центр масс G обеих частиц движется равномерно и прямолинейно, так что без потери общности можно считать, что он находится в покое. Начальные условия таковы, что орбита частицы В относительно А представляет собой окружность с центром в А, следовательно, каждая частица движется относительно центра масс G по окружности. Рассмотрим частицу Р пренебрежимо малой массы (так называемый планетоид)-, пусть эта частица совершает движение в одной плоскости с, А vl В. Мы будем считать, что она движется под действием Рис. 113. [c.563]

В качестве примера найдем преобразование, нормализующее систему линейных уравнений, описывающих движение в окрестности треугольной точки либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. В координатах Нехвила с истинной аномалией и в качестве независимой переменной и при соответствующем выборе единицы длины движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.131]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

Периодические орбиты. Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели ( 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает больпше трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании ). Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей. [c.602]

Современная теория годографов ньютоновой механики позволяет произвести полный анализ годографа траекторий в векторном пространстве любого порядка. Теория годографов для баллистических траекторий включает в себя уравнения движения, функции преобразования годографов и годографические отображения для пространств ускорений и скоростей. Одно из основных направлений дальнейшей работы состоит в выводе и применении определяющих уравнений годографа для активных участков траектории, а также в разработке методов синтеза, главным образом с помощью дифференциальной и инверсивной геометрий. Другим не менее важным направлением является распространение теории годографов на траектории, определяемые присутствием более чем одного притягивающего тела (ограниченная задача трех тел, задача п тел). Оба направления, по-видимому, в достаточной степени перспективны как с аналитической (новые методы небесной механики), так и с инженерной (новые принципы построения систем управления и наведения) точек зрения. [c.40]

Среди проблем небесной механики, имеющих важное прикладное значение для космических полетов, ограниченная задача трех тел играет центральную роль. Эта задача состоит в описании возможных траекторий движения материальной точки пренебрежимо малой массы (пилотируемого или беспилотного космического аппарата, метеорита, астероида) под действием гравитационного притяжения двух крупных небесных тел, которые в свою очередь предполагаются движущимися относительно друг друга по окружностям в соответствии с кеплеровыми законами. Ограничиваясь двумерным случаем, уравнения движения материальной точки можно записать в следующем виде [c.93]

Современная теория годографа в ньютоновой механике позволяет полностью исследовать поведение годографа траектории в ньютоновом векторном пространстве любого данного порядка. Теория годографа для баллистических траекторий представлена уравнениями движения, контурными сетками и функциями преобразования годографа в векторных пространствах скоростей и ускорений. Одно из основных направлений, в которых эта область продолжает развиваться,— разработка и применение определяющих уравнений годографа и метода синтеза к исследованию активных участков траекторий главным образом путем использования дифференциальной геометрии. Другое важное направление — применение теории годографа к траекториям, связанным более чем с одним притягивающим центром (ограниченная задача трех тел и задача п тел). Оба направления обещают принести свои плоды как с аналитической точки зрения современной небесной механики, так и в отношении технических приложений к проектированию перспективных систем наведения и управления. Илл. 25. Библ, 50 цазв. [c.236]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Глава VII посвящена актуальной для космонавтики ограниченной задаче трех тел (уравнения движения, интеграл Якоби, точки либрации, линии Хилла). Рассказано [c.10]

Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной в 5 гл. I. Предположим сначала, что масса Юпитера л равна нулю. Тогда в неподвижном пространстве астероид вращается вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским-орбитам пусть орбиты — эллипсы. Удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне Ь,С,1,д если а и е—большая полуось и эксцентриситет орбиты, то Ь = у/а, С = - 0(1 — е ), д — долгота перигелия, I — угол, определяющий положение астероида на орбите, — эксцентрическая аномалия [173]. Оказывается, в новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с гамильтонианом Го = —1/ 2Ь ). При ф О полный гамильтониан Г разлагается в ряд по возрастающим степеням /х F = Fo -Ь fJ.Fi -Ь. .. В подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, поэтому Г згшисит от Ь,С,1 и д — 1. Положим Ух = Ь, у2 = С, Хх = I, Х2 = д — I и Н = Г — С. Функция Н теперь зависит лишь от х, у, причем относительно угловых переменных, Т1, Х2 она 2тг-периодична. В итоге уравнения движения астероида представлены в виде гамильтоновой системы [c.186]

При решении проблемы космонавтики и астрономии важную роль играет так называемая ограниченная задача трех тел. Рассматривается система трех частиц массами Ш1,Ш2, шз, причем масса одной из них, Шз <С Ш , Ш2. Если пренебречь ускорениями, которые сообщает легкая частица двум массивным частицам, то они будут двигаться по кеплеровым траекториям. Задача состоит в интегрировании уравнений движения частицы массой шз, движущейся во внешнем гравитационном поле, создаваемом частицами т и Ш2. Примерами ограниченной задачи трех тел являются Солнце-планета-комета, Земля-Луна-спутник и т.д. [c.87]

Лагранжевы решения ограниченной задачи трех тел принимают особенно простой вид в случае круговой задачи. Действительно, в этом случае точка Aii описывает вокруг Мо (или вокруг центра масс G) окружность, и мы имеем е = 0, р=1 и v = n. Тогда различие между системой (14.41) и системой уравнений Нехвила исчезает и все точки либрации оказываются неподвижными и в системе (Gxyz). Следовательно, в каждом из лагранжевых решений точка М2 описывает вокруг точки G окружность радиуса а с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости движения точки Ail. [c.773]

Приложения метода Пуанкаре, а) Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной нами в 5 гл. 2. Предположим сначала, что масса Юпитера ц равна нулю. Тогда в неподвижном пространстве астероид будет вращаться вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским орбитам. Пусть орбиты — эллипсы. Тогда удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне 1, О, I, д (см. пример 4, п. 2.1, гл. 4). В новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с функцией Гамильтона Ро= = ЧгЬ . Если цфО, т6 полный гамильтониан Р можно разложить в ряд по возрастающим степеням ц = о+ц/ 1+ Поскольку в подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, то функция Гамильтона Р зависит от , О, I и —1. Положим J l = , Х2 = 0, У1 = 1, У2=е—1 и Н=Р—0, [c.232]

Наряду с общей задачей , в которой все массы предполагаются положительными, рассматриваются и предельные случаи, когда в уравнениях (1) некоторые из та полагаются равными нулю. На физическом языке это означает, что мы пренебрегаем влиянием соответствующих тел на движение остальных. В этой ситуации говорят обычно об ограниченной задаче . Особенно известной является задача о движении тела пулевой массы ( планетоида или астероида ) в поле тяготения, создаваемом двумя телами, обращающимися по круговым орбитам вокруг общего центра масс, причем все три тела все время находятся в одной и той ке плоскости. Собственно говоря, Пуанкаре именно этот случай назвал ограниченной задачей трех тел , но теперь он часто именуется более пространно — ограпичсипой плоской круговой задачей , в отличие от ограниченной эллиптической задачи и прочих. Если приравнять нулю все массы, кроме одной, то мы получим идеальную планетную систему , в которой тела нулевой массы ( планеты ) обращаются около одного тела ( Солнца ) по чисто кеплеровским орбитам, не оказывая друг на друга никакого влияния. В классической небесномеханической теории возмущений этот случай выступает в качестве нулевого при-бли кения. [c.19]

Закончим этот параграф применением наших результатов к ла-гранжевым решениям ограниченной задачи трех тел. Эти решения, которые мы изучали применительно к общей задаче трех тел, сохраняют свое значение также и для ограниченного случая. Мы предполагаем, что Pi, Рг — частицы масс /i, 1 — соответственно, и рассматриваем движение точки Рз нулевой массы во вращающейся системе координат, в которой Pi, Р2 неподвижны. При этих условиях уравнения для координат (xi, Х2) точки Р3 имеют гамильтонов вид [c.330]

Получим дифференциальные уравнения, определяющие движение тела Р в ограниченной задаче трех тел. Введем (рис. 1) систему координат Oxyz с началом в центре масс тел 5 и /. Плоскость Оху совместим с плоскостью орбиты тела / относительно 8. Ось Ох направим по прямой 5/ в сторону тела /. [c.17]

Характер сингулярностей, имеющих место при столкновениях, таков, что при соответствующем выборе независимой переменной (этот процесс называется регуляризацией) от них можно избавиться. Задачи, при решении которых используется процедура регуляризации, привлекали внимание многих исследователей. Превосходная библиография работ на эту тему приведена Шебехели [311, который исследовал регуляризацию в ограниченной задаче трех тел. Исчерпывающее обсуждение линеаризации и регуляризации уравнений движения можно найти в книге Штифеля п Шейфеле [29]. Обычно регуляризация сводится к замене физического времени I фиктивным временем 5, таким, что Л = г йв. Здесь г — радиальное расстояние между притягивающими центрами. Если к = 1, то 5 эквивалентно эксцентрической аномалии если й = 2, то 5 эквивалентно истинной аномалии. Такой процесс следует называть аналитической регуляризацией по Штифелю п Шейфеле. [c.247]

Такая постановка ограниченной задачи трех тел становится основной сначала в теории движения Луны, разработанной Делоне, а затем под ее очевидным влиянием в работах последней четверти 19 века. С одной стороны, Хилл развил к этому времени свою теорию движения Луны, опирающуюся на уравнения (З4). Разработанная детально Брауном, эта теория является в настоящее время наиболее точной, рассматривавшейся когда-либо в небесной механике (как в теоретическом смысле, так и с точки зрения численных расчетов). С другой стороны, оказалось, что схема ограниченной задачи трех тел также дает приемлемое приближение во многих случаях движения малых планет. [c.427]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...